数字信号处理习题答案

部分练习题参考答案

第二章

2.1 x(n)?2?(n?2)??(n?1)?3?(n)?2?(n?1)

??(n?2)??(n?3)?2?(n?4)??(n?6)

2.2 其卷积过程如下图所示

x(m) 2 1 0.5

0 h(0-m)

2

1 0

-1

y(n)

h(1-m) 2

1

m

2

n

0

-1

-1 -0.5 2.5

m

-1

5

m

1 0

-1 m

h(m) 2

h(-1-m)

2 1

m

0

0

-1

y(n)?2?(n)?5?(n?1)?2.5?(n?2)??(n?3)??(n?4)?0.5?(n?5)

32?142.3 （1）???,这是有理数，因此是周期序列。周期N=14。 ?7?32?k（2）p??16?k，k取任何整数时，p都不为整数，因此为非周期序列。

1/82?k122?k（3）p1??k,p2??4k，当p1，p2 同时为整数时k=5,x(n)为周期序

5/6?50.5?列,周期N=60。

2?k（4）p??1.25?k，取k=4，得到p=6，因此是周期序列。周期N=6。

1.6?2.4 （1） y(n)?x(n)?h(n)?(a) 当n<0 时，y(n)=0

m????R(m)R(n?m)

54? (b) 当0?n?3时，y(n)? (c) 当4?n?7时，y(n)? (d) 当n>7时，y(n)=0

m?03?1?n?1

m?n?4n?1?8?n

?0n?0或n?7?0?n?3 所以y(n)??n?1?8?n4?n?7?（2）y(n)?2R4(n)?[?(n)??(n?2)]?2R4(n)?2R4(n?2)

?2[?(n)??(n?1)??(n?4)??(n?5)]

（3）y(n)?x(n)?y(n)?m????R(m)0.55n?m????n?mu(n?m)

?0.5?mR(m)0.5u(n?m) ?5(a) 当n<0 时，y(n)=0 (b) 当0?n?4时，y(n)?0.5n4nm?0?0.5?mn?m1?2n?1?0.5?2?0.5n

1?2n1?25?31?0.5n (c) 当n?5时，y(n)?0.5?0.5?0.51?2m?0nn最后写成统一表达式：y(n)?(2?0.5)R5(n)?31?0.5u(n?5)

n（4）y(n)?x(n)?h(n)?(a) 当n?0 时，y(n)=0

m????R(m)0.53?n?m

(b) 当1?n?3时，y(n)?0.5nm?0?0.53m?n?2n?1?m1?2n?0.5?1?0.5n

1?2n (c) 当4?n?5时，y(n)?0.5 (d) 当n?6时，y(n)=0

n?0.5?m2n?2(1?26?n)?0.5?16?0.5n?0.25

1?2ny(n)?0.5?(n?1)?0.75?(n?2)?0.875?(n?3)?0.75?(n?4)?0.25?(n?5)

2.6 （1）非线性、移不变系统

（2）线性、移不变系统 （3）线性、移变系统 （4）非线性、移不变系统 （5）线性、移变系统

2.7 （1）若g(n)??，则稳定，因果，线性，时变

（2）不稳定，n?n0时因果，n?n0时非因果，线性，时不变 （3）线性，时变，因果，不稳定 2.8 （1）因果，不稳定

（2）因果，稳定

（3）因果，稳定 （4）因果，稳定 （5）因果，不稳定 （6）非因果，稳定 （7）因果，稳定 （8）非因果，不稳定 （9）非因果，稳定 （10）因果，稳定

2.9 因为系统是因果的，所以n?0,h(n)?0

令x(n)??(n)，y(n)?h(n)?0.5h(n?1)?x(n)?0.5x(n?1) h(0)?0.5h(?1)?x(0)?0.5x(?1)?1

h(1)?0.5h(0)?x(1)?0.5x(0)?0.5?0.5?1 h(2)?0.5h(1)?x(2)?0.5x(1)?0.5 h(3)?0.5h(2)?x(3)?0.5x(2)?0.52 h(n)?0.5h(n?1)?x(n)?0.5x(n?1)?0.5n?1

