投资学习题

风险资产与无风险资产

1短期国库券的收益现在是4.90%，你已经建立了一个最优风险资产投资组合，投资组合P，即你把23%的资金投资到共同基金A，把77%的资金投资到共同基金B。前者的收益率是8%，后者的收益率是19%。

（1） 投资组合P的预期收益率是多少？

（2） 假定你设计了一个投资组合C，其中34%的资金投资到无风险资产，其余的投资到

组合P中，那么这个新的投资组合的预期收益是多少？

（3） 如果投资组合P的标准差是21%，这个新组合的标准差是多少？确定在新的投资组

合中无风险资产、共同基金A和共同基金B的权重。

(1)Erp=0.23*8%+0.77*19% (2)ErC=0.34*Erp+0.66*4.9% (3)SigC=SigP*0.66=0.21*0.66 F:0.34;A:0.66*0.23;B:0.66*0.77

1可选择的证券包括两种风险股票基金：A、B和短期国库券，所有数据如下： 股票基金A 股票基金B 短期国库券 期望收益% 10 30 5 标准差% 20 60 0 基金A和基金B的相关系数为-0.2。

（1） 画出基金A和基金B的可行集(5个点)。

（2） 找出最优风险投资组合P及其期望收益与标准差。

（3） 找出由短期国库券与投资组合P支持的资本配置线的斜率。

（4） 当一个投资者的风险厌恶程度A=5时，应在股票基金A、B和短期国库券中各投资

多少？

解：(1)

基金之间的协方差为cov(rA,rB)????A??B=(?0.2?20?60)??240

wa 0.0 0.2 0.4 0.8 1.0 (2)最优风险组合的权重为

wb 1.0 0.8 0.6 0.2 0.0 E（r）% 30 26 22 14 10 Sigma% 60 47.36243 35.28172 17.97776 20 wa?0.6818，wb?1?0.6818=0.3182

期望收益和标准差

E(rp)?(0.6818?10)?(0.3182?30)?16.36%

?P?{(0.68182?202)?(0.31822?602)?2?0.6818?0.3182(?240)}1/2?21.13%

（3）资本配置线是无风险收益点与最优风险组合的连线，它代表了短期国库券与最优风险投资组合之间的所有有效组合，资本配置线的斜率为

S?E(rp)?rf?pE(rp)?rf20.01A?P?16.36%?5%?0.5376

21.13%（5） 在给定的风险厌恶系数A的条件下投资者愿意投资到最优风险投资组合的比例为

y??16.36?5?0.5089 20.01*5*21.13这意味着A=5时的投资者愿意在这个最优风险资产组合中投入50.89%的财产，由于A、B两种股票在投资组合的比例分别为68.18%和31.82%，这个投资者分别投资于这两种股票的比例为：

股票A：0.5089*68.18%=34.70% 股票B：0.5089*31.82%=16.19% 总额：50.89%

2假定一个风险证券投资组合中包含大量的股票，它们有相同的分布，

E(r)?15%,??60%，相关系数??0.5

（1）含有25种股票的等权重投资组合期望收益和标准差是多少？

（2）构造一个标准差小于或等于43%的有效投资组合所需要最少的股票数量为多少？ （3）这一投资组合的系统风险为多少？

（4）如果国库券的收益率为10%，资本配置线的斜率为多少？ 解：（1）E(rp)?15%,?p?[?/n???(n?1)/n]（2）?2/n???2(n?1)/n?43%^2

221/2?43.72%

n?1800?1849n,n?1800/49?36.73 即3600?1800所以至少要37只股票组合才能达到目标。

（3）当n变得非常大时，等权重有效投资组合的方差将消失，剩下的方差来自股票间的协方差：

?p????2?0.5?60%?42.23%

因此，投资组合的系统风险为43%。

（4）如果无风险利率为10%，那么不论投资组合的规模多大，风险溢价为15%-10%=5%，充分分散的投资组合的标准差为42.43%，资本配置线的斜率为S=5/42.43=0.1178。

3（1）一个投资组合的预期收益率是14%，标准差是25%，无风险利率是4%。一个投资者的效用函数是U?E(r)?0.5A?。A值为多少时，投资者会对风险投资组合和无风险资产感到无差异？

利用下表数据回答1，2，3问题 表 投资 A B C 预期收益率 0.12 0.15 0.24 标准差 0.29 0.35 0.38 2D 0.29 0.44 U?E(r)?0.5A?2 其中A=3.

（2）根据上面的效用函数，你会选择哪一项投资？

（3）根据上面资料，如果你是一个风险中性的投资者，你会如何投资？ （4）如果对一个投资者来说，上述的公式中A=-2，那么这个人会选择哪一项投资？为什么？ （1）A=3.2 （2）投资C （3）D （4）D

因为风险爱好者风险厌恶系数是负的，为了获得更高的收益，他们更喜欢冒险。

优化投资组合

利用下面的数据，回答如下问题

短期国库券的收益现在是4.90%，你已经建立了一个最优风险资产投资组合，投资组合P，即你把23%的资金投资到共同基金A，把77%的资金投资到共同基金B。前者的收益率是8%，后者的收益率是19%。

（4） 投资组合P的预期收益率是多少？

（5） 假定你设计了一个投资组合C，其中34%的资金投资到无风险资产，其余的投资到

组合P中，那么这个新的投资组合的预期收益是多少？

（6） 如果投资组合P的标准差是21%，这个新组合的标准差是多少？确定在新的投资组

合中无风险资产、共同基金A和共同基金B的权重。 答：（1）E(rP)?0.23?8%?0.77?19%?16.47% （2）E(rC)?0.34?4.9%?(1?0.34)?16.47%?12.54% （3）?C?(1?0.34)?21%?13.86%

同基金A（0.23*66%=15.18%）和共同基金B（0.77*66%=50.82%）无风险资产34%

指数模型

3以下数据描绘了一个由三只股票组成的金融市场，而且该市场满足单指数模型。 股票 A B C 资本化（元） 3000 1940 1360 ? 1.0 0.2 1.7 平均超额收益率% 10 2 17 标准差% 40 30 50 市场指数组合的标准差为25%，请问：

（1） 市场指数投资组合的平均超额收益率为多少？ （2） 股票A与股票B之间的协方差为多大？ （3） 股票B与指数之间的协方差为多大？

（4） 将股票B的方差分解为市场和公司特有两部分。 解：（1）总市场资本为3000+1940+1360=6300 市场指数投资组合的平均超额收益率为

3000/6300*10+1940/6300*2+1360/6300=17=9.05% （2）股票A与股票B的协方差等于

2cov(rA,rB)??A?B?M?1.0*0.2*25%2?0.0125

（3）股票B与指数之间的协方差为

22cov(rB,rM)??M?B?M??B?M?0.2*25%2?0.0125 222（5） 股票B的方差?B?Var(?BrM?eB)??B?M??2(eB) 22系统风险：?B?M=0.2^2*25%^2=0.0025

222B特有方差等于?2(eB)??B??B?M?30%^2?0.0025??0.0875

4假设用指数模型估计的股票A和股票B的超额收益的结果如下：

RA?1.0%?0.9RM?eA RA??2.0%?1.1RM?eB

?M?20%,?(eA)?30%,?(eB)?10%

计算每只股票的标准差和它们之间的协方差。

2解：各种股票的方差为：?2?M??2(e)

对于股票A，有：?A?0.90?0.2^2?0.3^2?0.1224，?A?35% 对于股票B，有：?B?1.10?0.2^2?0.1^2?0.0584，?B?24% 协方差为：?A?B?M?0.9*1.1*0.2^2?0.0396 对股票A和股票B分析估计的指数模型结果如下：

