《理论力学》(范钦珊)习题解答第1篇第1-3章

— 1 —

C

(a-2)

D R F

(a-3)

(b-1)

D

R

第1篇 工程静力学基础

第1章 受力分析概述

1－1 图a 、b 所示，Ox 1y 1与Ox 2y 2分别为正交与斜交坐标系。试将同一力F 分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。

习题1－1图

解：（a ）图（c ）：11 s i n c o s j i F ααF F +=

分力：11 cos i F αF x = ， 11 s i n j F αF y =

投影：αcos 1F F x = ， αs i n 1F F y =

讨论：?= 90°时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。 （b ）图（d ）： 分力：22)cot sin cos (i F ?ααF F x -= ，22sin sin j F ?

α

F y = 投影：αcos 2F F x = ， )cos(2α?-=F F y

讨论：?≠90°时，投影与分量的模不等。

1－2 试画出图a 和b

习题1－2图

比较：图（a-1）与图（b-1）不同，因两者之F R D 值大小也不同。

（c ） 2

2

x

（d ）

— 2 —

1－3 试画出图示各物体的受力图。

习题1－3图

B

或(a-2)

B

(a-1)

(b-1)

F Ay

(c-1) 或(b-2)

(e-1)

— 3 —

F

(a)

1－

4 图a 所示为三角架结构。荷载F 1作用在铰B 上。杆AB 不计自重，杆BC 自重为W 。试画出b 、c 、d 所示的隔离体的受力图，并加以讨论。

习题1－4

图

1－5

图示刚性构件ABC 由销钉A 和拉杆D 支撑，在构件C 点作用有一水平力F 。试问如果将力F 沿其作用线移至D 或E （如图示），是否会改为销钉A 的受力状况。

解：由受力图1－5a ，1－5b

和1－5c 分析可知，F 从C 移至E ，A 端受力不变，这是因为力F 在自身刚体ABC 上滑移；而F 从C 移至D

，则A 端受力改变，因为HG 与ABC 为不同的刚体。

(f-1) 'A

(f-2)

1

O

(f-3)

F F'F 1

(d-2)

F y

B 21

(c-1)

F A B

1

B F

Dx y

(b-2)

1

F'

(b-3)

F y

B 2 A A B

1

B F

习题1－5图

— 4 —

Ax

F

(b-3)

E D

(a-3)

B

(b-2)

(b-1)

F 'C

B

C

(c)

'Ax

F

1－6 试画出图示连续梁中的AC 和CD 梁的受力图。

习题1－6图

1－7 画出下列每个标注字符的物体的受力图，各题的整体受力图未画重力的物体的自重均不计，所有接触面均为光滑面接触。

(b)

F H

(c)

F Dx

(b)

'F

(a)

1-7d

1-7e 1-7f 1-7g

2

N

2

Cy

E

R

D

R

D

R Cy

F

By

Bx

Ax

F

F'

F

F

F

F

Cy

2

T

F

Dx

T

F'

3

T

F

Ey

F

Cy

Ex

'

— 5 —

1-7h

1-7i

1-7j

Ay

Bx

By

F

Cy

Bx

'

B

F C R

D

R G

R

F

H

R F

F

Ay

B

R

F

F

Ay

— 6 —

— 7 — 第2章 力系的等效与简化

2－1试求图示中力F 对O 点的矩。

解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ?==+=αsin )()()()(F

（b ）l F M O ?=αsin )(F

（c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF

（d ）2221sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF

2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。 解：)(2

)()(j i k i F r F M +-?+=?=F a A O m kN )(36.35)(2

?+--=+--=

k j i k j i Fa m kN 36.35)(?-=F x M

2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB

=100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ， = 30°。试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。

解：

)cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--?-=?=F D A

k j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-=

力F 对x 、y 、z 轴之矩为：

m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(?-=+-=+-=ααF x M

m N 10sin 40)(2?-=-=αF y M

m N 5.7sin 30)(2?-=-=αF z M

2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。

习题2-1图

A r A 习题2-2图 （a ）

习题2-3图

— 8 — AB r

(a)

