大学物理（科学出版社，熊天信、蒋德琼、冯一兵、李敏惠）第七、

第七章 气体动理论

7–1 一定量的理想气体，在保持温度T不变的情况下，使压强由P1增大到P2，则单位体积内分子数的增量为_________________。

解：由P?nkT，可得单位体积内分子数的增量为

?n??PP2?P1 ?kTkT7–2 一个具有活塞的圆柱形容器中贮有一定量的理想气体，压强为P，温度为T，若将活塞压缩并加热气体，使气体的体积减少一半，温度升高到2T，则气体压强增量为_______，分子平均平动动能增量为_________。

解：设经加热和压缩后气体的压强为P?，则有

PVP??V/2 ?T2T所以

P??4P

压强增量为

?P?P??P?3P

由分子平均平动动能的计算公式??33kT知分子平均平动动能增量为kT。 227–3 从分子动理论导出的压强公式来看，气体作用在器壁上的压强，决定于 和 。

解：由理解气体的压强公式P?的平均平动动能?k”。

7–4 气体分子在温度T时每一个自由度上的平均能量为 ；一个气体分子在温度T时的平均平动动能为 ；温度T时，自由度为i的一个气体分子的平均总动能为 ；温度T时，m/M摩尔理想气体的内能为 。

2n?k，可知答案应填“单位体积内的分子数n”，“分子3mi13i解：kT；kT；kT；RT

M22227–5 图7-1所示曲线为处于同一温度T时氦（原子量4）、氖（原子量20）和氩（原子量40）三种气体分子的速率分布曲线，其中

曲线（a）是__________气分子的速率分布曲线； 曲线（c）是__________气分子的速率分布曲线。 解：在相同温度下，对不同种类的气体，分子质量大的，速率分布曲线中的最慨然速率vp向量值减小方向迁移。可得图7-1中曲线（a）是氩气分子的速率分布曲线，图7-1中曲线（c）是氦气分子的速率分布曲线。

O 图7-1

v f(v) （a） （b） （c） 7–6 声波在理想气体中传播的速率正比于气体分子的方均根速率。声波通过氧气的速率与通过氢气的速率之比为 。设这两种气体都为理想气体并具有相同的温度。

解：由理想气体的方均根速率公式可得声波通过氧气的速率与通过氢气的速率之比为

vO2vH2

?mH2mO264

?1 47–7 关于温度的意义，有下列几种说法，不正确的是[ ]。 A．气体的温度是分子平均平动动能的量度

B．气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义 C．温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同 D．从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度

解：温度是气体分子平均平动动能的量度，表征大量分子无规则运动的剧烈程度，对于单个分子而言，不能谈其温度，故答案应选（D）。

7–8 理想气体的内能是状态的单值函数，下面对理想气体内能的理解错误的是[ ]。 A．气体处于一定状态，就具有一定的内能 B．对应于某一状态的内能是可以直接测量的

C．当理想气体的状态发生变化时，内能不一定随之变化 D．只有当伴随着温度变化的状态变化时，内能才发生变化

解：对理理想气体来说，内能是温度的单值函数，只有当理想气体的温度发生变化时，内能才会改变，当理想气体的状态确定时，即P、V、T有确定的值，内能有确定的值。如果只有P、V改变，虽然理想气体的状态发生了改变，只要温度不变，如等温过程，理想气体的内能也不会发生变化。内能是分子中各种形式的动能（平动动能、转动动能、振动动能）和分子间、分子内各原子间相互作用的势能的总和，因此内能不能直接测量，但可通过做功和传热来测量内能的改变。故答案应选（B）。

7–9 水蒸汽分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几？（不计振动自由度）[ ]

