高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全(陈策提mai供huan)

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);

D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？

答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0;

在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？

答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0;

z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离：

（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.

解：（1

）s=

(2) s==

(3) s==

(4) s==

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.

故

2

s=

x

s==

y

s==

5

z

s==.

6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则

222222

(4)1(7)35(2)

z z

-++-=++--

解得

14

9

z=

173

174 即所求点为M （0，0，149

）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

证明：因为|AB |=|AC |=7.且有

|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2.

故△ABC 为等腰直角三角形.

8. 验证：()()++=++a b c a b c .

证明：利用三角形法则得证.见图

7-1

图7-1

9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v

解：

232(2)3(3)

2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c

10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115

D A BA BD =-=--c a 2225

D A BA BD =-=--c a 3335

D A BA BD =-=--c a 444.5

D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则

1Pr j cos604 2.2

u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.

解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则

{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----

175 解得x =-2, y =3, z =0

故A 的坐标为A (-2, 3, 0).

13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：

（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；

（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量. 解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==

12Pr j 1

,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-

(2) 12(7PP =

=(3) 12

cos 14x

a PP α== 12cos 14y

a PP β==

12cos 14

z

a PP γ=

=

(4) 12012{

14PP PP ===+e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点.

求合力R 的大小和方向余弦.

解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，

1，4）

||==R cos cos cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3

j +5k 和c

=-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a

, b , c .

解：||=

=a

||==b ||3==c

176 , , 3. a b c ==a b c e

16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.

解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k

在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .

17.解：设{,,}x y z a a a a =则有

c o s (1,1)3x a i a a i a i

π?====? 求得12x a =

. 设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =

则222cos 4a b

a b π?=?=? 则214y a = 求得12

y a =± 又1,a =则2221x y z a a a ++=

从而求得11{,,}222a =±或11{,,}222

-± 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.

解：设向径OM ={x , y , z }

12{2,5,3}{3,2,5}

M M x y z MM x y z =--+=----

因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ?=?-=-????-=--?=-????+=-?=???

177 故OM ={111,,344

-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777

，求点P 的坐标. 解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=

得2229524x y z z ++=-+

126570

cos 6, 749z z γ==?==

又122190

cos 2, 749x x α==?==

123

285

cos 3, 749y y β==?==

故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570

,,494949）.

20. 已知a , b 的夹角2π

3?=，且3,4==b a ，计算：

(1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ).

解：（1）a ·b =2π

1

cos ||||cos 3434632???=??=-??=-a b

(2) (32)(2)3624-?+=?+?-?-?a b a b a a a b b a b b

22

23||44||334(6)41661.

=+?-=?+?--?=-a a b b

21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：

（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )； （3）2||-a b 解：（1）46(2)(3)4238?=?+-?-+?=a b

(2) (23)()2233-?+=?+?-?-?a b a b a a a b a b b b

22

2222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113

=-?-=?+-+--+-+=?--?=-a a b b

(3) 222||()()2||2||-=-?-=?-?+?=-?+a b a b a b a a a b b b a a b b

36238499=-?+=

178 22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在向量CD 上的投影.

解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}

Pr j CD AB CD AB CD ?

=4.7

==- 23. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角.

解: (a +3b )·(7a -5b ) =22

7||1615||0+?-=a a b b ①

(a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-?+=a a b b ② 由①及②可得：222221()1||||2||||4

???==?=a b a b a b a b a b 又21||02

?=>a b b ，所以1cos ||||2θ?==a b a b , 故1πarccos 23

θ==. 24. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且

a +

b ={2,4, -2}

a -

b ={-6,10,14}

又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0

故(a +b )⊥(a -b ).

25. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求：

(1) a ×b ; (2) 2a ×7b ;

(3) 7b ×2a ; (4) a ×a . 解：（1） 2

113

32

375122111--?=++=----a b i j k i j k

(2) 2714()429870?=?=--a b a b i j k

(3) 7214()14()429870?=?=-?=-++b a b a a b i j k

(4) 0?=a a .

26. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算：

(1) |(a ＋b )×(a －b )|；

(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.

（1）|()()|||2()|+?-=?-?+?-?=-?a b a b a a a b b a b b a b

179 π2||||sin 242

=??=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+?-=?-?+?-?=?a b a b a a a b b a b b b a

π734sin 842

=???= 27. 求垂直于向量3i -4j -k 和2i -j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：41

13

34

555111221----?=++=--+--a b i j k i j k

与?a b

平行的单位向量)||?==--+?a b e i j k a b

||sin ||||26θ?===?a b a b . 28. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为

13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k

因为12|||2610|?=++l l i j k

12||||==l l 所以

1212||sin 1||||θ?===l l l l . 即为所求对角线间夹角的正弦.

29. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4

MN MP AC BC ?=?. 证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为

31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22

M N P -- {2,2,2}MN =--

3{1,0,}2

MP =- {4,4,4}AC =--

{2,0,3}BC =-

180 22222235233100122MN MP ----?=++=++--i j k i j

k

444444

12208033220AC BC --

-?=++=++--i j k i j k

故 1

()4MN MP AC BC ?=?.

30.（1）解: x y z

x y z i j k

a b a a a b b b ?=

=-+-+-y z z y z x x z x y y x a b a b i a b a b j a b a b k （）（）（） 则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x y

a b a b a b a b a b C a b a b C ??（）（）（）（） x y z

x y z x y z

a a a

b b b C C C =

若 ,,C a b 共面，则有 a b ?后与 C 是垂直的. 从而 C 0a b ??=（） 反之亦成立.

（2） C x y z

x y z x y z

a a a a

b b b b C C C ??=（）

a x y z

x y z x y z

b b b b C C C C a a a ??=（）

b x y z x y z x y z

C C C C a a a a b b b ??=（）

由行列式性质可得:

x y z x y z x y z

x y z x y z x y z x y z x y z x y z

a a a

b b b C C C b b b C C C a a a C C C a a a b b b ==

故 C a ?b a b b C C a ??=??=??（）（）（）

181

31. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.

解：设四顶点依次取为A , B , C , D .

{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-

则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为

11

1|||542|222S AB AD =?=+-=i j k .

同理可求其他三个三角形的面积依次为1

2

故四面体的表面积1

22S =+.

32.解：设四面体的底为BCD ?，从A 点到底面BCD ?的高为h ，则

1

3BCD V S h =??，

而11948222BCD S BC BD i j k =?=--+=

又BCD ?所在的平面方程为:

48150x y z +-+=

则4

3h ==

故1

9

4

2323V =??=

33. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线.

证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC =

显然2AC AB =

则22()0AB AC AB AB AB AB ?=?=?=

故A ，B ，C 三点共线.

34. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z )

0{1,1,1}M M x y z =---

因0M M n ⊥,故00M M n ?=.

即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0

整理得：2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程.

35. 求通过下列两已知点的直线方程：

（1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.

182 解：（1）两点所确立的一个向量为

s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}

故直线的标准方程为：

121232x y z -+-==- 或 311232

x y z --+==- （2）直线方向向量可取为

s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}

故直线的标准方程为：

31213x y z -+==-- 或 13213

x y z -+==-- 36. 求直线234035210x y z x y z +--=??-++=?

的标准式方程和参数方程. 解：所给直线的方向向量为 123

11223719522335--=?=++=----s n n i j k i j k

另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17

于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:

7171719

x y z --==-- 且直线的参数方程为：

771719x t y t z t =??=-??=-?

37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程.

解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行

故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)

故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0

即3x -2y +6z +2=0.

38. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.

解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n

故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0

即x +7y -3z -59=0

39. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.

解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b

++= 又(1,2,-1)在平面上，则有

121122b b b

-++=

183 得b =2. 故所求平面方程为1424

x y z ++= 40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程.

解：由平面的三点式方程知

1

1121

2121313131

0x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1

112121*********

x y z --+----+=---+ 化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.

41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：

(1) y =0; (2) 3x -1=0;

(3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0;

(5) 2x -3y +4z =0.

