第4课时 - 余弦定理(1)（教师版）

第4课时 余弦定理（1）

知识网络 三角形中的向量关系→余弦定理 学习要求 1． 掌握余弦定理及其证明； 2． 体会向量的工具性；

3． 能初步运用余弦定理解斜三角形．

【课堂互动】自学评价

1．余弦定理：

(1)a2?b2?c2?2bc?cosA，b2?a2?c2?2ac?cosB，c2?a2?b2?2ab?cosC.

222222222(2) 变形：cosA?b?c?a，cosB?a?c?b，cosC?a?b?c

2bc2ac2ab2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：

（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

【精典范例】

0【例1】在?ABC中，（1）已知b?3，c?1，A?60，求a；

0（2）已知a?4，b?5，c?6，求A（精确到0.1）．

222220【解】（1）由余弦定理，得a?b?c?2bccosA?3?1?2?3?1?cos60?7， 所以 a?7．

b2?c2?a252?62?42??0.75，所以，A?41.40． （2）由余弦定理，得cosA?2bc2?5?6点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已

知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

【例2】A,B两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C，测得CA?182m,CB?126m,

?ACB?630，求A,B两地之间的距离（精确到1m）．

【解】由余弦定

理，得

所以，

AB2?CA2?CB2?2AC?CBcosC

?28178.18 AB?168(m)

之间的距离约为168m．

222222答 A,B两地

a?b?c；a?b?c．【例3】用余弦定理证明：在?ABC中，当C为锐角时，当C为钝角时，

22222【证】当C为锐角时，cosC?0，由余弦定理，得c?a?b?2abcosC?a?b，

即 a?b?c．同理可证，当C为钝角时，a?b?c 点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广．

222222追踪训练一

１．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７，求a；

（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．略解：（1）a37略解：（2）A?2? 3２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（ Ｂ ） Ａ．能组成直角三角形 Ｂ．能组成锐角三角形 Ｃ．能组成钝角三角形 Ｄ．不能组成三角形

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３．在△ＡＢＣ中，已知a2?b2?ab?c2，试求∠Ｃ的大小．略解：C?2? 3４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？略解：两艇相距4.71km

【选修延伸】

BC=a，AC=b，b是方程x?23x?2?0的两根，【例4】在△ABC中，且a， 2cos?A?B??1。

2（1） 求角C的度数；(2)求AB的长；(3）求△ABC的面积。 解：(1) cosC?cos[???A?B?]

2??cos?A?B???1?C?1200

2?a?b?23 （2）因为a，b是方程x?23x?2?0的两根，所以?

?ab?2?AB2?b2?a2?2abcos1200 ??a?b??ab?10?AB?10

（3）S?ABC?213 absinC?22a2?b2sin?A?B??【例5】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，证明：。 2sinCc证明：由余弦定理知：a?b?c?2bc?cosA，b?a?c?2ac?cosB

222222a2?b2acosB?bcosA?则a?b?b?a?2bc?cosA?2ac?cosB，整理得:， 2cc2222asinAbsinBa2?b2sinAcosB?cosAsinBsin?A?B??又由正弦定理得:?， ?，? ?2csinCcsinCcsinCsinC追踪训练二

1．在△ABC中，已知b?2，c?1，B=450，则a? （ B ）

6?2 C 26?2 D 26?2 2A 2 B

2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=31，则A= （ A ）

?2??? B C D

3364?3．在△ABC中，若b?10，c?15，C=，则此三角形有 一 解。

6A 提

示

：

由

余

弦

定

理

得

：

a2??b23a2?c2?10cC?os??a2?1?2ab2a20第 2 页 共 3 页

a?0?022535?a?13 2?150

负值不合题意，舍去。

4、 △ABC中，若a?c?bc?b，则A=

222? 。 3

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