A．66.7％ B．50％ C．25％ D．0

解：因2H2O?2H2?O2，所以，2摩尔的水分解成2摩尔的氢气和1摩尔的氧气。由

iU??RT，可得

2UH2O?UH2?UO2?所以内能的增量为

?U?6?2?RT 25?2?RT 25?1?RT 2(UH2?UO2)?UH2O15?12??25%

UH2O12故答案应选（C）。

7–10 已知分子总数为Ｎ，它们的速率分布函数为f(v)，则速率分布在v1~v2区间内的分子的平均速率为[ ]。

v2

A．

?v1v2vf(v)dv B．

?v1vf(v)dv?v1

v2

C．

f(v)dv

?v1v2Nvf(v)dv D．

?v1vf(v)dvNv2

解；按照平均速率的定义，速率分布在v1~v2区间内的分子的平均速率应为在这区间

65

内的分子的速率之和除以此区间内的分子数，因此应为

v??v1v2v2Nvf(v)dv?Nf(v)dv?v1vf(v)dv?v1v2v2

?v1故答案应选（B）。

f(v)dv7–11 容积恒定的容器内盛有一定量某种理想气体，其分子热运动的平均自由程为?0，平均碰撞频率为Z0，若气体的热力学温度降低为原来的1/4倍，则此时分子平均自由程?和平均碰撞频率Z分别为[ ]。

A．?＝?0，Z＝Z0 B．?＝?0，Z＝

1Z0 21Z0 28kT，当气体的温度降πmC．?＝2?0，Z＝2Z0 D．?＝2?0，Z＝

解：由P?nkT，当气体的温度降低为原来的1/4倍时，气体的压强也降低为原来的1/4倍，再由??kT2πd2P知，气体的平均自由程不发生变化。因v??低为原来的1/4倍时，气体的平均速率降为原来的1/2，由z?2πd2vn知分子平均碰撞频率降为原来的1/2。综上，正确答案应选（B）。

7–12 一滴露水的体积大约是6.0×10–7cm3，它含有多少个水分子？如果一只极小的虫子，每秒喝进1.0×107个水分子，需要多少时间才能喝完这滴露水？

解：体积V=6.0×10–7cm3的水，它的质量为

m??V?1.0?103?6.0?10?7?10?6?6.0?10?10kg

水分子总数为

m6.0?10?10N?NA??6.02?1023?2.0?1016个

Mmol18?10?3虫子喝完这滴露水所花的时间为

N2.0?1016t???2.0?109s?63.4年

n1.0?1077–13 设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当作是均匀的。若此理想气体的压强为1.35×1014Pa。试估计太阳的温度。（已知氢原子的质量mH=1.67×10-27kg，太阳半径Rs=6.96×108m，太阳质量Ms=1.99×1030kg。）

解：太阳上氢原子的粒子数密度为

1.99?1030n?NMs/mH1.67?10?27???8.44?1029/m3

434VπRs?3.14?(6.96?108)333太阳的温度为

P1.35?1014T???1.16?107K

nk8.44?1029?1.38?10?237–14 一密闭的气缸被活塞分成体积相等的左、右两室，气缸壁与活塞是不导热的，它

66

们之间没有摩擦，两室的温度相等，如图7-2所示。用右室中的电热丝对右室中的气体加热一段时间，达到平衡后，左室的体积变为原来的3/4，气体的温度为T1=300K，求右室气体的温度?

解：设加热前，左室气体的体积为V0，温度为T0，压强为P0。加热后，气体的体积为V1，温度为T1，压强为P1，则有

P1V1?P0V0 （1） T1T0左 右 由题意知，加热前右室气体的体积、压强和温度也分别为V0、P0和T0，若加热后变为V2、P2和T2，则有

图7-2

P2V2P0V0? （2） T2T0由题意知

315P1?P2，V1?V0，V2?V0?V0?V0

444代入（1）式和（2）式得

55T2?T1??300K?500K

337–15 活塞把密闭气缸分成左、右两个气室，每室各与U形管压强计的一臂相连。压强计的两臂截面处处相同。U形管内盛有密度为ρ=7.5×102kg/m3的液体。开始时左、右两气室的体积都为V0=1.2×10-2m3，气压都为P0=4.0×103Pa，且液体的液面处在同一高度，如图7-3所示。现缓缓向左推进活塞，直到液体在U形管中的高度差h=40cm。求此时左、右气室的体积V1、V2。假定两气室的温度保持不变。计算时可以不计U形管和连接管道中气体的体积。取g=10m/s2。

