四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性模拟考试数学（理）试题

四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题

理科数学（第一卷）

一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分

1、集合P?{1,2}，Q?{x|x?2}，则集合P?Q为 （ ） （A）{1,2} （B）{1} （C）{2} （D）{0,1} 2、复数

i?21?2i的虚部是（ ）

（A）0 （B）5i （C）1 （D）i

3、已知sin??cos???（A）

4953，则cos(2??297?2)的值为（ ）

49 （B）

29 （C）? （D）?

4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ） （A）8 （B）18 （C）26 （D）80

5、设a、b是两条不同的直线，?、?是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( ) （A）若a⊥b，a⊥?，则b∥? （B）若a∥?，?⊥?，则a⊥? （C）若a⊥?，?⊥?，则 a∥? （D）若a⊥b，a⊥?，b⊥?，则?⊥? 6、函数f(x)?Asin(?x??)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） （A）f(x)?2sin(?3x??3) （B）f(x)?2sin(?6yx?1)

2（C）f(x)?2sin(x?

?3) （D）f(x)?2sin(?6x??6)

O14x -2

27、对一切实数x，不等式x?a|x|?1?0恒成立，则实数a的取值范围是（ ） (A) (??,?2)

(B) [?2,??)

(C) [?2,2]

(D) [0,??)

????????????8、已知O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若(OB?OC?2OA)? ????????(OB?OC)?0，则?ABC是（

）

·1·

（A）以AB为底边的等腰三角形 （C）以AB为斜边的直角三角形 （B）以BC为底边的等腰三角形 （D）以BC为斜边的直角三角形

9、反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录有三个不同点数时即停止抛掷，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是（ ）

（A）360种 （B）840种 （C）600种 （D）1680种

1，2，3，4?，记“该方程有实数根x1、x2且满足10、已知关于x的方程?2x2?bx?c?0，若b、c??0，?1?x1?x2?2” 为事件A，则事件A发生的概率为（ ）

（A）

516 （B）

1225 （C）

1425 （D）

1625

二、填空题：每小题5分，共25分

11、已知数列{an}的前n项和Sn?3?3?2n，则an? ．

12、(1?2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n等于 ．

13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．

14、设向量a与b的夹角为?，a?(2,1)，a?2b?(4，5)，则cos?等于 ．

15、定义在(?1,1)上的函数f(x)满足：对任意x,y?(?1,1)，

俯视图 主视图

侧视图

x?y有下列结论：①f(0)?0；②函数f(x)为(?1,1)上的奇函数；③函数f(x)f(x)?f(y)?f()恒成立．

1?xy2an1?a2n是定义域内的增函数；④若an?1?(n?N)，且an?(?1,0)?(0,1)，则数列?f(an)?为等比数列．

?其中你认为正确的所有结论的序号是 ．

三、解答题：总分75分

????????????????16、（本题满分12分）已知?ABC的面积S满足3?S?33,且AB?BC?6，AB与BC的

夹角为?．

（Ⅰ）求?的取值范围；

（Ⅱ）求函数f(?)?sin??2sin?cos??3cos?的最大值．

·2·

2217、（本题满分12分）三棱锥P?ABC中，PA?PB?PC，?ACB?90?，AC?CB?2． （Ⅰ）求证：平面PAB?平面ABC；

????????（Ⅱ）若CB?2AD，且异面直线PC与AD的夹角为60?时，求二面角P?CD?A的余弦值．

18、（本题满分12分）

设函数y?f?x?满足：对任意的实数x?R,有f?sinx???cos2x?cos2x?2sinx?3. （Ⅰ）求f?x?的解析式； （Ⅱ）若方程f?x??2ax?

19、（本题满分12分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件，需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且

12PBAC

有解，求实数a的取值范围.

·3·

12?10.8?x,0?x?10??30. R(x)??1081000??,x?102?3x?x（Ｉ）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数关系式；

（Ⅱ）年生产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

20、（本题满分13分）设数列?an?为单调递增的等差数列,a1?1,且a3,a6,a12依次成等比数列. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式an； （Ⅱ）若bn?2anan?2?22ananan2?3?2?2,求数列?bn?的前n项和Sn；

（Ⅲ）若cn?

?1?1n，求证：?ci?n?.

i?213·4·

21．（本小题满分14分）已知函数f(x)?1?ln(x?1)x(x?0)．

（Ⅰ）函数f(x)在区间(0,??)上是增函数还是减函数？证明你的结论； （Ⅱ）当x?0时，f(x)?kx?1恒成立，求整数k的最大值；

（Ⅲ）试证明：(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))?e2n?3.

·5·

四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题

理科数学参考答案

一、选择题：1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、B 9、B 10、D 二、填空题：11、?3?2n?1（n?N*） 12、8 13、三、解答题：

16、解：（I）由题意知AB?BC?|AB||BC|cos??6. ????1分

??????????1???1???S?|AB||BC|sin(???)?|AB||BC|sin?22?????1???1?|AB||BC|cos?tan???6tan??3tan?.????4分22433 14、

45 15、①②④

?3?S?33,即3?3tan??33.?1?tan??3.

