平行四边形知识点与经典例题

第十八章 平行四边形

18.1.1 平行四边形的性质

第一课时 平行四边形的边、角特征 知识点梳理

1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。 2、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。 3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。 知识点训练

1．(3分)如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是________．

2．(3分)如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形( )

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

3．(3分)在□ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，则□ABCD的周长为 cm.

4．(3分)用40 cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，则较长的边的长度为 cm.

5．(4分)在□ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶5，则∠D＝ ；若∠A＋∠C＝140°，则∠D＝ ．

6．(4分)(2014·福州)如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则□ABCD的周长是 ．

7．(4分)如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为( )

A．53° B．37° C．47° D．123°

8．(8分)(2013·攀枝花)如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE＝DF.

1

求证：AE＝CF.

9．(4分)如图，点E，F分别是□ABCD中AD，AB边上的任意一点，若△EBC的面积为10 cm2，则△DCF的面积为 。

10．(4分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，记△ABO的面积为S1，△COD的面积为S2，则S1，S2的大小关系是( )

A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法比较

11．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( ) A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．2∶2∶1∶1 D．2∶1∶2∶1

12．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM，下列说法正确的是( )

A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②

13．如图，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的周长为__．

2

14．(2013·江西)如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为 。

15．(10分)如图，□ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E.

求证：AB＝BE.

16．(12分)在□ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE. (1)求证：△ABC≌△EAD；

(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．

17．(14分)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边作□CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G.连接BG，DE. (1)∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由； (2)求证：△BCG≌△DCE.

3

第二课时 平行四边形的对角线特征 知识点梳理

1、平行四边形的对角线互相平分。 知识点训练

1．(3分)如图所示，如果□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么图中的全等三角形有( )

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

2．(3分)如图，□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝8，AB＝6，BD＝m，那么m的取值范围是( )

A．2＜m＜10 B．2＜m＜14 C．6＜m＜8 D．4＜m＜20

3．(3分)若□ABCD的周长是22，对角线AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3，则AD＝ ，AB＝ ．

4．(4分)已知O为□ABCD两对角线的交点，且S△AOB＝1，则S□ABCD＝ ． 5．(8分)如图，在□ABCD中，点E，F在AC上，四边形DEBF是平行四边形，求证：AE＝CF.

6．(3分)如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O.下列结论：①OA＝OC；②∠BAD＝∠BCD；③AC⊥BD；④∠BAD＋∠ABC＝180°；⑤AD＝BC。其中正确的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．(4分)如图，设M是□ABCD边AB上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则( )

4

A．S＝S1＋S2 B．S>S1＋S2 C．S＜S2＋S2 D．不能确定 8．(4分)如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上 一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为点 E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的 对数为( )

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对

9．(4分)在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )

A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 10．(4分)如图，□ABCD的对角线相交于点O， 且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，

若△CDE的周长为10，则□ABCD的周长为 ．

11．如图所示，□ABCD中，AB＝4，BC＝5，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( ) A．10 B．12 C．14 D．16

12．如图所示，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

13．如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于 点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内， 若点B的落点记为B′，则DB′的长为____．

14．(10分)如图所示，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM＝CN.求证：BM∥DN.

5

15．(10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，BD⊥AD于D，BF⊥CD于F，OB＝1.5，AD＝4，求DC及BF的长．

16．(10分)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2， 且AC∶BD＝2∶3.

(1)求AC的长；(2)求△AOD的面积．

6

第十八章 平行四边形

18.1.1 平行四边形的判定

第一课时 平行四边形的判定 知识点梳理

1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 3、对角线互相平分的四边形是平行四边形； 知识点训练

1．(5分)在四边形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD的长为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

2．(5分)如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

3．(7分)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F在对角线AC上且DE∥BF，AD∥BC，AE＝CF，

求证：四边形ABCD为平行四边形．

4．(5分)下面给出了四边边ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )

A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3 C．2∶3∶2∶3 D．2∶3∶3∶2 5．(5分)在下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ) A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．∠A＝∠B＝∠C＝90°

C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180° D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180° 6．(5分)小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据

7

是( )

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

7．(8分)如图，在□ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.求证∠EBF＝∠FDE.

