小波分析硕士试题及答案

一、名词解释。（每题5分共30分） 1、线性空间与线性子空间 答：线性空间是一个在标量域F上的非空矢量集合V；设V1是数域K上的线性空间V的一个非空子集合，且对V已有的线性运算满足以下条件：（1）如果x,y?V1，则x?y?V（2）如果x?V1,k?K，则kx?V1，则称V1是V的一个线性子空间或子空间。 1；2、标准正交基 答：若向量空间的基是正交向量组，则称其为向量空间的正交基，若正交向量组的每个向量都是单位向量，则称其为向量空间的标准正交基。在无限维希尔伯特空间中，正交基不再是哈默尔基，也即是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。因此在无限维空间中，正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个稠密子空间（而不是整个空间）的集合。 3、双正交基 双正交小波基?j,k(t)?2?j/2??(2?j框架的概念是t?k),j,k?Z是框架的一种形式，标准正交基的推广，尺度函数和小波函数分别满足以下双尺度方程: ??(t)?????(t)????(t)???????(t)???2?h0(n)?(2t?n)n?Z2?h1(n)?(2t?n)n?Z?(2t?n)2?g0(n)?n?Z ?(2t?n)2?g1(n)?n?Z由双正交条件可得h0n??(t),2?(2t?n);g0n??(t),2?(2t?n);h1n??(t),2?(2t?n);g1n??(t),2?(2t?n)。 4、尺度函数与小波函数 尺度函数：?(t)?小波函数：?(t)??g?(2t?n) n?h?(2t?n) n 1页 第1页共

5、Mallat算法

答：1989年，Mallat在小波变换多分辨率分析理论与图像处理的应用研究中受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨率分析与重构的快速算法称为马拉特（Mallat）算法。

Mallat分解算法：cj,k11d?gncj?1,n?2k(2) ?hncj?1,n?2k(1)，j,k??2n?Z2n?ZMallat重构算法：cj?1,n?11hc?gn?2kdj,k(3) ??n?2kj,k2n?Z2n?Z6、双尺度方程

答：双尺度方程，本质就是将Vj的基函数表示成Vj?1的基函数的线性和。因为

?(t)?V,(t?)W，所以?(t)和?(t)都可以用V1空间的一个基0?V1?0?V1???(t)??hn?(2t?n)，即为双尺度方程。 ?(2t?n)n?Z线性表示：????(t)??gn?(2t?n)一、简述小波的定义及其主要性质。（10分）

答：小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它 具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与傅里叶 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运 算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了傅里叶变换的困难问题，成为继傅里叶变换以来在科学方法上的重大突破。小波性能除了正交性以外还有光滑性、紧支性、衰减性、对称性以及消失矩和时频窗面积。

二、阐述Fourier变换和小波变换的各自的特点，并比较它们之间的优缺点。（10分）

答：1）傅里叶变换能够将信号从时域转到频域，从物理意义上讲，傅立叶变换的实质是把这个波形分解成不同频率的正弦波的叠加和，反映了整个信号的时间频谱特性，较好地揭示了平稳信号的特征，适合平稳信号分析。

傅里叶变换缺点：1）只适合分析平稳信号，不能分析非平稳信号。2）根据测不准原理，傅里叶变换不可能同时对f(t)和F(W)同时有很高的分辨率。3)求傅立叶系数需要所考虑的时间域上所有信息，不能反映局部信息的特征，局部性差。

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2）小波变换是一种窗口大小固定，但形状可以改变，时窗和频窗都可以改变的时频局域化分析方法，对函数或信号进行多尺度细化分析，达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，具有多分辨率，从而可聚焦到信号的任意细节，适合非平稳信号分析。

小波变换缺点：小波变换是非平稳信号处理的有力工具，虽然小波变换有多种小波基函数可以供选择，但一旦小波基函数选定后，其特性就固定，各个尺度上的小波函数通过尺度和平移变换获得，由于信号每分解一次，逼近信号和细节的长度减小一半。在不同尺度上得到的逼近信号特征之间存在差异，小波变换时采用以个基函数导出的小波函数难以在不同尺度上准确地逼近局部信号特征，因此降噪预处理时的重构信号会丢失原有的时域特征。

三、阐述多分辨分析的思想并给出MALLAT算法的表达式。（10分）

答：Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成L2(R)的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1988年S.Mallat在构造正交小波基时提出了多分辨分析的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性， 将此之前的所有正交小波基的 构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。

