沪科版八年级下勾股定理测试卷

一、选择题

1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）

A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3

2．给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②

222三角形的三边a、b、c满足a c

b，则∠C=90°；③△ABC中，若∠A：∠B：∠

C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；④△ABC中，若 a：b：c=1：2，则这个三角形是直角三角形．其中，假命题的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个

D．4个

3．如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，则线段A′B与线段AC的关系是（ ）

A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直

4．下面说法正确的是个数有（ ）

①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形；

②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形； ③若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形； ④如果∠A=∠C，那么△ABC是直角三角形； ⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；

⑥在 ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形。

A 3个 B 4

个 C 5个 D 6个

5．如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6，

M为BC的中点，MN⊥

AC于N点，则MN=（ ）

A6．下列各组数中，是勾股数的是( )

A．14，36，39

B．8，24，25

C．8，15，17

D．10，20，26

7．（2013贵州安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）

A．8米

B．10米

C．12米

D．14米

8．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（ ）

A

．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

二、新添加的题型

三、解答题

9．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．

（1）如图①，过点A在△ABC外作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．①判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系，并证明；

②若AM=a，BM=b，AB=c，试利用图①验证勾股定理a2 b2=

c2；

（2）如图②，过点A在△ABC内作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，判断线段MN

、BM、CN之间有何数量关系？（直接写出答案）

10．（6分）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：

操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合， 折痕为DE．

（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为 ；

（2）如果∠CAD:∠BAD=4:7，可求得∠B的度数为 ；

操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠， 使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．

11．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝12cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

12．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB，BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条路使学校到公路距离最短，请你帮助学校设计一种方案，并求出所修路的长．

13

．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC

＝12，求Rt△ABC中斜边AB上的高

CD．

14．阅读理解题： 如图，在△

ABC中，AD是BC边上的中线，且求证：∠BAC=90°． ． 证明：∵，，

∴AD=BD=DC，

∴ADB

∴∠，∠C=∠CAD，

∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，

∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．

（1）此题实际上是直角三角形的另一个判定方法，请你用文字语言叙述出来．

（2）直接运用这个结论解答题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为

15．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b，斜边长为c)

和一个正方形(边长为c)．请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．

(1)画出拼成的这个图形的示意图；

(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理．

16．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．

（1）求证：△ADC≌△CEB；

（2）从三角板的刻度可知AC=25cm

，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．

17．（10分）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10， BC边上的中线AD＝12．

C B（

1）AD平分∠BAC吗？请说明理由．

（2）求：△ABC的面积．

四、填空题

18．直角三角形两边长分别为3厘米、4厘米，则第三边的长为 。

19．一个直角三角形的两边长分别为9和40，则第三边长的平方是 ．

20．若一个直角三角形的两边的长分别为m、n边的长为___________．

21．则由此x,y,z为三边的三角形是三角形

22．△ABC的三边长分别为m2－1，2m，m2＋1，则最大角为________．

23．在长方形纸片ABCD中，AD＝3cm，AB＝9cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝ ．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，

若能在

AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是 ．

25．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2012＝________．

五、计算题

参考答案

1．B．

【解析】

222试题分析：A．4+5≠6，不能构成直角三角形，故不符合题意；

222B．3+4=5，能构成直角三角形，故符合题意；

222C．2+3≠4，不能构成直角三角形，故不符合题意；

222D．1+2≠3，不能构成直角三角形，故不符合题意．

故选B．

考点：勾股数．

2．B

【解析】

试题分析：命题①中若4是直角边，则第三边长为5，若4

错误；命题②中应该是∠B=90°，故错误；命题③、④均正确；故假命题有2个； 故选B.

考点：真命题与假命题.

3．D

【解析】

试题分析：先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B与线段AC的关系：

如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，与线段AC交于点O．

∴线段A′B与线段AC互相平分，

又∵∠AOA′=45°+45°=90°，

∴A′B⊥AC，

∴线段A′B与线段AC互相垂直平分．

故选D．

考点：1.网格问题；2.平移的性质；3.勾股定理.

4．D.