222RA?0.12?0.6RM?eA RB?0.04?1.4RM?eB

?M?0.26 ?(eA)?0.20 ?(eB)?0.10

（1） （2） （3） （4） （5）

股票A和股票B收益之间的协方差是多少？ 每只股票的方差是多少？

将每只股票的方差分类到系统风险和公司特有风险中 每只股票和市场指数的协方差是多少？ 两只股票的相关系数是多少？

2答：（1）cov(rA,rB)??A?B?M?0.6*1.4*0.26^2?0.2417 （2）?A?M??(eA)?0.6^2*0.26^2?0.20^2?0.064336

22222?B?M??2(eB)?1.4^2*0.26^2?0.10^2?0.142496

22(3)系统性风险?A?M=0.6^2*0.26^2=0.0243，公司风险?2(eA)=0.2^2=0.04 22系统性风险?B?M=1.2^2*0.26^2=0.1325，公司风险?2(eB)=0.1^2=0.01 2(4)?A?M?0.6*0.26^2?0.0406 2?B?M?1.4*0.26^2?0.0946 2(5)?A?B?M/(?A?B)=0.5931

CAPM

你预计无风险利率是6.1%，市场投资组合的预期收益是14.6%。

（1） 利用CAPM，根据下表所提供的数据，计算股票4的预期收益 （2） 画出证券市场线

（3） 在证券市场线上，找出每样资产对应的点

（4） 确定每样资产是被低估、被高估还是定价准确，计算其?

股票1 -0.1 6.29% 股票2 0.67 9.08% 股票3 1.95 27.24% 股票4 2.2 24.80% ? CAPM的E(r) 实际的E(r) 定价准确吗？ ? 答：

股票1 -0.1 5.25% 6.29% 被低估 1.04% 股票2 0.67 11.80% 9.08% 被高估 -2.72% 股票3 1.95 22.68% 27.24% 被低估 4.56% 股票4 2.2 24.80% 24.80% 合理定价 0.00% 0.00% ? CAPM的E(r) 实际的E(r) 定价准确吗？ ?错 ? （6.29-5.25）% （9.08-11.80）% （27.24-22.68）% 证券市场线是如何估计出来的？ 答：做回归，形式是：

ri?rf??0??1bi，如果CAPM是有效的，?0?0,?1?ri?rf

5（股票定价）：公司i在时期1将发行100股股票，公司在时期2的价值为随机变量V2。公司的资金都是通过发行这些股票而筹措的，以至股票的持有者有资格获得完全的收益现金流。最后，给出有关测算数据如下：

1000$之概率p=1/2，

V2=

800$之概率p=1/2，

cov(ri,rM)?0.045,var(rM)?0.30,rf?0.10,E(rM)?0.20.

试确定每股的合理价值。 解：应用证券市场线方程

E(ri)?rf?=0.10?E(rM)?rcov(ri,rM) 2?(rM)0.20?0.10?0.045?0.15

0.09即普通股所需的收益率为15%，这意味着市场将以15%贴现E(V2)，以确定股票在时期1的市场价格，于是我们有

E(V2)?11?1000??800?900$ 22以15%贴现，V1=900/1.15$，因有100股，故每股价值为7.83$。

6（债券定价）：有一面值为100$的债券，约定到期收益率为8%，假设在债券有效期内有70%的可能收回本金及获取利息，30%的可能不能还本付息，但将支付50$的承保金。即可将债券在时期2的价值表示为随机变量。

?108$之概率P?0.70 Q(2)???50$之概率P?0.30又设cov(其他数据如上题，试确定债券在时期1的合理价值与市场所需的Q,rM)?7，期望收益率。

cov(Q,rM)(E(rM)?rf)1解：由资本资产定价公式P?[E(Q)?]，债券在时期121?rf?M的合理价值为

P?=

cov(Q,rM)(E(rM)?rf)1[E(Q)?] 21?rf?M90.60?[(0.20?0.10)/0.09]?790.60?7.7882.82???75.29$

1.101.101.10市场所需的期望收益率为E(r)?E(Q)?P90.60?75.29==20.33%

75.29P7公司i在时期1的市场价值为900$。现有一项目，其在时期2的期望收益为E(Vi)=1000$。

又E(rM)=15%，r=5%。公司现考虑一新的投资项目，其单位成本为60$。时期2的收益现金收益流为E(Fi)?130$，cov(Fi,rM)/?2(rM)?250$，问管理者应怎样考虑这个新项目？

解：由资本资产定价公式P?cov(Vi,rM)(E(rM)?r)1[E(Vi)?] 21?r?M1000?0.10得900?求解上式得

cov(Vi,rM)2?M1.05

cov(Vi,rM)?2M?550$

又cov(Vi?Fi,rM)?cov(Vi,rM)?cov(Fi,rM), 故

cov(Vi?Fi,rM)=550+250=800$

?2(rM)又E(Vi?Fi)?1000?130?1130$

假如投资新项目，那么公司在时期1的总收入（不考虑投资成本）是

cov(Vi?Fi,rM)(E(rM)?rf)1P?[E(Vi?Fi)?] 21?rf?M??1130?800?0.101050??1000$

1.051.05因为公司市场价值比原来上涨了100$，而投资成本为60$，故可以得到补偿，所以可以

投资新项目。

套利定价

8假设市场指数是充分分散的投资组合，其期望收益率为10%，收益偏离期望的离差rM-10%可视为系统风险。无风险利率为4%。对于一个充分分散的投资组合G，其?为1/3，期望收益率为5%，是否存在套利机会？若存在，套利的策略是什么？计算出这种策略在零净投资的条件下无风险收益的结果。

解：证券市场现表明这个投资组合的期望收益应该为4%+1/3（10-4）=6%。实际期望收益只有5%，表明这个股票收益率被高估，因而存在套利机会。

买1美元的如下投资组合，其2/3投资于国库券，1/3投资于股市。这个投资组合的收益为2/3*rf+1/3rM=2/3*4%+1/3rM。

卖1美元投资组合G，这种联合头寸的净收益为：

1[2/3*4%+1/3rM] 买一个投资于2/3国库券和1/3投资于市场指数的投资组合。

-1[5%+1/3（rM-10%）] 卖一个期望收益为5%，市场收益变化的?为1/3的投资组合G。 合计：1*0.01

1美元的无风险利润精确等于期望收益偏离证券市场线的偏差。

假定一个多元投资组合Z的定价基础是两个因素。第一个因素的?是1.10，第二个因素的?是0.45，第一个因素的预期收益是11%，第二个因素的预期收益是17%，无风险利率是5.2%。利用套利定价理论回答以下问题：

（1） 第一种因素的风险溢价是多少？ （2） 第二种因素的风险溢价是多少？

（3） 根据和第一种因素的关系，投资组合Z的风险溢价是多少？ （4） 根据和第二种因素的关系，投资组合Z的风险溢价是多少？ （5） 投资组合Z的整体风险溢价是多少？ （6） 投资组合Z的整体整体预期收益是多少？ 答：

（1）11%-5.2%=5.8% （2）17%-5.2%=11.8% （3）1.1*5.8=6.38% （4）0.45*11.8%=5.31% （5）6.38+5.31=11.69% （6）11.69%+5.2%=16.89%

债券定价

1年期债券的到期利率是6.3%，2年期零息债券的到期利率是7.9%。 （1）第2年的远期利率是多少？

（2）根据期望假设，明年的1年期利率的期望值是多少？

（3）根据流动性偏好理论，明年期的1年期利率的期望值比（2）得到的值高还是低？ 答：第2年的远期利率f2满足等式1.079?1.630*(1?f2)，f2=9.52%。 根据期望假设，明年的1年期利率的期望值是远期利率，即9.52%

根据流动性偏好理论，f2?E(r2)+流动溢价，明年期的1年期利率的期望值比（2）得到的值9.52%低。

9假设新发行的3年期的债券面值为1000元，以后每半年支付利息50元，市场年收益为10%，那么债券的现值为多少？ 解 债券的现值?2501000??1000（元） ?t6(1?5%)(1?5%)t?16因此，这种债券以面值出售，如果每年息票低于100元，而其他条件不变，债券的现值

