2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第十一章 因

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第十一章 因式分解(分3个考点精选48题）

11.1 提公因式法

（2012北京，9，4）分解因式：mn2?6mn?9m? ． 【解析】原式=m(n+6n+9)=m(n+3) 【答案】m(n+3)2

【点评】本题考查了提公因式及完全平方的知识点。

（2012广州市，13， 3分）分解因式a－8a 。 【解析】提取公因式即可分解因式。 【答案】:a(a－8).

【点评】本题考查了因式分解的方法。比较简单。

（2012浙江省温州市，5，4分）把a2?4a多项式分解因式，结果正确的是（ ） A. a?a?4? B. (a?2)(a?2) C. a(a?2)(a?2) D. (a?2)2?4

【解析】分解因式按“一提二套”原则:有公因式的先提取公因式,再套用平方差公式或完全平方公式，本题可直接提公因式． 【答案】A 【点评】有公因式的要先提取公因式，然后再考虑运用平方差公式或完全平方公式进行分解.因式分解要分解到每个多项式因式都不能再分解为止，此题较基础．

（湖南株洲市3,9）因式分解：a?2a= . 【解析】a?2a?a(a?2) 【答案】a(a?2)

【点评】本题主要考查因式分解的常用方法及步骤：先提取公因式，再运用公式法进行分解．

（2012四川成都，1l，4分）分解因式：x?5x=________．

解析：因式分解的基本方法是提取公因式法、公式法、分组分解法。本题只有两项，所以，

只能用提取公因式法和平方差公式法。观察可知有公因式x，提取公因式法分解为x(x-5)。 答案：x(x-5)。

点评：公因式的确定方法是：系数是各项系数的最大公约数，字母是各项都有的字母，指数

取最小。

（2012湖北随州，11,4分）分解因式：4x?9=______________________。

2222

2

22

解析：4x2?9?(2x)2?32?(2x?3)(2x?3)。

答案：(2x+3)(2x-3)

点评：本题考查了因式分解。对于多项式若其由两项组成，且为可化为平方差的形式，则可利用公式法直接进行因式分解。

（2012湖南湘潭，10，3分）因式分解：m2?mn= . 【解析】提取公因式m，得m2?mn=m(m-n). 【答案】m(m-n).

【点评】此题考查因式分解的方法，有公因式时，先提取公因式。

(2012广东汕头，9，4分)分解因式： 2x2﹣10x= 2x（x﹣5） ． 分析： 首先确定公因式是2x，然后提公因式即可． 解答： 解：原式=2x（x﹣5）． 故答案是：2x（x﹣5）． 点评： 本题考查了提公因式法，正确确定公因式是关键． (2012江苏苏州，12，3分)若a=2，a+b=3，则a+ab= 6 ．

分析： 利用提公因式法进行因式分解，然后把a=2，a+b=3代入即可． 解答： 解：∵a=2，a+b=3， ∴a2+ab=a（a+b）=2×3=6． 故答案为：6． 点评： 本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法把a2+ab进行因式分解是解题的关键．

（2012四川泸州，15，3分）分解因式a?ab= .

解析：分解因式的基本方法有提公因式法、公式法.本题直接提公因式来分解. 答案：a?ab?a(a?b).

点评：分解因式要分解到不能分解为止.分解遇到公式时，注意公式结构与意义.

（2012湖北咸宁，9，3分）因式分解：a2?2a? ． 【解析】直接提取公因式a即可． 【答案】a(a?2)

【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．

11.2 公式法

（2012福州，11，4分，）分解因式：x2-16= . 解析：直接用平方差公式将因式分解。 答案：（x+4）（x-4）

22

2

点评：等式变形是代数计算中的一个重要组成部分，熟练掌握平方差、完全平方公式是进行代数变形的基本能力。

（2012安徽，4，4分）下面的多项式中，能因式分解的是（）

A.m2?n B. m2?m?1 C. m2?n D.m2?2m?1 解析：根据分解因式的方法，首先是提公因式，然后考虑用公式，如果项数较多，要分组分解，本题给出四个选项，问哪个可以分解，对照选项中的多项式，试用所学的方法分解．就能判断出只有D项可以.

解答：解：m2?2m?1?(m?1)2 故选D．

点评：在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，最后一定要分解到每个因式不能再分为止.

（2011山东省潍坊市，题号13，分值3）13、分解因式：x3?4x2?12x? 考点：多项式的因式分解

解答：x3?4x2?12x?x?x2?4x?12??x?x?6??x?2?

点评：多项式分解因式时，应先提取公因式，后利用公式法或十字相乘法，最后要分解彻底。

（2012浙江省义乌市，11，4分）因式分解:x2-9= . 【解析】由平方差公式可得x2-9=（x+2）（x-2）。 【答案】(x+3)(x-3)

2

（2012福州，11，4分，）分解因式：x-16= . 解析：直接用平方差公式将因式分解。

答案：（x+4）（x-4）

点评：等式变形是代数计算中的一个重要组成部分，熟练掌握平方差、完全平方公式是进行代数变形的基本能力。

（2012江苏盐城，10，3分）分解因式：a2-4b2= .