解：以P1、V1分别表示压缩后左室气体的压强和体积，P2、V2分别表示这时右室气体的压强和体积。P0、V0分别表示初态两室气体的压强和体积，则有

P1V1?P0V0 （1） P2V2?P0V0 （2） V1?V2?2V0 （3） P1?P2??P??gh （4）

左 右 联立解以上4个方程得

2V12?2(P0??P)V0V1/?P?2P0V0/?P?0 （5）

图7-3

解方程并选择物理意义正确的解得到

2V0(P0??P)?P0??P2 V1??P代入数值，得

V1?8.0?10?3m3

V2?2V0?V1?1.6?10?2m3

7–16 如图7-4，圆筒固定在水平地面上，内壁光滑，筒内的横截面积为S，轻质活塞

67

系于劲度系数为k的轻弹簧下端，弹簧的上端固定。开始时刻，活塞下方的密闭气柱高为h，温度为T0，压强等于外界大气压强P0。若使气体的温度缓慢升高，求气体温度增加到多大时，其压强为2P0。

解：设筒内气体的压强为P=2P0时，体积为V，温度为T。当筒内压强增加到2P0时，

PS作用于弹簧的力为F?P0S?k?x，所以弹簧将被压缩?x?0，筒内气体的体积增加为

kP0S2V?V0?S?x?V0?

k由

2?P0V0PV2P0?PS0?V?? ??0?T0TT?k??得压强为2P0时气体温度为

k P0 T0 h 2TT?0V02??PS??V?P0S??2T0??h?0? 0?h?k?k???图7-4

7–17 容积为20.0L的瓶子以速率u=200m/s匀速运动，瓶中充有质量为100g的氦气。设瓶子突然停止，且气体分子全部定向运动的动能都变为热运动动能。瓶子与外界没有热量交换，求热平衡后氦气的温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？

解：设氦气分子的质量为m，100g的氦气的分子数为N，则瓶中氦气分子定向运动的

1动能为N?mu2，氦气分子全部定向运动的动能都变为热运动动能后，气体内能增量为

2i（i=3） ?U?N?k?T，

2由能量守恒得

iR1i?T N?mu2?N?k?T?N?2NA22由上式得

NAmu2Mmolu2?T??= 6.42K

iRiR由PV?MRT，得压强增量为 Mmol?P?MR?T= 6.67?104 Pa

MmolVMi?R?T?2000J Mmol2内能的增量为

?U?氦分子的平均平动动能增量为

??k?ik?T?1.33?10?22J 27–18 假设一球形容器（半径为R）内装有理想气体分子，试推导出其压强公式为

1P?nmv2，n为数密度，m为分子质量。

3

68

解：如图7-5所示，设气体分子入射到器壁时与器壁法线方向的夹角为?。由完全弹性碰撞，可知单个分子碰撞前后的速率不变，分子碰撞器壁的反射角等于入射角。

每次碰撞，单个分子作用于器壁后，沿器壁法向分量动量的改变量等于2mvicos?。

R O v ? ? v P vi单位时间内单个分子与器壁的碰撞次数为次。

2Rcos?单位时间内单个分子作用于器壁的冲量vimvi22mvico?s?。

2Rco?sR图7-5

对全部分子，单位时间内的总冲量也即总作用力为壁的压强为

?imvi2m?RR?vi2。所以作用于器

iP?vi2?mR4πR2i?1Nmi334πR/3N?vi21?nmv2 37–19 一个贮有氮气的容器以速率V0?200m/s运动，若该容器突然停止。试求容器中的氮气的温度和速率的平方平均值的变化（设容器绝热）。