就低于1000元，那么，投资者不会付1000元购买这种债券。

10有一种10年后到期的债券，每年付息一次，下一次付息正好在一年后，面值为100元，

票面利率为8%，市场价格是107.02元，求它的到期收益率。 解 根据P?CF得 ??tN(1?YTM)t?1(1?YTM)107.02??8100 ?t10(1?YTM)(1?YTM)t?110N利用Excel的单变量求解或规划求解工具都可求得YTM=7%。

11一个债券组合有三种半年付息的债券构成，相关资料如下，求该债券组合久期。 债券名称 面值（元） A B C 1000 20000 10000 票面利率 6% 5.5% 7.5% 到期时间（年） 市场价格（元） 6 5 4 951.68 20000.00 9831.68 到期年收益率 7% 5.5% 8% 解 先利用久期的简化公式，分别计算A,B,C的久期和修正久期。

DA?10.2001(半年) 修正久期=

DA?9.8552(半年)=4.9276（年）

1?3.5ú?8.6401(半年)=4.3201（年） DB?8.8777(半年) 修正久期=

1?2.75ú?6.7773(半年)=3.3887（年） DC?7.0484(半年) 修正久期=

1?4%A,B,C市场价格的权重分别是0.0309,0.6497,0.3194。因此，该债券组合的久期为： D?4.9276?0.0309?4.320?0.6497?3.3887?0.3194?4.0414（年）

这表明，当组合中的三种债券的年收益率都变动1个百分点时，组合的市场价格将会变动4.0414%。

12票面面值100元，息票率8%的三年期的债券，半年付息一次，到期收益率10%，求该三年期债券的凸度。

解 见凸度计算的Excel文件。

投资组合的业绩评价

13资产组合P和M，无风险利率为6％ 平均收益率% 贝塔值 标准差% 非系统风险% 资产组合P 35 1.2 42 18 市场组合M 28 1 30 0 计算夏普比率和M平方测度。 解：

夏普测度为：sp=(35-6)/42=0.69，sm=(28-6)/30=0.733，所以组合p不如市场组合m。 P具有42%的标准差，而市场指数的标准差为30%。

因此，调整的资产组合P*应由0 .714(30/42)份的P和1－0.714=0.286份的国库券组成，这样其标准差就为30%。 P*的期望收益率为

(0.286×6%)＋(0.714×35%)=26.7%

比市场指数的平均收益率少1.3%，所以该投资基金的M2指标为-1.3%。

M2指标得到的结果与夏普测度是一致的。

利用以下数据回答下列问题，表中数据描述了G股票基金和市场投资组合的表现，同期无风险利率是5% 表 平均收益 收益的标准差 G股票基金 14% 26% 1.20 4% 市场投资组合 10% 21% 1.00 0% ?值 残差 （1） （2） （3） （4）

计算G股票基金表现的夏普测度 计算G股票基金表现的特雷诺测度 计算G股票基金表现的詹森测度 计算G股票基金表现的信息比率测度

2（5） 计算G股票基金表现的M测度

什么时候用夏普测度？什么时候用特雷诺测度？什么时候用詹森测度？什么时候用M测度？

答：SP=（0.1-0.05）/0.26=0.3462 （0.1-0.05）/1.2=0.0.75

2?G?RG?(Rf??G(RM?Rf))?3%

信息比?G/?(eG)?3%/4%?0.75

M2测度为12.27%-10%=2.27%。

期权计算

14股票当前价格S=25元，执行价格X=25元，无风险年利率r=8%，股票的波动率?=30%，期权到期期限T=0.5年，计算对应的欧式看涨期权和看跌期权的价格

(1) 求出d1,d2对应的值。单击B9单元格，在编辑栏输入=（LN（B3/B4）+(B5+0.5*B7^2)*B6）

/(B7*SQRT(B6))；单击B10单元格，在编辑栏输入=B9-SQRT(B6)*B7。

(2) 确定出N(d1),N(d2)对应的值。单击B12单元格，在编辑栏输入=NORMSDIST(B9)；单击B13单元格，在编辑栏输入=NORMSDIST(B10)。

(3) 根据B-S公式，对应的看涨期权的价格求出对应的看跌期权的价格。单击B15单元格，

在编辑栏输入=B3*B12-B4*EXP（-B5*B6）*B13。 (4) 运用平价公式P?C?S?Xe?rT，根据看涨期权的价格求出对应的看跌期权的价格。

单击B16单元格，在编辑栏输入=B15-B3+B4*EXP（-B5*B6）。 (5) 运用B-S公式的欧式看跌期权定价公式求出看跌期权的价格。单击B17单元格，在编辑

栏输入=B4*EXP（-B5*B6）* NORMSDIST(-B10)-B3* NORMSDIST(-B9)。

第6章 风险厌恶与风险资产之间的资本配置

11考虑一风险资产组合，年末来自该资产组合的现金流可能为70000或200000美元，概率相等，均为0.5；可供选择的无风险国库券年利率为6％。

（1）如果投资者要求8％的风险溢价，则投资者愿意支付多少钱去购买该资产组合？ （2）假定投资者可以以（1）中的价格购买该资产组合，该投资的期望收益率为多少？ （3）假定现在投资者要求12％的风险溢价，则投资者愿意支付的价格是多少？ （4）比较（1）、（3）的答案，关于投资者所要求的风险溢价与售价之间的关系，投资者有

什么结论？ 答案：（1）预期现金流为0.5×70000+0.5×200000=135000(美元)。

风险溢价为8％，无风险利率为6％，则要求的收益率为14％。因此，资产组合的现值为：135000/1.14=118421（美元）

（2）如果资产组合以118421美元买入，给定预期的收入为135000美元，预期的收益率

E(r):118421?[1?E(r)]?135000(美元）?E(r)?14%.资产组合的价格被设定为等于

按照要求的收益率折算的期望收益。

（3）如果投资者要求的风险溢价为12％，则要求的收益率为6％＋12％＝18％，该资产组合的价值就是135000/1.18=114407(美元)。

（4）对于一给定的现金流，要求有更高的风险溢价的资产组合必须以更低的价格出售，预期价值的多余折扣相当于风险罚金。

34. 假定用100 000美元投资，与下表的无风险短期国库券相比，投资于股票的预期风险溢

价是多少？

行动 概率 期望收益

权益投资 0.6 50000美元

0.4 -30000美元

无风险国库券投资 1.0 5000美元

a. 13 000美元 b. 15 000美元 c. 18 000美元 d. 20 000美元 答：选a。 (0.6?50000)?[0.4?(?30000)]?5000?13000(美元) 35. 资本配置线由直线变成曲线，是什么原因造成的？

a. 风险回报率上升 b. 借款利率高于贷款利率 c. 投资者风险承受力下降 d. 无风险资产的比例上升

答：选b。当借贷款利率不相等时，资本配置线将发生弯折。

36. 你管理的股票基金的预期风险溢价为1 0%，标准差为1 4%，短期国库券利率为6%。你的客户决定将60 000美元投资于你的股票基金，将40 000美元投资于货币市场的短期国库券基金，你的客户的资产组合的期望收益率与标准差各是多少？

