五年级奥数综合问题 第三讲 方阵问题
更新时间:2024-01-20 10:59:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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五年级奥数综合问题 第三讲 方阵问题
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学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列。如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
核心公式:
1.总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心) 2.外一层每边人数比内一层每边人数多2 相邻两层之间,每层的总数相差8
3.最外层每边人数=(最外层总人数÷4)+1 最外层总人数 = (最外层每边人数-1) ×4 4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1 5. 中空方阵总个数=(每边个数一层数)×层数×4
例1:学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人,问这个方阵共有学生多少人? 解析:方阵问题的核心是求最外层每边人数。 根据四周人数和每边人数的关系可以知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列 的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人) 整个方阵共有学生人数:16×16=256(人)。
【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多少人?
【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个?
【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人,求这个正方形队列原来有多少人? 【巩固4】小红摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚,最外边的一层共多少枚棋子?
例2:参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这 个正方形队列减少一行和一列,则要减少33人。问参加团体操表演的运动员 有多少人?
解析:如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。 从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等;最 外层每边人数是5,去一行、一列则一共要去9人, 因而我们可以得到如下公式:
去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 解 :方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33,
则去掉的一行(或一列) 人数=(33?1)?2?17 人
方阵的总人数为最外层每边人数的平方, 所以总人数为17?17?289(人)
【巩固】 参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列, 如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生?还剩下多少名学生?
例3:解放军战士排成一个每边12人的中空方阵,共四层,求总人数?
解法1:这样想:把中空方阵的总人数,看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。 (1)中实方阵总人数:12×12=144(人) (2)第四层每边人数:12-2×(4-1)=6(人) (3)空心方阵人数:(6-2)×(6-2)=16(人) (4)中空方阵人数:144-16=128(人) 答:总人数是128人。
小结:中空方阵总人数=外边人数×外边人数-(内边人数-2)×(内边人数-2) 解法2:这样想:把中空方阵分成四个相等的长方形。 (1)每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8(人) (2)每个长方形的宽是层数:4人 (3)总人数:8×4×4=128(人) 答:总人数是128人。
小结:中空方阵总人数=(每边人数-层数)×层数×4
【巩固】学校开展联欢会,要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面,每边插7面。一共要准备多少面旗子?
例4:一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花? 整个花园中共栽多少棵花?
解析:①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍. 又知道每个小三角形的边上均匀栽9株,则大三角形边上栽的棵 数为:9?2?1?17(棵)。
②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的, 所以大三角形三条边上共栽花:(17?1)?3?48(棵)。
③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算 大三角形栽花棵数时已经计算过一次,所以小三角形每条边上 栽花棵数为:9?2?7(棵)
解:大三角形三条边上共栽花:(9?2?1?1)?3?48(棵)
中间画斜线小三角形三条边上栽花:(9?2)?3?21(棵) 整个花坛共栽花:48?21?69(棵)
答:大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽花69棵。
【巩固】同学们做早操,排成一个正方形的方阵,从前、后、左、右数,小明都是第5个,这个方阵共有多少人?
例5:小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子, 请问:最外边一层每边有多少枚棋子?
解析1:利用“相邻两层之间,每层的总数相差8”的特点, 可知最外层共有棋子数:
(200+8+8×2+8×3+8×4)÷5=56(个) 最外层每边的棋子数:56÷4+1=15(个) 解析2:如练习中的图,把棋子分成相等的四部分。
每一部分的棋子数:200÷4=50(个) 每一部分每排的棋子数:50÷5=10(个) 最外层每边的棋子数:10+5=15(个) 综合列式为:200÷4÷5+5=15(个) 答:最外边一层每边有15枚棋子。
【巩固】游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方 阵,最外边一层每边12人,请问:彩车周围的少先队员共有多少人?
课后作业
1、若干名同学排成中实方阵则多12人,若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各 增加1人的方阵则还差9人排满,请问:原有学生多少人?
2、 有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有100人,请问:方阵中一共有士兵多少人?
3、 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6枚,请问:要摆成这样 一个中实方阵至少需要多少枚棋子?最外一层的棋子总数是多少?
4、一队学生站成20行20列方阵,如果去掉4行4列,那么要减少多少人?
5、正方形舞厅四周均匀的装彩灯,如果四个角都装一盏且每边装12盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏?
6、“六一”儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵,请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆?
7、四年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,请问:方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?
8、明明用围棋子摆成一个三层中空方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子?
9、若干战士排成一个四层中空方阵,只知道最外一层每边有12人,请你求出总人数。
10、有若干盆鲜花摆成一个中空方阵,最外层共摆48盆,最内层共摆24盆,请问:共摆了多少盆鲜花?
11、有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?
盈亏问题
知识点说明:
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况.分配不足时,称之为“亏”,分配有余称之为“盈”;还有些实际问题,是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时,如果每人少分,则物品就有余(也就是盈),如果每人多分,则物品就不足(也就是亏),凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”.
解答盈亏问题的关键:弄清楚盈、亏与两次分配差的关系。 数量关系:(1)一盈一亏类型:份数=(盈+亏)÷两次分配差 双盈类型:份数=(大盈-小盈)÷两次分配差 双亏类型:份数=(大亏-小亏)÷两次分配差 (2)总数量=每次分的数量×份数+盈 总数量=每次分的数量×份数-亏. 注意1.条件转换 2.关系互换
板块一、直接计算型盈亏问题
例题1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖,还剩7块;如果每人搬5块,则少2块砖.这个班少先队有几个人?要搬的砖共有多少块?(双盈类型)
解析:比较两种搬砖法中各个量之间的关系:每人搬4块,还剩7块砖;每人搬5块,就少2块.这两次搬砖,每人相差5-4=1(块).第一种余7块,第二种少2块,那么第二次与第一次总共相差砖数:7+2=9(块),每人相差1块,结果总数就相差9块,所以有少先队员9÷1=9(人).共有砖:4×9+7=43(块).
巩固1、明明过生日,同学们去给他买蛋糕,如果每人出8元,就多出了8元;每人出7元,就多出了4元.那么有多少个同学去买蛋糕?这个蛋糕的价钱是多少?
巩固2、老猴子给小猴子分桃,每只小猴分10个桃,就多出9个桃,每只小猴分11个桃则多出2个桃,那么一共有多少只小猴子?老猴子一共有多少个桃子?
巩固3、有一批练习本发给学生,如果每人5本,则多70本,如果每人7本,则多10本,那么这个班有多少学生,多少练习本呢?
巩固4、猴王带领一群猴子去摘桃.下午收工后,猴王开始分配.若大猴分5个,小猴分3个,猴王可留10个.若大、小猴都分4个,猴王能留下20个.在这群猴子中,大猴(不包括猴王)比小猴多几只.
例题2、幼儿园给获奖的小朋友发糖,如果每人发6块就少12块,如果每人发9块就少24块,总共有多少块糖呢?(双亏类型)
由题意知:两次的分配结果相差:24?12?12(块),这是因为第一次与第二次分配中每人相差:9-6=3(块),多少人相差12块呢?12÷3=4(人),糖果数是:6×4-12=12(块).
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