浅谈博弈论在数学和经济中的应用

浅谈博弈论在数学和经济学中的应用

彭秋迪

（经济学院 金融工程专业0911747）

摘要：现代经济学与数学有着千丝万缕的关系，博弈论作为应用数学的一个分支更是对现代经济学发展有着深刻影响。本文简要探讨了博弈论中体现的数学思想以及博弈论在数学与经济学中的应用。

关键词：博弈论；数学；经济学

在现代经济学的发展中，数学与经济学结下了不解之缘。作为经济学的研究对象，人的行为变化莫测，具有很大的不确定性；由人的行为所产生的经济关系变化错综复杂，极大地增加了经济研究的难度。因此，经济学家不得不借助数学方法分析人的行为的本质特征，揭示经济系统运行的内在规律。数学方法在经济学中的应用渗透到了几乎所有经济学的分支学科领域，尤其是经济学的研究方法中，而博弈论是对现代经济学的发展产生意义深远影响的一种重要方法。

博弈论又名“对策论”，“赛局理论”，是一种以数学为基础、研究对抗冲突中最有解决问题的方法。对于博弈论的研究，开始于策墨洛(Zermelo,1913)，波雷尔(Borel,1921)及冯·诺伊曼(von Neumann, 1928)，后来由冯·诺伊曼和奥斯卡·摩根斯坦(von Neumann and Morgenstern，1944，1947)首次对其系统化和形式化（参照Myerson, 1991）。随后约翰·福布斯·纳什(John Forbes Nash Jr., 1950, 1951)利用不动点定理证明了均衡点的存在，为博弈论的一般化奠定了坚实的基础。由于在经济学中的广泛应用，经济学家们吧博弈论视为经济分析的最合适的工具之一。到20世纪90年代，博弈论已融入主流经济学，用博弈论方法分析问题成为一种时髦。1994年，诺贝尔经济学奖授予三位博弈论专家：纳什、泽尔腾和海萨尼，表明了博弈论在主流经济学中的地位及其对现代经济学的影响和贡献。 应用举例

在博弈论中，含有占优战略均衡的一个著名例子是由塔克给出的“囚徒困境”（prisoners’ dilemma）博弈模型。该模型用一种特别的方式为我们讲述了一个警察与小偷的故事。假设

有两个小偷A和B联合犯事、私闯民宅被警察抓住。警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如果两个犯罪嫌疑人都坦白了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪，各被判刑8年；如果只有一个犯罪嫌疑人坦白，另一个人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪（因已有证据表明其有罪）再加刑2年，

而坦白者有功被减刑8年，立即释放。如果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但可以用私闯民宅的罪名将两人各判入狱1年。表1给出了这个博弈的支付矩阵。

表1 囚徒困境博弈 [Prisoner's dilemma]

A╲B 坦白 抵赖 坦白 -8，-8 -10，0 抵赖 0，-10 -1，-1 我们来看看这个博弈可预测的均衡是什么。对A来说，尽管他不知道B作何选择，但他知道无论B选择什么，他选择“坦白”总是最优的。显然，根据对称性，B也会选择“坦白”，结果是两人都被判刑8年。但是，倘若他们都选择“抵赖”，每人只被判刑1年。在表1中的四种行动选择组合中，（抵赖、抵赖）是帕累托最优的，因为偏离这个行动选择组合的任何其他行动选择组合都至少会使一个人的境况变差。不难看出，“坦白”是任一犯罪嫌疑人的占优战略，而（坦白，坦白）是一个占优战略均衡。所以，两人合理的选择是坦白，原本对双方都有利的策略（抵赖）和结局（被判1年刑）就不会出现。这样两人都选择坦白的策略以及因此被判5年的结局被称为“纳什均衡”，也叫非合作均衡。因为，每一方在选择策略时都没有“共谋”（串供），他们只是选择对自己最有利的策略，而不考虑社会福利或任何其他对手的利益。也就是说，这种策略组合由所有局中人（也称当事人、参与者）的最佳策略组合构成。没有人会主动改变自己的策略以便使自己获得更大利益。“囚徒的两难选择”有着广泛而深刻的意义。个人理性与集体理性的冲突，各人追求利己行为而导致的最终结局是一个“纳什均衡”，也是对所有人都不利的结局。

还有一道比较著名的博弈论问题：海盗分金

5 个海盗抢到了100 枚金币，每一枚都一样且价值连城。他们决定这么分：抽签决定自己的号码（1，2，3，4，5）。首先，由1 号提出分配方案，然后5人表决。当且仅当半数和超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海。若1号死掉，则由2 号提出分配方案，然后4 人表决，当且仅当半数和超过半数的人同意时，按照他的提案分配，否则将被扔入大海。以此类推，??。假定每个强盗都是经济学假设的“理性人”，都能很理智的判断得失，做出选择。为了避免不必要的争执，我们还假定每个判决都能顺利执行。那么，如果你是第1 个强盗，你该如何提出分配方案才能够使自己的收益最大化？ 分析：在这个题目中，我们主要运用到了模型化和逆向思维的数学思想。