期望收益(%) 标准差(%)

a. 8 .4 8.4 b. 8.4 14.0 c. 12.0 8.4 d. 12.0 14.0

答：选c。你的基金的预期收益率=国库券利率+风险溢价= 6%+ 1 0%= 1 6%。客户整个

资产组合的预期收益率为0 . 6×1 6%+ 0 . 4×6%= 1 2%。客户整个资产组合的标准差为0 . 6×1 4%= 8 . 4%。

第7章 最优风险资产组合

下面的数据可用于第9至第15题：P146

一位养老基金经理正在考虑三种共同基金。第一种是股票基金，第二种是长期政府债券与公

司债券基金，第三种是回报率为8%的以短期国库券为内容的货币市场基金。这些风险基金的概率分布如下：

期望收益 标准差

股票基金(S) 20% 30% 债券基金(B) 12% 15% 基金回报率之间的相关系数为0.10。

9两种风险基金的最小方差资产组合的投资比例是多少？这种资产组合收益率的期望值与标准差各是多少？

22222?p?wD?D?wE?E?2wDwECov(rD,rE)wD?wE?12 ??Cov(r,r)2DEMin(?p)?wD?2E2?D??E?2Cov(rD,rE)答：由E(rs)?20%,E(rB)?12%,?S?30%,?B?15%,??0.10，计算得协方差矩阵： 债券 股票 债券 225 45 股票 45 900 最小方差资产组合可由下列公式推出：

222WMin(S)?[?B?Cov(B,S)]/[?S??B?2Cov(B,S)]?(225?45)/(900?225?2?45)?0.1739 WMin(B)?0.8261最小方差资产最和均值和标准差为：

E(rMin)?0.1739?20?0.8261?12?13.39"?Min?[WS2?S?WB2?B?2WSWBCov(S,B)]1/2

?[0.17392?900?0.82612?225?2?0.1739?0.8261?45]1/2?13.92%2. 计算出最优风险资产组合下每种资产的比率以及期望收益与标准差。

E(rp)?wDE(rD)?wEE(rE)??w??w??2wDwECov(rD,rE)wD?wE?1Sp?E(rp)?rf2p2D2D2E2E?p2[E(rD)?rf]?E?[E(rE)?rf]Cov(rD,rE)22[E(rD)?rf]?E?[E(rE)?rf]?D?[E(rD)?rf?E(rE)?rf]Cov(rD,rE)Max(Sp)?wD?

答：最优风险资产组合中的股票的比例由下式给出：

222WS?{[E(rS)?rf]?B?[E(rB)?rf]Cov(B,S)}/{[E(rS)?rf]?B?[E(rB)?rf]?S?[E(rS)?rf?E(rB)?rf]Cov(B,S)}?[(20?8)225?(12?8)45]/{(20?8)900?[20?8?12?8]45}?0.4516WB?0.5484最优风险资产组合的均值和标准差为：

E(rp)?0.4516?20?0.5484?12?15.61%?p?[0.4516?900?0.5484?225?2?0.4516?0.5484?45]

221/2?16.54%

14投资者对他的资产组合的期望收益率要求为14%，并且在最佳可行方案上是有效的。 a. 投资者资产组合的标准差是多少？

b. 投资在短期国库券上的比例以及在其他两种风险基金上的投资比例是多少？

答：a. 如果你要求你的资产组合的平均收益为14%，你可以从最优资本配置线上找到相应的标准差。资本配置线的公式为：

E(rC)?rf?{[E(rp)?rf]/?p}?C?8?0.4601?C

令E(rC)等于14%，可以求出最优资产组合的标准差为13.04%。

b. 要求出投资于国库券的比例，我们记得整个资产组合的均值为14%，是国库券利率和

股票与债券的最优组合P的平均值。让y表示资产组合的比例，在最优资本配置线上的任意资产组合的均值为：

E(rC)?(1?y)rf?yE(rp)?rf?y[E(rp)?rf]?8?y(15.61?8)

令E(rC)?14%，可求出：y?0.7884,1?y?0.2116，即国库券的比例。

要求我们对每种基金投资的比例，我们用0.7884乘以最优风险性资产组合中的股票和债券的比例：

整个资产组合中的股票的比例=0.7884?0.4516?0.3560 整个资产组合中的债券的比例=0.7884?0.5484?0.4324 20a增加风险,b使股票的相关性减少

21 20只股票降低到10所降低的风险比30只降低到20只所降低的风险要大。

22该公司只有6个基金，集中与少数几种证券对整个基金的影响是很小的因此让该公司做选股可能更有利。

26. 艾比盖尔·格蕾丝有90万美元完全分散化的证券组合投资。随后，她继承了价值10万美元的ABC公司普通股。她的财务顾问提供了如下预测信息：

期望月收益率 月收益标准差 原始证券组合 0.67% 2.37% ABC公司 1.25% 2.95% ABC股票与原始证券组合的收益相关系数为0.40。

a. 遗产继承改变了格蕾丝的全部证券组合，她正在考虑是否要继承持有ABC股票。假定

格蕾丝继续持有ABC股票，请计算： i. ii. iii.

包括ABC股票在内的她的新证券组合的期望收益。 包括ABC股票在内的原组合收益的协方差。 包括ABC股票在内的新组合的标准差。

b. 如果格蕾丝卖掉ABC股票，她将投资于无风险的月收益率为0.42%的政府证券。 i. ii. iii.

包括政府证券在内的她的新组合的期望收益。 政府证券收益与原证券收益组合的协方差。 包括政府证券在内的新组合的标准差。

c. 包括政府证券在内的新证券组合与原证券组合的β系数，二者谁高谁低。

d. 格蕾丝经过与丈夫商量后，考虑要卖出10万美元的ABC公司股票，买入10万美元的

XYZ公司普通股。这两种股票的期望收益和标准差都相等。她丈夫说，是否用XYZ公司股票替代ABC公司股票并无区别。判断她丈夫的说法是否正确，并说明理由。 e. 格蕾丝在最近和她的财务顾问交谈中说：“如果我的证券投资不亏本，我就满足了。我

虽然希望得到更高的收益，但我更害怕亏本。” i. ii.

用收益标准差作为风险衡量的标准，指出格蕾丝的一个不合理之处。 给出当前情况下一种更合适的风险衡量方法。

答：a. 用OP表示原始组合，ABC表示新继承的股票，NP表示新的组合。 i. E(rNP)??OPE(rOP)??ABCE(rABC)?0.9?0.67%?0.1?1.25%?0.728%。 ii. Cov????OP??GS?0.4?2.37?2.95?2.8

222?NP?[?OP?OP??ABC??ABC?2?OP?ABC(CovOP,ABC)]1/2iii.

?(0.92?2.372?0.12?2.952?2?0.9?0.1?2.80)1/2

?2.2673%?2.27%b. 用GS表示政府债券，有：

i. E(rNP)??OPE(rOP)??GS(rGS)?0.9?0.67%?0.1?0.42%?0.645% ii. Cov?r??OP??GS?0?2.37?0?0 iii

2222?NP?[?OP?OP??GS?GS?2?OP?GS(CovOP,GS)]1/2?(0.92?2.372?0.12?0?2?0.9?0.1?0)1/2

?2.133%?2.13%c. 加入无风险的政府债券会导致新组合的贝塔值更低。新组合的贝塔值将是组合内单笔证券的贝塔值的加权平均；无风险证券的加入将降低加权平均值。

d. 这个评论不正确。虽然两种证券的标准差和期望收益率相等，但每种证券原始组合之间的协方差是不知道的，因此，很难得到所说的评论。比如，如果协方差不同，选择某种证券可能会导致组合更低的标准差。如果是这样，假设所有其他的因素不变，这个证券将是更好的投资选择。

e. i. 格蕾丝清楚的表示，损失的风险对于她而言比获得收益的机会更为重要。利用方差（或标准差）作为风险的度量在这个例子中有严重的缺陷，因为标准差并不能区分正向和逆向的价格变动。

ii. 可以用来代替方差的两个风险衡量因子是：收益的范围，这考虑到了在未来一段时间

内的最高和最低期望收益，范围大表示波动性更大，因而风险更大。半方差，这可以用来衡量收益低于均值或者其他基准（比如0）的预期偏差。这些对于格蕾丝而言将是更好的风险衡量因子：收益的范围将有助于显示她所能承受风险的范围，特别是她所特别担心的向下变动的范围；半方差同样有效，因为它隐含地假设，投资者希望收益低于某些目标收益的可能性最小；在格蕾丝的例子中，某目标收益率是0（以保护负收益）。 30. A、B、C三种股票的统计数据如下表：