【解析】

试题分析：①∵三角形三个内角的比是1：2：3，

∴设三角形的三个内角分别为x，2x，3x，

∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，

∴3x=3×30°=90°，

∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；

②∵三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°，

∴若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形，故本小题正确； ③∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，

∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正确；

④∵∠A=∠

C， ∴设∠A=∠B=x，则∠C=2x，

∴x+x+2x=180°，解得x=45°，

∴2x=2×45°=90°，

∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；

⑤∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，

∴三角形一个内角也等于另外两个内角的和，

∴这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补， ∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确；

⑥∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和， 由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补， ∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确．

故选D．

考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．

5．C．

【解析】

试题分析：连接AM，

∵AB=AC，点M为BC中点，

∴AM⊥CM，BM=CM，

∵AB=AC=5，BC=6，

∴BM=CM=3，

在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，

∴根据勾股定理得：

又S△

∴故选C．

考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质．

6．C

【解析】满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c是勾股数，因为82＋152＝289，172＝289，所以82＋152＝172，即8、15、17为勾股数．同理可判断其余三组数均不是勾股数．

7．B

【解析】如图，设大树高为AB＝10米，小树高为CD＝4米，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形．连接AC，则EB＝CD＝4米，EC＝8米，AE＝AB－EB＝10－4＝6（米）． 在Rt△AEC

8．A．

【解析】 试题分析：如图，过点

A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．

设AB=AD=x．

又∵AD∥BC

，

∴四边形AEFD是矩形形，

∴AD=EF=x．

在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，

∴

， ∴

， ． 在Rt

△CDF中，∠FCD=30°，则

又BC=6，

∴BE+EF+CF=6

解得 x=2

∴△ACD，

2

故选A．

考点：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形．

9．（1）证明见解析；（2）MN=BM-CN.

【解析】

试题分析：（1）①利用已知得出∠MAB=∠ACN，进而得出△MAB≌△NCA，进而得出BM=AN，AM=CN，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系；

②利用S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA

2

，S

梯形MBCN

2BM+CN）×

a+b），进而得出答案；

（2）利用已知得出∠MAB=∠ACN，进而得出△MAB≌△NCA，进而得出BM=AN，AM=CN，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系．

试题解析：（1）①MN=BM+CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，

∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中

BMA ANC MAB NCA，

AB AC

∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，

∴MN=AM+AN=BM+CN；

②由①知△MAB≌△NCA，

∴CN=AM=a，AN=BM=b，AC=BC=c，

∴MN=a+b，

∵S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA

2

2，S梯形MBCN

BM+CN）×

a+b），

2

2a+b），

∴a+b2=c2；

（2）MN=BM-CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，

∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中

BMA ANC MAB NCA，

AB AC

∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，

∴MN=AN-AM=BM-CN．

考点：全等三角形的判定与性质．

10．操作一（1） 14cm （2） 35° 操作二 CD=4．5

【解析】 试题分析：操作一利用对称找准相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案；

操作二 利用折叠找着AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，设CD=x，表示出BD，AE，在Rt

△BDE中，利用勾股定理可得答案

试题解析：操作一（1） 14cm （2） 35°

操作二 由折叠知：AE=AC=9，DE⊥AB，设CD=DE=X，

则BD=12-X，

∵AB2 AC2 BC2=81+144=225，

∴AB=15

∴BE=15-9=6，

又BD2 DE2 BE2，

∴(12 x)=x2+36， 2

即CD=4．5cm

考点：轴对称，线段的垂直平分线

11．CD．

【解析】

试题分析：利用翻折变换的性质得出DE=CD，AC=AE=5cm，∠DEB=90°，进而利用勾股定理得出x的值．

试题解析：∵有一块直角三角形纸片两直角边AC=5cm，BC=12cm，

∴AB=13cm，

∵将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，

∴DE=CD，AC=AE=5cm，∠DEB=90°，

设CD=xcm，则BD=（12﹣x）cm，

222故DE+BE=BD，

222即x+（13﹣5）=（12﹣x）

，

则CD． 解得：考点：勾股定理

12．4.8km．

【解析】解：过B作AC的垂线，垂足为D，线段BD就是要修的路．

在△ABC中，∵AB2＋BC2＝82＋62＝100，而AC2＝102＝100，

∴AB2

＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，且∠ABC＝

90°

km）， 即所修路长为4.8km．

13．

【解析】解：在Rt△ABC

14．（1）如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形.