解：

)

sin 45sin cos 45cos cos ()(k j i i F r F M θθθ+?+?-?=?=F a A O )45sin cos sin (k j ?+-=θθaF

力F 对x 、y 、z 轴之矩为：

0)(=F x M

2

30sin )(aF aF M y -

=?-==F Fa aF M z 4645sin 30cos )(=??=F

2－5 如图所示，试求力F 对A 点之矩及对x 、y 、z 轴之矩。

解：F r F M ?=AB A )(

0535

4F F d d d -k j

i = =)743(5

1k j i -+-Fd )34(5)(j i j F M +?=F d O 力F 对x 、y 、z 轴之矩为：0)(=F x M ；0)(=F y M ；Fd M z 54)(-=F

2—6

面。求这四个力偶的合力偶。

解：

4321M M M M M +++=

k j i )53()54(43241M M M M M +--+-= m N 8.1284.14?---=k j i

2－7 已知一平面力系对A （3,0），B A B ，M C =–10kN·m 。试求该力系合力的大小、方向和作用线。

解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点； 由M A = 20kN·m ，M C = -10kN·m 知F R 位于A 、C 间，且

CD AG 2=（图a ）

在图（a ）中，设 OF = d ，则

θc o t 4=d

CD AG d 2)sin 3(==+θ （1）

θθs i n )2

5.4(s i n d

CE CD -== （2） 即 θθs i n )2

5.4(2s i n )3(d d -=+ d d -=+93， 3=d F 点的坐标为（-3, 0）

合力方向如图（a ），作用线如图过B 、F 点；

习题2－4图 习题2－5图 习题2－6图 （a ） 4 3 M 1 M 2 M 3 M 4

习题2－7图

— 9 —

3

4tan =

θ 8.45

46sin 6=?==θAG

8.4R R ?=?=F AG F M A

kN 6258.420R ==

F 即 )k N 3

10

,25(R =F

作用线方程：43

4

+=x y

讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。

2－8 已知F 1 = 150N ，F 2 = 200N ，F 3 = 300N ，F =F '= 200N 。求力系向点O 的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距d 。

200

100

1

3

11

2

1F

F

F

'

解：N .64375

210145cos 32

1-=--?-=∑F F F F x

N .61615110

345sin 3

2

1-=+-?-=∑F F F F y

m N 44.2108.02.05

11.045sin )(3

1?=-?+??=∑F F F M O F

向O 点简化的结果如图（b ）；合力如图（c ），图中

N 5.466)()(22'R =∑+∑=y x F F F ，m N 44.21?=O M

合力N 5.466'

R R ==F F ，mm 96.45R

==

F M d O

2－9 图示平面任意力系中F 1 = 402N ，F 2 = 80N ，F 3 = 40N ，F 4 = 110M ，M = 2000 N·mm 。各力作用位置如图所示，图中尺寸的单位为mm 。求（1）力系向O 点简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。

F

F

F

F (0,30)

(20,20)

(20,-30)

(-50,0)

45

解：N 15045cos 421R -=--?=∑=F F F F F x x

045sin 31R =-?=∑=F F F F y y

R

(a)

习题2－8图

习题2－9图

— 10 —

N 150)()(22'R =∑+∑=y x F F F

mm N 900305030)(432?-=--+=∑=M F F F M M O O F 向O 点简化结果如图（b ）；合力如图（c ），其大小与方向为

N 150'R R i F F -== 设合力作用线上一点坐标为（y x ,），则 x y O O yF xF M M R R R )(-==F

将O M 、'R y F 和'

R x F 值代入此式，即得合力作用线方程为：mm 6-=y

2－10 图示等边三角形板ABC ，边长a ，今沿其边缘作用大小均为F P 的力，方向如图（a ）所示，求三力的合成结果。若三力的方向改变成如图（b ）所示，其合成结果如何？

解（a ）0'

R =∑=i F F

a F a F M A P P 2323=?