收益标准差

股 票 A B C 收益标准差/% 40 20 40

收益相关系数

股 票 A B C A 1.00 0.90 0.50 B 1.00 0.10 C 1.00 仅从表中信息出发，在等量A和B的资产组合和等量B和C的资产组合中做出选择，并给出理由。

答：假定组合收益率相同，由于股票A和C有相等的收益标准差，但是股票B和C的协方差比股票A和B的协方差小。其它情况相同时，协方差越小，两种资产组合的风险就越小。因此由股票B和C组成的资产组合的风险要小于由股票A和B组成的资产组合。

第8章 指数模型

5. 考虑股票A、B的两个(超额收益)指数模型回归结果：

RA?1%?1.2RM

R2?0.576

标准方差的残值=10.3%

RB??2%?0.8RM

R2?0.436

标准方差的残值=9.1%

a. 哪种股票的企业特有风险较高？A b. 哪种股票的市场风险较高？A

c. 对哪种股票而言，市场的变动更能解释其收益的波动性？A

d. 如果rf恒为6%，且回归以总量计而非超额收益计，股票A的回归的截距是多少？ 答：a. 非系统风险由标准方差的残值度量，因此，股票A具有更高的非系统风险（10.3%>9.1%）。

b. 市场风险由贝塔值度量，即回归的斜率系数。股票A具有更大的贝塔系数（1.2>0.8）。 c. 市场变动解释收益波动性的大小由R度量，股票A具有更大的R此市场的变动更能解释其收益的波动性。

d. 用总收益代替超额收益变形SCL公式：rA?ff????rM?rf，代入rf=6%，得出其截距为：1%?1.2%??0.2%。

6. 某资产组合管理机构分析了6 0种股票，并以这6 0种股票建立了一个均方差有效资产组合。

a. 为优化资产组合，需要估计的期望收益、方差与协方差的值有多少？

b. 如果可以认为股票市场的收益十分吻合一种单指数结构，那么需要多少估计值？ 答：

a.为了优化资产组合，需要估计的数值有：n=60个期望收益估计值，n=60个方差估计值，

22?0.576?0.436?，因

??n2?3n?1890个估计值。 个协方差的估计值。所以，总共需要

2b.单一指数模型：ri?rf??i??irM?rf?ei或者用超额收益表示：Ri??i??iRM?ei 每种股票的收益率的方差可分为一下两部分表示： ①由正常市场因素产生的方差：?i2???M2

2②由企业不可预测的特殊事件产生的方差：?2在此模型中：Covri,rj??i?j?M

?ei?

??估计的参数数量为：n=60个期望收益估计值E?ri?,n?60个敏感性系数估计值?i,n?60个企业特有方差估计值?2一个市场期望收益估计值E?rM?，1个市场方差估计值?M2,?ei?，

合计为182个估计值。

所以，单一指数模型需要估计的参数值大大减少了。 7. 下面是第6题的两种股票的估计值：

股 票 期望收益 贝塔值 公司特有标准差 A 13 0.8 30 B 18 1.2 40 市场指数的标准差为22%，无风险收益率为8%。 a. 股票A、B的标准差是多少？ b. 假设按比例建立一个资产组合： 股票A 0.30 股票B 0.45 国库券 0.25

计算此资产组合的期望收益、标准差、贝塔值及非系统标准差。 答：a.每单一股票的标准差为：?i????i22?M???ei???

221由?A?0.8,?B?1.2,??eA??30%，??eB??40%，?M?22%可得：

?A??0.8?0.22?0.30222??12?34.78% ?47.93%

?B??1.22?0.22?0.402212b.资产组合的期望收益率由单一证券的期望收益率加权平均得出：

E?rP??wAE?rA??wBE?rB??wfrf

其中wA,wB,wf分别是股票A、B和国库券在资产组合中所占的权重，将数据代入上式可得：

E?rP??0.30?13%?0.45?18%?0.25?8%?14%

资产组合的贝塔值同样是单个证券贝塔值的加权平均：?P?wA?A?wB?B?wf?f，国库券的贝塔值?f为0，因此资产组合的贝塔值为：?P?0.30?0.8?0.45?1.2?0=0.78

这一资产组合的方差为：?P??P其中

22?M2??2?eP?

?P2?M2是系统因素，?2?eP?是非系统因素，由于残差（ei）是不相关的，非

系统方差为：?2?eP?=wA2?2?eA?+wB2?2?eB??wf2?2?ef??

0.302?0.302?0.452?0.402?0.252?02=4.05%

其中?2?eA?，?2?eB?是股票A和B的非系统方差，?2?ef?是国库券的非系统方差，

12值为零。因此，资产组合的标准残差为：??eP???4.05%??20.12%

22整个资产组合的方差为：?P2=0.78?0.22?4.05%?6.99%，标准差为：26.45%

??

8. 基于当前的红利收益和预期的增长率，股票A和股票B的期望收益率分别为11%和14%，股票A的贝塔值为0.8，股票B的贝塔值为1.5。当前国库券的收益率为6%，标准普尔500股票的期望收益率为12%。股票A的年度标准差为10%，股票B的年度标准差为11%。 a. 如果投资者目前持有充分分散化的资产组合，投资者愿意增加哪种股票的持有量？ b. 如果投资者只能投资于债券与这两种股票中的一种，投资者会如何选择？请用图标或定量分析说明股票的吸引力所在。

答：a. 指数模型：E(rA)-rf??A??A(E(rM)?rf)] 对于股票A，其阿尔法值为：

?A?E(rA)-[rf??A(E(rM)?rf)]?11%?[6%?0.8?(12%?6%)]?0.2%

同理可得股票B的阿尔法值为：?B?14%?[6%?1.5?(12%?6%)]??1% 将股票A加入充分多样化的资产组合是不错的选择，而且持有股票B的空头也是合理的。 b. 每只股票的夏普比率为：

11%?6%?0.5010%

14%?6%SB??0.7311%SA?当选择只投资于国库券或者这两只股票中的一只时，股票B是相对更优的选择。 下面是9-14题的数据，假设对股票A,B的指数模型是根据以下结果按照超额收益估计的结果：

RA?3%?0.7RM?eA

RB??2%?1.2RM?eB

22?M?20%;RA?0.2;RB?0.12

9每种股票的标准差是多少？ 见书??2A22?A?M2RA=0.098，标准差31.30%，B类似。

10计算每种股票的方差中的系统风险和企业的特有风险。 10系统风险?2A?=0.0196，特有风险=?????2M2A2A2M22?A?MR2A22-?A?M=0.0784，B类似。

11这两种股票之间的协方差和相关系数是多少？

211cov(rA,rB)??A?B?M=0.0336

?AB?cov(rA,rB)?A?B=0.155

12每种股票与市场指数间的协方差各是多少？

222212cov(=0.028,cov(=0.048 rA,rM)??A?M?M??A?MrB,rM)??B?M?M??B?M13如果把60%的资金投入到股票A，40%投入到股票B，重做9-12题 13求?P?(x1?1?x2?2?2x1x2?12)22221/2=35.81%

?P?x1?1?x2?2=0.90

222?2(eP)??P??P?M?0.0958

2cov(rP,rM)??M?M?0.90?0.22?0.036

14如果50%的资金按第13题比例投资，30%投入到市场指数，20%投资于短期国库券，重做13题。 14.