所以系统的单位脉冲响应为h(n)??(n)?0.52.10 （1）初始条件为n<0时，y(n)=0

设x(n)??(n)，输出y(n)就是h(n) 上式可变为

h(n)?0.5h(n?1)??(n)

可得 h(0)?0.5h(?1)?1?1 依次迭代求得h(1)?0.5h(0)?0?0.5

n?1u(n?1)

h(2)?0.5h(1)?0?0.52 ?

h(n)?0.5h(n?1)?0?0.5n

故系统的单位脉冲响应为h(n)?0.5u(n) （2）初始条件为n≥0时，y(n)=0

y(n?1)?2[y(n)?x(n)]

nh(n)?0,n?0

h(?1)?2[h(0)?x(0)]??2 h(?2)?2[h(?1)?x(?1)]??22 h(?3)?2[h(?2)?x(?2)]??23 ?

h(n)?2h(n?1)??2n

所以h(n)??2u(?n?1) 2.11 证明

（1）因为x(n)?h(n)?令m'?n?m，则

nm?????x(m)h(n?m)

?x(n)?h(n)?m'????x(n?m')h(m')?h(n)?x(n)

（2）利用（1）证明的结果有

x(n)?[h1(n)?h2(n)]?x(n)?[h2(n)?h1(n)]

??交换求和的次序有

m????m????x(m)[h(n?m)?h(n?m)]

21?21k?????x(m)?h(k)h(n?m?k)

?21x(n)?[h1(n)?h2(n)]??k?????h(k)?x(m)h(n?m?k)

m???k?????h(k)[x(n?k)?h(n?k)]

21??h2(n)?[x(n)?h1(n)] ?[x(n)?h1(n)]?h2(n)

（3）x(n)?[h1(n)?h2(n)]?m?????x(m)[h(n?m)?h(n?m)]

12?12m????m????x(m)h(n?m)??x(m)h(n?m)

(m)an?mu(n?m)

?N?x(n)?h1(n)?x(n)?h2(n)

2.12 y(n)?x(n)?y(n)?m????R?an?Nm????R(m)a?mu(n?m)

(a) 当n<0 时，y(n)=0

(b) 当0?n?N?1时，y(n)?a(c) 当n?N时，y(n)?annm?0?ann?m1?(1/a)n?1an?1?1?a?

1?1/aa?1nm?0?aN?1?m1?(1/a)Nan?1?an?N?1?a?

1?(1/a)a?1an?1?1an?1?an?N?1RN(n)?u(n?N) 最后写成统一表达式：y(n)?a?1a?12.13 y1(n)?x(n)?h1(n)?u(n)*[?(n)??(n?4)]

?u(n)?u(n?4)?R4(n)

y(n)?y1(n)?h2(n)?R4(n)?anu(n)

an?1?1an?1?an?3?R4(n)?u(n?4)

a?1a?12.14 （1）采样间隔为T?1/200?0.005

?a(t)?x?n?????sin(2?f0nT???88)?(t?nT)

n????sin(100?nT??)?(t?nT)

（2）x(n)?sin(0.5?n??8)

数字频率??0.5?，

x(n) 0.92

2???4，周期N=4

0.38

n

0

-0.38

-0.92

?

02.15 （1）X(ej?)?n?????(n?n?)e?j?n?e?j?n0 ??e(???j?0n)e?j?n

n?0? （2）X(ej?)?n????x(n)e???j?n?e?en?0?j(?0??)n

e??? j(?0??)1?e （3）X(ej?)?n????x(n)e1???j?n??en?0???ne?j?n??e?(??j?)n

n?0?? （4）X(ej?1?e?(??j?)n????

)??x(n)e??n?j?n??e??ncos?0ne?j?n

n?0?1j?0n1?(???j?0?j?)n?j?0n?j?n??e(e?e)e??[e?e(???j?0?j?)n]

22n?0n?01?e?j?e??cos?01?11????? ?j????2j??2?2?1?e??ej(?0??)1?e??e?j(?0??)?1?2eecos??ee?0（5）X(e2N?1j?)?n????x(n)e???j?n2N?1????????j?n1?cos ?n??e???N??n?N??n?N?e?j?N?j?n?jn12N?1jNn??(e?eN)e?j?n 2n?N?j?N?e(1?e1?e?j??????)Nj(??)N?j(??)N?j(??)N??j(?)1?eN(1?eN)eN(1?eN)??? ????j(??)?j(??)2??1?eN1?eN??

