中考一次函数压轴题集锦及答案解析

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数学中考一次函数压轴题推荐度：
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一．解答题（共30小题）

1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）．（1）求直线AB的解析式；

（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值范围；

（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．

2．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC

（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．

（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（

，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在

一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．

（2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（3，0），点

，直线l经过点C，

（1）若在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式；

（2）若在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式；

（3）若在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数的图形上，求直线l所表达的函数关系式．

5．如图1，直线y=﹣kx+6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．（1）求直线AB的解析式；

（2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA﹣OB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB=时，求t值．

6．首先，我们看两个问题的解答：问题1：已知x＞0，求

的最小值．

问题2：已知t＞2，求的最小值．

问题1解答：对于x＞0，我们有：号，所以

的最小值

．

≥．当，即时，上述不等式取等

问题2解答：令x=t﹣2，则t=x+2，于是．

由问题1的解答知，的最小值，所以的最小值是．

弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：

在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．

（1）用b表示k；

（2）求△AOB面积的最小值．

7．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．

（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有 _________ 个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标 _________ ；

（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．

8．如图，已知AOCE，两个动点B同时在D的边上按逆时针方向A运动，开始时点F在点FA位置、点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；

（2）在前10秒内，求x两点之间的最小距离，并求此时点P，Q的坐标．

9．若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B，与y轴分别交于A、C （1）填空：写出A、C两点的坐标，A _________ ，C _________ ；（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线AB和CB的解析式；

（3）在（2）的条件下若另一条直线过点B，且交y轴于E，若△ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式（只写结果）．

10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0）． P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点 P'不在y轴上），连接P P'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．

（1）当b=3时，求直线AB的解析式；

（2）在（1）的条件下，若点P'的坐标是（﹣1，m），求m的值；

（3）若点P在第一像限，是否存在a，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．

11．如图，四边形OABC为直角梯形，BC∥OA，A（9，0），C（0，4），AB=5．点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求直线AB的解析式；

（2）t为何值时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分；

（3）当t=1时，连接AC、MN交于点P，在平面内是否存在点Q，使得以点N、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

12．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时动点Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设运动的时间为t秒．

（1）求直线AB的解析式；

（2）当t为何值时，△APQ与△ABO相似？

13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（x，y），PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，C（a，0），点E在y轴上，点D，F在x轴上，AD=OB=2FC，EO是△AEF的中线，AE交PB于点M，﹣x+y=1．（1）求点D的坐标；

（2）用含有a的式子表示点P的坐标；（3）图中面积相等的三角形有几对？

14．如图，在直角坐标平面中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴的负半轴上，cos∠ABC=，点P在线段OC上，且PO、OC的长是方程x﹣15x+36=0的两根．（1）求P点坐标；（2）求AP的长；

（3）在x轴上是否存在点Q，使四边形AQCP是梯形？若存在，请求出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．

15．已知函数y=（6+3m）x+（n﹣4）．

（1）如果已知函数的图象与y=3x的图象平行，且经过点（﹣1，1），先求该函数图象的解析式，再求该函数的图象与y=mx+n的图象以及y轴围成的三角形面积；

（2）如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P到轴和轴的距离都是1，求出m和n的值，写出这两个函数的解析式；

（3）点Q是x轴上的一点，O是坐标原点，在（2）的条件下，如果△OPQ是等腰直角三角形，写出满足条件的点Q的坐标．

16．如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OA和OC是方程

的两根（OA＞OC），∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC

边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．

（1）求线段OA和OC的长；（2）求点D的坐标；

（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，△AOB为等腰三角形，且OA=OB，过点B作y轴的垂线，垂足为D，直线AB的解析式为y=﹣3x+30，点C在线段BD上，点D关于直线OC的对称点在腰OB上．

（1）求点B坐标；

（2）点P沿折线BC﹣OC以每秒1个单位的速度运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△PQC的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接PQ，设PQ与OB所成的锐角为α，当α=90°﹣∠AOB时，求t值．（参考数据：在（3）中，

取

．）

18．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，﹣3），与x轴交于点B，且与直线（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；

（2）如直线l上有一点M（a，﹣6），过点M作x轴的垂线，交直线使△PAB是直角三角形，请求出点P的坐标．

于点N，在线段MN上求一点P，

平行．

19．已知如图，直线y=﹣

x+4

与x轴相交于点A，与直线y=

x相交于点P．

（1）求点P的坐标；（2）求S△OPA的值；

（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．

20．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），C（0，1），以OA、OC为边在第一象限内作矩形OABC，点D（x，0）（x＞0），以BD为斜边在BD上方做等腰直角三角形BDM，作直线MA交y轴于点N，连接ND．（1）求证：①A、B、M、D四点在同一圆周上；②ON=OA；

（2）若0＜x≤4，记△NDM的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求出△NDM面积的最大值；

（3）再点D运动过程中，是否存在某一位置，使DM⊥DN？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．

21．如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD．（1）若C（3，m），求m的值；

（2）如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；（3）经过B、C两点的⊙O1交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O1的大小发生变化时，不变证明并求其值；若变化，请说明理由．

的值变吗？若

22．如图：直线y=﹣x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式；（2）求（1）中S的最大值；

（3）当t＞0时，若点（10，10）落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．

23．直线l：y=﹣x+3分别交x轴、y轴于B、A两点，等腰直角△CDM斜边落在x轴上，且CD=6，如图1所示．若直线l以每秒3个单位向上作匀速平移运动，同时点C从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右作匀速平移运动，如图2所示，设移动后直线l运动后分别交x轴、y轴于Q、P两点，以OP、OQ为边作如图矩形OPRQ．设运动时间为t秒．

（1）求运动后点M、点Q的坐标（用含t的代数式表示）；

（2）若设矩形OPRQ与运动后的△CDM的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t相应的取值范围；（3）若直线l和△CDM运动后，直线l上存在点T使∠OTC=90°，则当在线段PQ上符合条件的点T有且只有两个时，求t的取值范围．

