2013北京市朝阳区高三第一学期期末数学理科试题word版含答案

北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（理工类）（考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
2013.1
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项. 1. 已知 i 是虚数单位，若复数 (1 ? ai)(2 ? i) 是纯虚数，则实数 a 等于 A． 2 B．
1 2
C． ?
1 2
D． ?2
2 2 2.“ k ? 1 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x ? y ? 1 相交”的
开始
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
输入 x
3.执行如图所示的程序框图．若输入 x ? 3 ，则输出 k 的值是 A． 3 C． 5 B． 4 D． 6
k ?0x ? x?5k ? k ?1
4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 F1 (? 5,0) ， 点 P 在双曲线上，且线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ，则 此双曲线的方程是
x ? 23?是
否
x2 ? y2 ? 1 A． 4C．
y2 ?1 B． x ? 42
输出 k
x2 y2 ? ?1 2 3
D．
x2 y2 ? ?1 3 2
结束
5.某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动， 若选出的 4 人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 A． 140 种 B． 120 种 C． 35 种 D． 34 种[3
6.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形，其正视图与俯视图如图所 示，则其侧视图的面积为 1 A．
3 43 4
B．
3 2
正视图
C．
D． 1
正 视 图俯视图
1
2 2 7.设集合 A= x x ? 2 x ? 3 ? 0 ，集合 B= x x ? 2ax ? 1 ? 0, a ? 0 .若 A ? B 中恰含有一个整数，则实
?
?
?
?
数 a 的取值范围是 A． ? 0, ?
? ?
3? 4?
B． ? ,
?3 4 ? ? ?4 3 ?
C． ? , ?? ?
?3 ?4
? ?
D． ?1, ?? ?
8. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中，点 P ， P 分别是线段 AB ， BD1（不包括端点）上的动点， 1 2 1 且线段 P 1 P2 平行于平面 A ADD1 ，则四面体 PP AB1 的体积的最大值是 1 2 1 A．
1 24
B．
1 12
C．
1 6
D．
1 2
第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列，数列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数列，则
b2 的值为 a1 ? a2
.
10. 如图， AB ， CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P . 若 PD ?
2a ， ?OAP ? 30? ，则 AB = 3
， CP ?
（用 a 表示）.
O P
A D
C ? x …0, B ? 11.若关于 x ， y 的不等式组 ? y …x, （ k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 ? kx ? y ? 1 …0 ?
k?
. ．
12. 在极坐标系中，过圆 ? ? 4cos ? 的圆心，且垂直于极轴的直线的

极坐标方程为
13.在直角三角形 ABC 中， ?ACB ? 90? ， AC ? BC ? 2 ，点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点，则
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? CP ? CB? CP? CA?
．
14. 将整数 1, 2,3,?, 25 填入如图所示的 5 行 5 列的表格中，使每一行的数字从左到 右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ? sin
x x x cos ? cos 2 ? 1 . 2 2 2
（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 在 [ ,
? ?? ] 上的最小值. ? ?2
16. （本小题满分 14 分） 在长方体 ABCD-A B1C1D1 中， AA=AD=2 ，点 E 在棱 CD 上，且 CE= CD ． 1 1 （Ⅰ）求证： AD1 ? 平面 A1B1D ；D
1 3
E C
（Ⅱ）在棱 AA1 上是否存在点 P ，使 DP ∥平面 B1 AE ？ 若存在，求出线段 AP 的长；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）若二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为 长． 17. （本小题满分 13 分） 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽 取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部 污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表频率分布直方图 频率 组距A1 B1 A B
30 ，求棱 AB 的 6
D1 C1
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 合计
频数 8 a 20 ▓ 2 ▓
频率 0.16 ▓ 0.40 0.08 b ▓
0.040 x
▓ ▓0.008 y 50 60 70 80 90 100
成绩（分）
（Ⅰ）写出 a, b, x, y 的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环保 知识的志愿宣传活动，求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设 ? 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人数，求 ? 的分布列及其数学期望. 18. （本小题满分 13 分）
1 已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ?R) ． x（Ⅰ）若 a ? 2 ，求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的单调区间；
a （Ⅲ）设函数 g ( x) ? ? ．若至少存在一个 x0 ? [1,e] ，使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立，求实数 a 的取值范围． x
3
19.（本小题满分 14 分） 已知点 A 是椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 的左顶点，直线 l : x ? my ? 1(m ?R ) 与椭圆 C 相交于 E , F 9 t16 . 3
两点，与 x 轴相交于点 B .且当 m ? 0 时，△ AEF 的面积为
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设直线 AE ， AF 与直线