解：设氮气的质量为M，摩尔质量为Mmol。视氮气分子为刚性。氮气随容器突然停止后，通过氮气分子与器壁及氮气分子之间的不断碰撞，把全部氮气分子定向运动的动能

12（机械能）转化为氮气分子无规则运动的热能，即氮气的内能，在达到平衡时，平MV02均说来，这些能量也按自由度均分。因此有

?E?M512R?T?MV0 （1）

Mmol22由此得

2MmolV02.8?10?2?2002?T???27K

5R5?8.31即氮气的温度升高27K。

2和2分别表示容器停止前、后氮气分子热运动速率的平方平均值，m为氮分子的设v1v2质量，由分子的平均平动动能与温度的关系得

12123mv2?mv1?k?T （2） 222由（1）、（2）两式联立求解，并将Mmol?NAm，R?NAk代入，整理后得

22323v2?v1?V0??2002?2.4?104m2/s2 55上式表明：双原子刚性分子速率平方的平均值的增量等于该容器定向运动速率平方的表示定向运动动能的

3。即532转换为分子的平均平动动能，其余则转换为分子转动的平均动能。 55 69

7–20 试从温度公式（即分子热运动平均平动动能和温度的关系式）和压强公式推导出理想气体的状态方程。

解：由?k?3kT，代入理想所体压强公式，得 2P?223Nn?k?n?kT?nkT?kT 332VMRNA，玻耳兹曼常数k?，MmolNA式中N为气体的分子总数，V为气体的体积。由于N?将它们代入上式，得

P?MRTMRTNA?? MmolNAVMmolVMRT Mmol即

PV?这就是理想气体的状态方程。

7–21 设分子速率的分布函数f(v)为

?Av?100?v?,f(v)??0,??v?100??v?100??SI?

求：归一化常数A的值及分子的方均根速率。

解：由归一化条件可得

?100?0所以归一化常数A为

f(v)dv?2A50v?v/3??0Av?100?v?dv?1 5?105?A?1

33?1000A?35?105

100245100vAv?100?v?dv25v?v/50v2?0??3000

10023100Av?100?v?dv50v?v/300??????v2?54.8m/s

7–22 大量粒子（N0?7.2?1010个）的速率分布函数图像如图7-6所示，试求： （1）速率小于30m/s的分子数约为多少？

（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数约为多少？ （3）所有个N0粒子的平均速率为多少？

（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率为多少？ 解：由图7-6得f(v)的函数关系为

70

?a?30v,?f(v)??a,?a?(120-v),?60(v?30)(30?v?60) (60?v?120)f(v) a （1）由归一化条件，曲线与v轴所围面积应为1，即有

O v/m/s 30 60 图7-6

90 120 1(30?120)a?1 2所以

a?速率小于30m/s的分子数为

1 75?N1??030N0f(v)dv??030N0a30vdv?1.44?1010个

11（2）当v?100m/s时，f(v)?a?。速率处在99m/s到101m/s之间的分子数约为

3225?N2?N0f(v)?v?7.2?1010?（3）所有N0个粒子的平均速率为

1?2?6.4?108个 225v??0120vf(v)dv??030v?60120aavdv?avdv?v?(120-v)dv

30603060??a3aa3???v?v2??av2?v??54m/s 900230?180?30（4）速率大于60m/s的分子的平均速率为

306060a(120-v)dv606060?80m/s v??120120af(v)dv(120-v)dv606060??120vf(v)dv?120v??7–23 证明：不管气体分子的速率分布为何种形式，它的v2不会比v小。 证明：先求(v?v)2的平均值。设速率分布函数为f(v)，则有