注意国库券的方差为0，它和任何资产的协方差是0，因此投资组合Q：

222?Q?w2P?P?wM?M?2?wP?wM?Cov(rP,rM)??1/2?(0.5?1,282.08)?(0.3?400)?(2?0.5?0.3?360)?22?1/2

?21.55%?Q?wP?P?wM?M?(0.5?0.90)?(0.3?1)?0?0.75

222?2(eQ)??Q??Q?M?464.52?(0.752?400)?239.52

Cov(rQ,rM)??Q?2M?0.75?400?300

15假设投资组合经理根据宏观和微观预测，得到如下一个输入表： 微观预测 资产 股票1 股票2 股票3 股票4 宏观和微观预测 资产 短期国库券 消极投资组合 期望收益% 8 16 标准差% 0 23 期望收益% 20 18 17 12 贝塔 1.3 1.8 0.7 1.0 残值标准差% 58 71 60 55 1计算各股票的期望超额收益、阿尔法值、残值方差是多少？ 2构建最优投资组合。

3最优风险投资组合的夏普值？积极投资组合对它的贡献是多少？

4假设投资者的风险厌恶系数为A=2.8，对短期国库券和消极股票组合投资比例是多少？

15答案15. a.

Alpha (?)

??i = E(ri )– [rf + ?i(E(rM )– rf ) ]

? = 20% – [8% + 1.3(16% – 8%)] = 1.6%

1

Expected excess return

E(ri ) – rf 20% – 8% = 12% 18% – 8% = 10% 17% – 8% = 9% 12% – 8% = 4%

? = 18% – [8% + 1.8(16% – 8%)] = – 4.4%

2

? = 17% – [8% + 0.7(16% – 8%)] = 3.4%

3

? = 12% – [8% + 1.0(16% – 8%)] = – 4.0%

4

Stocks A and C have positive alphas, whereas stocks B and D have negative alphas.

The residual variances are:

?2(e1 ) = 582 = 3,364 ?2(e2) = 712 = 5,041

?2(e3) = 602 = 3,600 ?2(e4) = 552 = 3,025

b.

To construct the optimal risky portfolio, we first determine the optimal active portfolio. Using the Treynor-Black technique, we construct the active portfolio:

1 2 3 4 Total ? ?2(e)0.000476 –0.000873 0.000944 –0.001322 –0.000775 ? / ?2(e) ?? ? ?2(e)–0.6142 1.1265 –1.2181 1.7058 1.0000 Do not be concerned that the positive alpha stocks have negative weights and vice versa. We will see that the entire position in the active portfolio will be negative, returning everything to good order. With these weights, the forecast for the active portfolio is:

? A= [–0.6142 ? 1.6] + [1.1265 ? (– 4.4)] – [1.2181 ? 3.4] + [1.7058 ? (– 4.0)] = –16.90%

???= [–0.6142 ? 1.3] + [1.1265 ? 1.8] – [1.2181 ? 0.70] + [1.7058 ? 1] = 2.08 The high beta (higher than any individual beta) results from the short positions in the relatively low beta stocks and the long positions in the relatively high beta stocks. ?2(eA) = [(–0.6142)2 ? 3364] + [1.12652 ? 5041] + [(–1.2181)2 ? 3600] + [1.70582 ? 3025]

= 21,809.6 ?? eA ? = 147.68%

Here, again, the levered position in stock B [with high ?2(e)] overcomes the diversification effect, and results in a high residual standard deviation.

The optimal risky portfolio has a proportion w* in the active portfolio, computed as follows:

?/?2(ep)?16.90/21,809.6w0????0.05124 2[E(rM)?rf]/?M8/232The negative position is justified for the reason stated earlier. The adjustment for beta is:

w*A?w0?0.05124???0.0486

1?(1??A)w01?(1?2.08)(?0.05124)Since w*A is negative, the result is a positive position in stocks with positive alphas and a negative position in stocks with negative alphas. The position in the index portfolio is:

1 – (–0.0486) = 1.0486

c.

To calculate Sharpe’s measure for the optimal risky portfolio, we compute the information ratio for the active portfolio and Sharpe’s measure for the market portfolio. The information ratio for the active portfolio is computed as follows:

A = ? /??e)= –16.90/147.68 = –0.1144 A2 = 0.0131

Hence, the square of Sharpe’s measure (S) of the optimized risky portfolio is:

?8?S?S?A????0.0131?0.1341

?23?22M22S = 0.3662

Compare this to the market’s Sharpe measure:

SM = 8/23 = 0.3478 The difference is: 0.0184

Note that the only-moderate improvement in performance results from the fact that only a small position is taken in the active portfolio A because of its large residual variance.

d.

To calculate the exact makeup of the complete portfolio, we first compute the mean excess return of the optimal risky portfolio and its variance. The risky portfolio beta is given by:

?P = wM ?M + wA ? ?A = 1.0486 + [(–0.0486) ? 2.08] = 0.95

E(RP) = ? P + ?PE(RM) = [(–0.0486) ? (–16.90%)] + (0.95 ? 8%) = 8.42%

222?2)2?(?0.04862)?21,809.6?528.94 P??P?M??(eP)?(0.95?23???P?23.00%?

Since A = 2.8, the optimal position in this portfolio is:

y?8.42?0.5685

0.01?2.8?528.948?0.5401

0.01?2.8?232In contrast, with a passive strategy:

y?

This is a difference of: 0.0284

The final positions of the complete portfolio are:

Bills M 1 2 3 4

59.61% 1.70% 0.5685 ? (–0.0486) ? (–0.6142) =

– 3.11% 0.5685 ? (–0.0486) ? 1.1265 =

3.37% 0.5685 ? (–0.0486) ? (–1.2181) =

– 4.71% 0.5685 ? (–0.0486) ? 1.7058 =

100.00% [sum is subject to rounding error]

1 – 0.5685 = 0.5685 ? l.0486 =

43.15%

Note that M may include positive proportions of stocks 1through 2.

补充. 在一个只有两种股票的资本市场上，股票 A的资本是股票B的两倍。A的超额收益的标准差为3 0%，B的超额收益的标准差为5 0%。两者超额收益的相关系数为 0 . 7。 a. 市场指数资产组合的标准差是多少？ b. 每种股票的贝塔值是多少？ c. 每种股票的残差是多少？

d. 如果指数模型不变，股票A预期收益超过无风险收益率11%，市场资产组合投资的风险溢价是多少？

答：在一个资本市场上，只有两种股票A和B，其中前者市值是后者的两倍，说明：

wA?23,wB?13。

a. 市场指数资产组合的标准差为：

?M??wA?A?wB?B?2wAwB??A?B?2=33.83%

22221b. 股票A的贝塔值为：

?A?Cov?rA,rM??M2

1??21?2rA?rB?????A2??Cov?rA,rB?

3??33?3Cov?rA,rM??Cov?rA,???21?0.302??0.7?0.30?0.50?0.095 330.095?0.83 所以：?A?0.114444=

同理可得股票B：Cov(rB,rM)=Cov?rB,???1??12?2rA?rB?????B2??Cov?rA,rB?

