第5章 电磁波的传播

电磁场与电磁波基础教程

第5章 电磁波的传播5.1 一般波动方程 无界均匀媒质中平面电磁波的传播 有界均匀媒质中平面电磁波的传播 无线电波的传播 电磁波的应用

5.25.3 5.4 5.5

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概

要

动态场是时变电磁场，运动的电磁场形成电磁波。由麦克

斯韦方程导出的波动方程的解可以表示电磁波，电磁波的物理参量可以描述电磁波的传播规律与特性。做时谐变化的平面波 是最简单的平面波，任意复杂的电磁波可以采用平面波叠加法

合成。电磁波的传播、传输和辐射既构成了电磁场与电磁波的有机组成部分，又是电磁场与电磁波的重要应用。 本章首先介绍无源区域空间中平面电磁波的传播规律与特 性，包括平面电磁波的极化特性、反射特性和折射特性。在此 基础上讨论一般电磁波运用中的重要问题：无线电波的传播和 电磁波传播的运用。

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5.1 一般波动方程 自由空间——传播电磁波的无源区充满空气媒质的空间。 麦克斯韦方程包含了描述媒质中任意点电磁场特性的全部 信息，在理论上可由它确定空间任意点的场解。

问题：在实际应用中，为什么不直接由麦克斯韦方程，而须由新建立的波动方程求解？ 麦克斯韦方程中的电、磁场量是相互联系的耦合场，必须 同时联解四个方程才能得单一的电场或磁场。波动方程就是从 麦克斯韦方程中消去某一场量而建立求解另一场量的方程，可 分离场量和减少方程数量。

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在线性、均匀和各向同性媒质(ε、μ和σ为实数)的无源

(ρ=0,J=0)空间中，如果考虑到导电媒质( 0)中的传导电流(J c ),麦克斯韦方程组(4.7)变为 E H ( r ,t) a t E ( r ,t) H ( r ,t)= E ( r ,t) b t E ( r ,t)= 0 c E ( r ,t)= – H ( r ,t)= 0 d

为了得到单一的E的方程，可设法消去式(5.1a)中的 H。为此，对式(5.1a)取旋度，得 H E = – t 2

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利用矢量的双旋度恒等式 F F F ,令F=E,考虑到式(5.1c)得 E t2

利用式(5.1b)中的E取代式(5.3)中的H,得电场的

方程 E 2 E 2 E 2 t t

同理，对式(5.1b)取旋度，利用式(5.1a),可得磁 场的方程。经整理后，可以统一写成如下形式的波动方程

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2 E ( r ,t) E( r ,t) E ( r ,t) a 2 t t 2 H ( r ,t) H ( r ,t) 2 H ( r ,t) b 2 t t2

在理想介质中( 0),方程(5.5)退化为如下齐次非 含源项波动方程 2 E ( r ,t) E ( r ,t) 0 a 2 t 2 H ( r ,t) 2 H ( r ,t) 0 b 2 t2

在自由空间中( 0 , 0 , 0 ),方程变为1 2 E ( r ,t) 2 E ( r ,t) 2 0 a 2 c t 1 2 H ( r ,t) 2 H ( r ,t) 2 0 b 2 c t

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式中 0 0 是电磁波在自由空间中的传播速度。经后来赫兹测光速的实验c 1 3 108 (m/ s)

证明c恰好是光的传播速度，揭示了光的电磁本质。

5.2 无界均匀媒质中平面电磁波的传播5.2.1 理想介质中的平面电磁波 1.平面电磁波的波动方程 考虑无源空间时谐电磁波的齐次亥姆霍兹方程(式(5.7) 中 2 t 2

用 (j )2 取代) 2 E( r ) k 2 E( r ) 0 a 2 H ( r ) k 2 H ( r ) 0 b

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式中 k u

称为自由空间的波数。

在直角坐

标系中，利用关系式 2 2 2 2 2 2 2 (5.9a) x y z E a x Ex a y E y a z Ez (5.9b) H a x H x a y H y a z H z (5.9c)

可将矢量方程(5.8)分解为六个标量方程。为减少方程 数量，可假设时谐波仅沿z方向传播，其场量在垂直于传播方

向的横平面(z c )上，故无纵向场 量 Ez 0, Hz 0 ,如图5.1所示。

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横电磁波(TEM波)——沿传播方向无纵向场量的波。

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等相面——正交于传播方向、横电磁波场量所在的面。 平面电磁波——等相面为平面的电磁波。

