四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性模拟考试数学(理)试题
更新时间:2024-05-08 21:31:01 阅读量: 综合文库 文档下载
四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题
理科数学(第一卷)
一、选择题:只有唯一正确答案,每小题5分,共50分
1、集合P?{1,2},Q?{x|x?2},则集合P?Q为 ( ) (A){1,2} (B){1} (C){2} (D){0,1} 2、复数
i?21?2i的虚部是( )
(A)0 (B)5i (C)1 (D)i
3、已知sin??cos???(A)
4953,则cos(2??297?2)的值为( )
49 (B)
29 (C)? (D)?
4、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( ) (A)8 (B)18 (C)26 (D)80
5、设a、b是两条不同的直线,?、?是两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是( ) (A)若a⊥b,a⊥?,则b∥? (B)若a∥?,?⊥?,则a⊥? (C)若a⊥?,?⊥?,则 a∥? (D)若a⊥b,a⊥?,b⊥?,则?⊥? 6、函数f(x)?Asin(?x??)的部分图象如图所示,则此函数的解析式为( ) (A)f(x)?2sin(?3x??3) (B)f(x)?2sin(?6yx?1)
2(C)f(x)?2sin(x?
?3) (D)f(x)?2sin(?6x??6)
O14x -2
27、对一切实数x,不等式x?a|x|?1?0恒成立,则实数a的取值范围是( ) (A) (??,?2)
(B) [?2,??)
(C) [?2,2]
(D) [0,??)
????????????8、已知O为平面上的定点,A、B、C是平面上不共线的三点,若(OB?OC?2OA)? ????????(OB?OC)?0,则?ABC是(
)
·1·
(A)以AB为底边的等腰三角形 (C)以AB为斜边的直角三角形 (B)以BC为底边的等腰三角形 (D)以BC为斜边的直角三角形
9、反复抛掷一枚质地均匀的骰子,每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数,当记录有三个不同点数时即停止抛掷,则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是( )
(A)360种 (B)840种 (C)600种 (D)1680种
1,2,3,4?,记“该方程有实数根x1、x2且满足10、已知关于x的方程?2x2?bx?c?0,若b、c??0,?1?x1?x2?2” 为事件A,则事件A发生的概率为( )
(A)
516 (B)
1225 (C)
1425 (D)
1625
二、填空题:每小题5分,共25分
11、已知数列{an}的前n项和Sn?3?3?2n,则an? .
12、(1?2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍,则n等于 .
13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图,如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形,俯视图对应的四边形为正方形,那么这个几何体的体积为 .
14、设向量a与b的夹角为?,a?(2,1),a?2b?(4,5),则cos?等于 .
15、定义在(?1,1)上的函数f(x)满足:对任意x,y?(?1,1),
俯视图 主视图
侧视图
x?y有下列结论:①f(0)?0;②函数f(x)为(?1,1)上的奇函数;③函数f(x)f(x)?f(y)?f()恒成立.
1?xy2an1?a2n是定义域内的增函数;④若an?1?(n?N),且an?(?1,0)?(0,1),则数列?f(an)?为等比数列.
?其中你认为正确的所有结论的序号是 .
三、解答题:总分75分
????????????????16、(本题满分12分)已知?ABC的面积S满足3?S?33,且AB?BC?6,AB与BC的
夹角为?.
(Ⅰ)求?的取值范围;
(Ⅱ)求函数f(?)?sin??2sin?cos??3cos?的最大值.
·2·
2217、(本题满分12分)三棱锥P?ABC中,PA?PB?PC,?ACB?90?,AC?CB?2. (Ⅰ)求证:平面PAB?平面ABC;
????????(Ⅱ)若CB?2AD,且异面直线PC与AD的夹角为60?时,求二面角P?CD?A的余弦值.
18、(本题满分12分)
设函数y?f?x?满足:对任意的实数x?R,有f?sinx???cos2x?cos2x?2sinx?3. (Ⅰ)求f?x?的解析式; (Ⅱ)若方程f?x??2ax?
19、(本题满分12分)已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产一千件,需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且
12PBAC
有解,求实数a的取值范围.
·3·
12?10.8?x,0?x?10??30. R(x)??1081000??,x?102?3x?x(I)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式;
(Ⅱ)年生产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?
20、(本题满分13分)设数列?an?为单调递增的等差数列,a1?1,且a3,a6,a12依次成等比数列. (Ⅰ)求数列?an?的通项公式an; (Ⅱ)若bn?2anan?2?22ananan2?3?2?2,求数列?bn?的前n项和Sn;
(Ⅲ)若cn?
?1?1n,求证:?ci?n?.
i?213·4·
21.(本小题满分14分)已知函数f(x)?1?ln(x?1)x(x?0).
(Ⅰ)函数f(x)在区间(0,??)上是增函数还是减函数?证明你的结论; (Ⅱ)当x?0时,f(x)?kx?1恒成立,求整数k的最大值;
(Ⅲ)试证明:(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))?e2n?3.
·5·
四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题
理科数学参考答案
一、选择题:1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、B 9、B 10、D 二、填空题:11、?3?2n?1(n?N*) 12、8 13、三、解答题:
16、解:(I)由题意知AB?BC?|AB||BC|cos??6. ????1分
??????????1???1???S?|AB||BC|sin(???)?|AB||BC|sin?22?????1???1?|AB||BC|cos?tan???6tan??3tan?.????4分22433 14、
45 15、①②④
?3?S?33,即3?3tan??33.?1?tan??3.
