寿险精算习题及答案

习题

第一章人寿保险

一、n年定期寿险

【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。

I、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II、根据93男女混合表，计算赔付支出。 解：I

表4–1 死亡赔付现值计算表

年份 （1） 1 2 3 4 5 合计

根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：

年内死亡人数 （2） 1 2 3 4 5 --- 赔付支出 （3）=1000*(2) 1000 2000 3000 4000 5000 15000 折现因子 （4） 赔付支出现值 （5）=(3)*(4) 970.87 1885.19 2745.43 3553.95 4313.04 13468.48 1.03?1 1.03?2 1.03?3 1.03?4 1.03?5 --- 1000?(1?1.03?1?2?1.03?2?3?1.03?3?4?1.03?4?5?1.03?5)?13468.48（元）

则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。 解：II

表4–2 死亡赔付现值计算表

年份 （1） 1 2 3 年内死亡人数 （2） 1000*q40=1.650 1000*1|q40=1.809 1000*2|q40=1.986 赔付支出 （3）=1000*(2) 1650 1809 1986 折现因子 （4） 赔付支出现值 （5）=(3)*(4) 1601.94 1705.16 1817.47 1.03?1 1.03?2 1.03?3 4 5 合计

1000*3|q40=2.181 1000*4|q40=2.391 --- 2181 2391 10017 1.03?4 1.03?5 --- 1937.79 2062.50 9124.86 根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：

10002?(q40?1.03?1?1|q40?1.03?2?2|q40?1.03?3?3|q40?1.03?4?4|q40?1.03?5)?9124.86（元）

则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。 【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：

I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费； 解：I、单位趸缴纯保费为，

A140:3|??vk?1?k|q40?(vq40?v21|q40?v32|q40)?(vq40?v2p40q41?v32p40q42)

k?020.00165(1?0.00165)?0.001812(1?0.00165)?(1?0.001812)?0.001993??]

1.051.0521.053?0.00492793（元）。 ?[II、单位赔付现值期望的方差为，

2A140:3|?(A1240:3|11)??v2(k?1)?k|q40?(A40)2?(v2q40?v41|q40?v62|q40)?(A40)2?0.00444265:3|:3|k?021III、趸缴纯保费为，10000?A40?49.28（元） :3|【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。假设

lx?1000(1?x)，计算趸缴纯保费。 105150:30|解：趸缴纯保费为，100000A?100000?1.08?(k?1)?kp50?q50?k

k?029其中，kp50?l50?k55?kl?l51?k1，q50?k?50?k ??l5055l50?k55?k?100000?1.08?(k?1)?k?029故，100000A150:30|55?k1 ?5555?k10000011?(1/1.08)30????20468.70（元）

551.081?(1/1.08)二、终身寿险

【例4.4】某人在40岁时投保了10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：

I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费； 解：I、单位趸缴纯保费为，

A40??vk?1?k|q40?v?q40?v2?1|q40?v3?2|q40?...?v65?64|q40?0.18853（元）。

k?064II、单位赔付现值期望的方差为，

2 A40?(A40)??v2(k?1)?k|q40?(A40)2?0.001919792k?064III、趸缴纯保费为，10000?A40?1885.29（元） 三、n年定期生存寿险

【例4.5】某人在40岁时投保了10000元20年定期生存寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：

I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；

1解：I、单位趸缴纯保费为，A40:20?v20?20p40?0.342332（元） |II、单位赔付现值期望的方差为，v2?20?20p40?20q40?0.0313891

1III、趸缴纯保费为，10000?A40:20?3423.32（元） |纯保费+风险附加费用=100?(E(z)?R)?100(0.3423317?0.0213183)?36.365（元） 四、n年定期两全保险

【例4.6】某人在40岁时投保了10000元20年两全寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：

I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；

11解：I、单位趸缴纯保费为，A40:20|?A40（元） ?A40:20?0.391722|:20|II、单位赔付现值期望的方差为，Var(z)?Var(z1)?Var(z2)?2E(z1)E(z2)?0.004261 III、趸缴纯保费为，10000?A40:20|?391722（元） 六、延期寿险