=（逆） 合成结果为一合力偶a F M P 23=（逆）

（b ）向A 点简化i F P 'R 2F -=（←） a F M A P 23=

（逆） 再向'A 点简化，a F M d A 43'R == 合力i F P R 2F A -=（←）

2－11 图示力系F 1 = 25kN ，F 2 = 35kN ，F 3 = 20kN ，力偶矩m = 50kN·m 。各力作用点坐标如图。试计算（1）力系向O 点简化的结果；（2）力系的合力。

解（1）向O 点简化

kN 10'R k F F =∑=i )(F M M O O ∑=

m kN )10580(20 0 00 2 3- 35- 0 00 2 2 25 0 00 2- 3 50?+-=+++=j i k j i k j i k

j i j （2）合力kN 10R k F =

设合力作用线过点)0,,(y x ，则 F F F F F F 习题2－10图 F F F

F F A 习题2－11图

— 11 — j i M k

j i 1058010

0 00 +-==O x y

5.10-=x ，0.8-=y ，0=z

合力作用线过点（-10.5，-8.0，0）。

2－12 图示载荷F P =1002N ， F Q =2002N ，分别作用在正方形的顶点A 和B 处。试将此力系向O 点简化，并求其简化的最后结果。

解：N )(100P k i F +-=

N )(200Q k j i F +--=

m

N )300200(200 200- 2000 1 1 100 0 1000 0 1 )(?-=-+-=j i k j i k

j i F O M

N )300200300('R k j i F F +--=∑=i Q P F F F r M ?+?=B A O

合力 N )300200300('R R k j i F F +--==

设合力过点（0,,y x ），则 j i M k

j i 300200300 200- 3000

-==-O y x

得 1=x ，3

2=

y ，0=z 即合力作用线过点（0,32,1）。

2－13 图示三力F 1、 F 2和 F 3的大小均等于F ，作用在正方体的棱边上，边长为a 。求力系简化的最后结果。

解：先向O 点简化，得

k F F ='R ， k j M Fa Fa O +=

因0'R ≠?O M F ，故最后简化结果为一力螺旋。

该力螺旋k F F ='R ，k M Fa =

设力螺旋中心轴过)0,,(y x O '，则

j M F r Fa O ==?'1R 即 j k j i Fa F y x = 0 00

得 a x -=，0=y ，0=z

即合成最后结果的力螺旋中心轴上一点坐标为（0,0,a -）。

习题2－12图

习题2－13图

— 12 — 2－14 某平面力系如图所示，且F 1=F 2=F 3=F 4= F ，问力系向点A 和B 简化的结果是什麽？二者是否等效？

解：（1）先向A 点简化，得

)(2R

j i F -='F ；Fa M A 2= （2）再向B 点简化，得

)(2R j i F -='F ；0=B M 二者等效，若将点B 处的主矢向点A 平移，其结果与（1）通。

2－15 某平面力系向两点简化的主矩皆为零，此力系简化的最终结果可能是一个力吗？可能是一个力偶吗？可能平衡吗？ 解：可能是一个力，也可能平衡，但不可能是一个力偶。

因为（1），平面力系向一点简化的结果为一主矢和一主矩，而由已知是：向两点简化

的主矩皆为零，即简化结果可能为（0,R ='A M F ），（0,R ='B M F ）（主矢与简化中心无

关），若0R

≠'F ，此时已是简化的最后结果：一合力'R R F F =经过A 点，又过B 点。 （2）若该主矢0R

='F ，则此力系平衡，这显然也是可能的；最后结果不可能是一力偶，因为此时主矩不可能为零，与（1）矛盾。

2－16 平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果可能是一个力吗？可能是一个力和一个力偶吗？ 解：平面汇交力系向汇交点（设为A 点）简化的结果要么是一个力，要么是平衡，若不平衡，则为过汇交点A 的一个合力，这个力再向汇交点外某点（设为B 点）简化，如果过汇交点A 的合力方向与AB 连线重合，同该汇交力系向汇交点A 以外的B 点简化，则可能是一个力；如果过汇交点A 的合力方向与AB 连线不重合，则该汇交力系向汇交点以外的B 点简化（由力平衡定理知）结果可能是一个力和一个力偶。