1?cose?j?sin(N)?j(3N?1)?3?jN??N2?e2?cos(N)e2

??2sin1?2cose?j??e?j2?2N1?101?j?nj?j?nj?n2.16 （1）h(n)?H(e)ed??jed??jed? ???????02?2?2?0n为偶数1?(?1)n?? ???2n为奇数n???n?（2）y1(n)?x1(n)?h(n)?sin(?0n)

y2(n)?x2(n)?h(n)??cos(?0n)

2.17 （1）X(e??j???)

（2）[X(e?12j?)?X?(e?j?)]

?jj12（3）[X(e)?X(?e2)]

22j?（4）X(e)

2.18采样间隔为T?0.25，采样频率?s?8?

ya1(t)没有失真，因为输入信号的频率?1?2?小于

?s?4? 2ya2(t)失真，因为输入信号频率?2?5?大于

第三章

3．1 设X(ej??s?4? 2)和Y(ej?)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换：

*（1）x(n?n0) （2） x(n) （3） x(?n) （4） x(n)*y(n) （5） x(n)?y(n) （6） nx(n) （7） x(2n) （8）x(n) （9）x9(n)??2?x(n2),n?偶数

0，n?奇数?解：（1） FT[x(n?n0)]=

n????x(n?n?0)e?j?n

令n??n?n0，n?n??n0，则

FT[x(n?n0)]=

??j?(n???n0)?x(n)e?e?j?n0X(ej?) ??n???（2） FT[x(n)]=

*n?????x*(n)e?j?n?[?x(n)e?j?n]*?X*(e?j?)

n????（3） FT[x(?n)]=令n???n，则

FT[x(?n)]=

n????x(?n)e?j?n

n????x(n?)e?j??jn??X(e?j?)

（4） FT[x(n)*y(n)]=X(e?)Y(ej?)

证明 x(n)*y(n)=

m????x(m)y(n?m)

?[?x(m)y(n?m)]e???j?k???j?nFT[x(n)*y(n)]=

令k?n?m，则

FT[x(n)*y(n)]=

n???m???k???m?????[?x(m)y(k)]ee?j?m

=

k????y(k)ej??j?km????x(m)e??j?m

=X(e?)Y(ej?)

?j?n（5） FT[x(n)?y(n)] =

n?????x(n)y(n)e?

1 =?x(n)[2?n???1 =

2???Y(e?n????j??)ej??nd??]e?j?n

????Y(ej??)?x(n)e?j(????)nd??

1? =Y(ej??)X(ej(????))d?? ?2???1或者 FT[x(n)y(n)]=X(ej?)*Y(ej?)

2?（6） 因为X(ej?)?n????x(n)e??j?n，对该式两边对?求导，得到

?dX(ej?)??j?nx(n)e?j?n??jFT[nx(n)] d?n???dX(ej?)因此 FT[nx(n)]=j

d?（7） FT[x(2n)]=令n??2n，则

FT[x(2n)]=

n????x(2n)e??j?n

n?取偶数??x(n?)e?j?n?2

1?j?n1n =?[x(n)?(?1)x(n)]e2

n???2??j?n?j?n1?2??ej?nx(n)e2] =[?x(n)e2n???n???11j?j(???)1)] =[X(e2)?X(e2211或者

j?j?j?122)?X(e)]?X(e2) FT[x(2n)]=[X(e2?111（8） FT[x(n)]=

2n????x2(n)e?j?n

利用（5）题结果，令x(n)?y(n)，则

11?j??j(????)X(ej?)*X(ej?)=X(e)X(e)d?? ???2?2??n（9） FT[x9(n)]=?x()e?j?n

2n???FT[x(n)]=

2n取偶数令n??n2,???n???，则

FT[x9(n)]=

3．2 已知

n???n取偶数?x(n?)e??j2?n??X(ej2?)

|?|??0?1,X(e)??