【例4.7】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付，如果在40-60岁死亡，赔付

50000元；65-75岁死亡，赔付100000元；在75岁后死亡，保险金为30000元。利用生命表93U、利率6%条件下的转换基数表计算该保单趸缴净保费。

解、这份保单可以分解为一份50000元的25年定期寿险、一份100000元延期25年的10年定期寿险和一份30000元延期35年的终身寿险的组合，即，

E(z)??50000(M40?M65)100000(M65?M75)30000M7550000(M40?M65)?70000M75???D40D40D40D4050000(13451.43?7800.72)?70000?4432.38?8008.487（元）

93942.95这份保单还可以分解为一份30000元终身寿险、一份200000元的35年定期寿险和一份50000元延期25年的10年定期寿险的组合，即，

E(z)?30000M4020000(M40?M75)50000(M65?M75)50000(M40?M65)?70000M75???D40D40D40D40七、变额寿险

【例4.8】利用计算基数表求下列保单在被保险人50岁签单时的1单位元趸缴纯保费和方差，死亡年度末给付，年利率6%，参照生命表（U,93,1000000）:

I、终身寿险；II、20年定期寿险；III、20年定期两全保险；IV、延期10年终身寿险；V、延期10年的20年定期寿险；VI、延期10年的20年定期两全保险。 解、I、终身寿险：

A50?M50?D50?11729.04?51090.53?0.229574222DA50?DM50/DD50?M50/D50?225.6235/2773.6211-(11729.04?51090.53)?0.028642II、20年定期寿险：

1 A50?(M50?M70)/D50?(11729.04-6149.05)/51090.53?0.109218:20|122DA50?(DM?DM)/DD?(M?M)/D507050507050 :20|2 ?(225.6235-60.4193)/2773.6211-((11729.04-6149.05)/51090.53)?0.047634III、20年定期两全保险：

A50:20|?(M50?M70?D70)/D50?(11729.04-6149.05?12374.69)/51090.53?0.3514292 DA50:20|?(DM50?DM70?DD70)/DD50?(M50?M70?D70)2/D502?(225.6235-60.4193?209.471)/2773.6211-((11729.04-6149.05?12374.69)/51090.53)?0.011583IV、延期10年终身寿险：

10| A50?M60/D50?9301.66/51090.53?0.18206210|222DA50?DM60/DD50?M60/D50?130.1094/2773.6211-(9301.66/51090.53)?0.013763V、延期10年的20年定期寿险：

1 A-2802.27)/51090.53?0.12721310|50:20|?(M60?M80)/D50?(9301.66122 DA50?(DM?DM)/DD?(M?M)/D608050608050:20|10|2 ?(130.1094-18.522)/2773.6211-((9301.66-2802.27)/51090.53)?0.024048VI、延期10年的20年定期两全保险：

10|A50:20|?(M60?M80?D80)/D50?(9301.66-2802.27?4312.51)/51090.53?0.2116222 ?10|DA50:20|?(DM60?DM80?DD80)/DD50?(M60?M80?D80)2/D502?(130.1094-18.522?40.7625)/2773.6211-((9301.66-2802.27?4312.51)/51090.53)?0.010144第三节连续型（死亡即刻赔付）寿险趸缴纯保费 【例4.9】已知被保险人的寿命分布函数F(x)?求A40和DA40。

x，0?x?100，假设??0.05，分别100100?xS'(x?t)1解、S(x)?1?F(x)?，?x?t??， ?100S(x?t)1?(x?t)tpx?1S(x?t)100?(x?t)?，fx(t)?tpx??x?t?，

100?xS(x)100?x1，0?t?100?40?60。 60600当x?40，fx(t)?A40?160???t1???tedt??e60?060????1e?0.05?t60?0.05600600?0.31674，

2A40?160?2??t1?2??tedt??e60?02?60????1e?2?0.05?t2?60?0.05600?0.1662544，

DA40?2A40?(A40)2?0.06593；

【例4.10】(x)投保终身寿险，死亡即刻赔付1元。假设余命服从常数死亡率分布，??0.06，利息力??0.03。计算，I、Ax、DAx；II、Pr(zt??0.9)?0.9，求?0.9；III、假设有100个(x)独立同分布的个体购买了该保险，每人世纪缴纳保费为(1?R)Ax。在正态分布条件下要使保费有95%的概率足够支付死亡赔偿，计算R。