习题2－14图

— 13 —

F DB

CB

DB

F '(b)

习题3－3图

第3章 静力学平衡问题

3－1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。试求其中1，2，3各杆受力。

解：图（a ）：045cos 23=-?F F

F F 2

2

3=

（拉） F 1 = F 3（拉） 045cos 232=?-F F F 2 = F （受压） 图（b ）：033='=F F F 1 = 0

F 2 = F （受拉）

3－2 图示为一绳索拔桩装置。绳索的E 、C 两点拴在架子上，点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接，在点D 加一铅垂向下的力F ，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。已知α= 0.1rad.，力F = 800N 。试求绳AB 中产生的拔桩力（当α很小时，tan α≈α）。

解：0=∑y F ，F F ED =αsin αs i n F

F ED = 0=∑x F ，D B ED F F =αcos F F F D B

10tan ==α

由图（a ）计算结果，可推出图（b ）中：F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。

3－3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成，绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。桁架BC 用铰链连接于点C ，并由钢索AB 维持其平衡。重物W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点B 的滑轮，并沿直线BC 引向绞盘。长度AC = BC ，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。

3

(b-1)

习题3－1图

(a-1)

(a-2)

'

3

(b-2)

习题3－2图

F

— 14 —

习题3-5图

习题3－4图 解：图（a ）：0=∑x F ，0sin 2

cos =-??W F AB ，2

sin 2?

W F AB =

0=∑y F ，02

sin cos =---?

?AB BC F W W F

即 2

s i n

2c o s 2?

?W W W F BC ++=W W W W 2)c o s 1(c o s =-++=??

3－4 杆AB 及其两端滚子的整体重心在G 点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。对于给定的θ角，试求平衡时的β角。

解：AB 为三力汇交平衡，如图（a ）所示ΔAOG 中： βs i n l AO =， θ-?=∠90AOG β-?=∠90OAG ，βθ+=∠AGO

由正弦定理：)90sin(3)sin(sin θβθβ-?=+l

l ，)

cos 31)sin(sin θβθβ=+l 即 βθβθθβs i n c o s c o s s i n c o s s i n 3+=

即 θβt a n t a n 2= )t a n 2

1a r c t a n (θβ=

注：在学完本书第3章后，可用下法求解： 0=∑x F ，0sin R =-θG F A （1） 0=∑y F ，0cos R =-θG F B

（2） 0)(=∑F A M ，0sin )sin(3

R =++-ββθl F l

G B

（3）

解（1）、（2）、（3）联立，得 )t a n 2

1

a r c t a n (θβ=

3–5 起重架可借绕过滑轮A 的绳索将重力的大小G =20kN 的物体吊起，滑轮A 用不计自重的杆AB 和AC 支承，不计滑轮的自重和轴承处的摩擦。求系统平衡时杆AB 、AC 所受力（忽略滑轮的尺寸）。

解：以A 为研究对象，受力如图（a ） 所示，其中：F T = G 。

0=∑AB F ，030sin 30cos T =?+?-G F F AB

kN 32.7)30sin 30(cos =?-?=G F AB 0=∑AC F ，030sin 30cos T =?-?-F G F C A

kN 32.27)30sin 30(cos =?+?=G F AB

3–6图示液压夹紧机构中，D 为固定铰链，B 、C 、E 为铰链。已知力F ，机构平衡时角度如图所示，

求此时工件H 所受的压紧力。

B

F （a ）

F F EC

F N H F H 习题3-6图

（a ） （b ）

（c ）

— 15 —

(a)

B

(c)

(b)

(d)