【解析】本题考查了因式分解的方法.掌握平方差公式是关键.运用平方差公式分解即可 【答案】a2-4b2=（a+2b）(a-2b) .

【点评】本题主要考查了因式分解，分解因式的步骤是：有公因式先提取公因式，提公因式后能运用公式分解，再运用公式进行分解．

2

（2012江苏泰州市，15,3分）分解因式：a-6a+9= ．

【解析】根据完全平方公式a+2ab+b=(a+b)进行因式分解，a-6a+9=(a-3) ．

【答案】(a-3)

【点评】本题考查了运用完全平方公式因式分解，也有部分同学没有理解因式分解的意义．

（2012安徽，4，4分）下面的多项式中，能因式分解的是（）

2

2

2

2

2

2

A.m2?n B. m2?m?1 C. m2?n D.m2?2m?1 解析：根据分解因式的方法，首先是提公因式，然后考虑用公式，如果项数较多，要分组分解，本题给出四个选项，问哪个可以分解，对照选项中的多项式，试用所学的方法分解．就能判断出只有D项可以.

解答：解：m2?2m?1?(m?1)2 故选D．

点评：在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，最后一定要分解到每个因式不能再分为止.

（2012浙江省湖州市，12，4分）因式分解：x2-36? 。

22

【解析】直接利用平方差公式a-b=(a+b)(a-b)分解即可． 【答案】．x2-36?（x+6）（x-6）

【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．

（2012呼和浩特，4，3分）下列各因式分解正确的是 A. –x2+(–2)2=(x–2)(x+2) B. x2+2x–1=(x–1)2 C. 4x2–4x+1=(2x–1)2 D. x2–4x=2(x+2)(x–2)

【解析】A选项–x+(–2)=2–x=(2–x)(2+x)，所以A错；B选项，应是x–2x+1=(x–1)，所以B错；

D选项x–4x=x(x–4)，所以D错。 【答案】C

【点评】本题考查了因式分解中的平方差公式、完全平方公式和提公因式的运算。

( 2012年四川省巴中市,11,3)因式分解：x2-9=__________. 【解析】用平方差公式分解得x2-9=（x+3)(x-3)

【答案】（x+3)(x-3)

【点评】本题考查用平方差公式分解因式,是比较容易的知识点.熟记公式是解决问题的关键.

11.3 综合法

（2012浙江丽水4分，12题）分解因式：2x2-8=________.

【解析】：2x2-8=2（x2-4）=2（x+2）（x-2）. 【答案】：2（x+2）（x-2）

【点评】：提公因式法和运用公式法是初中分解因式的两种主要方法，本题旨在考查对这两种方法以及乘法公式的运用能力.难度较小.

(2012山东省临沂市，15，3分）分解因式a-6ab?9ab2? . 【解析】先提公因式得，a-6ab?9ab2?a(1-6b?9b2)；再利用完全平方式得，

a(1-6b?9b)=a(1-3b)2222

22

22

2

【答案】a(1-3b)2

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方式进行二次分解，注意分解要彻底．

(2012四川省南充市，12，4分) 分解因式：x2?4x?12=________________________. 解析：对于x2?(a?b)x?ab型二次三项式的因式分解，只要把常数项分解成两个因数的积，而一次项系数正好等于这两个因数的和，那么就可以把它分解成(x?a)(x?b)。 答案：（x+2）(x-6)

点评：观对于二次三项式，根据其特点一般可以分别采用配方、分项或

x?(a?b)x?ab?(2x?)a(本题因为因为x?4x?12不是完全平?x的方法分解因式。)b2方式，不能直接使用公式法进行分解。

（2011江苏省无锡市，3，3′）分解因式(x?1)2?2(x?1)?1的结果是（ ） A．(x?1)(x?2) Bx2． C．(x?1)2 D．(x?2)2

【解析】若把x?1看成一个整体，从代数式的结构看就是差的完全平方公式。

(x?1)?2(x?1)?1?[(x?1)?1]?(x?2)222

【答案】D

【点评】本题主要考查分解因式的常用方法：提取公因式法、运用公式法及二者的混合运用，另外要注意整体思想的运用。考查学生灵活应用的能力。

（2012浙江省绍兴，11，5分）因式分解：a3－a= ▲ .

【解析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）

2

．

【答案】a(a+1)(a-1)

【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．

12. （2012浙江丽水4分，12题）分解因式：2x-8=________. 【解析】：2x2-8=2（x2-4）=2（x+2）（x-2）.