多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予以考虑。分解的关系为 L2(R)?{0}?Vj?1??Vj??Vj?1。这里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步的分解，

则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下再分解以此类推。多分解分析的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近L2(R)空间的正交小波基，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。

Mallat分解算法：通过下面的公式可以很快计算出尺度系数和小波系数{cj,k,dj,k}，

cj,k?11d?gncj?1,n?2k(2) hc(1)，j,k??nj?1,n?2k2n?Z2n?Z因此，只要确定Vj空间的初始序列{cj,k}k?Z，就可以算出任意空间Vj(j?J)的所有尺度系数和小波系数。公式(1)和(2)称为离散小波变换的分解公式。

Mallat重构算法：cj?1,n11?hn?2kcj,k?gn?2kdj,k(3) ??2n?Z2n?Z 3页 第3页共

四、简述小波理论的发展，并结合你所研究的领域，对小波理论在该领域的应用及发展进行综述（此部分10分）。用某种语言编程实现数字水印嵌入、图像压缩或图像分割（此部分30分，要求文字叙述，程序贴在答案后面）。(共40分）（此题是重点，要求不能重复，否则根据情节扣10-20分）

答：（1）1807年，傅里叶提出傅里叶分析 ，1822年发表“热传导解析理论”论文；1910年 Haar 提出最简单的小波；1980，年Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探；1985年，Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮； 1988年，Mallat 提出的多分辨分析理论； Meyer在1989年引入了小波包的概念。基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1990年构造出来。1992年Cohen, Daubechhies等人构造出了紧支撑双正交小波基近年来，一种简明有效的构造小波基的方法--提升方案得到很大的发展和重视，利用提升方案构造的小波被认为是第二代小波。

小波分析在信号处理中的应用：小波分析已经成为一种新工具和新方法，且取得了很多成功的应用。如：信号的分解和重构，信号的消噪，信号的奇异性检测与分析。小波分析在图像处理，图像特征提取，图像识别等方面的应用最为成功。北京大学，清华大学联合研制的“基于小波分析的指纹处理系统”，特别是北邮推出的“基于微机并行处理的职位识别系统“更是把小波在指纹方面的应用推向高潮，其理论指标已超过美国FBI的结果。消噪是信号处理中经典的问题，传统的消噪方法多采用平均或线性方法，如Wiener滤波。随小波理论的日趋完善，利用小波进行信号消噪及重构得到了广泛的应用。

（2）利用Matlab实现数字水印嵌入

源程序如下:

function loop(Cwx, Cx)%定义循环函数 k=0;

while k<=size(Cx,2)/size(Cwx,2)-1

4页 第4页共

Cx(1+size(Cx,2)/4+k*size(Cwx,2)/4:size(Cx,2)/4+... (k+1)*size(Cwx,2)/4)=Cg(1+size(Cx,2)/4+...

k*size(Cwx,2)/4:size(Cx,2)/4+(k+1)*size(Cwx,2)/4+... x*Cwx(1+size(Cwx,2)/4:size(Cwx,2)/2));

Cx(1+size(Cx,2)/2+k*size(Cwx,2)/4:size(Cx,2)/2+... (k+1)*size(Cwx,2)/4)=Cx(1+size(Cx,2)/2+...

k*size(Cwx,2)/4:size(Cx,2)/2+(k+1)*size(Cwx,2)/4+... g*Cwx(1+size(Cwx,2)/2:3*size(Cwx,2)/4)); Cx(1+3*size(Cx,2)/4+k*size(Cwx,2)/4:3*size(Cx,2)/4+... (k+1)*size(Cwx,2)/4)=Cx(1+3*size(Cx,2)/4+...

k*size(Cwx,2)/4:3*size(Cx,2)/4+(k+1)*size(Cwx,2)/4+... x*Cwx(1+3*size(Cwx,2)/4:size(Cwx,2))); k=k+1; end; clc;

start_time=cputime;%记录开始时间 figure(1); subplot(1,3,1);

input=imread('C:\\Users\\alw\\Desktop\\1.jpg');%读出原始图像 imshow(input); title('原始图像'); subplot(1,3,2);

water=imread('C:\\Users\\alw\\Desktop\\2.jpg');%读出水印图像 imshow(water,[]); title('水印'); input=double(input); water=double(water); inputr=input(:,:,1); waterr=water(:,:,1); inputg=input(:,:,2); waterg=water(:,:,2); inputb=double(input(:,:,3)); waterb=double(water(:,:,3)); r=0.06;

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