x ? 3 分别交于 M ， N 两点，试判断以 MN 为直径的圆是否经过点 B ？ 并请说明理由. 20. （本小题满分 13 分） 将正整数 1, 2,3, 4,?, n （ n ? 2 ）任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的2
任意两个数 a , b （ a ? b ）的比值
a ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”. b
（Ⅰ）当 n ? 2 时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ； （Ⅱ）若 aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数（ 1 ? i ? n ， 1 ? j ? n ） ，且满足
?i ? ( j ? i ? 1)n， i ? j, 请分别写出 n ? 3, 4,5 时数表的“特征值” ，并由此归纳此类数表的 aij ? ? ?i ? (n ? i ? j ? 1)n，i ? j,“特征值” （不必证明） ； （Ⅲ）对于由正整数 1, 2,3, 4,?, n 排成的 n 行 n 列的任意数表，记其“特征值”为 ? ，求证： ? ?2
n ?1 . n
4
北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题答案（理工类）一、选择题： 题号 答案 （1） A （2） A （10） （3） C （11） （4） B （5） D （12） （6） C
2013.1
（7） B （13）
（8） A （14）
二、填空题： 题号 （9） 答案
3 10
3a ；
9a 8
?1 或 0
? cos? ? 2
4
45 ； 85
（注：两空的填空，第一空 3 分，第一空 2 分） 三、解答题： （15） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ） f ( x) ? sin
x x 1 ? cos x cos ? ?1 2 2 2 1 1 1 ? sin x ? cos x ? 2 2 2
????????????????2 分
?
2 ? 1 sin( x ? ) ? . 2 4 2
?????????????????4 分
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? . 由 2k ? ?
????????????????6 分
? ? 3? ? 5? ? x ? ? 2k ? ? ， k ? Z ，则 2k ? ? ? x ? 2k ? ? . 2 4 2 4 4 ? 5? ] ， k ? Z . ?????????9 分 函数 f ( x ) 单调递减区间是 [2k ? ? , 2k ? ? 4 4 ? ?? ? ? 7? (Ⅱ)由 ? x ? ，得 ? x ? ? . ???????????????11 分 ? ? 2 4 4则当 x ?
? 3? 5? 2 ?1 ? ，即 x ? 时， f ( x ) 取得最小值 ? . 4 2 4 2
???????13 分
（16） （本小题满分 14 分） 证明： （Ⅰ）在长方体 ABCD-A B1C1D1 中， 1 因为 A1B1 ? 面 A D1DA ， 1 所以 A B1 ? AD1 ． 1 ????????2 分A B D E C
在矩形 A D1DA 中，因为 AA=AD=2 ， 1 1 所以 AD1 ? A D ． 1A1
D1 C1
B1
所
以
AD1 ?
面
5
A1B1D ． ????????????????????????4 分（Ⅱ）如图，在长方体 ABCD-A B1C1D1 中，以 D1 为原点建立空间直角坐标系 D1 ? xyz ． 1 依题意可知， D1 (0,0,0), A (2,0,0), D(0,0, 2) ， 1D z
E C
A(2,0, 2) ，设 AB 的长为 x