1月保费为，P(12)(A25)/12?1.8042 :35|【例6.7】对于（40）的20年定期寿险，如果被保险人在保险期内死亡，除了赔付100000元外，还退还过去已缴净保费的累积。假设利率5%，保险赔付在死亡年末，保险费每年初缴付一次、20年付清，根据93U表计算以下几种情况的年缴均衡净保费。 I、退换保费部分不计利息； II、退换保费部分按3%计复利； 解、设年缴均衡净保费为P，则，

I、不计利息；已缴净保费的累积虽然不计息，但给付以保险人在保险期内死亡为条件，这

11??40:20|?100000就构成定期递增的寿险，其收支平衡式为，P?a，解?A40?P?(IA):20|40:20|得，

P?1100000?A40:20|??40:20|?(IA)1a40:20|?100000?(M40?M60)?746.29

(N40?N60)?(R40?R60?20?M60)1100000?A40:20|如果不退还还过去已缴净保费，P???40:20|a?100000?(M40?M60)?386.65

(N40?N60)II、按3%计复利：如果退还保费以利息率j计息，退还保费部分的给付是一个随被保险人死

?k?1|j，其现值变量为，W?vk?1?P???k?1|j，亡时间变动的年金终值，即，bk?1?P??ss(0?k?n)

精算现值为，E(W)?P??vk?0n?1k?1k?1?k?1|j?k|qx，?k?1|j?k|qx?0.70666492令S??v????ssk?0n?12

1??40:20|?100000收支平衡式为，P?a?A40?P?S，解得， :20|1100000?A40:20|P???40:20|?Sa?100000?0.0493905?409.2965

12.773834-0.706665第二章责任准备金

第一节 离散型责任准备金 一、将来法全期缴费责任准备金

【例7.1】设有1000个40岁的人同时投保1000元5年定期寿险，保费在5年内均衡缴付。当利率为6%，根据93U生命表分析未来5年预期净保费收入和预期赔付支出。 解、每人年缴净保费为，

1000?P140:5|?1000?1A40:5|??40:5|a?1000?M40?M4513451.43?12667.17?1000??1.876062N40?N451422016.88?1003984.10

1、终身寿险

【例7.2】（35）投保1单位元终身寿险，保险金在死亡年末给付，保费在每年年初缴纳。在利率6%条件下，运用93U表计算5V35、10V35、20V35。 解、5V35?M40M35N4013451.4314116.121422016.89??????0.03558 D40N35D4093942.951985692.0293942.9510V35?M45M35N4512667.1714116.121003984.11??????0.07957 D45N35D4569496.461985692.0269496.46M55M35N5510611.8714116.12469304.43??????0.19571 D55N35D5537176.271985692.0237176.272035V?【例7.3】某人40岁投保1000元死亡年末付终身寿险，保费在每年初均衡缴付，利率为6%，试用93U表采用将来法计算未来各年责任准备金。 解、A40?k?M40?kNM??40?k?40?k，P40?40 ，aD40?kD40?kN402、定期寿险

【例7.4】某人在40岁投保了20年死亡年末付定期寿险，保险金额为1000元。若保险费每年初缴付一次，20年缴清，预定利率6%，根据93U表计算投保第10年末的责任准备金。 解、10V40:20|?11000M?M60[(M50?M60)?40?(N50?N60)] D50N40?N60?100013451.43?9301.66[(11729.04?9301.66)??(695386.28?305710.38)]?19.15851090.531422016.89?305710.38二、将来法限期缴费责任准备金 1、终身寿险

【例7.5】某人40岁投保1000元死亡年末付终身寿险，保费在5年内每年初均衡缴付，利率为6%，试用93U表采用将来法计算未来各年责任准备金。 解、A40?k?N?N45M40M40?k??40?k:5?k|?40?k，a，hPx?D40?kN40?N45 D40?k表7-3未来各年责任准备金计算表 第K年末 未来第K年末赔付现值 未来第K年末净保费现值 第K年末责任准备金 1000?A40?k 0 1 2 3 4 5 10 20 30 143.19 150.38 157.87 165.68 173.81 182.27 229.57 349.61 496.91 ??1000?5P40?a40?k:5?k| 143.19 117.71 90.93 62.45 32.18 0.00 5k40V 0.00 32.67 66.94 103.23 141.63 182.27 229.57 349.61 496.91 0.00 0.00 0.00注：由于保费在5年内缴付，5年后的责任准备金正好等于未来赔付现值。

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