24．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线

经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；

（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；

（3）若直线l1经过点F（

）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于

点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．

25．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的解析表达式；（2）求△ADC的面积；

（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；

（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

26．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点．

（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为

，求出此时点P的坐标；

（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．

27．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12， ①求点C的坐标； ②求△OAC的面积．

（2）如图，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

28．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动．当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动．（1）求B点坐标；

（2）设运动时间为t秒；

①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半； ②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；

③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动．在②的条件下，PM+PN的长度也刚好最小，求动点P的速度．

29．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足

．

（1）求直线AP的解析式；

（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；

（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②

的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．

30．如图，已知直线l1：y=﹣x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；

（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

答案与评分标准

一．解答题（共30小题）

1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）．（1）求直线AB的解析式；

（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．

考点：一次函数综合题。分析：（1）先求出点B的坐标，再代入一次函数的解析式即可；

（2）根据AB中点为M，求出点M的坐标，再求出CM的解析式，过点P做PH⊥CO交CO于点H，用t表示出OQ和PH的长，根据S=OQ?PH即可求出S与T的函数关系式；（3）此题需分四种情况分别求出T的值即可．解答：解：（1）∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOC=90°

∵∠BOD=90°，

∠OBD+∠BOD=90°， ∠AOC=∠BOD，

∵OA=OB∠AOC=∠BOD=90°， ∴△AOC≌△OBD， ∴AC=OD，CO=BD ∵A（﹣3，1），

∴AC=OC=1，OC=BD=3， ∴B（1，3）， ∴y=x+；

（2）M（﹣1，2），C（﹣3，0）， ∴直线MC的解析式为：y=x+3 ∴∠MCO=45°，

过点P做PH⊥CO交CO于点H，

S=OQ?PH=（3﹣t）×t=t+t（0＜t＜3）或S=（t﹣3）t=t﹣t（3＜t≤4）；

（3）t1=，t2=，t3=，t4=2．

点评：此题考查了一次函数的综合应用，解题时要注意分类讨论，关键是能用t表示出线段的长度求出解析式．

2．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC

（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．

（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（

，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在

一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；

（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q， ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°， ∴∠OAB=∠QBC，

又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°， ∴△ABO≌△BCQ，

∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1， ∴C（﹣3，1），由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；

（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G， ∵AC=AD，AB⊥CB， ∴BC=BD，

∴△BCH≌△BDF， ∴BF=BH=2， ∴OF=OB=1， ∴DG=OB，

∴△BOE≌△DGE，

∴BE=DE；

（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（∴P（﹣，），

由y=x+2知M（﹣6，0）， ∴BM=5，则S△BCM=．

假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN?=×， ∴BN=

，ON=

，

，k）是线段BC上一点，

∵BN＜BM，

∴点N在线段BM上， ∴N（﹣

，0）．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．

3．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．

（2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．

考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。专题：动点型。分析：（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；

（2）用OA的长，y分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；（3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置．解答：解：（1）将B（﹣8，0）代入y=kx+6中，得﹣8k+6=0，解得k=；

（2）由（1）得y=x+6，又OA=6， ∴S=×6×y=x+18，（﹣8＜x＜0）；

（3）当S=9时，x+18=9，解得x=﹣4，此时y=x+6=3，

∴P（﹣4，3）．

点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法．关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示．

4．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（3，0），点

，直线l经过点C，

（1）若在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式；

（2）若在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式；（3）若在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数

的图形上，求直线l所表达的函数关系式．

考点：一次函数综合题；反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质。专题：存在型。分析：（1）若△ABE为等边三角形，由等边三角形的性质可求E点坐标，用“两点法”求直线l解析式；（2）分别过A、B两点作x轴的垂线，与直线l相交，可得两个直角三角形，若直线l上有一点F（2，1），可得△ABF为等腰直角三角形，用“两点法”求直线l解析式；（3）①当直线l∥x轴时，直线l与函数y=kx+

，与函数

的图形有一个交点，②当直线l与x轴不平行时，设直线l解析式为

联立解方程组，得出唯一解时k的值即可．

），

解答：解：（1）当直线l上存在一点E，使△ABE为等边三角形时，E（2，设直线l解析式为y=kx+将E（2，解得k=﹣

），代入2k+，

（4分）， =

，

∴直线l解析式为

（2）当在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形时，设直线l上的点为F，则A、B、F都可能作为直角顶点，

当F为直角顶点时，△ABF为等腰直角三角形，此时F（2，1），

将F（2，1）代入直线l解析式为y=kx+得k=﹣∴y=（﹣

+， +）x+

；（8分）

中，

（3）①当直线l∥x轴时，直线l与函数此时，直线l解析式为

，

的图形有一个交点，

②当直线l与x轴不平行时，设直线l解析式为y=kx+

，

联立，

得kx+

x﹣2=0，

）+8k=0，

当△=0时，两函数图象只有一个交点，即（解得k=﹣，此时，直线l解析式为

等（写出一个正确答案即可）（12分）

点评：本题考查了一次函数的综合运用，反比例函数与一次函数的交点问题，特殊三角形的性质．关键是采用形数

结合的方法，确定直线l上点的坐标，求一次函数解析式．

5．如图1，直线y=﹣kx+6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．（1）求直线AB的解析式；

（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB=时，求t值．

考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。分析：（1）根据x=0时，y=6k，y=0时，x=6，得出OB=6k，OA=6．再利用S△AOB=24，求出即可；

（2）根据当点P在OA上运动时，0＜t≤3，以及当点P在AB上运动时，利用三角形相似的性质求出即可；（3）利用当点P在OA上时，点M在点F左侧，以及当点P在AB上时，分别得出t的值即可．解答：解：（1）令x=0时，y=6k（k＞0）；令y=0时，x=6，