F F Cy

F Ax

F Ay

F B 习题3-7图 （a ）

（b ）

解：以铰B 为研究对象，受力如图（a ）。

0=∑y F ，0sin =-F F BC α；α

sin F

F BC =

（1） 以铰C 为研究对象，受力如图（b ）。

0=∑x F ，02sin =-αCE CB F F ；α

2sin CB

CE F F =

（2）

以铰E 为研究对象，受力如图（c ）。

0=∑y F ，0cos =-αEC H F F ；αcos EC H F F = （3）

由于CB BC F F =；CE EC F F =，联立式（1）、（2）、（3）解得：α

2

sin 2F

F H =

3–7三个半拱相互铰接，其尺寸、支承和受力情况如图所示。设各拱自重均不计，试计算支座B 的约束力。

解：先分析半拱BED ，B 、E 、D 三处的约束力应汇交于点E ，所以铰D 处的约束力为水平方向，取CDO 为研究对象，受力如图（a ）所示。

0)(=∑F C M ，0=-Fa a F D ；F F D =

以AEBD 为研究对象，受力如图（b ）。

0)(=∑F A M ，033='-

-D

B F a aF 3aF ；F F B 2=

3－8 折杆AB 的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M 的力偶作用在折杆AB 上。试求支承处的约束力。

3—8图

— 16 —

M

(a)

F A

F C

F B

习题3-11图 （a ）

解：图（a ）：l M F F B A 2=

= 图（b ）：l

M

F F B A ==

由图（c ）改画成图（d ），则 l M

F F BD A == ∴ l

M F F BD

B == l

M

F F BD D 22=

=

3－9 齿轮箱两个外伸轴上作用的力偶如图所示。为保持齿轮箱平衡，试求螺栓A 、B 处所提供的约束力的铅垂分力。

解：ΣM i = 0，05.0125500=?++-Ay F

F Ay = 750N （↓）， F By = 750N （↑）

（本题中F Ax ，F Bx 等值反向，对力偶系合成结果无贡献。）

3－10 试求图示结构中杆1、2、3所受的力。

解：杆3为二力杆

图（a ）： ΣM i = 0 03=-?M d F

d

M F =

3 F = F 3（压）

图（b ）： ΣF x = 0 F 2 = 0 ΣF y = 0

d

M

F F ==1（拉）

3–11图示空间构架由三根不计自重的有杆组成，在D 端用球铰链连接，A 、B 和C 端则用球铰链固定在水平地板上，若拴在D 端的重物P = 10 kN ，试求铰链A 、B 、C 的反力。

解：

(a)

F By

F Ay

习题3－9图

2

F

(b)

习题3－10图

— 17 —

F A

F C F B 习题3-12图 （a ）

x y z F F C F A F B F B F D （c ） （d ） O

取铰D 为研究对象，受力如图（a ）。

0=∑x F

，045cos 45cos =?-?A B F F ；A B F F = （1） 0=∑y F

，030cos 45sin 215cos =??-?-A C F F （2） 0=∑z F ，030sin 45sin 215sin =-??-?-P F F A C （3）

联立式（1）、（2）、（3）解得：39.26-==A B F F kN ，46.33=C F kN

3–12 图示空间构架由三根不计自重的有杆组成，在O 端用球铰链连接，A 、B 和C 端则用球铰链固定在水平地板上，若拴在O 端的重物P =10kN ，试求铰链A 、B 、C 的反力。

解：

取铰O 为研究对象，受力如图（a ）。

0=∑x F

，045cos 45cos =?-?C B F F ；C B F F = 0=∑z F

，045cos =-?-P F A ；kN 14.142-=-=P F A 0=∑y F ，045sin 245sin =?-?-B A F F ；07.7==C B F F kN

