三角函数三角函数的诱导公式

三角函数的诱导公式(第一课时)

(一)复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150 ?150 y

30 想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性，我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.

O

(二)新课讲授由三角函数的定义我们可以知道：

终边相同的角的同一三角函数值相同sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

(公式一)

我们来研究角 与 的三角函数值之间的关系 y

因为r=1,所以我们得到：y x sin ______, cos ______, P(x,y) -y x , sin( ) _____, cos( ) ____ x 由同角三角函数关系得 sin ( ) sin tan( ) tan cos( ) cos

M

O

P' (x, y)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)

思考 P ' ( x , y)

同学们能够根据我们刚才的研究方法，自己得出 任意角 与角 的三角函数值之间的关系吗？ y P(x,y)

sin y

M'

O

M

x

cos( ) x cos sin( ) tan( ) tan cos( )sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

cos x sin( ) y sin

(公式三)

思考

任意角y

与角 的三角函数值之间的关系呢？ sin y cos x

sin( ) y sin P(x,y)M'

O

M

cos( ) x cos sin( ) tan( ) tan cos( )sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

x

P' ( x, y)

(公式四)

sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式一)sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式三)

(公式四)

这四组公式都叫做三角函数的诱导公式

(三)例题例1:求下列三角函数值：

cos150 sin330

5 sin 4

tan( 1560 )

思 考

设 是一个锐角, 则 ( , ) 的角可以表示为 2 3 ( , ) 的角可以表示为 则 2

2

3 则 ( ,2 ) 的角可以表示为 2

y

x

o

2

讨 论

观察我们学过的四组诱导公式它们能否通 过一句话概括出来呢？

2k (k Z)、 、

的三角函数值，等于 的同名三角函数值前面 加上把 看作锐角时原函数值的符号。 简记为“函数名不变，符号看象限”

例2 化简： (1 )

sin( 1071 ) sin( 171 )

(2 )

1 sin( 2 ) sin( ) 2cos ( )2

(四)、反馈练习1、口答下列各题

sin(

3

)

cos( 45 )sin 210

2 tan 3

5 sin 4

cos120

2、求下列三角函数的值

11 cos 4

sin(

17 ) 3

(五)小结三角函数的诱导公式可以简记为

“函数名不变，符号看象限”。求任意角的三角函数值的一般程序： 负角变正角,大角变小角,一直变到 0 ~ 之间的角.

90

与 的三角函数值之间的关系 我们来研究角 2 2

y

因为r=1,所以我们得到： P ( y, x) sin ______, y x cos ______, P(x,y) x y sin( ) _____, cos( ) __'

O

M’ M

由同角三角函数关系得 sin( ) cos 2 tan( ) cot 2 cos( ) sin 2 sin( ) cos 2

x

2

2

cos( ) sin 2 tan( ) cot 2

(公式五)

2

我们来研究角 与 2 的三角函数值之间的关系

P' ( y, x)P(x,y)M’

y

因为r=1,所以我们得到： y x sin ______, cos ______,x sin( ) _____, 2

O

M

由同角三角函数关系得 sin( ) cos 2 tan( ) cot 2 cos( ) -sin 2 sin( ) cos 2

x

-y cos( ) __ 2

cos( ) sin (公式六) 2 tan( ) cot 2

sin( ) cos 2 cos( ) sin 2 tan( ) cot 2

(公式五)

sin( ) cos 2 cos( ) sin (公式六) 2 tan( ) cot 2

讨 论

观察我们学过的四组诱导公式它们能否通 过一句话概括出来呢？

、 、 2 2 的三角函数值，等于 的异名三角函数值前面 加上把 看作锐角时原函数值的符号。 简记为“函数名改变，符号看象限”

奇变偶不变，符号看象限

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