3??33?3122?0.7?0.30?0.50?0.1533

330.153333?1.34 所以：?A?0.114444 =?0.50?c.每只股票的残差为：

?2?eA???A2??A2?M2?0.302?0.832?0.114444?0.01116 ?2?eB???B2??B2?M2?0.502?0.342?0.114444?0.044504

d.如果指数模型不变，有：rA?rf??ArM?rf，代入数值得：

????11%?0.83? ?rM?rf???rM?rf??11%0.83?13.25%

18. 将A B C与X Y Z两支股票在2006年前5年间的收益率数据以普通最小二乘法按股票市场指数的以年度表示的月收益百分率回归，可以得到如下结论：

统计 ABC XYZ 阿尔法 ?3.2% 7.3% 贝塔 0.60 0.97 R2 0.35 0.17 残差 13.02% 21.45% 试说明这些回归结果告诉了分析家们关于5年间每种股票的风险收益关系的什么信息。假定两种股票包含在一个优化了的资产组合当中，结合下列取自两所经纪行的截止2006年12月的两年内的每周数据资料，评价以上回归结果对于未来的风险收益关系有何意义。

经纪商 ABC的贝塔值 XYZ的贝塔 A 0.62 1.45 B 0.71 1.25

答：回归的结果提供了5年间以每月收益率为基础的定量的收益和风险的测度。ABC股票：ABC股票的贝塔为0.6，大大低于股票的市场平均值1.0，表明当标准普尔500每上升或下降一个百分点，ABC股票的收益率平均地上升或下降仅0.6个百分点。这表明ABC股票的系统风险或市场风险比典型股票的风险相对要低。ABC股票的阿尔法或者说是超额收益为-3.2%，表明当市场收益率为0时，ABC股票的平均收益率为-3.2%。ABC股票的非系统风险，或者说剩余风险，用(e)来测度，等于13.02%。它的R2为0.35，表明它和超过典型股票

值的线性回归的拟合值不很接近。XYZ股票：X Y Z股票的贝塔为0. 97，表明X Y Z股票的收益率情况类似于1 . 0的市场指数，因此该股票在被观测期内具有平均的系统风险。X Y Z股票的阿尔法为正而且相当大，表明平均而言，XYZ股票有一个接近7.3%的收益率，是独立于市场收益率的，剩余风险为 21.45%，是ABC股票的近一倍，表明对XYZ股票来说，在回归线附近观测值分布比较分散。相应的回归模型的拟合也较差，这与 R2仅为0.17也是一致的。

如果可以假设在长期内，两只股票的β值保持稳定，只包括一只股票的投资或其他分散化的资产组合投资的影响可能是很不同的，因为它们的系统风险有很大的差别。取自两家经纪公司的β数据可能有助于分析家们得出将来的一些推论。ABC股票的β估计值不论基础数据的样本区间如何都很相似。它们在0.60~0.71之间变动，都远远地低于市场的平均值1.0。XYZ股票的β根据三种不同的计算来源有很大的变化，最大值达到最近两年的每周价格变动观测值所得的1.45。可以推知XYZ股票未来的β可能远大于1.0，这意味着它含有的系统风险可能比根据1997~2006年的季度数据回归所显示的系统风险要大。

结论是这些股票表现出明显不同的系统风险特征。如果这类股票加入到一个充分分散化的资产组合中，X Y Z股票将会增加资产组合整体的波动性。

第9章 资本资产定价模型

7. 如果rf?6%,E(rM)?14%,E(rp)?18%的资产组合的?值等于多少？ 答：由证券市场线E(rp)?rf??p[E(rM)?rf]得：

18%?6%??P(14%?6%)?P?12%/8%?1.5

16. 一证券的市场价格为5 0美元，期望收益率为1 4%，无风险利率为6%，市场风险溢价为8.5%。如果这一证券与市场资产组合的协方差加倍 (其他变量保持不变)，该证券的市场价格是多少？假定该股票预期会永远支付固定红利。

答： 如果证券的协方差加倍，则它的值和风险溢价也加倍。现在的风险溢价为8%( = 1 4%-6%)，因此新的风险溢价为1 6%，新的折现率为1 6%+ 6%= 2 2%。

如果股票支付某一水平的永久红利，则我们可以从红利 D的原始数据知道必须满足永久债券的等式：价格=红利/折现率

50 =D/ 0.14

D= 50×0.14 = 7.00美元

在新的折现率22%的条件下，股票价值为7美元/ 0.22 = 31.82美元。股票风险的增加使得它的价值降低了36.36%。

22：凯伦是科林资产管理公司的投资组合管理人，她正使用资本资产定价模型为客户提供建议，公司的研究部门已经获得了如下信息：

期望收益（%） 标准差（%） 贝塔值 股票X 14.0 36 0.8 股票Y 17.0 25 1.5 市场指数 14.0 15 1.0 无风险利率 5.0

a. 计算每只股票的期望收益及阿尔法值。

b. 识别并判断哪知股票能够更好地满足投资者的如下要求： i. ii.

将该股票加入一个风险充分分散化了的资产组合。 将该股票作为其单一股票组合来持有。

答：a. 两只股票的期望收益率和阿尔法值如下表所示：

期望收益率 阿尔法值

股票X 5%?0.8?(14%?5%)?12.2% 14.0%?12.2%?1.8% 股票Y 5%?1.5?(14%?5%)?18.5% 17.0%?18.5%??1.5% b. i. 凯伦应该推荐股票X，因为相对于阿尔法值为负的股票Y，股票X阿尔法值为正。

股票X的期望收益/风险在证券市场线的上方，而股票Y的期望收益/风险在证券市场线的下方；同时，根据凯伦委托人的风险偏好，贝塔值低的股票X可能对整个投资组合的风险产生有利的影响。

ii. 凯伦应该推荐股票Y，因为相对于股票X，股票Y有更高的收益和更低的标准差。股票X、股票Y和市场指数的夏普比率分别为：

X:(14%?5%)/36%?0.25 Y:(17%?5%)/25%?0.48市场指数：(14%?5%)/15%?0.60

市场指数的夏普比率比任何单个股票好，但是，如果只在股票X和股票Y直接按进行

选择，应当优先选择股票Y。因为当一只股票被作为单一股票组合来持有时，标准差就是其相应的风险测度。在这种投资组合当中，作为风险测度的贝塔值是不相关的。尽管持有单一的资产不实一种典型被推荐的投资策略，但有些投资者可能持有受雇公司的股票，从本质上来说他还是持有单一股票组合，对于这些投资者来说，标准差相对于贝塔值是一个更重要的问题。

23. 假定你是一家大型制造公司的咨询顾问，考虑有一下列净税后现金流的项目(单位：100万美元)

年份 税后现金流 0 -40 1-10 15

项目的β值为1.8。假定rf?8%,E(rM)?16%，项目的净现值是多少？在其净现值变成负数之前，项目可能的最高β估计值是多少？ 答：（1）该项目适当的折现率为：

E(rp)=rf+???E?rm??rf??=8％+1.8*（16％-8％）=22.4％

使用该折现率， NPV = -40+

15=18.09（美元）。 ?tt?11.22410（2）当NPV=0时，该项目的内部收益率为35.7300。可取的?的最高估计值为： 35.73％= 8％ + ?（16％ - 8％） ? = 27.7300 ? 8％ = 3.47

28. 下表给出了一证券分析家预期的两个特定市场收益情况下的两只股票的收益。 市场收益 激进型股票 防守性股票 5% -2% 6% 25% 38% 12% a. 两只股票的β值是多少？

b. 如果市场收益为5%与25%的可能性相同，两只股票的预期收益率是多少？

c. 如果国库券利率6%，市场收益为5%与25%的可能性相同，画出这个经济体系的证券市场线。

d. 在证券市场线图上画出这两只股票，其各自的阿尔法值是多少？

e. 激进型企业的管理层在具有与防守型企业股票相同的风险特性的项目中使用的临界利率是多少？如果国库券利率为6% ，这一时期的市场收益率是吗？

答：a. ?是股票的收益对市场收益的敏感程度。即?是市场收益每变化一个单位股票收益的相应变化。因此，我们可以通过计算在两种假设情况下股票的收益差别除以市场的收益差别来计算出该股票的?值。

?A= (-2-3 8 ) / ( 5-2 5 ) = 2 .0 ?B= ( 6-1 2 ) / ( 5-2 5 ) = 0.3 0

b. 在每种情况的可能性相等的情况下, E(rA) = 0.5 (-2 %+ 38% ) = 18% E(rB) = 0.5 ( 6 %+ 12 %) = 9%

c. 证券市场线由市场预期收益0.5 ( 25 + 5 ) = 15%决定，此时贝塔为1；国库券的收益率为6%时，阿尔法 为零。见下图：

证券市场线SML的方程为：E(r) = 6% +?(15%-6% )。

d. 激进型股票有一公平的预期收益为：E(rA) = 6% + 2.0 ( 15%-6% ) = 24%

但是，分析家得出的预期收益是18%。因此他的阿尔法值是18%-24%= -6%。相似的，D股票要求的收益率为E(rD) = 6%+ 0.3 ( 15-6 ) = 8.7%，但是分析家对D的预期收益率是9%，因此，股票有一正的阿尔法值：?D=实际的预期收益-要求的收益(风险既定)=9%-8.7%=