均匀平面电磁波——在等相面上场矢量的振幅、相位和方向都保持不变的平面电磁波。 均匀平面波满足的条件 Ez 0, H z 0 在z c处 510) ( . x 0, y 0

将式(5.9)和(5.10)代入方程，得均匀平面波的一维 标量波动方程

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d 2 Ex k 2 Ex 0 a d z2 d2 H y k 2 H y 0 b d z2

任意复杂波，可利用平面波叠加法合成。2.平面电磁波的波动性

方程(5.11a)的通解Ex ( z) Ae jkz Be jkz 2

取 A= Ex 0 和 B = Ex 0 。考虑首项，式(5.12)改写为瞬 时形式Ex ( z, t ) Re Ex ( z )e j t x 0cos( t kz ) 3

电磁场与电磁波基础教程●均匀平面电磁波的时空变化规律

(1) z 0 : Ex (0, t ) cos t

图5.2表示位置z固定，时间相位

t 变化的曲线图。

角频率 ——单位时间的时间相位变化。单位为rad/s (弧度/秒)。

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T

2

1 f (5.15) T 2

(5.14)

(2)

t 0 : Ex ( z,0) cos( kz)图5.3表示时间t固定，空间相位kz的变化曲线。 相位常数(或波数)k——单位距离的空间相位变化。单 位为rad/m(弧度/米)。

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2π k 2π k = λ λ=

(5.16) (5.17)

(3) t kz c(等相面):Ex ( z, t ) cos C

图5.4表示固定等相面C同时随位置z和时间t变化而沿z向以速度 p 传播的正向行波。 等相面方程 t kz C对t求导，得 dz p dt k

(5.18a)

代入k 得 p 1

(5.18b)

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相速 p表示等相面移动的速度。

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看出均匀平面电磁波方程的通解 Ex ( z, t ) 既是时间的周期 函数，又是空间坐标位置的周期函数，而且等相面随时空变 化以相速 p 沿传播方向运动，显示了均匀平面波的波动性。 3.平面电磁波的传播特性 式(5.13)改为复矢量形式 E ( z) ax Ex 0e jkz a

由麦克斯韦方程旋度式(4.32a)知

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z ay = ay H y ( z, t ) 1

1 j k

E ( z ) a y Ex 0 e j kz a y

1 Ex j z

1

jkz Ex 0 e

Ex 0 e j kz (5.19b)

Ex 0 cos( t kz ) (5.20)

5.21) (

波阻抗(本征阻抗或特性阻抗) ——电场与磁场振幅之 比。它是描述媒质特性的物理量，故仅与媒质特性参量有关。 单位为 (欧姆)。

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图5.5表示理想介质中存在等幅同相振荡均匀平面正向波。

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由式(5.19a)知 Hy 有 1 1 Ex 或 Ex 2 H y 2 2 2 1

1 1 2 2 w we wm Ex H x 2 2 2 2 Ex H x (5.22) S E H a x Ex a y S av Ex

az

1

2 Ex (5.23)

1 1 * Re( E H ) a z ( Ex 0 ) 2 (5.24) 2 2

看出均匀平面波的电、磁能量密度相等，电磁能量沿波 的传播方向流动。

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式(5.22)改写为wav 1 ( Ex 0 ) 2 w

e av 2

式(5.24)与式(5.25)相比，得Sav az wav 1 e

看出 Sav ew av 表示空间某点的时均能流密度是以 速度 e 运动的时均能量密度 wav 。 能速 e —均匀平面电磁场波的能量流动速度。

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理想介质中时谐均匀平面电磁波的传播特性 (1)横电磁波(TEM波)性：电场 E x 、磁场 H y 与传播 方向z相互正交，且呈右旋关系； (2)等振幅振荡性：电场与磁场作等幅周期性变化； (3)同相位性：波阻抗仅为由媒质参量 和 决定的 实数，电场与磁场做同相周期性变化； (4)电、磁能量密度相等性：电场能量密度与磁场能量 密度以相同值做同相周期性变化，电磁波的能流密 度按相速传播，是相速与频率无关的单色波。 【例5.1】已知自由空间中均匀平面电磁波的电场强度

E a x 100cos(3 10 8 t z ) (V / m)

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