又???[0,?],???[??,].????6分43 (II)f(?)?sin2??2sin?cos??3cos2??1?sin2??2cos2? ?2?sin2??cos2??2?2sin(2???4). ????9分
???[??43,],?2???3?4?4?[3?11?,].42时,f(?)最大,最大值为3.????12分?当2???4,即???4
zP17、证明:(Ⅰ)作PO?平面ABC于点O,∵PA?PB?PC, ∴OA?OB?OC,即O为?ABC的外心 又∵?ABC中,?ACB?90?
故O为AB边的中点
D 所以PO?平面PAB
即证:平面PAB?平面ABC. .......6分 Ax?(Ⅱ)∵?ABC中,?ACB?,AC?CB?2,∴OA?OB?OC?2BOCy2
????????∵CB?2AD,且异面直线PC与AD的夹角为60?,PB?PC
∴?PCB?60?,∴?PCB为正三角形,可解得PO?2. 以O为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系O?xyz,则
A(2,0,0),B(?2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2)
·6·
????????22 CB?(?2,?2,0)?2AD,∴D(,?,0). …………………….9分
22?设平面PCD的法向量为n?(x,y,z)
????????2?32,,0) ?CP?(0,?2,2),CD?(22??????n?CP??2y?2z?0??由?????, 取n?(3,1,1) ?232x?y?0?n?CD??22平面ACD的法向量为OP?(0,0,2) ??????????OP?n111∴cos?OP,n?????. ????1111OP?n1111????由图可知,所求二面角P?CD?A为钝角,其的余弦值为?. ……….12分
18、解:⑴f?sinx??2sin2x?1?1?sin2x?2sinx?3?sin2x?2sinx?3
所以f?x??x2?2x?3??1?x?1?. ???????5分
12⑵①当x?时,f???0.不成立.
?2?1212121232?1?②当?1?x?2时,x??0,令t??x,则x??t,0?t?.
?1??1???t??2??t??37?2??2?2a??t??3,
t4t因为函数h?t??t?1284?3??3??3在?0,上单增,所以2a?h???a??. ???4t33?2??2?12?0,令t?x?12,则x?12?t,0?t?12.
7③当?x?1时,x?2?1??1???t??2??t??37?2??2?2a??t??3,
t4t因为函数h?t??t??1??1??3在?0,上单增,所以2a?h???0?a?0. ?4t2???2?7综上,实数a的取值范围是???,0?. ????????12分
·7·
19、解:(I)当0?x?10时,W?xR(x)?(10?2.7x)?8.1x? 当x?10时,W?xR(x)?(10?2.7x)?98?10003x?2.7x.
x330?10;
∴ 年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式为
3?x8.1x??10,0?x?10,??30 W??
?98?1000?2.7x,x?10.?3x?(Ⅱ)当0?x?10时,由W??8.1?x210?0?0?x?9,
即年利润W在(0,9)上单增,在(9,10)上单减
∴ 当x?9时,W取得最大值,且Wmax?38.6(万元). 当x?10时,W?98?(10003x?2.7x)?98?2900?38,仅当x?1009时取“=”
综上可知,当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大,最大值为38.6万元.
20、解:⑴
a12a6?a6a3?a12?a6a6?a3?6d3dnn?2.?1?5d?2?1?2d??d?1.?an?n.??.3分
⑵bn?2nn?2??0n2?2?3?2?21?2n?12?2????2?2nn?1n?1?12???1??12n?1?1?12?1n.
则Sn??1?2?1n?1?11?11??1?????????.???7分 ?????112n?1nn2?1??2?12?1?2?12?122?1??⑶cn?22?12?1n?1?22?1n,
而
2?1nn?2n?2n?12?n?1??1??1?2??n?1?. nn?1n2?12?1?2?12?1?2n???所以?ci?i?2??11??11?11????2??2?3????????3??n?1????n?1? 4n3?2?12?1????2?12?1??2?12?1?221?1?1?2??n?n?1?n?. ????????.13分 ?33?32?1??21、解:(Ⅰ)由题x?0,f?(x)??x?1[1?ln(x?1)]x2?0,????2分
·8·
故f(x)在区间(0,??)上是减函数;????3分
[1?ln(x?1)]在(0,??)上恒成立,取
x?1xx?1x?1?ln(x?1),???????5分 h(x)?[1?ln(x?1)],则h(x)?2xx1x再取g(x)?x?1?ln(x?1),则g?(x)?1???0,
x?1x?1(Ⅱ)当x?0时,f(x)?k恒成立,即k?x?1故g(x)在(0,??)上单调递增,
而g(1)??ln2?0,g(2)?1?ln3?0,g(3)?2?2ln2?0,???????7分 故g(x)?0在(0,??)上存在唯一实数根a?(2,3),a?1?ln(a?1)?0, 故x?(0,a)时,g(x)?0;x?(a,??)时,g(x)?0, 故h(x)min?a?1a?1?ln(a?1)??a?1?(3,4),k?3,故kmax1?ln(x?1)x?3x?1?3???????8分
3xx?1?1?2?3x?1?2?3x(Ⅲ)由(Ⅱ)知:(x?0)?ln(x?1)?
令x?n(n?1),ln[1?n(n?1)]?2?3n(n?1)?2?3(1n?),??????10分 n?11又ln[(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))]
?ln(1?1?2)?ln(1?2?3)???ln(1?n?(n?1))
11111?2n?3[(1?)?(?)???(?)]????????12分
223nn?113?2n?3(1?)?2n?3??2n?3
n?1n?1即:(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))?e2n?3??????14分
·9·
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