2014年上虞区高一竞赛数学试卷A卷

学校 姓名 考号 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2014年绍兴市上虞区高一竞赛数学试卷（A卷2014.4）

一、填空题（每小题5分，共60分）

21．已知集合A???2,3,4m?4?，集合B?3,m，若B?A，则实数m＝ ．

??2．已知：f?1?2x??x3?x 则f?3?? .

3．已知a,b,c均为正数,且都不等于1,若实数x,y,z满足a?b?c,则abc的值等于 . 4．设0?x?2?，则满足不等式sin(x?xyz111???0， xyz?6)?cosx的x的取值范围是 . 5．如图，已知?OAB中,OA?a,OB?b,而M为OA的中点， N为靠近O的三等分点，AN与BM交于点P,则

OP= .（用a,b表示）

6．已知函数f?x?2?为奇函数，且满足f?6?x??f?x?， f(3)?2，则f?2013??f?2014?= . 7．设O为锐角?ABC的外心，AB?6,AC?10，若AO?xAByA?C则cosA= 。 8．设f?x??g?x??10y5?。，且2x?1?cos2x??????x???,??，且f?x?为奇函数，g?x?为偶函数，?1?sinx??22??2?则?f???????????????g???? . ?4????4??m?6),(a?0,a?1)的值域为R，则实数m取值范围是 . x201429．若函数f(x)?loga(x?210．实数x,y满足x?2xsin(xy)?1，则x?4sin13y?__________.

11．定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，且f(x)在(0,??)上单

16212．设x?1,y?1,S?min?logx2,log2y,logy(8x)?，则S的最大值为 . 调递增，则不等式f(x)?f(x?5)?0的解集为 .

二、解答题（每题15分，共60分）

高一竞赛A卷第1页

13．在平行四边形ABCD中，?A??3，边AB?2，AD?1，若M、N分别为边BC、CD上的点，且满足BMBC?CNCD，求AMAN的取值范围． 14．已知函数f(x)?ax2?bx(a?0)满足条件：①f(x)?f(?2?x)；②函数f(x)的图像与直线y?x相切． （Ⅰ）求f(x)的解析式； （Ⅱ）若不等式? f(x)1?()2?tx在t?2恒成立，求实数x的取值范围． ?高一竞赛A卷第2页

15．设函数f(x)?sinax?3cosax,(0?a?1)，g(x)?tan(mx?已知两函数的最小正周期相同，且f(1)?2g(1)． （Ⅰ）求f(x),g(x)的解析式； （Ⅱ）记h(x)?f(wx),(w?0)，若h(x)在[ ?6),(0?m?1)， ??,]上单调递增，试求w的取值范围． 42

高一竞赛A卷第3页

16．设函数f(x)的定义域是(0,??)，且对任意y?R都有f(xy)?yf(x)． （Ⅰ）若对常数m?(0,1)，f(m)?0，判断f(x)在(0,??)上的单调性； （Ⅱ）在?ABC中，BC?AC?0，CD?(CB?CA)?0（D在线段AB上），BD?p， CD?q，AD?r，其中p?q?r?1，比较f(p)f(r)与[f(q)]2的大小． ?a?b?（提示：当a?b时，ab???） ?2?2 高一竞赛A卷第4页

2014年绍兴市上虞区高一竞赛数学答案（A卷2014.4）

一、填空题（每小题5分，共60分）

1．2 ； 2．0 ； 3．1； 4．( 7．

?7?6,21)； 5．a?b； 6．?2； 6551 ； 8． ?2 ；9．(??,9] ； 10． 5 ； 3(0,2][3,5)(5,6] ； 12．2．

11．[?1,0)二、解答题（每题15分，共60分） 13．解：记AB?a,AD?b，则?a,b???3，设BM?tMCt,?[0,1]22，则DN?(1?t)DC