(v?v)2?展开（1）式，考虑到v是常量，有

?0?(v?v)2f(v)dv?0 （1）

?0?(v?v)2f(v)dv??0?(v2?v2?2vv)f(v)dv

?2?2??vf(v)dv?vf(v)dv?2vvf(v)dv 000????v2?v2?2v2?v2?v2?0 （2）

由（2）式v2?v2?0可知，v2?v，即v2不会比v小。证毕。

7–24 在压强为1.01×105Pa下，氮气分子的平均自由程为6.0×10-6cm，当温度不变时，

71

在多大压强下，其平均自由程为1.0mm。

5?6解：设Pm?0.1cm，由 1?1.01?10Pa，?1?6.0?10cm，?2?1.0m??得平均自由程为1.0mm，氮气的压强为

kT2πd2P

?16.0?10?6P2?P?1.01?105?6.06Pa 1??20.1

第八章 热力学基础

8–1 如图8-1所示，已知工质从状态A沿路径ACB变化到状态B时，吸热8.4?104J，对外做功3.2?104J。问：

（1）系统从A经D到B，若对外做功1.0?104J，则吸收热量QADB= 。 （2）系统从B经任意过程返回A，若外界对系统做功2.0?104J，则QBA= ，其方向为 。

（3）设UA=0，UD=4.2?104J，则QAD= ，QDB= 。

解：（1）由热力学第一定律，可得从状态A到状态B系统的内能改变为

P C B ?UAB?QACB?WACB?8.4?10?3.2?10?5.2?104J 所以

44A O 图8-1

D V QADB??UAB?WADB?5.2?104?1.0?104?6.2?104J （2）QBA??UBA?WBA??5.2?104?2.0?104??7.2?104J 所以是系统向外界放热。

（3）由题知

WAD?1.0?104J，?UAD?4.2?104J

所以

QAD??UAD?WAD?4.2?104?1.0?104?5.2?104J QDB??UDB?5.2?104?4.2?104?1.0?104J

8–2 压强、体积和温度都相同的氢气和氦气（均视为刚性分子的理想气体），如果它们分别在等压过程中吸收了相同的热量，则它们对外做功之比为W1:W2=__________。（各量下角标1表示氢气，2表示氦气）

解：由于氢气和氦气的压强、体积和温度都相同，由理想气体状态方程可知它们的摩尔数同，设为?。氢气是双原子分子，自由度为5，氦气是单原子分子，自由度为3。它们分别在等压过程中吸收了相同的热量后，温度的改变分别为?T1和?T2，根据理想气体等压过程中的吸热公式，有

Q1??CP1?T1??T1???CP1?T1 ??T2???CP2?T2 Q2??CP2?T2

72

式中CP1和CP2分别是氢气和氦气的定压摩尔热容量。因Q1?Q2所以有

?T1CP25?? ?T2CP17氢气和氦气吸收的热量为

W1??R?T1 W2??R?T2

所以

W1?T15?? W2?T278–3 给定的理想气体（比热容比?为已知），从标准状态（p0、V0、T0）开始，作绝热膨胀，体积增大到三倍，膨胀后的温度T＝____________，压强p＝__________。

解：由题知V?3V0，由绝热过程方程得

TV??1?T0V0??1

所以

?V?T??0??V???1??1?1?T0????3?T0

由绝热过程方程得

PV??P0V0? ?V??1?P??0?P0???P0

?3??V?8–4 一可逆卡诺热机，低温热源的温度为27oC，热机效率为40％，其高温热源温度为_______K。今欲将该热机效率提高到50％，若低温热源保持不变，则高温热源的温度应增加________K。

T解：由??1?2可得低温热源的温度为27oC，热机效率为40％时，高温热源温度

T1??T1?500K；该热机效率提高到50％，低温热源保持不变时，高温热源的温度为T1??600K，

故温热源的温度应增加100K。

*8–5 熵是______________________的定量量度。若一定量的理想气体经历一个等温膨胀过程，它的熵将___________。（填入：增加，减少，不变）

解：大量微观粒子热运动所引起的无序性（或热力学系统的无序性）；增加

*8–6 在一个孤立系统内，一切实际过程都向着___________的方向进行。这就是热力学第二定律的统计意义。从宏观上说，一切与热现象有关的实际的过程都是__________。