具体的解决过程如下：首先，我们将题目中的重要信息筛选出来，使之成为一个简易的模型。 条件：（1）方案当且仅当半数和超过半数的人同意时通过；（2）每个人都是理性人，也就是说每个人都会在追求最大利益的同时争取保住性命而不会故意谋害其他人。

结果：（1）保住性命；（2）争取最大利益。

第二步：我们知道了条件，也知道了目的，就开始进行逻辑分析。按照正常的思维顺序， 我们会把每一个方案带入条件，验证成立，并从中找到最优选择。但是我们发现由于有5个人，我们需要作很多假设，并从中删去不满足条件的，再求最值，这是非常困难的。于是我们想到数学思维中的“正难则反”，不妨从第5 个人的思路考虑，这是因为当只剩第五人时情况最为简单，而如果我们把第5个人的情况分析清楚就能从易到难的逐个分析多一人的情况，那么我们要考虑的情形也要少得多。 第三步：逐一分析：

（1）显然5 号是最不合作的，因为他没有被扔下海的危险。扔下去的人越多，对他越 有利。

（2）4 号正好相反，它生存的机会完全取决于前面还有人活着，因此如果只剩下三个人，4 号一定会全力支持3 号。

（3）3号知道了4号的策略，就会提出（100，0，0）的策略，因为他知道即使一无所有，4 号也一定会同意，加上自己的一票他的方案可通过。

（4）作为2 号，他知道了3 号的策略，就会提出（98，0，1，1）的策略，即放弃3号，而给予4 号和5号各一枚金币。由于该方案对于4 号和5 号来说比在3 号分配时更为有利，他们就会支持他。

（5）作为1 号，他洞悉了2号的方案，所以会提出（97，0，1，0，2）或（97，0，1，2，0）的方案，即放弃2 号，而给3号一枚金币，同时给4 号或5 号两枚金币。这样他的方案对于3 号、4 号（或5 号）要优于2 号的方案，将得到三票支持从而通过。这样他也就能够得到最多的97 枚金币。

注：这里，存在4 号提出（0，100）的方案，但通过类似分析可知，不影响结果。

以上列出的是两个著名的博弈论问题，分析这两个问题时运用了不同的数学分析方法纳什均衡和逆向思维。在《博弈论的诡计》一书中还提到了诸如：人质困境、酒吧博弈、枪手博弈、猎鹿博弈、智猪博弈等问题，分别从不同的方面入手解决了博弈论的问题。博弈的分类根据不同的基准有所不同。一般认为，博弈主要可以分为合作博弈和非合作博弈。它们的区别在于相互发生作用的当事人之间有没有一个具有约束力的协议，如果有，就是合作博弈，如果没有，就是非合作博弈。

从行为的时间序列性，博弈论进一步分为两类：静态博弈是指在博弈中，参与人同时选择或虽非同时选择但后行动者并不知道先行动者采取了什么具体行动；动态博弈是指在博弈中，参与人的行动有先后顺序，且后行动者能够观察到先行动者所选择的行动。通俗的理解：

\囚徒困境\就是同时决策的，属于静态博弈；而棋牌类游戏等决策或行动有先后次序的，属于动态博弈

按照参与人对其他参与人的了解程度分为完全信息博弈和不完全信息博弈。完全博弈是指在博弈过程中，每一位参与人对其他参与人的特征、策略空间及收益函数有准确的信息。如果参与人对其他参与人的特征、策略空间及收益函数信息了解的不够准确、或者不是对所有参与人的特征、策略空间及收益函数都有准确的准确信息，在这种情况下进行的博弈就是不完全信息博弈。

目前经济学家们现在所谈的博弈论一般是指非合作博弈，由于合作博弈论比非合作博弈论复杂，在理论上的成熟度远远不如非合作博弈论。非合作博弈又分为：完全信息静态博弈，完全信息动态博弈，不完全信息静态博弈，不完全信息动态博弈。与上述四种博弈相对应的均衡概念为：纳什均衡（Nash equilibrium），子博弈精炼纳什均衡（subgame perfect Nash equilibrium），贝叶斯纳什均衡（Bayesian Nash equilibrium），精炼贝叶斯纳什均衡

（perfect Bayesian Nash equilibrium）。

博弈论还又很多分类，比如：以博弈进行的次数或者持续长短可以分为有限博弈和无限博弈；以表现形式也可以分为一般型（战略型）或者展开型，等等。

以上只是对博弈论以及其在数学与经济学中的应用的一些简单的介绍，大家如果有兴趣不妨进一步探讨研究。通过对博弈论的认识，我进一步的了解到数学对其他学科以及整个社会生活重大影响以及推动作用。我们应该认真学习数学知识，牢固的把握住数学思想的精髓，运用理性的思维判断和逻辑分析，才能做出更好的决策，为社会做出贡献。 参考文献

《博弈论——战略分析入门》（美）罗杰·A·麦凯恩（Roger A McCain）著，原毅军等译，机械工业出版社

《博弈论与信息经济学》张维迎著，上海三联书店，上海人民出版社

《博弈论基础与应用》吴广谋，吕周洋 编著，东南大学出版社

《博弈论与经济模型》（美）克雷普斯著，邓方译，商务印书馆

《博弈论的诡计》王春永 著，中国发展出版社

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