0,??|?|??0?j?求X(ej?)的傅里叶反变换x(n)。

解： x(n)?12?????0ej?nd??0sin?0n ?nj?3．3

线性时不变系统的频率响应（传输函数）H(e)?|H(ej?)|ej?(?)，如果单位脉冲

?0n??)的稳态响应为 响应h(n)为实序列，试证明x(n)?Acos(y(n)?A|H(ej?0)|cos[?0n????(?0)]

解：假设输入信号x(n)?ej?0n，系统单位脉冲响应为h(n)，系统输出为

j?0(n?m)y(n)?x(n)*h(n)?m????h(m)e??ej?0nm????h(m)e??j?0m?H(ej?0)ej?0n

上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和

相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。

x(n)?Acos(?0n??)=

1A[ej?0nej??e?j?0ne?j?] 21A[ej?0nej?H(ej?0)?e?j?0ne?j?H(e?j?0)] 21j?nj?j?j?(?0) =A[e0e|H(e0)|e?e?j?0ne?j?|H(e?j?0)|ej?(??0)]

2y(n)?上式中|H(ej?)|是?的偶函数，相位函数是?的奇函数，即

|H(ej?0)|=|H(e?j?0)|， ?(?0)???(??0)

y(n)?1A|H(ej?0)|[ej?0nej?ej?(?0)?e?j?0ne?j?e?j?(?0)] 2j?0=A|H(e3．4 设

)|cos[?0n????(?0)]

?1,x(n)???0,n?0,1其它

将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列~画出x(n)和~求出~x(n)，x(n)的波形，x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶变换。 解：画出x(n)和~x(n)的波形如题4解图所示。

~

题4解图

3?j~~~X(k)?DFS[x(n)]??x(n)en?02?kn4??en?01?jkn2??1?e?jk2?

=e?jk4???k?jk??jk?j??~?e4?e4??2cos(k)?e4，X(k)以4为周期 ??4??2?X(e)?FT[~x(n)]?4j?2?~X(k)?(??k) ?4k????=

??~X(k)?(??k) ?2k???2?=?cos(k)e?4k??????jk4??(??j??2k)

3．5 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(e（1）X(e)； （2）

j0j?)表示，不直接求出X(e)，完成下列运算：

????X(ej?)d?；

j?（3）X(e)；

（4）确定并画出傅里叶变换实部

Re[X(ej?)]的时间序列xe(n)；

（5）

????|X(ej?)|2d?；

2dX(ej?)|d?。 （6）?|??d??

解：（1） X(e)=

?j0n??3?x(n)?6

7（2）

???X(ej?)d?=x(0)?2?=4?

j?（3） X(e)=

n????x(n)ej???j?n?n??3?(?1)7nx(n)?2

（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即

Re[X(e)]=

n????x(n)ee??j?n

xe(n)?1(x(n)?x(?n)) 2按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示：

（5）

????|X(e)|d?=2??|x(n)|2?28?

j?2n??37（6）因为

dX(ej?)?FT[?jnx(n)] d?7dX(ej?)|d?=2??|nx(n)|2?316? 因此 ?|??d?n??3?23．6 试求如下序列的傅里叶变换： （1）x1(n)??(n?3) （2）x2(n)?11?(n?1)??(n)??(n?1) 22n（3）x3(n)?au(n),0?a?1

（4）x4(n)?u(n?3)?u(n?4) 解：

（1）X1(ej?)?n??????(n?3)e??j?n?e?j3?

1j?11e?1?e?j??1?(ej??e?j?)?1?cos? 222??ane?j?n?n?0?j?n?（2）X2(ej?)?n?????x2(n)e?j?n??au(n)en??j?n（3）X3(ej?)?n???1 ?j?1?ae3?j?n（4）X4(ej?)?n???3?[u(n?3)?u(n?4)]e?j?n?n??33?e

=

?en?0?n??3?e?1?j?n??en?03?j?n??ej?n

n?11?e?j4?1?ej3?j?1?e?j4?1?ej3? ??e??1?e?j?1?ej?1?e?j?1?e?j?ej3??e?j4?1?ej7?j3?=?e ?j??j?1?e1?e=

ee7?j?21?j?2(e(e7j?21j?2?e?e7?j?21?j?2))ej3?7sin(?)2 ?1sin(?)2或者 x4(n)?u(n?3)?u(n?4)=R7(n?3)