AM?a?tb,AN?(1?t)a?b?AM?AN?(1?t)a?tb?[(1?t)t?1]a?b?4(1?t)?t?1?t?t2??(t?1)2?6,t?[0,1] 易得?AM?AN?[2,5]．

14．解：（Ⅰ）由①知函数f(x)的对称轴为x??1，故b?2a；又因为②函数f(x)的图

像与直线y?x相切，故方程ax2?(b?1)x?0有两个相同的解，令??0解得

b?1，a?1； 2f(x)（Ⅱ）???1，??1?()2?tx等价于f(t)?tx?2．于是不等式?f(x)?1?()2?tx

?在t?2恒成立等价于一次函数g(t)?xt?(x?x?2)在t?2恒成立，故

122?g(?2)?0，解得x??3?5或x??3?5，从而实数x的取值范围为??g(2)?0(??,?3?5)?(?3?5,??)．

15．解：（Ⅰ）由两函数周期相同可得：

2????a?2m．又amf(1)?2g(1)可得

sin??23cos??2tan(m??6)2sin(2m?得：

?3)?2tan(m??6)m?(0,1)可，由

得2cos(m???????2)?1；令cos(m?)?，?m??得m?，??． 66412662?????f(x)?2sin(x?),g(x)?tan(x?)；

63126??（Ⅱ）h(x)?f(wx)?2sin(wx?)

63由x?[??,]可得wx??[w?,w?]，又

4263243123高一竞赛A卷第5页

???2??2?h(x)在x?[,]单调递增。

42??

则??2?2k????224w??3且

?212w??3??2?2k? 得：

?10?48k??w?2?24k?，又由

2?24k?10?48k??可得k?1，结合w?0可得k?0． 2?0?w2????102 得w?(0,]．

??w?????16．（Ⅰ） 对任意0?x1?x2，由m?(0,1)，存在s,t使得 x1?ms,x2?mt且s?t，

f(x1)?f(x2)?(s?t)f(m)，又s?t?0,f(m)?0，

； ?f(x1)?f(x2)?0，f(x)在(0,??)上是增函数．

（Ⅱ） 若f(x)在(0,??)上是常函数，则f(p)f(r)=[f(q)]2；

若f(x)在(0,??)上是非常数函数，

在?ABC中，BC?AC?0，CD?(CB?CA)?0（D在线段AB上），则

?C?90?,CD?AB，由射影定理得q2?pr．

p?q?r?1?存在正数m1,m2(m1?m2)使得p?q1,r?qmm2，

?q2?qm1?m2，即m1?m2?2，

故f(p)f(r)=f(q1)f(q2)?m1m2[f(q)]2?[f(q)]2，

mm?f(p)f(r)?[f(q)]2．

高一竞赛A卷第6页

则??2?2k????224w??3且

?212w??3??2?2k? 得：

?10?48k??w?2?24k?，又由

2?24k?10?48k??可得k?1，结合w?0可得k?0． 2?0?w2????102 得w?(0,]．

??w?????16．（Ⅰ） 对任意0?x1?x2，由m?(0,1)，存在s,t使得 x1?ms,x2?mt且s?t，

f(x1)?f(x2)?(s?t)f(m)，又s?t?0,f(m)?0，

； ?f(x1)?f(x2)?0，f(x)在(0,??)上是增函数．

（Ⅱ） 若f(x)在(0,??)上是常函数，则f(p)f(r)=[f(q)]2；

若f(x)在(0,??)上是非常数函数，

在?ABC中，BC?AC?0，CD?(CB?CA)?0（D在线段AB上），则

?C?90?,CD?AB，由射影定理得q2?pr．

p?q?r?1?存在正数m1,m2(m1?m2)使得p?q1,r?qmm2，

?q2?qm1?m2，即m1?m2?2，

故f(p)f(r)=f(q1)f(q2)?m1m2[f(q)]2?[f(q)]2，

mm?f(p)f(r)?[f(q)]2．

高一竞赛A卷第6页

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