∴OB=6k，OA=6．S△AOB=24， ∴ 解得

，

；

，

∴AB的解析式为

（2）根据题意，OE=t，EF∥OA， ∴△BEF∽△BOA， ∴∴

，

①当点P在OA上运动时，0＜t≤3，过P作PH⊥EF，垂足是H，则PH=OE=t，∴

，∴

；

②当点P在AB上运动时，过P作PG⊥OA，垂足是G，直线PG与EF相交于点R，则GR=OE=t．在△APG中，PG∥OB∴△APG∽△ABO， ∴∴

，∴

，

，解得t=8．PR=GR﹣PG，

当P与F重合时，有PG=OE，此时 ∴∴

，

当3＜t＜8时，，

综上所述，求得的解析式是；

（3）①当点P在OA上时，点M在点F左侧．过点M作MD⊥AB，垂足是D，过点F作FS⊥OA，垂足是S， ∴FS=OE=t，EM=OP=2t．在△MFD中，∴

在△MAD中，

∴AD=8k=AF+DF=AF+3k，

．

，

∴AF=5k=MF．在△AFS中，∴∴解得

，

；

，MF=EF﹣EM，

，

当点P在OA上时，点M在点F右侧．可计算得出

②当点P在AB上时，过点M作MD'⊥AB，垂足是D'，在△PMD′中，

，

令MD′=3m，则PD′=4m，MP=5m，AD′=6m．AP=AD′﹣PD′， ∴AP=2m，∴解得

，

或

．

，

综上所述，满足要求的t值是或

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的性质应用，根据已知得出M以及P点位置不同得出答案是解题关键．

6．首先，我们看两个问题的解答：问题1：已知x＞0，求

的最小值．

问题2：已知t＞2，求的最小值．

问题1解答：对于x＞0，我们有：号，所以

的最小值

．

≥．当，即时，上述不等式取等

问题2解答：令x=t﹣2，则t=x+2，于是．

由问题1的解答知，的最小值，所以的最小值是．

弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：

在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．（1）用b表示k；

（2）求△AOB面积的最小值．考点：一次函数综合题。分析：（1）用k和b表示出三角形的直角边的长，从而表示出面积，和△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3列成方程，用b表示k．

（2）设x=b﹣2，则b=x+2，根据题干中第二问所给的解答过程得到提示，配方后求得x成立时的最小值．解答：解：（1）当x=0时，y=b；当y=0时，x=﹣．所以|OA|=，|OB|=b． ∴S△OAB=|OA|?|OB|=∴

=+b+3，

．

∴=b+3，k=．

（2）S△OAB=

．

设x=b﹣2，则b=x+2． S△OAB===x+=

+7+2

≥7+2

．

上述不等式等号在x=时成立．故△OAB面积最小值是7+2．

点评：本题考查一次函数的综合运用，以及活学活用的能力，和配方法求最值的情况．

7．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．

（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有 10 个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标（6，2）；

（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．

考点：一次函数综合题。分析：（1）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=﹣x+6；再分别把x=2、3、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；

（2）首先根据直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标；（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则此时△CMN的周长最短．由D、E两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据y轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把（1，5），（4，2）代入得， kx+b=5，4k+b=2，解得k=﹣1，b=6，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；当x=2，y=4；当x=3，y=3；当x=4，y=2；当x=5，y=1．

∴图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）．一共10个；

（2）∵直线y=﹣x+6与x轴、y轴交于A、B两点， ∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6）， ∴OA=OB=6，∠OAB=45°．

∵点C关于直线AB的对称点为D，点C（4，0）， ∴AD=AC=2，AB⊥CD， ∴∠DAB=∠CAB=45°， ∴∠DAC=90°，

∴点D的坐标为（6，2）；

（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则NC=NE，点E（﹣4，0）．又∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CM=DM，

∴△CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此时周长最短．设直线DE的解析式为y=mx+n．把D（6，2），E（﹣4，0）代入，得 6m+n=2，﹣4m+n=0，解得m=，n=，

∴直线DE的解析式为y=x+．令x=0，得y=，

∴点N的坐标为（0，）．故答案为10；（6，2）．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称﹣最短路线问题，综合性较强，有一定难度．

（2）在前10秒内，求x两点之间的最小距离，并求此时点P，Q的坐标．

考点：一次函数综合题；三角形的面积。专题：动点型。分析：（1）由于A（8，0），B（0，6），得出OB=6，OA=8，AB=10．根据在前3秒内，点P在OB上，点Q在OA上，设经过t秒，利用△OPQ的面积A=OP?OQ求出即可；

（2）根据在前10秒内，点P从B开始，经过点O，点A，最后到达AB上，经过的总路程为20；点Q从O开始，经过点A，最后也到达AB上，经过的总路程为10．其中P，Q两点在某一位置重合，最小距离为0．设在某一位置重合，最小距离为0．设经过t秒，点Q被点P“追及”（两点重合），得出在前10秒内，P，Q两点的最小距离为0，点P，Q的相应坐标．解答：解：（1）A（8，0），B（0，6）， ∴OB=6，OA=8，AB=10．

在前3秒内，点P在OB 上，点Q 在OA 上，设经过t秒，点P，Q位置如图．则OP=6﹣2t，OQ=t．

△OPQ的面积A=OP?OQ=t（3﹣t），当t=时，Smax=．

（2）在前10秒内，点P 从B 开始，经过点O，点A，最后到达AB 上，经过的总路程为20；点Q 从O 开始，经点A，最后也到达AB上，经过的总路程为10，其中P，Q两点在某一位置重合，最小距离为0．设在某一位置重合，最小距离为0．

设经过t秒，点Q被P点“追及”（两点重合），则2t=t+6，

∴t=6，在前10秒内，P，Q两点的最小距离为0，点P，Q的相应坐标都为（6，0）．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用，把动点问题与实际相结合有一定的难度，解答此题的关键是分别画出t在不同阶段Q的位置图，结合相应的图形解答．