8．两直角边不等的两个全等的直角三角形能拼成平行四边形的个数为( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

9．已知三条线段的长分别为10 cm，14 cm和8 cm，如果以其中的两条为对角线，另一条为边，那么可以画出所有不同形状的平行四边形的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )

11． A．AE＝CF B．BE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB

11．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于O点，已知点E，F分别是BD上的点，请你添加一个条件，使得到四边形AFCE是一个平行四边形．

12．一个四边形的四条边长依次是a，b，c，d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd， 则这个四边形一定是 ，依据是 。

13．(8分)已知：如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．

求证：四边形AFBE是平行四边形．

8

14．(10分)如图，在□ABCD中，MN∥AC，分别交DA，DC的延长线于点M，N，交AB，BC于点P，Q，求证：MP＝NQ.

15．(10分)如图，□ABCD中，E，G，F，H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH.求证：EF与GH互相平分．

16．(12分)如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR，那么四边形AQRP是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．

9

第二课时 平行四边形的性质与判定的综合应用 知识点梳理

1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

2、连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 知识点训练

1．(4分)如图，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形，则四边形BCFE是 ，理由是 ． 第1题图 第2题图

2．(4分)如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是( )

A．AD＝BC B．CD＝BF C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDE 3．(8分)(2013·镇江)如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF. (1)求证：△ABE≌△DCF；

(2)试证明：以点A，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形．

4．(4分)如图，在□ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE∥DF， 若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数为

5．(4分)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件是 。

10

6．(4分)已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有( )

A．6种 B．5种 C．4种 D．3种

7．(4分)(2014·泸州)如图，等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为( )

A．30° B．60° C．120° D．150°

第7题图 第8题图

8．(4分)(2014·湘潭)如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE＝15米，则AB＝( ) A．7.5米 B．15米 C．22.5米 D．30米

9．(4分)(2014·娄底)如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是

10．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( ) A．15° B．20° C．25° D．30°

11．如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( ) A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小

C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关

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12．(2014·遂宁)如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推??若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为____．

13．(10分)(2014·白银)D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB，AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形．

13题 14题

14．(12分)如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：

15．(14分)(2014·凉山)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF. (1)试说明AC＝EF；

(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．

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专题 平行四边形的性质与判定

教材母题(教材P50第5题)

如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

规律与方法：平行四边形的性质与判定的综合必须根据题目的条件，充分应用平行四边形的有关性质，合理筛选判定的方法，此题涉及对角线问题，通常采用对角线的有关知识来解决．

变式1：如图，在□ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE＝CF.求证：DE＝BF.

变式2：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE＝AD，点F在AD上，AF＝AB.求证：△AEF≌△DFC.

变式3：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．

求证：(1)BE⊥AC；(2)EG＝EF.

变式4：如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命

13

题．

(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例； (2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明． (命题请写成“如果??，那么??”的形式)

变式5：如图，已知△ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点P，使EF＝AE，连接AF，BE和CF. (1)求证：△BCE≌△FDC；

(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由．

变式6：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连接DE. (1)证明：DE∥CB；

(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

变式7：分别以?ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF.

(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF，请判断GF与EF的关系；(只写结论，不需证明)

(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

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18.2.1 矩形

第一课时 矩形的性质 知识点梳理

1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2、矩形的对边

4、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。 5、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。 6、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。 知识点训练

1．(5分)下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是( ) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行

2．(5分)(2014·重庆)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )

A．30° B．60° C．90° D．120°

,第2题图) ,第3题图)

3．(5分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长( ) A．4 B．6 C．8 D．10

4．(5分)如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1，S2，则S1与S2的大小关系是( ) A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2

5．(5分)如图，矩形OBCD的顶点坐标为(1，3)，则对角线BD的长为( )

6．(5分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长＝____cm.

7．(5分)(2014·泉州)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为___cm.

,第4题图),第5题图),第6题图) 15

8．(5分)(2014·无锡)如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于

,第7题图) ,第8题图)

11．矩形ABCD的长BC＝4，宽AB＝3，P是AD上任一点，过P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F，则PE＋PF的长为多少？

12．(10分)如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE.

13．(10分)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，交AB的延长线于点E，求证：AC＝CE.

