量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程

I.波函数与Schrodinger方程

1. 经典波有波函数吗？ 量子波函数与经典波函数有什么异同？

答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿 轴方向传播的平面单色波，波动动量

对 和 的函数——波函数可写为

，其复指数形式为 ，波函数 给出了传播方向上时刻 在点处的振动

状态。经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝ k 及 E ＝ ω 代入上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 )

.

经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态 粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程．

2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ?

表示不存在

答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为 不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过

，则

而完全确定．出于量子理论与经典理

论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度

对

整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条

件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化．

3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中 ， 为几率密度， 为几率流

密度。

证：几率密度和几率流密度的表达式为：

，，

因此速度场为：

其旋度为：

4 ． 粒子在一维势场 V(x) 中运动，试证明：属于不同能级的束缚态波函数互相正交．

证：设,分别为属于能级 ， 的束缚态波函数．由于是一维束缚态， 都是实函数，故只需证明

均应满足定态薛定谔方程，即

（ 1 ）

（ 2 ）

以 左乘式（ 1 ）， 左乘式（ 2 ），再相减，即得

对全空间积分，得到

（束缚态波函数在无穷远处必须趋于 0 ）。因此， ，就有

（ 3 ）

亦即 与 正交。

5. 粒子在深度为 Vo ，宽度为 a 的直角势阱 ( 如下图 ) 中运动，求：

(a) 阱口刚好出现一个束缚态能级 ( 即 ) 的条件。

(b) 束绍态能级总数．并和无限深势阱作比较。

解： 粒子能量 E 小于 Vo 时为束缚态， E 大于 Vo 时为游离态．定态薛定房方程为：

（ 1 ）

令（ 2 ）

式（ 1 ）可以写成

（阱内） （ 3 ）

（阱外） （ 4 ）

无限远处束缚态波函数应趋于 0 ，因此式 (4) 的解应取为

（ 5 ）

当阱口刚好出现束缚态能级时， ，因此

（ 6 ）

阱内波函数可由式 (3) 解出，当 ，解为

（ 7 ）

阱内、外 和 应该连续，而由式 (6) 可知， 处 将这条件用于式 (7) ，即得

（ 8 ）

亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为

（ 9 ）

即

（ 10 ）

一维势阱至少有一个束绍能级．因此，如 ，只存在一个束缚态，偶宇称 ( 基态 ) ．如 ，

除基态外。阱口将再出现一个奇宇称态能级，共二个能级．如 此类推．由此可知，对于任何扩

值，束缚态能级总数为

，阱口将出现第三个能级 ( 偶字称 ) ．依

, (11)

其中符号 表示不超过 的最大整数

当粒子在宽度为 a 的无限深势阱中运动时，能级为

则 的能级数为

(12)

也就是说，如果只计算 的能级数，则有限深 ( ) 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一

个能级均一一对应地高于前者的相应能级。

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