大庆师范学院数学与应用数学初等数论试题2答案

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大庆师范学院2010级数学与应用数学专业

《初等数论》期末试卷标准答案及评分细则

二、判断题（每小题2分，共10分）

1． 当p 4m 1时，

1

p =-1 ． （ × ）

2． 集合 7,12,17,22,27,32 不是模6的一个完全剩余系． （ × ） --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3．875×935×872×（ ），要使这个乘积的最后四个数都是零，（ ）内最小应填什么 自然数2． （ √ ）

一、填空题（每小题2分，共20分）

4．15x5

60x4

2x3

x2

x 1 0 mod3 成立． （ × ）

1． 已知正整数a与1512的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是__42_____． 5．分数

1

24

可以化成混循环小数． （ √ ） 2．同余式4x 6

mod10 的解是．

三、单项选择题: （每小题2分，共14分） 3．分数

8n 521n 138n 5n 3，5n 3

中必为既约分数的是____5

5n

3

_________

4． 288．

1．500!的标准分解式中7的幂指数是（ D ）．

A． 79； B． 80； C． 81； D． 82． 2．以下各组数中，成为模10的简化剩余系的是（ D ）．

A．1，9，－3，－11； B．1，－1，7，9； C．5，7，11，13；D.－1，1，－3，3．

( B ) ．

3．所有正约数的个数为21的正整数中最小的一个是A．16； B．576； C．2916；

D．360．

4．m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( C )

A．m n 3 ； B．m 2n 5； C．2m n 1

2 ； D．m n 0．

5．模7的平方剩余为( C ) ．

A． 1，2，3，4，5，6；B．1，2，3； C．1，2，4；

D．4，5，6．

6．下列同余式组无公根的是( B ) ．

A． x 7(mod15) x 4(mod12) x 7(mod12) y 3(mod11)

x 4(mod6)；B． y 2(mod8)；C． ；D． x 9(mod20) ．

y 5(mod7)

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大庆师范学院2012——2013学年第二学期《初等数论》期末试卷

2x y z 100L 1

3．求下列不定方程组的正整数解： （8分）.

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四、计算题（共38分）

1．求477385除以19的余数．（6分）

解：∵ 47,19 =1， 19 =18，∴4718≡1（mod19）．-----------------------2分 ∴477385= 4718

410

475≡475≡95≡ 92 2

×9≡16（mod19）．---------------2分

∴477385除以19的余数为16．----------------------------------------------2分 2．用二数余一，用五数余三，用七数余二，用九数余三，问本数．（8分）

x 1 mod2

解：设本数为x，根据题意有 x 3 mod5 x 2 mod7 ，

x 3 mod9

∵2，5，7，9两两互质，∴可用孙子定理求解．------------------------------2分

m 2 5 7 9 630，M1 5 7 9 315，M2 2 7 9 126，

M3 2 5 9 90；M4 2 5 7 70；-------------------------------------2分

由315M////

1 1(mod2)，得M1=1；由126M2 1(mod5)，得M2=1；

由90M/

/

/

/

3 1(mod7)，得M3=6；由70M4 1(mod9)，得M4=4．------------2分

∴ x 315×1×1＋126×1×3＋90×6×2＋70×4×3 2613 93(mod630)． ∴本数为93＋630t t N ．--------------------------------------------------2分

3x 5y 15z 270L 2

解：消去y得7x 10z 230，---------------------------------------------2分

通解为 x 30 10t

z 2 7t

t Z ，

代入（1）中得y 42 27t，

x 30 此方程组通解为

10t y 42 27t t Z ．---------------------------------2分

z 2 7t

30 10t 0

t 3

令 42 27t 0得 t 42

∴2<t<42 t Z ， ∴t 2 7t 0

27727=1．-----------------2分

2

t 7 x 40

∴原方程组的正整数解为

y 15．------------------------------2分

z 54． 求以3为平方剩余的质数p的一般表达式．（8分）

3 1p 1

p 1解：∵ 3 1 22

p =

p 1

2

p

3

= 3

=1，

∴ 1 p 1

1 p 1 2 1 2 1 p 或 3

1

p 3 ，-----------------------------------------2分

1解得

p 1(mod4)p 1(mod3)或 p 1(mod4)

1(mod3)

，-----------------------------------2分

p 即p≡1（mod12）或p≡－1（mod12）．------------------------------2分

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大庆师范学院2012——2013学年第二学期《初等数论》期末试卷

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5． 求解同余方程：x3

x 5 0(mod15)．（8分）

解：原方程等价于 x3 x 5 0(mod3)LL(1)

x3 x 5 0(mod5)LL(2)，--------------------------------2分

经验证可知（1）的解为x 1(mod3)，（2）的解为x 0,2,3(mod5)．--------------2分

下面解同余式组

x 1(mod3)

x b(mod5),(b 0,2,3)

，

利用孙子定理可知x 10 6b(mod15)(b 0,2,3)，--------------------------------2分 所以原同余方程的解为x 10,7,13(mod15)(b 0,2,3)．----------------------------2分

五、证明题（每小题9分，共18分）

1．如果二元一次不定方程ax by c…（1）有整数解 x x0

y y，并且 a,b d，

0a a x x0 b1t

1d，b b1d，那么此方程的一切解可以表示成

（t

y y0 a是整数）．…（2） 1t证明：先证（2）是（1）的解．

因为 x0,y0 是（1）的解，所以ax0 by0 c．…（3）------------------------1分 将（2）代入（1），有

a x0 b1t ＋b y0 a1t ax0 by0 ab1 a1b t

c a1b1 a1b1 dt c．

所以（2）是（1）的解．------------------------------------------------------------------------------2分 下面证明（2）包含了（1）的全部解．

设x1,y1是（1）的任一解，则ax1 by1 c．…（4）

（4）—（3）得a x1 x0 b y1 y0 0．从而有a x1 x0 b y1 y0 .

因为a a1d，b b1d， a,b d 0，所以a1 x1 x0 b1 y1 y0 …（5）------2分 根据 a1,b1 1，可知b1 x1 x0 ．由此推出x1 x0 b1t（t是整数），

即 x1 x0 b1t．-------------------------------------------------------------------------------------------2分

从而有axx x1 x0 b1t

1 0 b1t 0 b y1 y0 ，所以y1 y0 a1t，即 （t y1

y0 a是整数）.

1t这表明（1）的任一解均可表成（2）的形式．---------------------------------------------------------2分 2． 设a,b,c都是奇数，证明方程ax2

bx c 0无有理根．

证明：假设方程有有理根，令其为

q

p

（ p,q 1），则p,q一奇一偶或同奇． 2

∵ q

q p是根，∴a p b q p

c 0，即aq2 bpq cp2 0．-----------------3分 (1)

若p,q同奇，∵a,b,c均为奇数，∴aq2

,bpq,cp2

，aq2

bpq cp2

均为奇数，而0是偶数，此时aq2

bpq cp2

0．-----------------------------------3分

(2)

若p,q一奇一偶，不妨令p是奇数，q是偶数，∵a,b,c全是奇数，

∴cp2

是奇数，aq2

,bpq是偶数，则aq2

bpq cp2

为奇数， 此时aq2

bpq cp2

0，当p是偶数，q是奇数时同理可证．

综上所述，结论成立．------------------------------------------------------------------------------3分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a2e1.html