9．若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B，与y轴分别交于A、C （1）填空：写出A、C两点的坐标，A （0，8），C （0，3）；（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线AB和CB的解析式；

（3）在（2）的条件下若另一条直线过点B，且交y轴于E，若△ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式（只写结果）．

考点：一次函数综合题。分析：（1）由两条直线解析式直接求出A、C两点坐标；

（2）由直线y=mx+8得B（﹣，0），即OB=，而AO=8，利用勾股定理求AB，根据角平分线性质得比例求m的值，再根据直线BC与x轴的交点为B求n即可；

（3）根据（2）的条件，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧与y轴相交，作AB的垂直平分线与y轴相交，分别求交点坐标．解答：解：（1）由直线y=mx+8和y=nx+3得A（0，8），C（0，3），故答案为：（0，8），（0，3）；

（2）令直线y=mx+8中y=0，得B（﹣，0），即OB=，又AO=8， ∴AB=

，

∵∠ABO=2∠CBO， ∴

，即24

=5×，

解得m=，

又由y=nx+3经过点B，得﹣=﹣，解得n=， ∴直线AB：y=x+8，直线CB：y=x+3；

（3）由（2）可知OB=6，AB=当△ABE为等腰三角形时，

直线BE的解析式为：y=3x+18或y=﹣x﹣2或y=﹣x﹣8或y=

x+．

=10，

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据题意求出点的坐标，根据图形的特殊性利用比例，勾股定理求一次函数解析式．

（1）当b=3时，求直线AB的解析式；

（2）在（1）的条件下，若点P'的坐标是（﹣1，m），求m的值；

（3）若点P在第一像限，是否存在a，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形。专题：存在型。分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）把（﹣1，m）代入函数解析式即可求得m的值；可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；

（3）点P在第一像限，若使△P'CA为等腰直角三角则∠AP′C=90°或∠P′AC=90°或∠P′CA=90°就三种情况分别讨论求出出所有满足要求的a的值即可．解答：解：（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3，把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0， ∴k=，

∴直线的解析式是：y=x+3， ②由已知得点P的坐标是（1，m）， ∴m=×1+3=

；

（2）∵PP′∥AC， △PP′D∽△ACD， ∴

，即

=，

∴a=；

（3）当点P在第一象限时，

1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）过点P′作P′H⊥x轴于点H． ∴PP′=CH=AH=P′H=AC． ∴2a=（a+4）， ∴a=，

2）若∠P′AC=90°，P′A=C，则PP′=AC， ∴2a=a+4， ∴a=4，

3）若∠P′CA=90°，

则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．

∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形． ∴所有满足条件的a的值为a=4或．

点评：本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．

（2）t为何值时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分；

考点：一次函数综合题。分析：（1）作BD⊥OA于点D，利用勾股定理求出AD的值，从而求出B点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；

（2）梯形面积分为1：2的两部分，要注意分两种去情况进行分别计算，利用面积比建立等量关系求出t的值．（3）M、N两点的坐标求出MN的解析式和AC的解析式，利用直线与方程组的关系求出P点坐标，利用三角形全等求出Q、Q1的坐标，求出直线Q1P、QN的解析式，再求出其交点坐标就是Q2的坐标．解答：解：（1）作BD⊥0A于点D． ∴BD=4， ∵AB=5，

由勾股定理得AD=3 ∴OD=6

∴B（6，4）

设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得

解得：

∴直线AB的解析式为：

；

（2）设t秒后直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分，则 BN=t，CN=6﹣t，OM=2t，MA=9﹣2t 当S四边形OMNC：S四边形NMAB=1：2时

解得：t=﹣1（舍去）

当S四边形OMNC：S四边形NMAB=2：1时

，

解得t=4

∴t=4时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分．

（3）存在满足条件的Q点，如图：Q（9.5，2），Q1（8.5，﹣2），Q2（0.5，6）．

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了用待定系数法求函数的解析式，图形的面积，直线的解析式与二元一次方程组的关系，勾股定理及三角形全等的性质的运用．

（1）求直线AB的解析式；

（2）当t为何值时，△APQ与△ABO相似？

考点：一次函数综合题。分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；

（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b 由题意，得

，

解得，

所以，直线AB的解析式为y=﹣x+6；

（2）由AO=6，BO=8得AB=10，所以AP=t，AQ=10﹣2t，

①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．所以 =解得t=

，（秒），

②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．所以解得t=

，

（秒）；

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．

（2）用含有a的式子表示点P的坐标；（3）图中面积相等的三角形有几对？

考点：一次函数综合题；列代数式；点的坐标；三角形的面积。分析：（1）根据P点坐标得出A，B两点坐标，进而求出﹣x+y=DO，即可得出DO的长，即可得出D点坐标；（2）利用C点坐标得出CO的长，进而得出y与a的关系式，即可得出P点坐标；

（3）利用三角形面积公式以及AO与FO的关系，进而得出等底等高的三角形．解答：解：（1）∵P（x，y），PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B， ∴A（x，0），B（0，y），即：OA=﹣x，BO=﹣y， ∵AD=BO，

∴﹣x﹣DO=﹣y， ∴﹣x+y=DO，又∵﹣x+y=1，

∴OD=1，即：点D的坐标为（﹣1，0）．

（2）∵EO是△AEF的中线， ∴AO=OF=﹣x， ∵OF+FC=CO，

又∵OB=2FC=﹣y，OC=a， ∴﹣x﹣=a，又∵﹣x+y=1， ∴y=1﹣a， ∴y=∴x=∴P（

，，，

）；

（3）图中面积相等的三角形有3对，

分别是：△AEO与△FEO，△AMO与△FBO，△OME与△FBE．

点评：此题主要考查了三角形面积求法以及点的坐标求法和坐标系中点的坐标与线段长度关系，根据已知得出y=1﹣a是解题关键．

（3）在x轴上是否存在点Q，使四边形AQCP是梯形？若存在，请求出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行线分线段成比例；解直角三角形。