【答案】：2（x+2）（x-2） 【点评】：提公因式法和运用公式法是初中分解因式的两种主要方法，本题旨在考查对这两种方法以及乘法公式的运用能力.难度较小.

（2012四川内江，13，5分）分解因式：ab3－4ab＝ .

2

【解析】先提公因式，再用公式．原式＝ab(b－4)＝ab(b＋2)(b－2). 【答案】ab(b＋2)(b－2)

【点评】将一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式因式分解（也叫做分解因式）.一般地，如果一个多项式的各项有公因式，必须先提取公因式；满足平方差公式或完全平方公式特征的多项式可以直接用公式分解因式；因式分解要做到两点：①所得结果必须为“几个整式的积的形式”；②所得结果中的每一个多项式都不能再分解.

2

(2012山东省临沂市，15，3分）分解因式a-6ab?9ab2? . 【解析】先提公因式得，a-6ab?9ab2?a(1-6b?9b2)；再利用完全平方式得，

a(1-6b?9b)=a(1-3b)22

【答案】a(1-3b)2

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方式进行二次分解，注意分解要彻底．

(2012四川省南充市，12，4分) 分解因式：x2?4x?12=________________________.

解析：对于x2?(a?b)x?ab型二次三项式的因式分解，只要把常数项分解成两个因数的积，而一次项系数正好等于这两个因数的和，那么就可以把它分解成(x?a)(x?b)。 答案：（x+2）(x-6)

点评：观对于二次三项式，根据其特点一般可以分别采用配方、分项或

x?(a?b)x?ab?(2x?)a(本题因为因为x?4x?12不是完全平x?的方法分解因式。)b2方式，不能直接使用公式法进行分解。

（2012山东泰安，21， 3分）因式分解：x3?6x2?9x= 。

【解析】先提取公因式，然后运用完全平方公式进行分解，x?6x?9x=x(x-6x+9) =x(x-3)2. 【答案】x(x-3)2.

【点评】本题考查因式分解，因式分解是整式部分的重要内容，也是分式运算和二次根式运

算的基础，因式分解的步骤：一提（提公因式），二套（套公式，主要是平方差公式和完全平方公式）． （2012湖南益阳，10，4分）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式： ．

【解析】只要是要熟记凡是形如：a?b形式的多项式，都能用平方差公式分解因式，这是关键所在，只要理解了这个就可以任意写出一个答案了，答案不唯一。 【答案】答案不唯一，如x?1

【点评】本题只要考查对平方差公式的记忆和应用，主要是形式的应用，体现了数学的形式不变性，属答案不唯一的题型，难度不大。

(2012贵州六盘水，12，4分)分解因式：2x2+4x+2= ▲ .

222322

分析：这个多项式有公因式2，提取公因式后，再用完全平方公式即可． 解答：解：2x+4x+2=2（x+1）．

点评：本题主要考查提公因式法和公式法分解因式，提出公因式是解题的关键．

（2012黑龙江省绥化市，3，3分）分解因式a3b?2a2b2?ab3? ． 【解析】 解：原式=ab（a2-2ab+b2）=ab(a-b)2．

【答案】 ab(a-b)．

【点评】 本题主要考查了因式分解常见方法，对于此类题型常见考查的有三种：①一提公因式再运用平方差公式因式分解；②一提公因式再运用完全平方公式因式分解；③一提公因式再运用十字相乘法因式分解．难度较小．

（2012陕西12，3分）分解因式：x3y-2x2y2+xy3= ．

【解析】先提公因式，再运用公式分解：x3y-2x2y2?xy3?xy?x2-2xy?y2??xy?x-y? 【答案】xy?x-y?222

2

2

2

2

【点评】本题主要考查因式分解的两种主要方法：提公因式法和运用公式法.难度较小. （2012北海,13，3分）13．因式分解：－m＋n＝___________。 【解析】交换两项的位置，根据平方差公式，即可得出答案。

【答案】(m＋n)( m－n)

【点评】本题考查的是因式分解的平方差公式，平方差公式是两项，而且两项的符号相反，属于简单题型。

（2012深圳市 13 ，3分）分解因式：a?ab? 。

【解析】：考查分解因式的基本方法：提取公因式法和运用公式法。需要正确确定公因式和

运用公式。 【解答】：a?ab?a(a?b)?a(a?b)(?b)

【点评】：按分解因式的步骤，“一提二套”，原则是分解到不能分解为止。易错点是分解不

彻底。

（2012四川宜宾，9，3分）分解因式：3m-6mn+3n=

22322232【解析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．注意完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）．

【答案】解：3m2﹣6mn+3n2=3（m2﹣2mn+n2）=3（m﹣n）2．

故答案为：3（m﹣n）．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式的知识．注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

（2012山东东营，14，4分）分解因式：x3?9x= ．

2

2

【解析】先提取公因式，然后运用平方差公式进行分解，x3?9x=x(x2-9)= x(x+3) (x-3). 【答案】x(x+3)(x－3)