14．(10分)如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点， 且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF. 求证：(1)△ABF≌△DEA；

(2)DF是∠EDC的平分线．

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15．(12分)把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E，F两点均在BD上)，折痕分别为BH，DG. (1)求证：△BHE≌△DGF；

(2)若AB＝6 cm，BC＝8 cm，求线段FG的长．

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第二课时 矩形的判定 知识点梳理 矩形的判定方法：

1、有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2、对角线相等的平行四边形是矩形； 7、有三个角是直角的平行四边形是矩形。 知识点训练

1．(3分)下列命题错误的是( )

A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 2．(3分)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( ) A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD

第2题图 第3题图

3．(3分)如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，可使四边形EFGH为矩形的是( )

A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC

4．(3分)四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中不能判定它是矩形的是( ) A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90° B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD C．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD＋∠ADC＝180° D．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC＝90°

5．(4分)(2014·娄底)如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__ (添加一个条件即可)．

第5题图 第6题图

6．(4分)如图，已知l1∥l2，l3与l1，l2分别相交于A，B两点，过点A，B作两组内错角的平分线相交于点C，D，则四边形ABCD的形状是

7．(4分)已知?ABCD的对角线相交于O点，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD，使?ABCD是矩形的条件的序号是

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8．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．

9．(8分)如图，在?ABCD中，AE＝CF，AG⊥DE，CH⊥BF，求证：四边形EHFG是矩形．

10．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于 点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )

A．23 B．33 C．4 D．43 11．工人师傅在做矩形零件时，常用测量平行四边形的两条对角线是否相等来检查直角的精确度，这是根据 ．

12．M是矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件__ __时，四边形PEMF为矩形 .

13．已知?ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4，则?ABCD的面积为

14．(10分)(2013·南通)如图，AB＝AC，AD＝AE， DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE. 求证：四边形BCDE是矩形．

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15．(12分)(2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段

AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.

(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是 ，并证明． (2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．

16．(14分)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F. (1)求证：OE＝OF；

(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

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18.2.2 菱形

第一课时 菱形的性质 知识点梳理

1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2、菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角； 3、菱形的面积与两条对角线的关系是：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。 知识点训练

1．(3分)菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A．对角相等且互补 B．对角线相等且互相平分 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相垂直

2．(3分)如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( )

A．24 B．16 C．413 D．23

第2题图 第3题图

3．(4分)(2013·怀化)如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠ABC＝60°，则对角线AC＝( ) A．12 B．9 C．6 D．3

4．(4分)(2014·毕节)如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( ) A．3.5 B．4 C．7 D．14

第4题图

第5题图

5．(4分)如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF＝3 cm，则P点到AB的距离为___cm.

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6．(4分)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若BE＝EC，则∠EAF＝____．

7．(8分)如图所示，已知菱形ABCD的对角线相交于点O， 延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE. (1)求证：BD＝EC；

(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．

8．(3分)菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，BO＝4，则菱形的面积为

9．(3分)已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为__

10．(4分)菱形的周长为16，其相邻两内角的度数比为1∶2，则此菱形的面积为( )

A．43 B．83 C．103 D．123 11．如图，在菱形ABCD中，E，F分别在BC和CD边上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，则∠BAD的度数是( )

A．95° B．100° C．105° D．120°

第11题图 第12题图

12．(2013·扬州)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于( ) A．50° B．60° C．70° D．80°

13．如图，菱形ABCD的周长为 ，对角线AC和BD相交于点O，AC∶BD＝1∶2，则AO∶BO＝ ，菱形ABCD的面积S＝

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第13题图 第14题图

14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是

15．(10分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.

16．(12分)已知，如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.

(1)求证：AE＝EC；

(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．

17．(14分)在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上． (1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF； (2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形

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第一课时 菱形的判定 知识点梳理 菱形的判定方法：

1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 4、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

5、菱形的面积与两条对角线的关系是：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。 知识点训练

1．(4分)下列条件中，能判定四边形是菱形的是( ) A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直

C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相等且互相垂直

2．(4分)在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( ) A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD

3．(4分)(2013·海南)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )

A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°

第3题图 第4题图

4．(5分)(2013·曲靖)如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF，则四边形AECF是( ) A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

5．(5分)如图，过四边形ABCD的各顶点作对角线BD和AC的平行线围成四边形EFGH，若四边形EFGH是菱形，则原四边形ABCD一定是( ) A．矩形 B．平行四边形