X4(e)?j?n????R6?7(n?3)e?j?n

1?e?j7?? ?j?1?e?j?nFT[R7(n)]??en?0j???j?nX4(e)?n????R(n?3)e71?ej7?j3??e 1?e?j?=

ee7?j?21?j?2(e(e7j?21j?2?e?e7?j?21?j?2))ej3??ee1?j?21?j?2(e(e7j?21j?27sin(?)?e)2 ?11?j?2sin(?)?e)27?j?23．7 设：

（1）x(n)是实偶函数， （2）x(n)是实奇函数，

分别分析推导以上两种假设下，其x(n)的傅里叶变换性质。 解：令

X(ej?)?n????x(n)e??j?n

（1）x(n)是实偶函数，

j?X(e)?两边取共轭，得到

n????x(n)e???j?n

X(e)?因此

*j?n????x(n)e?j?n?n????x(n)e?j(??)n?X(e?j?)

X(ej?)?X*(e?j?)

上式说明x(n)是实序列，X(ej?)具有共轭对称性质。

?j?nX(e)?j?n????x(n)e??n????x(n)[cos??jsin?]

?由于x(n)是偶函数，x(n)sin?是奇函数，那么

n????x(n)sin??0

j??因此

X(e)?该式说明X(ej?n????x(n)cos?

?)是实函数，且是?的偶函数。

j?总结以上x(n)是实偶函数时，对应的傅里叶变换X(e（2）x(n)是实奇函数，

上面已经推出，由于x(n)是实序列，X(ej?)也是实偶函数。

)具有共轭对称性质，即

X(ej?)?X*(e?j?)

X(e)?j?n????x(n)e??j?n?n????x(n)[cos??jsin?]

?由于x(n)是奇函数，x(n)cos?是奇函数，那么

n????x(n)cos??0

j???因此

X(e)?j?x(n)sin?

n???该式说明X(ej?)是纯虚数，且是?的奇函数。

3.8 设x(n)?R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。 解： xe(n)?11(R4(n)?R4(?n))，xo(n)?(R4(n)?R4(?n)) 22xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。

题8解图

3.9设x(n)?au(n),变换。

n0?a?1，分别求出x(n)的偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶

解： X(ej?)?n????x(n)ej???j?n

因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ej，因此

)的实部，xo(n)的傅里叶变换对应X(ej?)的虚部乘以

111?ae?j?]?Re[?] FT[xe(n)]=Re[X(e)]=Re[1?ae?j?1?ae?j?1?ae?j?j?=

1?acos? 21?a?2acos?j?111?ae?j?]?jIm[?] FT[xo(n)]=jIm[X(e)]=jIm[?j??j??j?1?ae1?ae1?ae=

?asin?

1?a2?2acos?3.10 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：

HR(ej?)?1?cos?

求序列h(n)及其傅里叶变换H(e解： HR(ej?j?)。

j?)?1?cos??1?e?e?j??FT[he(n)]?n????h(n)ee??j?n

?1?2,n??1?he(n)??1,n?0

?1?2,n?1??0,n?0??1,n?0???h(n)??he(n),n?0???1,n?1

?2h(n),n?0??0,其它n?e??H(e)?j?n????h(n)e??j?n?1?e?j??2e?j?2cos?2

3.11 若序列h(n)是实因果序列，h(0)?1，其傅里叶变换的虚部为

HI(ej?)??sin?

求序列h(n)及其傅里叶变换H(e解： HI(ej?j?)。

)??sin???1j?(e?e?j?) 2j?1j??j?FT[ho(n)]?jHI(e)??(e?e)??ho(n)e?j?n

2n???j??1??2,n??1?ho(n)??0,n?0

?1?2,n?1??0,n?0??1,n?0???h(n)??h(n),n?0???1,n?1

?2h(n),n?0??0,其它n?o??