解；状态几率增大；不可逆的。

8–7 一定量的理想气体，从a态出发经过①或②过程到达b态，acb为等温线（如图8-2），则①、②两过程中外界对系统传递的热量Q1、Q2是［ ］

A．Q1>0，Q2>0 B．Q1<0，Q2<0 C．Q1>0，Q2<0 D．Q1<0，Q2>0

73

O 图8-2

V ② p

a c b ①

解：利用理想气体膨胀做功的几何意义，可以判断，系统从a态出发经过①或②过程到达b态，系统对外作的净功W>0，由于acb为等温线，a状态和b状态的内能相等，由热力学第一定律可知①、②两过程中外界对系统传递的热量Q1、Q2都应大于零。故选（A）。

8–8 如图8-3，一定量的理想气体，由平衡态A变化到平衡态B，则无论经过什么过程，系统必然：［ ］

A．对外作正功 B．内能增加 C．从外界吸热 D．向外界放热

解：由P–V图可知，PAVA?PBVB，即知TA?TB，故B点的内能比A点的内能大。功和热量都是过程量，始末状态确定后，不同过程，功和热量是不同的，状态A到状态B的过程不一定对外作正功，因此是从外界吸还是向外界放热也是不确定的，例如图8-4中，气体从状态A，经状态C、D、E到状态B，气体对外做功的大小等于面积CDHF的大小，外界对气体做功的大小等于图中BGHE面积的大小，改变ACDEB的过程，可使BGHE的面积大于CDHF的面积，即外界对气体做的功大于气体对外做的功；而内能是状态量只决定于始末状态，与过程无关。综上所述，只有（B）是正确的。

P P A B A B E C O 图8-3

V O F 图8-4

G D H V 8–9 如图8-5，一定量的某种理想气体起始温度为T，体积为V，该气体在下面循环过程中经过三个平衡过程：（1）绝热膨胀到体积为2V，（2）等体变化使温度恢复为T，（3）等温压缩到原来体积V，则此整个循环过程中［ ］

A．气体向外界放热 B．气体对外界作正功 C．气体内能增加 D．气体内能减少

解：由图8-5所示的P–V图可知，循环是一个逆循环，经历一个循环后，回到原来的状态时，气体对外作外作负功，系统的内能不变，因此，系统向外界放热。故答案应选（A）。

8–10 根据热力学第二定律判断下列哪种说法是正确的？［ ］

A．热量能从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体 B．功可以全部变为热，但热不能全部变为功 C．气体能够自由膨胀，但不能自动收缩

D．有规则运动的能量能够变为无规则运动的能量，但无规则运动的能量不能变为有规则运动的能量

解：热量可以从低温物体传到高温物体，只是我们需要对系统做功，比如致冷机。功可以全部变为，热也能够全部变成功，但它要对环境产生影响，如：准静态的等温膨胀过程，

74

O

绝热线 V 图8-5

2V V

P A 等温线 然而，准静态的等温膨胀过程不是一个循环永动的热机，它不满足热力学第二定律的条件。无规则运动的能量是可以变为有规则运动的能量，如气体膨胀对外做功。气体自由膨胀是从包含微观状态数少的状态到包含微观状数多的状态进行的过程，它是一个不可逆过程，根据根据热力学第二定律的统计意义，气体不能自动收缩，即从包含微观状态数多的状态自动的回到包含微观状数少的状态。综上所述，答案应选（C）。

*8–11 设有以下一些过程：

（1）两种不同气体在等温下互相混合 （2）理想气体在定容下降温 （3）液体在等温下汽化 （4）理想气体在等温下压缩 （5）理想气体绝热自由膨胀

在这些过程中，使系统的熵增加的过程是：［ ］

A．（1）、（2）、（3） B．（2）、（3）、（4） C．（3）、（4）、（5） D．（1）、（3）、（5）

解：两种不同气体在等温下互相混合、液体在等温下汽化和理想气体绝热自由膨胀都是不可逆过程，熵增加；理想气体在定容下降温和理想气体在等温下压缩，系统都向外放热，系统的熵减少。故正确答案应选（D）。