（2 【解析】

试题分析：根据题目的已知条件和结论写出判断方法即可．

试题解析：（1）如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（2）因为这个三角形的一条边上的中线长是这条边长的一半，所以这个三角形是直角三角形。

设这个直角三角形的两条直角边的长分别为a、b

，则根据勾股定理，得

222a+b=2

22a+b=4

222因为（a+b）= a+b+2ab

2即（

=4+2ab

考点：直角三角形斜边上的中线．

15．(1)(答案不唯一)如图．

(2)

2，

即a＋b＋2ab＝c＋2ab．

∴a2＋b2＝c2． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

【解析】(1)(答案不唯一)如图．

(2)

2，

即a＋b＋2ab＝c＋2ab．

∴a2＋b2＝c2．

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

16．（1）证明见解析；

（2）砌墙砖块的厚度a为5cm．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可知AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，从而得到结论；

2（2）根据题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，由勾股定理可得（4a）+（3a）

22=25，再解即可．

试题解析：（1）根据题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

ADC CEB DAC BCE，

AC BC

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，

由（1）得：△ADC≌△CEB，

∴DC=BE=3a，

222在Rt△ACD中：AD+CD=AC，

222∴（4a）+（3a）=25，

∵a＞0，

解得a=5，

答：砌墙砖块的厚度a为5cm．

考点1.：全等三角形的应用2.勾股定理的应用．

17．（1）平分，理由详见解析；（2）60

【解析】

试题分析：（1）AD平分∠BAC，

理由为：

∵BC边上的中线AD

∴BD=5

∵在△ABC中，AB=13，AD=12，BD=5，

222222∴25=24+7，即：AB=AD+BD

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∴AD垂直平分BC

∴AB=AC

∴AD平分∠BAC

⑵由（1）得AB=AC，AD垂直平分BC

∴S△ABC

．

考点:1.等腰三角形的性质；2.三角形面积的计算方法

18．5cm

．

【解析】

试题分析：题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．

试题解析：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm；

（2）当4

；

故直角三角形的第三边应该为5cm

．

考点：勾股定理．

19．1681或1519．

【解析】设第三边为x

2222（1）若40是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：9+40=x，所以x=1681．

2222（2）若40是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：9+x=40，所以x=1519．

所以第三边的长为1681或1519．

20．5

【解析】

m﹣3=0，n﹣4=0，∴m=3，n=4，

即这个直角三角形的两边长分别为3和4．

①当4是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：

②当4是此直角三角形的直角边时，设斜边为x，则由勾股定理得到：

5．

考点：1．勾股定理；2．非负数的性质；3．分类讨论．

21． 直角

【解析】

试题分析：

∵，∴x 6 0,y 8 0,z 10 0，∴x 6,y 8,z 10，又∵62 82 102，所以以x,y,z 考点：1.非负数的性质；2.勾股定理的逆定理.

22．90°

【解析】（m2－1）2＋（2m）2＝（m2＋1）2．由勾股定理的逆定理知，边长为m2＋1的边所对角最大，是90°．

23．5

【解析】

试题分析：根据题意结合图形得到DE=BE，设DE=BE=x，∵AB=9，∴AE=9-x；根据勾股定理：DE2 AD2 AE2，∴x2 (9 x)2 32，解得：x=5（cm）

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 勾股定理．

24．3≤x≤4

【解析】

试题分析：过BP的中点O，以BP为直径作圆，连接OQ，当OQ⊥AC时，OQ最短，即BP最短，

∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△ABC∽△OQC，

∵AB=3，BC=4，∴AC=5，x=3，当P与C重合时，BP=4，即∵BP=x，∴

，CO=4

x的取值范围为：3≤x≤4.

考点：直线与圆的位置关系、三角形相似的判定与性质.

25

【解析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3，OP4的长度找到规律，进而求出OP22012的长．

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用

,答案仅供参考。

∵ OP 1 2 , OP 2 3 , OP 3 4 , OP 4 5, 依此类推可得 OP n n 1 , ∴ OP 2012 2013 .

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