H(e)?j?n????h(n)e??j?n?1?e?j??2e?j?2cosn?2

3.12 设系统的单位取样响应h(n)?au(n),0?a?1，输入序列为

x(n)??(n)?2?(n?2)

完成下列各题：

（1） 求出系统输出序列y(n)；

（2） 分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解：

（1）y(n)?h(n)*x(n)?au(n)*[?(n)?2?(n?2)]=au(n)+2a（2） X(ej?nnn?2u(n?2)

)?n?????[?(n)?2?(n?2)]e?au(n)en?j?n???j?n?1?2e?j2?

1

1?ae?j?H(e)?j?n?????ane?j?n?n?01?2e?j2? Y(e)?H(e)?X(e)?1?ae?j?j?j?j?3.13已知xa(t)?2cos(2?f0t)，式中f0?100Hz，以采样频率fs?400Hz对xa(t)进行

?a(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面各题： 采样，得到采样信号x（1）写出xa(t)的傅里叶变换表达式Xa(j?)；

?a(t)和x(n)的表达式； （2）写出x?a(t)的傅里叶变换和x(n)的傅里叶变换。 （3）分别求出x解：

（1）Xa(j?)???????xa(t)e?j?tdt??2cos(?0t)e???j?tdt??(ej?0t?e?j?0t)e?j?tdt

??上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数?函数，它的傅里叶变换可表示成：

Xa(j?)?2?[?(???0)??(???0)]

?a(t)?（2） xn????x?a(t)?(t?nT)?n????2cos(?nT)?(t?nT)

0?x(n)?2cos(?0nT)，???n??

?0?2?f0?200?rad，T?1?2.5ms fs?1?(j?)??X(j??jr?) （3） XaasTr???2?=Tr????[?(????0?r?s)??(???0?r?s)]

式中 ?s=2?fs?800?rads

X(e)?

=

j?n????x(n)ej?0n??j?n?n????2cos(??0nT)e?j?n?n????2cos(??0n)e?j?n

n????[e??e?j?0n]e?j?n?2?k????[?(????0?2k?)??(???0?2k?)]

式中 ?0??0T?0.5?rad

上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数?函数，才能写出它的傅里叶变换表示式。

3.14 求出以下序列的Z变换及收敛域。 （1）2u(n) （2）?2u(?n?1) （3）2u(?n) （4）?(n)

（5）?(n?1) （6）2[u(n)?u(n?10)] 解：

（1）ZT[2u(n)]??n?n?n?n?nn????2u(n)z?n???n??2?nz?n?n?0?n?11,|z|?

21?2?1z?1（2）ZT[?2u(?n?1)]??nn??????2?nu(?n?1)z?n??1??2???nz?n

???2nzn?n?1?n?2z11?,|z|?

1?2z1?2?1z?12??2?nz?n

n?0??（3）ZT[2u(?n)]?n????2??nu(?n)z?n??2nzn?n?0?11,|z|? 1?2z2（4）ZT[?(n)]=1，0?|z|?? （5）ZT[?(n?1)]=z?1，0?|z|?? （6）ZT[2(u(n)?u(n?10))]=

?n?2n?09?nz?n1?2?10z?10?,0?|z|?? ?1?11?2z3.15 求以下序列的Z变换及收敛域，并在z平面上画出极零点分布图： （1）x(n)?RN(n),N?4

?0n??)u(n),r?0.9,?0?0.5?rad,??0.25?rad （2）x(n)?Arcos(

nn??（3）x(n)??2N?n?0??0?n?NN?1?n?2N,式中N?4

其它解：（1） X(z)?n????R(n)z4?n??zn?03?n1?z?4z4?1??,0?|z|?? 1?z?1z3(z?1)z?1=0，零点为：zk?e4j2?k4,k?0,1,2,3；

