5-4-线性微分方程解的结构

习题5.4(P306)

1. 用观察法求下列方程的一个特解.

(1) (x+1)y′′ 2xy′+2y=0

解：由于方程中y及y′的系数有关系：p(x)+xq(x)=0，故y=x为上述方程的一个特解.

(2) xy′′ (1+x)y′+y=0

解：由于方程中y及其各阶导数的系数之和为零，故y=e为上述方程的一个特解.

2. 用常数变易法求方程y′′+y=tanx的通解.

解：方程所对应的齐次方程的特征方程为r+1=0，特征根为r1,2=±i， 故方程所对应的齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx

设非齐次方程的特解为y0=C1(x)cosx+C2(x)sinx， 22x

′=C1′(x)cosx C1(x)sinx+C2′(x)sinx+C2(x)cosx 则y0

′(x)sinx=0′(x)cosx+C2令C1(1)

′= C1(x)sinx+C2(x)cosx 故y0

′′= C1′(x)sinx C1(x)cosx+C2′(x)cosx C2(x)sinx y0

′(x)sinx+C2′(x)cosx=tanx代入原方程得 C1(2)

sin2x′(x)= ′(x)=sinx， 联立(1)(2)解得C1，C2cosx

sin2x解得C1(x)=∫ dx=sinx lnsecx+tanx， cosx

C2(x)=∫sinxdx= cosx， 故该方程的通解为y=C1cosx+C2sinx cosx lnsecx+tanx

3. 验证y1=e

的通解.

第5章 常微分方程 第4节 线性微分方程解的结构 1/3 x2和y2=xex22都是方程y′′ 4xy′+(4x 2)y=0的解，并写出该方程

x2x2′=2xe证明：y1

左=(2ex2′′=2e，y12′，y1′′代入方程左端： +4x2ex，把y1，y1222+4x2ex) 4x 2xex+(4x2 2)ex=0=右，所以y1=ex是方程2y′′ 4xy′+(4x2 2)y=0的解；

x′代入方程左端： ′=6xex+4x3ex，把y2，y′y′+2x2ex，y′2=e22，y′22222

左=(6xex2+4x3ex) 4x (ex+2x2ex)+(4x2 2)xex=0=右，

x22222所以y2=xe

由于y1=e

2是方程y′′ 4xy′+(4x 2)y=0的解； x2x2和y2=xe线性无关，故该方程的通解为y=C1ex2+C2xex 2

4. 证明：如果y1和y2是二阶线性非齐次方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的两个线性

无关解，则y1 y2是对应的齐次方程的解.

证明：因为y1是二阶线性非齐次方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解，所以

′′+p(x)y1′+q(x)y1=f(x) （1） y1

因为y2是二阶线性非齐次方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解，所以

′+p(x)y2′+q(x)y2=f(x) （2） y′2

（1） 式、（2）式左右两端分别相减，得

(y1 y2)′′+p(x)(y1 y2)′+q(x)(y1 y2)=0

即y1 y2是对应的齐次方程的解.

5. 证明：已知二阶线性非齐次方程的三个特解为y1=x (x+1)，2

y2=3ex (x2+1)，y3=2x ex (x2+1)，求该方程满足初始条件y(0)=0,y′(0)=0的特解.

证明：由于给定的三个特解线性无关，由习题5.4第4题知y1 y2=x 3e，xy1 y3=ex x为对应的齐次方程的两个线性无关的特解，故对应的齐次方程的通解为y=C1(x 3ex)+C2(ex x)，由线性非齐次方程通解的结构定理知其通解为

第5章 常微分方程 第4节 线性微分方程解的结构 2/3

y=C1(x 3ex)+C2(ex x)+x (x2+1)，

1 C= 12 3C1+C2 1=0 代入初始条件得 ，解得 5C 2+1=01 C2=2

故线性非齐次方程满足初始条件的特解为y=e x x 1

6. 已知微分方程(x 2x)y′′ (x 2)y′+(2x 2)y=6x 6有三个特解y1=3，22x2

y2=3+x2，y3=3+x2+ex，求该方程的通解.

解：该方程是二阶线性非齐次微分方程，由于给定的三个特解线性无关，由习题5.4第4题知y2 y1=x，y3 y2=e为对应的齐次方程的两个线性无关的特解，故对应的齐次方程的通解为y=C1x+C2e，由线性非齐次方程通解的结构定理知其通解为22xx

y=C1x2+C2ex+3

第5章 常微分方程 第4节 线性微分方程解的结构 3/3

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