又???[0,?],???[??,].????6分43 （II）f(?)?sin2??2sin?cos??3cos2??1?sin2??2cos2? ?2?sin2??cos2??2?2sin(2???4). ????9分

???[??43,],?2???3?4?4?[3?11?,].42时,f(?)最大,最大值为3.????12分?当2???4,即???4

zP17、证明：（Ⅰ）作PO?平面ABC于点O，∵PA?PB?PC， ∴OA?OB?OC，即O为?ABC的外心 又∵?ABC中，?ACB?90?

故O为AB边的中点

D 所以PO?平面PAB

即证：平面PAB?平面ABC． ．．．．．．．6分 Ax?（Ⅱ）∵?ABC中，?ACB?，AC?CB?2，∴OA?OB?OC?2BOCy2

????????∵CB?2AD，且异面直线PC与AD的夹角为60?，PB?PC

∴?PCB?60?，∴?PCB为正三角形，可解得PO?2. 以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O?xyz，则

A(2,0,0)，B(?2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)

·6·

????????22 CB?(?2,?2,0)?2AD，∴D(,?,0)． …………………….9分

22?设平面PCD的法向量为n?(x,y,z)

????????2?32,,0) ?CP?(0,?2,2)，CD?(22??????n?CP??2y?2z?0??由?????， 取n?(3,1,1) ?232x?y?0?n?CD??22平面ACD的法向量为OP?(0,0,2) ??????????OP?n111∴cos?OP,n?????. ????1111OP?n1111????由图可知，所求二面角P?CD?A为钝角，其的余弦值为?． ……….12分

18、解：⑴f?sinx??2sin2x?1?1?sin2x?2sinx?3?sin2x?2sinx?3

所以f?x??x2?2x?3??1?x?1?. ???????5分

12⑵①当x?时，f???0.不成立.

?2?1212121232?1?②当?1?x?2时，x??0,令t??x,则x??t,0?t?.

?1??1???t??2??t??37?2??2?2a??t??3,

t4t因为函数h?t??t?1284?3??3??3在?0,上单增，所以2a?h???a??. ???4t33?2??2?12?0,令t?x?12,则x?12?t,0?t?12.

7③当?x?1时，x?2?1??1???t??2??t??37?2??2?2a??t??3,

t4t因为函数h?t??t??1??1??3在?0,上单增，所以2a?h???0?a?0. ?4t2???2?7综上，实数a的取值范围是???,0?. ????????12分

·7·

19、解：（Ｉ）当0?x?10时，W?xR(x)?(10?2.7x)?8.1x? 当x?10时，W?xR(x)?(10?2.7x)?98?10003x?2.7x．

x330?10；

∴ 年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数关系式为

3?x8.1x??10,0?x?10,??30 W??

?98?1000?2.7x,x?10.?3x?（Ⅱ）当0?x?10时，由W??8.1?x210?0?0?x?9，

即年利润W在(0,9)上单增，在(9,10)上单减

∴ 当x?9时，W取得最大值，且Wmax?38.6（万元）． 当x?10时，W?98?(10003x?2.7x)?98?2900?38，仅当x?1009时取“=”

综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万元．

20、解：⑴

a12a6?a6a3?a12?a6a6?a3?6d3dnn?2.?1?5d?2?1?2d??d?1.?an?n.??.3分

⑵bn?2nn?2??0n2?2?3?2?21?2n?12?2????2?2nn?1n?1?12???1??12n?1?1?12?1n.

则Sn??1?2?1n?1?11?11??1?????????.???7分 ?????112n?1nn2?1??2?12?1?2?12?122?1??⑶cn?22?12?1n?1?22?1n,

而

2?1nn?2n?2n?12?n?1??1??1?2??n?1?. nn?1n2?12?1?2?12?1?2n???所以?ci?i?2??11??11?11????2??2?3????????3??n?1????n?1? 4n3?2?12?1????2?12?1??2?12?1?221?1?1?2??n?n?1?n?. ????????.13分 ?33?32?1??21、解：（Ⅰ）由题x?0,f?(x)??x?1[1?ln(x?1)]x2?0,????2分

·8·

故f(x)在区间(0,??)上是减函数;????3分

[1?ln(x?1)]在(0,??)上恒成立，取

x?1xx?1x?1?ln(x?1)，???????5分 h(x)?[1?ln(x?1)]，则h(x)?2xx1x再取g(x)?x?1?ln(x?1),则g?(x)?1???0,

x?1x?1（Ⅱ）当x?0时，f(x)?k恒成立，即k?x?1故g(x)在(0,??)上单调递增，

而g(1)??ln2?0,g(2)?1?ln3?0,g(3)?2?2ln2?0，???????7分 故g(x)?0在(0,??)上存在唯一实数根a?(2,3),a?1?ln(a?1)?0， 故x?(0,a)时，g(x)?0;x?(a,??)时，g(x)?0, 故h(x)min?a?1a?1?ln(a?1)??a?1?(3,4),k?3,故kmax1?ln(x?1)x?3x?1?3???????8分

3xx?1?1?2?3x?1?2?3x（Ⅲ）由（Ⅱ）知：(x?0)?ln(x?1)?

令x?n(n?1),ln[1?n(n?1)]?2?3n(n?1)?2?3(1n?)，??????10分 n?11又ln[(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))]

?ln(1?1?2)?ln(1?2?3)???ln(1?n?(n?1))

11111?2n?3[(1?)?(?)???(?)]????????12分

223nn?113?2n?3(1?)?2n?3??2n?3

n?1n?1即：(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))?e2n?3??????14分

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