8–12 一科学探险队因船只失事流落荒岛。他们没有能源，却发现了一种惰性气体源。这种气体比空气重，其压强与温度同周围的大气相等。探险队有两个膜片，其中一个能渗透该气体，另一片只能渗透空气。试设计一个做功的热机。

解：我们要用到两个重要的定律。如果一个容器中装着气体混合物，则每种气体的分压强等于这种气体在同样温度下单独占据相同体积时的压强。压强计在混合气体中读出的是各分压强之和。如果一膜片对某一气体是可渗透的，则在膜片两侧该气体的分压强相等。我们设计这样的热机（见8–6图），对惰性气体能渗透的那张膜片B1装在管子里，这个管子把气源与活塞连通。只对空气能渗透的那张膜片B2装在活塞底部。在活塞下部是大气，大气压压强为P0，

开始时，活塞内的气体压强为P0。打开阀门Z１，关闭阀门Z2。膜片B1可渗透惰性气体。膜片两侧惰性气体的分压强将相等，于是活塞内部也有这一分压强。结果活

塞内总压强将达到2P0，活塞向下移动，活塞内气体的体积从V1增加到V2，对外做功。关闭阀门Z１可停止活塞的运动，然后打开阀门Z2，活塞内气体的压强重新回到P0，使活塞回到初始位置而不做功。

如果圆筒导热良好，且过程足够缓慢，活塞内气体的膨胀过程是等温过程，活塞内气体膨胀对外做功为

VW?RTln2

V1图8-6 P P0 Z2 惰性气体源 P0 1 Z1 P0 B2 在忽略一切损耗的理想情况下，其效率为100%，但这个做功装置所作的过程不是一个循环过程，也不是工作于两个不同的热源之间，因此它违反热力学第二定律。

8–13 如图8-7所示，两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨，处于恒定磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直。一质量为m的均匀导体细杆，放在导轨上，并与导轨垂直，

75

可沿导轨无摩擦地滑动，细杆与导轨的电阻均可忽略不计。导轨的左端与一根阻值为R0的电阻丝相连，电阻丝置于一绝热容器中，电阻丝的热容量不计。容器与一水平放置的开口细管相通，细管内有一截面为S的小液柱（质量不计），液柱将1mol气体（可视为理想气体）封闭在容器中。已知温度升高1K时，该气体的内能的增加量为5R2（R为普适气体恒量），大气压强为P0，现令细杆沿导轨方向以初速v0向右运动，试求达到平衡时细管中液柱的位移。

解：导体细杆运动时，切割磁感应线，在回路中产生感应电动势与感应电流，细杆将受到安培力的作用，安培力的方向与细杆的运动方向相反，使细杆减速，随着速度的减小，感应电流和安培力也减小，最后杆将停止运动，感应电流消失。在运动过程中，电阻丝上产生的焦耳热，全部被容器中的气体吸收。 于杆的初动能，即

图8-7

R0 v0 根据能量守恒定律可知，杆从v0减速至停止运动的过程中，电阻丝上的焦耳热Q应等

Q?12mv0 2容器中的气体吸收此热量后，设其温度升高T，则内能的增加量为

ΔU?5RΔT 2在温度升高T的同时，气体体积膨胀，推动液柱克服大气压力做功。设液柱的位移为Δl，则气体对外做功为

W?P0S?l

S?l就是气体体积的膨胀量

?V?S?l

由理想气体状态方程PV?RT，注意到气体的压强始终等于大气压P0，故有

P0?V?R?T

由热力学第一定律

Q?W?ΔU

由以上各式可解得

2mv0Δl?