，则 C1 (0, x,0), B1 (2, x,0) ，A B
2 C (0, x, 2), E (0, x, 2) ． 3D1
y C1
假设在棱 AA1 上存在点 P ，使得 DP ∥平面 B1 AE ． 设点 P (2,0, y) ，则 DP ? (2,0, y - 2) ，
??? ?
A1 x B1
??? ? AP ? (0,0, y - 2) ．易知 B1 E=(-2, -
????
??? ? 1 2 x, 2), AE ? (-2, x, 0) ． 3 3
设平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? (a, b, c) ，
1 ? ???? ?-2a - 3 xb ? 2c = 0 ? B1 E ? n = 0 ? ? 则 ? ??? ，即 ? ．??????????????????7 分 ? ? AE ? n = 0 ? -2a + 2 xb = 0 ? ? 3 ?3 3 x ，所以 n ? ( x,3, x) ． 2 2 ??? ? 因为 DP ∥平面 B1 AE ，等价于 DP ? n ? 0 且 DP ? 平面 B1 AE ．令 b ? 3 得， a ? x, c ?
3 2 x ? 0 ，所以 y ? ． 2 3 ??? ? ??? 4 ? 4 4 所以 AP ? (0, 0, - ) ， AP ? ，所以 AP 的长为 ．????????????9 分 3 3 3得 2 x + ( y - 2) ? （Ⅲ）因为 CD ∥ A1B1 ，且点 E ? CD ， 所以平面 A B1E 、平面 A1B1D 与面 A B1CD 是同一个平面． 1 1 由（Ⅰ）可知， AD1 ? 面 A1B1D ， 所以 D1 A ? (2,0, 2) 是平面 A B1E 的一个法向量． 1 由（Ⅱ）可知，平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? ( x,3,
???? ?
????????????11 分
3 x) ． 2
6
因为二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为
30 ， 62 x + 3x 3 2 2 ? x ? 9 ? ( x) 2 22
???? ? D1 A ? n 30 ? ???? ? 所以 cos ? ? ? 6 AD1 ? n故 AB 的长为 3 2 ． （17） （本小题满分 13 分）
，解得 x ? 3 2 ．
??????????????????????14 分
解： （Ⅰ）由题意可知， a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 ． ??????4 分 （Ⅱ）由题意可知，第 4 组有 4 人，第 5 组有 2 人，共 6 人． 从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学有2 C6 ? 15 种情况．
????????????????????????6 分
设事件 A ：随机抽取的 2 名同学来自同一组，则2 2 C4 ? C2 7 P( A) ? ? . 2 C6 15
所以，随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知， ? 的可能取值为 0,1, 2 ，则
7 ． ??????????8 分 15
P(? ? 0) ?
2 C4 C1C1 8 C2 1 6 2 ? ? ， P(? ? 1) ? 4 2 2 ? ， P(? ? 2) ? 2 ? ． 2 2 C6 15 5 C6 15 C6 15
所以， ? 的分布列为
?P
0
1
2????????????????12 分
2 5
8 15
1 15
所以， E? ? 0 ?
2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? ． ??????????????13 分 5 15 15 3
（18） （本小题满分 13 分） 解：函数的定义域为 ? 0,??? ，
1 2 ax2 ? 2x ? a ． ???????????????????1 分 )? ? 2 x x x2 1 （Ⅰ）当 a ? 2 时，函数 f ( x

) ? 2( x ? ) ? 2ln x ， f (1) ? 0 ， f ?(1) ? 2 ． x f ?( x) ? a(1 ?所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) ，7
即 2 x ? y ? 2 ? 0 ．???????????????????????????3 分 （Ⅱ）函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ． （1）当 a ? 0 时， h( x) ? ax2 ? 2x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立， 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立，此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减． ?????4 分2 （2）当 a ? 0 时， ? ? 4 ? 4a ，
（ⅰ）若 0 ? a ? 1 ， 由 f ?( x) ? 0 ，即 h( x) ? 0 ，得 x ?
1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? ； ??????5 分 a a
由 f ?( x) ? 0 ，即 h( x) ? 0 ，得
1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ．?????????6 分 ?x? a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) ， a a??????????????7 分
所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,
单调递减区间为 (
1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , )． a a
（ⅱ）若 a ? 1 ， h( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立，则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立，此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上 单调递增． ????????????????????????8 分 （Ⅲ） ）因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ， 则 ax0 ? 2ln x0 ，等价于 a ?
2 ln x0 .???????????????????9 分 x0
令 F ( x) ?
2 ln x ，等价于“当 x ? ?1,e? 时， a ? F ? x ?min ”. x2(1 ? ln x) . x2?????????????????10 分
对 F ( x) 求导，得 F ?( x) ?
因为当 x ? [1, e] 时， F ?( x) ? 0 ，所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. ?????12 分 所以 F ( x)min ? F (1) ? 0 ，因此 a ? 0 . 另解：设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? 2ln x ，定义域为 ? 0,??? ， ????????????????13 分
F? ? x? ? a ?
2 ax ? 2 ? . x x8
依题意，至少存在一个 x0 ? [1,e] ，使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立， 等价于当 x ? ?1,e? 时， F ? x ?max ? 0 . （1）当 a ? 0 时， ???????????????9 分
F ? ? x ? ? 0 在 ?1,e? 恒成立，所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减，只要 F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ，则不满足题意. ??????????????????????????10 分
（2）当 a ? 0 时，令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? （ⅰ）当 0 ?
2 . a
2 ? 1 ，即 a ? 2 时， a
在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ，所以 F ? x ? 在 ?1,e? 上单调递增， 所以 F ? x ?max ? F ? e? ? ae ? 2 ， 由 ae ? 2 ? 0 得， a ? 所以 a ? 2 . （ⅱ）当
2 ， e
???????