分析：（1）通过解方程x﹣15x+36=0，得OP、OC的长度，即可推出P点的坐标，（2）根据直角三角形的性质，推出Cos∠ABC==Cos∠ACO=

，结合已知条件即可推出AP的长度，（3）首先设出Q点的坐标，然后根据

，

即可求出OQ的长度，即可得Q点的坐标，然后根据P和Q点的坐标即可推出直线PQ的解析式．

解答：解：（1）∵PO、OC的长是方程x﹣15x+36=0的两根，OC＞PO， ∴PO=3，OC=12（2分） ∴P（0，﹣3）（2分）

（2）在Rt△OBC与Rt△AOC中，cos∠ABC==cos∠ACO， ∴

（1分）

设CO=4K，AC=5K，∴CO=4K=12，K=3 ∴AO=3K=9，∴A（﹣9，0）（2分） ∴AP=（1分）

（3）设在x轴上存在点Q（x，0）使四边形AQCP是梯形，则AP∥CQ，∴

，

∵OA=9，OP=3，OC=12， ∴OQ=36，则Q（﹣36，0）（2分），

设直线PQ的解析式为y=kx+b，将点P（0，﹣3），Q（﹣36，0）代入，得

，

解得：

∴所求直线PQ的解析式为y=﹣x﹣3（2分）

点评：本题主要考查解整式方程、解直角三角形、勾股定理、平行线的相关性质、求一次函数解析式，关键在于确定P点的坐标；根据解直角三角形求得AP的长度；根据平行线的性质，确定OQ的长度，确定Q点的坐标．

15．已知函数y=（6+3m）x+（n﹣4）．

（2）如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P到轴和轴的距离都是1，求出m和n的值，写出这两个函数的解析式；

（3）点Q是x轴上的一点，O是坐标原点，在（2）的条件下，如果△OPQ是等腰直角三角形，写出满足条件的点Q的坐标．

考点：一次函数综合题；反比例函数与一次函数的交点问题。

分析：（1）根据所给的条件求出m，n的值，然后确定这两条直线，求出它们与y轴的交点坐标，以及这两条直线的交点坐标，从而求出面积．

（2）根据正比例函数可求出n的值，以及根据P点坐标的情况，确定函数式，P点的坐标有两种情况．（3）等腰三角形的性质，有两边相等的三角形是等腰三角形，根据此可确定Q的坐标．解答：解：（1）据题意得6+3m=3解得m=﹣1 把x=﹣1，y=1代入y=3x+n﹣4得n=8（1分） ∴已知函数为y=3x+4当x=0时y=4，A（0，4） ∴另一函数y=﹣x+8当x=0时y=8，B（0，8）（2分） AB=4

解得

，C（1，7）（1分）

（1分）

（2）据题意可知n=4

设正比例函数y=（6+3m）x（6+3m≠0），反比例函数根据正反比例函数的图象可知，

当点P的坐标为（1，1）或（﹣1，﹣1）时当点P的坐标为（1，﹣1）或（﹣1，1）时

y=x，

（3分）；

，y=﹣x，

（3）Q（±1，0）Q（±2，0）．（2分）

点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是知道两直线平行斜率相等，以及正比例函数的形式以及反比例函数与一次函数的交点问题，以及等腰三角形的性质．

16．如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OA和OC是方程

的两根（OA＞OC），∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC

边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．

（1）求线段OA和OC的长；（2）求点D的坐标；

考点：一次函数综合题。分析：（1）通过解答题目中的一元二次方程的根就是OA、OC的长．

（2）由折纸可以知道CD=OC，从而求出AD，作DF⊥OA于F解直角三角形可以求出D点的坐标．（3）存在满足条件的M点，利用三角形全等和平行线等分线段定理可以求出M点对应的坐标．解答：解：（1）

∵OA＞OC

∴OA=3，OC=；

（2）在Rt△AOC中，由勾股定理得： AC=2

由轴对称得：CO=CD=

∴AD=，作DF⊥OA，且∠CAO=30° ∴DF=AF=

∴OF=，∴OF=AF ∴D

（3）∵M1N1∥AC，

∠N1M1F=∠ADF，∠FN1M1=∠FAD ∵OF=AF

∴△ADF≌△N1M1F ∴M1F=DF=∴

，N1F=AF=

，作MG⊥OA，；

，由勾股定理得：

∵四边形MCDN和四边形CN1M1D是平行四边形 ∴MC=ND，ND=CM1∴MC=CM1∴GO=OF=，OE=1 ∴GE=

∴EOC△∽△EGM ∴∴

解得：

MG=∴

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了一元二次方程的根，待定系数法求函数的解析式、勾股定理、全等三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的运用．

（1）求点B坐标；

（3）在（2）的条件下，连接PQ，设PQ与OB所成的锐角为α，当α=90°﹣∠AOB时，求t值．（参考数据：在（3）中，

取

．）

考点：一次函数综合题。分析：（1）根据待定系数法求函数的解析式，可以把点B的坐标设出来，利用直线与x轴的交点坐标可以求出A点坐标，求出OA的长度，从而求出AB，根据勾股定理可以求出B点的坐标．

（2）当P、Q在运动中，分为P点在BC、OC上两种情况的面积，利用三角形相似可以用t的式子表示出△PQC的面积．

（3）在运动中当α=90°﹣∠AOB时，则有PQ⊥OB，PQ⊥OC两种情况，利用解直角三角形的锐角三角函数值三角形相似求出相应的t的值．解答：解：（1）由题可设点B的坐标为（a，﹣3a+30），作BF⊥OA于F