7P0S8–14 一定质量的氮气，初始状态的压强为1.5atm，体积为5?10?3m3，它先等温膨胀到1atm，然后再等压冷却回复到原来的体积。试计算氮气在该过程中所作的功。

解：根据题意在P–V图上作出氮气状态变化的过程曲线，如图8–8所示。由于ab过程为等温过程，可得

PaVa?PbVb

P/atm 1.5 1 0.5 V/10-3m3

O 5 图8-8

Vb a b c 所以

PVVb?aa?7.5?10?3m3

Pb

76

ab过程中氮气对外做功为

VWab?PaValnb

Va?1.5?1.013?105?5?10?3lnbc过程中氮气对外做功为

7.5?308J 5Wbc?Pb(Vc?Vb)?1.013?105(5?10?3?7.5?10?3)??253J

氮气在题给过程（a?b?c）中所作的总功为

W?Wab?Wbc?55J

8–15 1mol理想气体，初始时压强为P1、温度为T1，然后绝热膨胀到温度为T2，之后再等温膨胀到压强为P2。试证明气体在等温膨胀过程中所吸收的热量为

?CTP?Q?RT2?Pln2?lnln1?

T1P2??R式中，CP是该气体的定压摩尔热容量，R是普适气体恒量。

?。由绝证明：设压强为P1、温度为T1，然后绝热膨胀到温度为T2时，气体的压强为P2热过程方程P??1T???C，可得

??T1?1?????P2P1 （1） ?T???2?之后再等温膨胀到压强为P2，在此等温过程中所吸收的热量为

Q?W??P2??P2PdV???P2??P2VdP???P2??P2RT2P?1dP?RT2ln2 （2）

P2P将（1）式代入（2）式整理得

?CTP?Q?RT2?Pln2?lnln1?

T1P2??R8–16 如图8-9所示，在体积为V的密闭大瓶口上插一根截面积为S的竖直玻璃管，质量为m的光滑小球置于玻璃管中作气密接触，形成一个小活塞。给小球一个上下的小扰动，求它振动的周期T。

解：当小球处于平衡位置时瓶内的压强为P＝P0+mgS，其中P0

为大气压。当它偏离平衡位置时，瓶内气体因收缩或膨胀而升温或降温，同时压强增大或减小，形成恢复力使小球上下振动。由于气体的导热性能很差，振动又较快，过程可看作是绝热的。但压强的涨落是以声速传播的，传遍整个大瓶体积所需时间远比小球振动的周期短，过程又可看作是准静态的。故PV??常量，取其微分得

S m

x x=0

V?dP??PV??1dV?0

即

V

dP???PdV V图8-9

其中dV=Sdx，dx为小球偏离平衡位置的距离。作用在小球上的回复力为

77

dF?SdP???PS2即

F??dx??dx V?PS2Vx

对小球应用牛顿第二定律，有

F???PS2Vx?md2xdt2

令

??小球运动方程为

d2xdt2?PS2mV

??2?0

可见，小球的运动是简谐振动，其周期为

T?2π??2πmV?PS2

上式中m、p、S、V已知，因而此题提供了一种通过测小球振动周期来测量γ的方法。1929年Ruchhardt用这种方法测出了空气和二氧化碳的γ值。

8–17 如图8-10所示，一金属圆筒中盛有1mol刚性双原子分子的理想气体，用可动活塞封住，圆筒浸在冰水混合物中。迅速推动活塞，使气体从标准状态（活塞位置Ｉ）压缩到体积为原来一半的状态（活塞位置Ⅱ），然后维持活塞不动，待气体温度下降至0oC，再让活塞缓慢上升到位置Ｉ，完成一次循环。

（1）试在p–V图上画出相应的理想循环曲线；

（2）若作100次循环放出的总热量全部用来熔解冰，则有多少冰被熔化？（已知冰的熔解热??3.35×105J·kg-1，普适气体常量 R=8.31J·mol-1·K-1）

P b I II 冰水混全物 Pb Pc Pa O c a Vb 图8-11

Va V 图8-10

解：（1）p–V图上循环曲线如图8-11所示，ab为绝热线，bc为等体线，ca为等温线。 （2）等体过程放热为

QV = CV (T2–T1) （1）

等温过程吸热为

78

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a2dr.html