【点评】本题考查因式分解，因式分解是整式部分的重要内容，也是分式运算和二次根式运算的基础，因式分解的步骤：一提（提公因式），二套（套公式，主要是平方差公式和完全平方公式）．

(2012贵州黔西南州，19，3分)分解因式：a－16a=__________．

42222

【解析】a―16a= a(a―16)= a(a＋4)(a―4)． 【答案】a2(a＋4)(a―4)．

【点评】分解因式要掌握正确的方法，一般按照“一提(公因式)、二套(公式)、三分组(分组分解法)”的步骤或方法进行，并且注意分解彻底．

（2012·湖南省张家界市·9题·3分）因式分解：8a2-2=________.

【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式分解. 【解答】原式=2（4a2-1）=2（2a+1）（2a-1）.

【点评】因式分解的一般步骤是：一提（公因式），二套（套用公式），因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止.

3

（2012，湖北孝感，13，3分）分解因式：ab-ab=________．

【解析】先提取公因式ab，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．ab-ab=ab(a-1)=ab(a+1)(a-1) 【答案】ab(a+1)(a-1)

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．

(2012广安中考试题第11题，3分)分解因式3a2-12=_____________________．

思路导引：由于有公因数3，因此，应当先提出公因式，再结合平方差公式分解因式

22

解：3a-12=3（a-4）=3（a＋2）（a－2）

点评：分解因式问题，一般是观察式子，先提取公因式，再观察多项式的项数，两项一般运用平方差分析，三项，注意变为完全平方的形式，再运用完全平方公式，还应注意是和或者是差的完全平方.

（2012江苏省淮安市，12，3分）分解因式：a2+2a+1 = ．

【解析】本题是一个二次三项式，且 a2和1分别是a 和1的平方，2a是它们二者积的两倍，符合完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b) 2的结构特点， 根据完全平方公式可得，a2+2a+1=(a+1)

2

3

2

4

2

．

2

【答案】(a+1)

【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．因式分解时要按“一提、二看、三分组”的顺序进行，即先看有没有公因式可提，再考虑能否运用公式分解，最后考虑运用分组分解法．

（2012，黔东南州，12）分解因式x?4x=

3

解析：x3?4x?x?x2?4??x?x?2??x?2? . 答案：x(x?2)?x?2?.

点评：本题考查因式分解，因式分解的步骤为一提公因式，二是运用公式. 难度较小

（2012云南省，11 ，3分）分解因式：3x2?6x?3? 。

【解析】要先提公因式3，然后就有完全平方公式的形式，利用完全平方公式即可。

3x?6x?3?3(x?2x?1)?3(x?1)

222【答案】3(x?1)

【点评】记住分解因式的方法是关键，其次识记完全平方公式，主要考查考生的识记能力。 （2012·哈尔滨，题号14分值 3）把多项式a3—2a2+a分解因式的结果是 【解析】本题考查知识点是因式分解．先提取公因式a，再用公式法分解：a-2a+a=a(a-2a+1)=

3

2

2

2a(a-1).

2

【答案】a(a-1)

【点评】考生常出错的地方是提公因式以后，没有观察分解是否彻底.

（2012·湖北省恩施市，题号25 分值 3）a4b?6a3b?9a2b分解因式的正确结果是（ ）

A．

ab(a?6a?9)b(a?3)22222

D．因

B．

2ab(a?3)(a?3)22

C． 【

4 提

ab(a?3) ，

再

用

公式

法

分解

：

解析

3】先

2取公式

ab2ab?6ab?9ab=a2b(a2?6a?9)=a2b(a?3)2．

【答案】D

【点评】】分解因式常用的方法是提公因式法和公式法，本题综合考查了这两种方法，考生常出错的地方是提公因式以后，没有观察分解是否彻底，而本题综合两种方法考查，使得本题的区分度较高．

（2012湖北黄冈，10，3）分解因式x3-9x=__________. 【解析】x3-9x=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）

【答案】x（x+3）（x-3）

【点评】考查利用提公因式法和运用公式法来分解因式，但要分解彻.难度较小.

（2012四川宜宾，13，3分）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7

恒成立，则y的值为

【解析】先根据题意把P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2分别代入3P﹣2Q=7中，再合并同类项，然后提取公因式，即可求出y的值．

【答案】解：∵P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，

∴3P﹣2Q=3（3xy﹣8x+1）﹣2（x﹣2xy﹣2）=7恒成立， ∴9xy﹣24x+3﹣2x+4xy+4=7， 13xy﹣26x=0， 13x（y﹣2）=0， ∵x≠0， ∴y﹣2=0， ∴y=2；

故答案为：2．

【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是把要求的式子进行整理，然后提取公因式，是一道基础题．

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