C．菱形 D．对角线相等的四边形

第5题图

6．(5分)(2013·潍坊)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD， 请你添加一个适当的条件__ __，使ABCD成为菱形

第6题图 24

7．(5分)(2014·十堰)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 (只填写序号)．

8．(8分)(2014·遂宁)已知，如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连接DF. 求证：(1)△ODE≌△FCE； (2)四边形ODFC是菱形．

9．如图所示，将一个长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的四边形的面积为( ) A．10 cm2 B．20 cm2 C．40 cm2 D．80 cm2

第9题图 第10题图

10．(2014·鄂州)在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G，H分别在AD，BC上，连BG，DH，且BG∥DH，当四边形BHDG为菱形时，

AC ＝( ) AD

4343A. B. C. D. 559811．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性的标志，将宽为1 cm的红丝带交叉成60°角重

叠在一起(如图)，则重叠四边形的面积为____cm2.

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12．(10分)(2014·厦门)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN. 求证：四边形ABCD是菱形．

13．(12分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF. (1)求证：AF＝DC；

(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

14．(14分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.

(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE； (2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；

(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．

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18.2.3 正方形

知识点梳理

1、正方形既是特殊矩形，又是特殊菱形，它的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角； 2、正方形是轴对称图形，它有四条对称轴； 3、正方形的判定方法：

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形； （2）有一角是直角的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形； （4）对角线相等的菱形是正方形。 知识点训练

1．(4分)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角

2．(4分)(2014·福州)如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )

A．45° B．55° C．60° D．75°

第2题图 第3题图

3．(4分)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( )

A．1 B．2 C．4－22 D．32－4 4．(4分)在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB，BC于E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为( ) A．7 B．5 C．4 D．3

第4题图 第5题图

5．(4分)如图，已知E是正方形ABCD边BC上任意一点，EF⊥BO于点F，EG⊥CO于点G，若AB＝10厘米，则四边形EGOF的周长为 厘米．

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6．(8分)如图，正方形ABCD中，AC和BD相交于点O，E是OA上一点，G是OB上一点，且OE＝OG.求证：CG⊥BE.

7．(4分)四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )

A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD

C．AD∥BC，∠A＝∠C D．AO＝CO，BO＝CO，AB＝BC

8．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F. 求证：四边形CEDF是正方形．

9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )

A．16 B．17 C．18 D．19

第9题图 第10题图

10．如图，正方形OABC的边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的 正半轴上，点D(2，0)在OA上，P是OB上一动点，则PA＋PD的 最小值为( )

A．210 B.10 C．4 D．6

11．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；

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⑤PD＝EC.其中正确结论的序号是

12．(10分)(2014·梅州)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.

(1)求证：CE＝CF；

(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？ 为什么？

13．(12分)如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.

(1)求证：△BCP≌△DCP； (2)求证：∠DPE＝∠ABC；

(3)把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝____度．

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14．(14分)在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图①，他连接AD，CF，经测量发现AD＝CF.

(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图②，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；

(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图③，请你求出CF的长．

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专题 特殊平行四边形的判定

教材母题(教材P69第14题)

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

求证：AE＝EF.(提示：取AB的中点G，连接EG)

规律与方法：熟练掌握一般平行四边形的性质与判定，同时掌握特殊平行四边形所具有的特殊性．此题应用正方形的有关性质构造三角形全等是解决此题的关键．

变式1：(2014·滨州)如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°

到DC′处，连接AC′，BC′，CC′.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．

变式2：(2014·嘉兴)已知，如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF. (1)求证：△DOE≌△BOF.

(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．

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变式3：如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB. (1)求证：四边形EFCD是菱形；

(2)设CD＝4，求D，F两点间的距离．

变式4：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点P，Q分别 是AB，AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点． (1)求证：△PDQ是等腰直角三角形；

(2)当点P运到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．

变式5：如图，在?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点E，F分别是AB，CD的中点，过点A作AG∥BD交CB的延长线于点G.(1)求证：四边形DEBF是菱形；(2)请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．

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变式6：已知，如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上， AE＝AF.

(1)求证：BE＝DF；

(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM.

变式7：如图，以△ABC的边AB，AC为边的等边三角形ABD和等边三角形 ACE，四边形ADFE是平行四边形．

(1)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形； (2)当∠BAC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；

(3)当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形ADFE是菱形？正方形？

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