222

在Rt△OBG中，由勾股定理可得：a+（﹣3a+30）=10 解得：a1=10，a2=8

当a=10时不符合题意舍去当a=10时，﹣3a+30=6 ∴B（8，6）；

（2）①当0≤t＜5时，如图1所示；

过点C作CF⊥OB于F，则△OCD≌△OCF．

在Rt△BCF中，由勾股定理可得：CF=3，BC=5 即OF=OD=6，CF=CD．

过点Q作QN⊥BD于N，则QN∥OD，∴△BQN∽△BDO， ∴即

∴QN=6﹣

，…1′

∴S=

即S=

…1′

②当5＜t≤10时，如图2所示；

过点Q作QM⊥OC于M，∵COQ=∠COD，∠CDO=∠QMO=90°， ∴△QMO∽△COD，∴

即

∴QM=，…1′

∴S=即S=…1′（3）①当0≤t＜5时，如图3所示：

∵α=90°﹣∠AOB=∠BOD，即∠PQB=∠DOB，sin∠PQB=sin∠DOB ∴即

∴t=

②当5＜t≤10时，如图4所示；过点P作PH⊥OB于H． ∵tan∠POB=，tan∠PQO=，

∴可设PH=4k，QM=3k，则OH=8k，由勾股定理可求得OP=4

∴11k=t，k=，∴OP=4

，

又∵OP=5+3 即5+3=

（

）， ∴

．

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了待定系数法求点的坐标，勾股定理的运用，全等三角形的运用，相似三角形的运用以及锐角三角函数值．动点问题的解题的关键是动中找静止时的图象特征求解．任何运动的图象在任何一瞬间都是静止的．

18．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，﹣3），与x轴交于点B，且与直线（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；

（2）如直线l上有一点M（a，﹣6），过点M作x轴的垂线，交直线使△PAB是直角三角形，请求出点P的坐标．

于点N，在线段MN上求一点P，

平行．

考点：一次函数综合题。

分析：（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，因为直线l与直线

平行，所以k=3，又直线l经过点A（2，﹣

3），从而求出b的值，进而直线l的函数解析式及点B的坐标可求出；

（2）点M（a，﹣6）在直线l上，所以可先求出a的值，再分别分：当AB为斜边时；当PB为斜边时；当PA为斜边时，进行讨论求出满足题意的P点的坐标即可．解答：解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵直线l平行于y=3x﹣，

∴k=3，

∵直线l经过点A（2，﹣3）， ∴﹣3=2×3+b，b=﹣9，

∴直线l的解析式为y=3x﹣9，点B坐标为（3，0）；

（2）∵点M（a，﹣6）在直线l上， ∴a=1，则可设点P（1，y）， ∵

，∴y的取值范围是﹣6≤y≤，

当AB为斜边时，PA+PB=AB，即1+（y+3）+4+y=10，解得y1=﹣1，y2=﹣2，∴P（1，﹣1），P（1，﹣2），

22222

当PB为斜边时，PA+AB=PB，即1+（y+3）+10=4+y，解得y=﹣，∴

，

当PA为斜边时，PB+AB=PA，即10+4+y=1+（y+3），解得y=，（舍去），

∴综上所述，点P的坐标为P1（1，﹣1），P2（1，﹣2），P3

点评：本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和一次函数与几何图形（直角三角形）问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，从已知函数图中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．

19．已知如图，直线y=﹣

x+4

与x轴相交于点A，与直线y=

x相交于点P．

（1）求点P的坐标；（2）求S△OPA的值；

考点：一次函数综合题。分析：（1）P点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标．（2）把OA看作底，P的纵坐标为高，从而可求出面积．

（3）应该分两种情况，当在OP上时和PA时，讨论两种情况求解．解答：解：（1）﹣x=3， y=．

x+4

所以P（3，）．

（2）0=﹣x+4． x=4． 4×

×=2

．

故面积为2．

（3）当E点在OP上运动时， ∵F点的横坐标为a，所以纵坐标为∴S=

a?a﹣×

a?a=

a．

a，

当点E在PA上运动时，

∵F点的横坐标为a，所以纵坐标为﹣∴S=（﹣

a+4

）a﹣（﹣

a+4

a+4．

a+2

）a=﹣a．

点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，横纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标．

（2）若0＜x≤4，记△NDM的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求出△NDM面积的最大值；

（3）在点D运动过程中，是否存在某一位置，使DM⊥DN？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题。分析：（1）①取BD中点P，连接PM，PA，利用圆的定义可证；

②过M作ME⊥x轴于E，MF⊥直线AB于F，则△MDE≌△MBF，得ME=MF，从而得到四边形MFAE是正方形，得∠MAO=∠ONA=45°得ON=OA；（2）由（1）的②可以设M（a，b），在正方形MEAF中把a、b用含x的式子表示出来，就知道△DAM的高，从S△MDN=S△ADN﹣S△MDA，而得出结论．

222

（3）当0＜x＜3时，显然不存在；当3＜x≤4时，假设存在，则根据勾股定理就有MN=MD+DN，从而可以求出D点的坐标．解答：（1）证明：①作BD的中点O，连接WO、AO ∵△DMB是等腰直角三角形 ∴DM=BM，MO=BO=DO=BD ∵四边形OABC是矩形 ∴∠OAB=90°

∴△DAB是直角三角形 ∴OA=OD=BD ∴OA=OB=OM=OD

∴A、B、M、D四点在以O为圆心的圆周上 ②过M作ME⊥x轴于E，MF⊥直线AB于F ∴∠DEM=∠MEA=∠MFB=90° ∴∠DME=∠BMF，且MD=MB ∴△MDE≌△MBF

∴MF=ME，DE=BF

∵∠MEA=∠MFB=90°，∠OAB=90° ∴四边形MEAF是正方形， ∴∠OAM=45° ∴∠ONA=45° ∴∠ONA=∠OAM

∴ON=OA；

（2）解：①当0＜x≤3时，设M（a，b），则ME=AE，OE=a，AE=ME=AF=2﹣a． ∵D（x，0）

∴OD=x，DE=BF=a﹣x，AD=2﹣x ∵C（0，1），A（2，0）， ∴AB=1，OA=2

∴AF=1+a﹣x，ON=2 ∴2﹣a=1+a﹣x ∴a=

，AE=ME=2﹣a=

S△MDN=S△ADN﹣S△MDN=∴y=

当x=时，S△MDN最大为

②当3＜x≤4时，过M作ME⊥x轴于E，MF⊥y轴于F，延长AB交MF于H，设M（a，b） ∴AD=x﹣2，DE=x﹣a，AE=a﹣2 ∴a﹣2=1+x﹣a ∴a=