解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2）

(2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图

7-3)

图7-2 图7-3

(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图7-4)

(4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图7-5）

(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图7-6）

.

图7-4 图7-5 图7-6

42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x +y -z =0的平面.

解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0

则其法向量为n ={A ,B ,C }

已知平面法向量为n 1={1,1,-1}

过已知两点的向量l ={1,1,1}

由题知n·n1=0, n·l=0

即

0,.

A B C

C A B A B C

+-=

?

?==-?

++=

?

所求平面方程变为Ax-Ay+D=0

又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0

故平面方程为x-y=0.

43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：

（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π

4

的角.

解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有5-4k-2×6=9

得k=-4.

（2）两平面的法向量分别为

n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}

且12

12

π

cos cos

||||42

θ

?

====

n n

n n

解得

2

k=±

44. 确定下列方程中的l和m:

(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;

(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.

解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}

12

232

,18

613

l

m l

m

?==?=-=

--

n n

(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}

12

315320 6.

l l

⊥??-?+?=?=

n n

45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.

解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0

其法向量n={A,B,C}

n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}

1

2

2

03

20

3

A C

A B C

A B C C

B

?

=-

?

⊥?-+=?

??

⊥?++=?

=

??

n n

n n

又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0

故所求平面方程为

2

33

C

Cx y Cz

-++=

即2x-y-3z=0

184

185 46. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.

12,⊥⊥n n n n 故121773

31

52122111-

-

=?=++=+---n n n i j k i j k

则2).n =+-e i j k

47. 求下列直线与平面的交点： (1) 1

1

126x y z

-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 2

1

3

232x y z +--==, x +2y -2z +6=0.

解：（1）直线参数方程为1126x t

y t z t

=+??=--??=?

代入平面方程得t =1

故交点为（2，-3，6）.

（2） 直线参数方程为221332x t

y t z t

=-+??=+??=+?

代入平面方程解得t =0.

故交点为（-2，1，3）.

48. 求下列直线的夹角：

（1）533903210x y z x y z -+-=??-+-=? 和 22230

38180x y z x

y z +-+=?

?++-=?；

（2）2314123x y z ---==- 和 38

121

y z x --?=?--??=?

解：（1）两直线的方向向量分别为：

s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321

i j k

--={3,4, -1}

s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381

i j k

-={10, -5,10}

186 由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2

. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121

y z x --?=?--??=?的方程可变为22010

y z x -+=??-=?,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是

12

12cos 0.2064785θθ?=

=≈?'

≈?s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程：

（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直；

（2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行；

（3）过点（-1，2，1），且与直线

31213

x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为

s ={3，-1，2}

故过点（2，-3，4）的直线方程为 234312

x y z -+-==- （2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量

1210

2{2,3,1}013

=?==--i j k

s n n 故过点（0，2，4）的直线方程为

24231

x y z --==- （3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为

s ={2，-1，3}

故过点（-1，2，1）的直线方程为

121213

x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：

（1）

34273

x y z ++==--和4x -2y -2z =3; （2）327x y z ==-和3x -2y +7z =8;

187 （3）223314

x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}

平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以

(2)4(7)(2)3(2)0?=-?+-?-+?-=s n

于是直线与平面平行.

又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043?--?--?=-≠.故直线不在平面上.

(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.

(3) 直线在平面上，因为3111(4)10?+?+-?=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上.

51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线

23030

x y z x y z -+-=??+-+=? 的平面方程. 解：直线的方向向量为12

123111-=++-i

j k i j k , 取平面法向量为{1，2，3}，

故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ?-+++-=

即x +2y +3z =0.

52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程.

解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++=

其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）

故213(2)33(13(2)231)0λ?-?-+-++?-+?+=

解得λ=-4.

故所求平面方程为

2x +15y +7z +7=0

53. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.

解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即

s =n ={1，2，-1}

所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+??=+??=-?

将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0

188 得23

t =- 于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522

(,,)333-

54. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=??-+-=?