3 z(z?1)=0，极点为：z1,2?0,1

极零点分布图如题15解图（a）所示，图中z?1处的零极点相消。 （2） x(n)?Arcos?(0n??)u(n)?n1nj?0nj?Ar[ee?e?j?0ne?j?]u(n) 2??11ej?e?j?nj?0nj??nn?j?0n?j??nX(z)?A[?reez??reez]?A[?]j?0?1?j?0?12n?021?rez1?rezn?0cos??rcos(?0??)z?1,|z|?r =Aj?0?1?j?0?1(1?rez)(1?rez)零点：z1?rcos(?0??)?j?j?，极点：z2?re0，z3?re0

cos?极零点分布图如题15解图（b）所示。 （3）令y(n)?R4(n)，则

x(n?1)?y(n)*y(n) zX(z)?[Y(z)]2，X(z)?z?1[Y(z)]2

因为

1?z?4z4?1?3 Y(z)? ?11?zz(z?1)z4?121z4?12]?7[] 因此得到 X(z)?z[3z?1z(z?1)z?1极点为：z1?0，z2?1，零点为：zk?ej2?k4,k?0,1,2,3；

在z?1处的零极点相消，收敛域为：0?|z|??，极零点分布图如题15解图（c）所示。

题15解图

（a） （b） （c） 3.16 已知：

X(z)?32 ??111?2z1?z?12求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。

解：X(z)有两个极点：z1?0.5，z2?2，因为收敛域总是以极点为边界，因此收敛域有以下三种情况：

|z|?0.5，0.5?|z|?2，|z|?2

三种收敛域对应三种不同的原序列。

（1） 当收敛域为|z|?0.5时，由收敛域可得原序列为左边序列。

X(z)?查表3-2可得

32 ?1?11?2z?11?z2 x(n)??[3?()?2?2]u(?n?1) （2） 当收敛域为0.5?|z|?2时，

12nnX(z)?32??X1(z)?X2(z) 1?11?2z?11?z2由收敛域可得X1(z)对应的原序列为右边序列，而X2(z)对应的原序列为左边序列，查表3-2可得

x(n)?3?()nu(n)?2?2nu(?n?1)

（3） 当收敛域为|z|?2时，由收敛域可得原序列为右边序列。

12X(z)?查表3-2可得

32 ?1?11?2z?11?z2 x(n)?[3?()?2?2]u(n) 3.17 已知x(n)?au(n),（1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）au(?n)的Z变换。 解：

（1） X(z)?ZT[au(n)]?n?nn12nn0?a?1。分别求：

n????anu(n)z?n??1,|z|?a

1?az?1d?az?1X(z)?（2） ZT[nx(n)]=?z，|z|?a ?12dz(1?az)（3） ZT[au(?n)]=

?nn????az?n0?n??anzn?n?0?1,|z|?a?1 1?az?3z?13.18 已知X(z)?，分别求：

2?5z?1?2z?2（1）收敛域0.5?|z|?2对应的原序列x(n)； （2）收敛域|z|?2对应的原序列x(n)。

解：X(z)有两个极点：z1?0.5，z2?2，所以利用部分分式进行展开为：

X(z)?A1??11?2zA2 1?11?z2其中

?A1?3?1z21?1z)23?z?112A2??(1?z?1)|1?1

z?122(1?2z?1)(1?z?1)2(1?2z?1)(1?A1?1?2z?1A2?11 ??1?11?2z?11?11?z1?z22?(1?2z?1)|z?2??1

所以

X(z)?X1(z)?X2(z)?（1）收敛域0.5?|z|?2对应的原序列x(n)，由收敛域可得X1(z)对应的原序列为左边序列，而X2(z)对应的原序列为右边序列，查表3-2可得 x(n)?()u(n)?2u(?n?1)

（2）收敛域|z|?2对应的原序列x(n),由收敛域可得X1(z)、X2(z)对应的原序列都为右边序列，查表3-2可得

x(n)?()u(n)?2u(n)

3.19 分别用长除法、部分分式法求以下X(z)的反变换：

12nn12nn11?z?113（1）X(z)?,|z|?

121?z?241?2z?11,|z|? （2）X(z)?121?z?24解：

（1）部分分式法：X(z)有两个极点：z1?0.5，z2??0.5，所以利用部分分式进行展开为：

11?z?1A1A23 X(z)???1?21?11?11?z1?z1?z42211?z?1113A1??(1?z?1)|z?0.5?

1126(1?z?1)(1?z?1)2211?z?1153A2??(1?z?1)|z??0.5?