S△MDN=∴y=

；

故当x=4时，S△MDN最大为

（3）解：当0＜x≤3时，显然不存在；当3＜x≤4时，假设存在，则MN=MD+DN，而MN=

，MD=

222

，DN=x+4，

解得x=故存在D，D（

（x=舍去），0）．

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了四点共圆的证明，等腰直角三角形的性质的运用，三角形全等的判定及运用，勾股定理的运用以及抛物线的最大值等多个知识点．

21．如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD．（1）若C（3，m），求m的值；

的值变吗？若

考点：一次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）作CE⊥x轴于E，可证△OAB≌△EBC，再根据线段相互间的关系即可求出CE的长，即m的值；（2）作GE⊥x轴于G，可以通过先求出AE与EB的关系，证明结论；（3）连接CT，ST，ST交BC于M，可知解答：解：（1）作CE⊥x轴于E，

的值为45°余弦的倒数，从而求解．

易证△OAB≌△EBC，

∴OB=OE﹣BE=3﹣OA=2， ∴CE=2，即m=2；

（2）作GE⊥x轴于G， ∵BE=BF， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∴EG=GB， AE=EB， ∴AC=AB， ∵AE+EB=AB，

∴AE=（2﹣）AB， ∴AC+AE=2AB；

（3）连接CT，ST，ST交BC于M，则AS=TS，SC=SM，∠STA=45°， ∴AS﹣CS=MT， ∴

．

故的值不变．

点评：考查了一次函数综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理和三角函数的知识，难度较大．

（3）当t＞0时，若点（10，10）落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．

考点：一次函数综合题。分析：（1）首先根据题意求得A，B，C，D的坐标，然后过点C作CH⊥AD，易得△CPQ∽△CAD，由相似三角形的性质，即可求得PQ的值，则可求得S与t之间的函数关系式；（2）配方，即可求得二次函数的最大值，即是S的最大值；

（3）当PQ过点（10，10）时，t最小；当N与（10，10）重合时，t最大，根据题意求解即可．解答：解：（1）∵直线y=﹣x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点， ∴A（18，0），B（0，18）， ∵直线y=2x与AB交于C点， ∴

，

解得：x=6，y=12， ∴点C（6，12），

∵直线y=2x与过点A且平行于y轴的直线交于D点， ∴D（18，36），

过点C作CH⊥AD，则CH=18﹣6=12， ∵PQ∥AD，

∴CH⊥PQ，△CPQ∽△CAD， ∴

，

∵PK=t，则CG=12﹣t，即：

∴PQ=36﹣3t，

∴当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式为S=t（36﹣3t）=﹣3t+36t；

（2）∵S=﹣3t+36t=﹣3（t﹣6）+108， ∴当t=6时，S最大，最大值为108；

（3）当点Q的横坐标是10时，则Q（10，20），E（10，0），P（10，8）， ∴PE=8，PQ=12， ∴PQ=36﹣3t=12，解得：t=8；

当N的坐标为（10，10）时，则点P的纵坐标为10，

，

∴P（8，10）， ∴E（8，0）， ∴AE=10；即t=10；

∴t的取值范围为：8＜t＜10．

点评：此题考查了一次函数的综合应用，考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用．

（1）求运动后点M、点Q的坐标（用含t的代数式表示）；

考点：一次函数综合题；解一元一次方程；三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。专题：计算题；分类讨论。分析：（1）过M作MN⊥CD于N，根据等腰直角三角形的性质求出CN=DN=MN=3，即可得到M、Q的坐标；

（2）①0＜t＜1时，s=0②1＜t≤2.5，如图2，S=CQ?QH，把CQ、QH代入即可求出答案；③当2.5＜t＜4时，如图（3）同法可求DQ，根据s=S△CMD﹣S△DQE，求出△CMD和△DQE的面积代入即可；④当t≥4时，s=S△CMD=×6×3=9；

（3）①直线L经过点C，即C、Q重合，根据4+4t=6+2t，求出即可；②如图直线L切圆于F，证△QFE∽△QOW，得出 =

，代入即可求出t的值，进一步得出t的取值范围．

解答：（1）解：过M作MN⊥CD于N， ∵等腰直角△CDM， ∴CN=DN=MN=3，

由勾股定理得：MC=MD=3，

∴M（9+2t，3），Q（4+4t，0），

答：运动后点M、点Q的坐标分别是（9+2t，3），（4+4t，0）．

（2）解：①0＜t＜1，s=0，

②1＜t≤2.5，如图2，由矩形OPRQ，∠OQH=90°， ∵∠MCD=45°=∠CHQ，

∴CQ=（4+4t）﹣（6+2t）=2t﹣2=QH， ∴S=CQ?QH=（2t﹣2）=2t﹣4t+2，即：s=2t﹣4t+2；

③当2.5＜t＜4时，如图（3）：

同法可求DQ=OD﹣OQ=（6+6+2t）﹣（4+4t）=8﹣2t， ∴s=S△CMD﹣S△DQE=×6×3﹣（8﹣2t）=﹣2t+16t﹣23，即：s=﹣2t+16t﹣23；