???????????????????11 分
2 2 ? e ，即 0 ? a ? 时， a e
在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ，所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减， 所以 F ? x ?max ? F ?1? ? a ，
2 .?????????????????????????12 分 e 2 2 （ⅲ）当 1 ? ? e ，即 ? a ? 2 时， a e 2 2 在 [1, ) 上 F ? ? x ? ? 0 ，在 ( , e] 上 F ? ? x ? ? 0 ， a a 2 2 所以 F ? x ? 在 [1, ) 单调递减，在 ( , e] 单调递增， a a由a ? 0得0 ? a ?
F ? x ?max ? 0 ，等价于 F ?1? ? 0 或 F ? e ? ? 0 ，解得 a ? 0 ，所以，
2 ?a?2. e???????????????13 分
综上所述，实数 a 的取值范围为 (0, ??) .
（19） （本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ）当 m ? 0 时，直线 l 的方程为 x ? 1 ，设点 E 在 x 轴上方，
9
? x2 y 2 2 2t 2 2t ? 1, 4 2t ? ? 由? 9 解得 E (1, . ), F (1, ? ) ,所以 EF ? t 3 3 3 ? x ?1 ?因为△ AEF 的面积为
1 4 2t 16 ? 4? ? ，解得 t ? 2 . 2 3 3???????????????????4 分
所以椭圆 C 的方程为
x2 y 2 ? ?1. 9 2
? x2 y 2 ? 1, ? ? （Ⅱ）由 ? 9 得 (2m2 ? 9) y 2 ? 4my ? 16 ? 0 ，显然 m ? R .???????5 分 2 ? x ? my ? 1 ?设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?
?4m ?16 , y1 y2 ? ，??????????????????6 分 2 2m ? 9 2m 2 ? 9
x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 .y1 ? ( x ? 3), y1 6 y1 ?y ? x1 ? 3 又直线 AE 的方程为 y ? 解得 M (3, ( x ? 3) ，由 ? )， x1 ? 3 x1 ? 3 ? x?3 ?同理得 N (3,
???? ? 6 y1 ???? 6 y2 6 y2 ) .所以 BM ? (2, ), BN ? (2, ) ,????????9 分 x1 ? 3 x2 ? 3 x2 ? 3 6 y1 6 y2 ) ? (2, ) x1 ? 3 x2 ? 3
又因为 BM ? BN ? (2,
???? ??? ? ?
? 4?
36 y1 y2 36 y1 y2 ? 4? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4)
?
4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16
?
?16(4m2 ? 36) ? 16 ? 4m2 ? 16 ? 4(2m2 ? 9) ?32m2 ? 16(2m2 ? 9)
?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ? 0 .??????????13 分 ? 9所以 BM ? BN ,所以以 MN 为直径的圆过点 B . ?????????????14 分 （20） （本小题满分 13 分）10
???? ?
????
证明： （Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变. 可设 1 在第一行第一列，考虑与 1 同行或同列的两个数只有三种可能， 2, 3 或 2, 4 或 3, 4 . 得到数表的不同特征值是 （Ⅱ）当 n ? 3 时，数表为
3 4 或 . 2 37 5 3 1 8 6 4 2 9
????????????3 分
此时，数表的“特征值”为 . 当 n ? 4 时,数表为 13 10 7 4
4 3
?????????

???????????4 分 1 14 11 8 5 2 15 12 9 6 3 16
此时，数表的“特征值”为
5 . 421 17 13 9 5
?????????????????????5 分 1 22 18 14 10 6 2 23 19 15 11 7 3 24 20 16 12 8 4 25
当 n ? 5 时,数表为
此时，数表的“特征值”为 猜想“特征值”为
6 . ??????????????????????6 分 5???????????????????????7 分
n ?1 . n2
（Ⅲ）对于一个数表而言， n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表2 2
的同一行（或同一列）中，要么这 n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中. ①当 n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数， 至少有两个数在数表的同一行 （或同一列） 中时， a , b 设2 2 2
（ a ? b ）为该行（或列）中最大的两个数，则 ? ?
a n2 ? 2 ， b n ? n ?1
因为
n2 n ? 1 n3 ? (n3 ? 1) 1 ? ? ?? ? 0, 2 2 2 n ? n ?1 n n(n ? n ? 1) n(n ? n ? 1)????????????????10 分
n2 n ?1 n ?1 ? . 所以 2 ，从而 ? ? n n ? n ?1 n2 2 2
②当 n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时，2 2 当它们中的一个数与 n ? n 在同行（或列）中，设 a 为与 n ? n 在同行、同列中的两个最大数中的较
11
a n2 ? 1 n ? 1 ? ? 小的一个.则有 ? ? 2 . n ? n n2 ? n n综上可得 ? ?
n ?1 . n
????????????????????????13 分
12


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