3–13 梁AB 用三根杆支承，如图所示。已知F 1=30kN ，F 2 = 40kN ，M =30kN·m, q = 20N/m ，试求三杆的约束力。

解：

（1）图（a ）中梁的受力如图（c ）所示。

0=∑x F ，060cos 60cos 1=?+?-F F C ；kN 301

==F F C

0)(=∑F B M ，035.160sin 3460sin 8821=?+?++-?+q F F M F F C A ；kN 22.63-=A F

— 18 —

0)(=∑F A M

，035.660sin 5482=?+?+++q F F M F C B ；kN 74.88-=A F （2）图（b ）中梁的受力如图（d ）所示。 0)(=∑F O M

，030cos 24621=?--+F M F F C ；kN 45.3-=C F 0)(=∑F B M

，030sin 245sin 46821=?+?+-+F F M F F D C ；kN 41.57-=D F 0)(=∑F D M

，045sin 430sin 22421=?-?-+-B C F F F M F ；kN 42.8-=B F

3－14 一便桥自由放置在支座C 和D 上，支座间的距离CD = 2d = 6m 。桥面重321kN/m 。试求当汽车从桥上面驶过而不致使桥面翻转时桥的悬臂部分的最大长度l 。设汽车的前后轮的负重分别为20kN 和40kN ，两轮间的距离为3m 。

解：图（a ）中，

3

21=q kN/m F = 40 kN （后轮负重）

ΣM D = 0

03)26(=-?+Fl l q

0403)26(35=-?+?l l l = 1m

即 l max = 1m

3－15 图示构架由杆AB 、CD 、EF 和滑轮、绳索等组成，H ，G ，E 处为铰链连接，固连在杆EF 上的销钉K 放在杆CD 的光滑直槽上。已知物块M 重力P 和水平力Q ，尺寸如图所示，若不计其余构件的自重和摩擦，试求固定铰支座A 和C 的反力以及杆E F 上销钉K 的约束力。

解：取系统整体为研究对象，其受力如图（a ）所示。

习题3－14图 Ax F Cx F Ay F Cy 习题3－15图 （a ） F Hy Dy Cx （b ）

— 19 —

习题3－17图 （a ） （b ）

F Ax F Gx

F Gy

Ay F 0)(=∑F A M ，0463=-+Cy aF aQ aP ；4

)

2(3Q P F Cy +=

0=∑y F ，0=--Cy Ay F P F ；4

)

67Q P F Ay += 0=∑x

F

，0=++Cx Ax F F Q （1）

取轮E 和杆EF 为研究对象，其受力如图（b ）所示。

0)(=∑F H

M ，045cos 23T =?--K aF aF aP （F T = P ）；P F K 2=（F T = P ）

取杆CD 为研究对象，其受力如图（c ）所示。

0)(=∑F D M

，04422=--Cx Cy K aF aF

aF ；4

6Q

P F Cx -= 将F Ax 的值代入式（1），得：4

2P

Q F Ax -=

3-16滑轮支架系统如图所示。滑轮与支架ABC 相连，AB 和BC 均为折杆，B 为销钉。设滑轮上绳的拉力P = 500N ，不计各构件的自重。求各构件给销钉B 的力。

解：取滑轮为研究对象，其受力如图（a ）所示。

0=∑y F ，0T =-F F By （F T = P ）；N 500==P F By 0=∑x

F ，0=-P F Bx ；N 500==P F Bx

取销钉B 为研究对象，其受力如图（b ）所示（34tan =

θ，4

3

tan =?）。 0=∑y

F ，0sin sin ='--By

BC BA F F F ?θ （1） 0=∑x

F

，0cos cos ='-+Bx

BC BA F F F ?θ （2） 联立式（1）、（2）解得：N 700=BA F ；N 100=BC F

3-17 图示结构，由曲梁ABCD 和杆CE 、BE 、GE 构成。A 、B 、C 、E 、G 均为光滑铰链。已知F = 20kN ，q = 10kN/m ，M = 20kN·m ，a =2m ，设各构件自重不计。求A 、G 处反力及杆BE 、CE 所受力。