④当t≥4时，s=S△CMD=×6×3=9；

答：S与t的函数关系式是s=2t﹣4t+2（1＜t≤2.5）或s=﹣2t+16t﹣23（2.5＜t＜4）或s=9（t≥4）．

（3）解：①直线L经过点C，即C、Q重合

此时4+4t=6+2t，解得：t=1；

②如图直线L切圆于F，即点T，OE=EF=3+t，EQ=1+3t

∵∠FQC=∠FQC，∠EFQ=∠COW=90°， ∴△QFE∽△QOW， ∴

，

求得：t=3， ∴1＜t＜3，

答：t的取值范围是1＜t＜3．

点评：本题主要考查对矩形的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，一次函数的性质，解一元一次方程，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．

24．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．

（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；

（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（

）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于

点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．

考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；平移的性质。专题：计算题。分析：（1）先求出E点的坐标，根据梯形的面积公式即可求出四边形AECD的面积；

（2）根据已知求出直线1上点G的坐标，设直线l的解析式是y=kx+b，把E、G的坐标代入即可求出解析式；（3）根据直线l1经过点F（

）且与直线y=3x平行，知k=3，把F的坐标代入即可求出b的值即可得出直

线11，同理求出解析式y=2x﹣3，进一步求出M、N的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△MNF的面积．解答：解：（1）

，

当y=0时，x=2， ∴E（2，0），

由已知可得：AD=AB=BC=DC=4，AB∥DC， ∴四边形AECD是梯形，

∴四边形AECD的面积S=×（2﹣1+4）×4=10，答：四边形AECD的面积是10．

（2）在DC上取一点G，使CG=AE=1，则St梯形AEGD=S梯形EBCG， ∴G点的坐标为（4，4），

设直线l的解析式是y=kx+b，代入得：

，

解得：

，

即：y=2x﹣4，

答：直线l的解析式是y=2x﹣4．

（3）∵直线l1经过点F（设直线11的解析式是y1=kx+b，则：k=3，

）且与直线y=3x平行，

代入得：0=3×（﹣）+b，解得：b=， ∴y1=3x+

已知将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，则所得的直线的解析式是y=2x﹣4+1，即：y=2x﹣3，当y=0时，x=， ∴M（，0），

解方程组得：，

即：N（﹣，﹣18），

S△NMF=×[﹣（﹣）]×|﹣18|=27．答：△NMF的面积是27．

点评：本题主要考查了一次函数的特点，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的特征，平移的性质等知识点，解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析式．

（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；

考点：一次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）结合图形可知点B和点A在坐标，故设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；

（2）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可得出点D在坐标；联立两直线方程组，求出交点C的坐标，进而可求出S△ADC；

（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，ADC高就是C到AD的距离；

（4）存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在4个这样的点，规律为H、C坐标之和等于A、D坐标之和，设出代入即可得出H的坐标．解答：解：（1）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，由图象知：x=4，y=0； x=3，

，

∴，

∴直线l2的解析表达式为

；

（2）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0， ∴x=1， ∴D（1，0）；由

，

解得，

∴C（2，﹣3）， ∵AD=3，

∴S△ADC=×3×|﹣3|=；

（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等， ADC高就是C到AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|﹣3|=3，则P到AB距离=3，

∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C， ∴点P纵坐标是3， ∵y=1.5x﹣6，y=3，

∴1.5x﹣6=3 x=6，

所以点P的坐标为（6，3）；

（4）存在；（3，3）（5，﹣3）（﹣1，﹣3）

点评：本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关知识，有一定的综合性，难度中等偏上．

26．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点．

（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为

，求出此时点P的坐标；

考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；全等三角形的判定。专题：计算题；动点型。分析：（1）求出P的坐标，当P在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可；当P在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可；（2）把s的值代入解析式，求出即可；

（3）根据全等求出OC、OD的值，如图①所示，求出C、D的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+b，把C（﹣6，0），D（0，﹣8）代入，求出直线CD的解析式，再求出直线CD和直线y=x+6的交点坐标即可；如图②所示，求出C、D的坐标，求出直线CD的解析式，再求出直线CD和直线y=x+6的交点坐标即可．解答：解：（1）∵P（x，y）代入y=x+6得：y=x+6， ∴P（x，x+6），

当P在第一、二象限时，△OPA的面积是s=OA×y=×|﹣6|×（x+6）=x+18（x＞﹣8）当P在第三象限时，△OPA的面积是s=OA×（﹣y）=﹣x﹣18（x＜﹣8）

答：在点P运动过程中，△OPA的面积s与x的函数关系式是s=x+18（x＞﹣8）或s=﹣x﹣18（x＜﹣8）．

解：（2）把s=代入得：=+18或=﹣x﹣18，

解得：x=﹣6.5或x=﹣6（舍去）， x=﹣6.5时，y=，

∴P点的坐标是（﹣6.5，）．

（3）解：假设存在P点，使△COD≌△FOE，①如图所示：P的坐标是（﹣

，

）；

②如图所示：P的坐标是（

，

）

存在P点，使△COD≌△FOE，P的坐标是（﹣，）或（，）．

点评：本题综合考查了三角形的面积，解二元一次方程组，全等三角形的性质和判定，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，此题综合性比较强，用的数学思想是分类讨论思想和数形结合思想，难度较大，对学生有较高的要求．

考点：一次函数综合题。专题：综合题；数形结合。分析：（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标．

②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可．

（2）在OC上取点M，使OM=OP，连接MQ，易证△POQ≌△MOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又AB⊥OP，可得∠AEO=∠CEO，即证△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=4，利用△OAC的面积为6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3．解答：解：（1）①由题意，

（2分）

解得所以C（4，4）（3分）

②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0），（4分）所以

．（6分）

（2）存在；

由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ， ∵OP平分∠AOC， ∴∠AOQ=∠COQ，又OQ=OQ，

∴△POQ≌△MOQ（SAS），（7分） ∴PQ=MQ，

∴AQ+PQ=AQ+MQ，

当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小．即AQ+PQ存在最小值．

∵AB⊥OP，所以∠AEO=∠CEO， ∴△AEO≌△CEO（ASA），

∴OC=OA=4，

∵△OAC的面积为6，所以AM=2×6÷4=3， ∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．（9分）