1126(1?z?1)(1?z?1)22所以

1151?z?1366 X(z)???1?21?11?11?z1?z1?z422由收敛域|z|?1可得原序列为右边序列，查表3-2可得 21151x(n)?[()n?(?)n]u(n)

6262长除法

x(n)??1,???1111?,,?,?? 341216?（2）部分分式法：X(z)有两个极点：z1?0.5，z2??0.5，所以利用部分分式进行展开为：

A1A21?2z?1 X(z)???1?21?11?11?z1?z1?z422A1?(1?1?2z?11?11z)(1?z?1)221?2z?1(1?所以

?(1?1?13z)|z?0.5?? 22A2?1?11z)(1?z?1)22?(1?1?15z)|z??0.5? 22X(z)?1?2z11?z?24?1352?2 ?1?11?11?z1?z22?由收敛域|z|?1可得原序列为左边序列，查表3-2可得 23151x(n)?[()n?(?)n]u(?n?1)

2222长除法

x(n)n?0

0

x(?1)

8

x(?2)

-4

x(?3)

32

x(?4)

-16

x(?5)

128

… …

3.20 设确定性实序列x(n)的自相关函数用下式表示：

rxx(m)?n????x(n)x(n?m)

?试用x(n)的Z变换X(z)和傅里叶变换X(e里叶变换Rxx(ej?j?)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅

)。

解： rxx(m)?n?????x(n)x(n?m) ??x(n)x(n?m)z????m?Rxx(z)?令m??n?m，则

?m???n???n????x(n)?x(n?m)zm??????m

Rxx(z)?n?????x(n)?x(m?)zm?????n?m??n

=

n????x(n)z?x(m?)zm??????m??X(z?1)X(z)

或者 rxx(m)?n????x(n)x(n?m)?x(m)?x(?m)

Rxx(z)?X(z?1)X(z)

Rxx(ej?)=Rxx(z)|z?ej??X(ej?)X(e?j?)

因为x(n)是实序列，X(e?j?)?X*(ej?)，因此Rxx(ej?)=|X(ej?)|2。

3.21 用Z变换法解下列差分方程：

（1）y(n)?0.9y(n?1)?0.05u(n),y(n)?0,n??1

（2）y(n)?0.9y(n?1)?0.05u(n),y(?1)?1,y(n)?0,n??1 （3）y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?u(n),

y(?1)?0,y(?2)?1,y(n)?0,n??3 2解：

（1） 对方程两边进行Z变换得

Y(z)?0.9Y(z)z?1?Y(z)?运用部分分式法得

0.05 ?11?z0.05 ?1?1(1?0.9z)(1?z) Y(z)?0.05?0.450.5 ???1?1?1?1(1?0.9z)(1?z)1?0.9z1?z由y(n)?0,n??1知，y(n)是因果序列，查表3-2得

y(n)?(?0.45?0.9n?0.5)u(n)

（2） 对方程两边进行Z变换得

Y(z)?0.9z[Y(z)??1k????y(k)z?k]??10.05 ?11?zY(z)?0.9z?1[Y(z)?y(?1)z]?0.05 ?11?z0.05 Y(z)?0.9z?1Y(z)?0.9?1?z?10.95?0.9z?1Y(z)? ?1?1(1?0.9z)(1?z)当n?0时，运用部分分式法得

0.95?0.9z?10.450.5?? Y(z)?

(1?0.9z?1)(1?z?1)1?0.9z?11?z?1查表3-2得

y(n)?(0.45?0.9n?0.5)u(n)

总结得到

y(n)?(0.45?0.9?0.5)u(n)??(n?1) （3） 对方程两边进行Z变换得

nY(z)?3z?1[Y(z)?y(?1)z]?2z?2[Y(z)?y(?1)z?y(?2)z2]?当n?0时，运用部分分式法得

1 ?11?zz?1z?1? Y(z)?(1?3z?1?2z?2)(1?z?1)(1?z?1)(1?z?1)(1?2z?1)121?3 ?6?1?2?1?1?z1?z1?2z?1查表3-2得

112y(n)?(?(?1)n?(?2)n)u(n)

623总结得到

y(n)?(?16121(?1)n?(?2)n)u(n)??(n?2) 232

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a1qd.html