解：取系统整体为研究对象，其受力如图（a ）所示。

习题3－16图

F Bx

C

（a ）

— 20 — 0)(=∑F A M ，022

=--+q a aF M aF Gx

；kN 50=Gx F 0=∑x F

，0=+-Gx Ax F F F ；kN 70=Ax F

0=∑y

F

，02=-+aq F F Gy Ay （1）

取杆GE 为研究对象，其受力如图（b ）所示。

0=∑x F ，045cos =?-EC

Gx

F F ；kN 250=EC

F 0)(=∑F

G M ，045cos =?-+EC EB aF aF M ；kN 40=EB

F

0)(=∑F E

M ，0=-Gy aF M ；kN 10=Gy

F

将F Gy 的值代入式（1），得：kN 30=Ay F

3-18 刚架的支承和载荷如图所示。已知均布载荷的集度q 1 = 4kN/m ，q 2 = 1kN/m ，求支座A 、B 、C 三处的约束力。

解：取CE 为研究对象， 其受力如图（a ）所示。

0)(=∑F E

M

，

02042=-q F C kN 5=C F

取系统整体为研究对象，其受 力如图（c ）所示。

0)(=∑F A M ，

0618101=+-By C F q F kN 67.3=By F

0=∑y

F

，

061=+-+C By Ay F q F F kN 33.15=Ay F

0=∑x F ，

042=-+q F F Bx Ax （1）

取CDEFB 为研究对象，其受力如 图（b ）所示。

0)(=∑F F

M

，0635.424712=++--Bx By C F F q q F ；kN 67.0-=Bx F

将F Bx 的值代入式（1），得：kN 67.4=Ax F

3-19 试求图示多跨梁的支座反力。已知：

（a ）M = 8kN·m ， q = 4kN/m ； （b ）M = 40kN·m ，q = 10kN/m 。

习题3-19图

解：

习题3－18图

Ex

F C

F C

Bx

F By

F

C

Bx

F By

（a ）

（b

）

习题3－19图

（c ）

（e ）

F C F F D

— 21 —

习题3－20图

（1）取图（a ）中多跨梁的BC 段为研究对象，受力如图（c ）所示。

0)(=∑F B

M

，0634=?-q F C ；kN 18=C F

取图整体为研究对象，受力如图（d ）所示。

0)(=∑F A

M ，0678=?-+-q F M M C A ；m kN 32?=A

M

0=∑y

F ，06=+-C

Ay

F q F ；kN 6=Ay

F 0=∑x F ，0=Ax

F

（2）取图（b ）中多跨梁的CD 段为研究对象，受力如图（e ）所示。

0)(=∑F C

M

，024=--q M F D ；kN 15=D F

取图整体为研究对象，受力如图（f ）所示。

0)(=∑F A

M ，01682=--+q M F F D

B

；kN 40=B

F 0=∑y

F ，04=+-+D

B

Ay

F q F F ；kN 15-=Ay

F 0=∑x F ，0=Ax

F

3－20 厂房构架为三铰拱架。桥式吊车顺着厂房（垂直于纸面方向）沿轨道行驶，吊车梁重力大小W 1 = 20kN ，其重心在梁的中点。跑车和起吊重物重力大小W 2 = 60kN 。每个拱架重力大小W 3 = 60kN ，其重心在点D 、E ，正好与吊车梁的轨道在同一铅垂线上。风压在合力为10kN ，方向水平。试求当跑车位于离左边轨道的距离等于2m 时，铰支承A 、B 二处的约束力。

解：图（a ）：ΣM L = 0，042812r =--?W W F

02046028r =?-?-F ，F r = 25 kN （1） 图（b ）：ΣM A = 0，

064102510121233=?-?-?-?-?-?W W W W F By 01202406001205012=-----By F ，2.94=By F kN ΣF y = 0，F Ay = 106 kN ΣF x = 0，10=+Ax Bx F F kN （2）

图（c ）：ΣM C = 0，

Bx

(c)

Bx

(b)

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