的距离. 解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量 即1113321

1==-=---i

j k n s j k

故过已知点的平面方程为y +z =1.

联立方程组102401x y z x y z y z +-+=??-+-=??+=?

解得1

31,,.22

x y z ==-= 即13

(1,,)22

-为平面与直线的垂足

于是点到直线的距离为2

d == 55. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.

解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}

所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+??=+??=+?

将其代入平面方程得13

t =. 故垂足为485

(,,)333

，且与点（1，2，1

）的距离为1d == 即为点到平面的距离.

56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.

解：球的半径为R ==

设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14

即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.

57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.

189 解：设该动点为M (x ,y ,z )

3.= 化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0

即为动点的轨迹方程.

58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：

（1）22()()22a

a

x y -+=; （2）2

2

149x y -+=;

（3）22

194x z +=; （4）20y z -=;

（5）220x y -=; （6）220x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7.

（2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图

7-8.

图7-7 图7-8

（3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9.

（4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图

7-10.

图7-9 图7-10

（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11.

（6）z 轴，如图

7-12.

图7-11 图7-12

190 59. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：

（1）2

2

2149y z x ++=; （2）2

2369436x y z +-=;

（3）222149y z x --=; （4）2

2

2

1149y z x +-=;

（5）2

2209z x y +-=.

解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13.

(2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图

7-14.

图7-13 图7-14

(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15.

(4) 单叶双曲面，如图

7-16.

图7-15 图7-16

(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-17.

图7-17

60. 作出下列曲面所围成的立体的图形：

(1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a

(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0;

(3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1.

191 解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-18，7-19，7-20，7-21所示

.

图7-18 图

7-19

图7-20 图7-21

61. 求下列曲面和直线的交点： (1) 222181369x y z ++=与342364

x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434

x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为

334624x t y t z t =+??=-??=-+?

代入曲面方程解得t =0,t =1.

得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）.

(2) 直线的参数方程为

4324x t y t

z t =??=-??=-+?

代入曲面方程可解得t =1,

得交点坐标为（4，-3，2）.

62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.

192 解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有

2295

x y z ?+=?=±?

即为所求圆的方程.

63. 试考察曲面222

19254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.

(1) 平面x =2; (2) 平面y =0;

(3) 平面y =5; (4) 平面z =2.

解：（1

）截线方程为22

1

2

x ?=?

????=?

其形状为x =2平面上的双曲线.

（2）截线方程为22

1

940

x z y ?+=???=?

为xOz 面上的一个椭圆.

(3)

截线方程为2

215

y ?==?

为平面y =5上的一个椭圆.

(4) 截线方程为22

09252

x y z ?-=???=?

为平面z =2上的两条直线.

64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为

2

222a x y +=

故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为2

2

220

a x y z ?+=???=?

65. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为

x 2+y 2=x +1即2215

()24x y -+=.

193 故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240

x y z ?-+=???=?

习题八

1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：

(1) {(x , y )|x ≠0};

(2) {(x , y )|1≤x 2+y 2<4};

(3) {(x , y )|y

(4) {(x , y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x , y )|(x +1)2+y 2≤1}.

解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：{(x , y )|x =0}.

(2)既非开集又非闭集，有界集,

聚点集：{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}，

边界：{(x , y )|x 2+y 2=1}∪{(x , y )| x 2+y 2=4}.

(3)开集、区域、无界集，

聚点集：{(x , y )|y ≤x 2}，

边界：{(x , y )| y =x 2}.

(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，

边界：{(x , y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x , y )|(x +1)2+y 2=1}.

2. 已知f (x , y )=x 2+y 2-xy tan x y

,试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan (,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty

=+-?= 3. 已知(,,)w u v f u v w u w +=+,试求(,,).f x y x y xy +-

解：f ( x + y , x -y , x y ) =( x + y )xy +(x y )x +y +x -y =(x + y )xy +(x y )2x .

4. 求下列各函数的定义域：

2(1)ln(21);z y x =-+

(2)z =

(3)z =

(4)u =+

(5)z =

(6)ln()z y x =-+

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