0.3%。

e.临界利率由项目的?值决定，而不是由企业的?值决定。正确的折现率为8.7%，即股票D的公平的收益率。

补充：在2006年，短期国库券 (被认为是无风险的 )的收益率约为5%。假定一份资产组合，其贝塔值为1的市场要求的期望收益率是12%，根据资本资产定价模型 (证券市场线)。 a. 市场资产组合的预期收益率是多少？ b. 贝塔值0的股票的预期收益率是多少？

c. 假定投资者正考虑买入一股股票，价格为 40美元。该股票预计来年派发红利3美元。投资者预期可以以41美元卖出。股票风险的β值为－0.5，该股票是被高估还是被低估了？ 答：a. 因为市场组合的定义为1，它的预期收益率为12%。

b. ? = 0意味着无系统风险。因此，资产组合的公平的收益率是无风险利率，为5%。 c. 运用证券市场线SML，?= -0.5的股票公平收益率为： E(v) = 5% + (-0.5) ( 12%-5% ) = 1.5%

利用第二年的预期价格和红利，求得预期收益率： E(r) =?3?(41?40)? ?40?1=0.10 或10%

因为预期收益率超过了公平收益，股票必然定价过低。 补充：

a. 有一贝塔值为0.8的共同基金，期望收益率为14%，如果rf?5%，你对市场组合的期望收益率为15%，那么应该投资该基金吗？该基金的阿尔法值是多少？

b. 由市场指数资产组合和货币市场账户组成的消极资产组合，如何才会具有和基金相同的贝塔值？说明这种消极投资组合和阿尔法值等于?中所求值的基金两者的期望收益有何不同？

答：a. 根据CAPM模型计算该共同基金的公平期望收益率，然后计算基金的阿尔法：

E(r)?5%?0.8?(15%?5%)?13%??14%?13%?1%

b. 由市场指数资产组合和货币市场账户构成消极投资组合，令市场指数资产组合的比重为?，则：

??1?(1??)?0?0.8,解得：??0.8

即由投资组合中市场指数资产组合占0.8，货币市场账户占0.2。两者的公平期望收益率应该相等，但是实际期望收益率的不同即为阿尔法。

第10章 套利定价理论与风险收益多因素模型

1. 假定证券收益由单指数模型确定：

Ri=ai+?iRM+ei

其中Ri是证券i的超额收益，而RM是市场超额收益，无风险利率为2%。假定有三种证券A、B、C，其特性的数据如下所示：

a. 如果

?M＝20%，计算证券A、B、C的收益的方差。

b. 现假定拥有无限资产，并且分别与A、B、C有相同的收益特征。如果有一种充分分散化的资产组合的A证券投资，则该投资的超额收益的均值与方差各是多少？如果仅是由 B种证券或C种证券构成的投资，情况又如何？

c. 在这个市场中，有无套利机会？如何实现？具体分析这一套利机会 (用图表)。 答：a. 由 ?=?2?M2+?(e) 可得A、B、C的收益的方差分别为：

22?A2=（0.82?0.22）+0.252=0.0881 ?B2=（0.82?0.22）+0.12 =0.05 ?C2=（1.22?0.22）+0.22 =0.0976

b. 如果存在无限数量的资产都具有相同的特征，每一类充分分散化的资产组合都将只有系统风险，因为当n很大时，非系统风险趋近于0。均值将等于各个股票(都相同)的值。而如果资产组合中仅有B和C两种资产，则资产组合并未充分分散，方差既包括市场风险又包括单个证券的风险，而收益均值仍为各证券收益的均值。

c. 错，没有套利机会，因为充分分散化的资产组合都画在证券市场线( S M L )上。因为它们都是公平定价的，因而没有套利的可能。

2. 考虑下面的单因素经济体系的资料，所有资产组合均已充分分散化。 资产组合 E(r) 贝塔 A 12% 1.2 F 6% 0.0

现假定另一资产组合E也充分分散化，贝塔值为0 . 6，期望收益率为8%，是否存在套利机会？如果存在，则具体方案如何？

答：因为资产组合F贝塔值为0，所以其期望收益率等于无风险收益率，所以无风险收益率为6%。

资产组合A的风险溢价与贝塔值之比为：(12%?6%)/1.2?5% 资产组合E的风险溢价与贝塔值之比为：(8%?6%)/0.6?33.3%

两个比率不同，表明存在套利机会，可以新创一个资产组合G，由资产组合A和F以相同权重组合，其贝塔值为0.6( 和E相同)，则资产组合G的期望收益率和贝塔值如下：

E(rG)?0.5?12%?0.5?6%?9%,?G?0.5?1.2?0.5?0?0.6

相对于E,资产组合G有相同的贝塔值但有更高的收益率。因此，通过买进资产组合G同时卖出等额的资产组合E，可以进行无风险套利，所套取的利润为： rG?rE??9%?(0.6?F)???8%?(0.6%?F)??1%

4假定F1与F2为两个独立的经济因素。无风险利率为6%，并且所有的股票都有独立的企业特有(风险)因素，其标准差为45%。下面是优化的资产组合。

在这个经济体系中，试进行期望收益-贝塔的相关性分析。 答：由双因素模型得： E(rP) =rf +

?p[E(r1)-rf] + ?p2[E(r2)-rf]

1该风险溢价分别为： R1 = [E(r1)-rf]和R2= [E(r2)-rf]，解出下面方程式：

31 = 6 +1.5×R1 + 2.0×R2 27 = 6 + 2.2×R1 +（-2.0）×R2， 方程组的解分别为：R1= 10% 和R2= 5% 因此，预期收益率- 关系为： E(rP) = 6%+

7. 假定股市收益以市场指数为共同影响因素。经济体系中所有股票对市价指数的贝塔值为1，企业特定收益都有30%的标准差。如果证券分析家研究了20种股票，结果发现其中有一半股票的阿尔法值为2%，而另一半股票的阿尔法值为-2%。假定分析家买进了100万美元的等权重的正阿尔法值的股票资产组合，同时卖空 100万美元的等权重的负阿尔法值的股票资产组合。

a. 确定期望收益(以美元计)。其收益的标准差为多少？

b. 如果分析家验证了5 0种股票而不是2 0种，那么答案又如何？100种呢？

答： a. 卖空一组由10只负阿尔法值的股票等权重组成的资产组合，同时将资金投资于一组由10只正阿尔法值的股票等权重组成的资产组合，将消除市场敞口，产生一个零投资资产组合，市场系统因素即rM依然存在。预期的美元收益（非系统风险期望e为0）为： 1 000 000 ×[0.02?(1.0?RM)]—1 000 000×????0.02???1.0?RM??? = 40 000（美元）资产收益对于市场因素的敏感性为零，因为风险被正、负阿尔法值股票抵消了。（应注意的是rM之和为零）。因此，总风险中市场因素也是零，然而分析师利润的方差为零，

该资产组合的为零，因为是等权重的，其中一半的权数为负，所有的都等于1。因此，整体风险资产组合没有充分多样化。

因为n=20只股票（买多10只，卖空10只），投资者在每只股票中拥有10万美元（不论买进还是卖出）资产。R净市场风险为零，但企业特有风险并没有充分分散。以美元计20只股票资产的收益方差为：20??100000?0.3?=18 000 000 000，其收益标准差为134 164美元。（买卖的等量了，有人买必有人卖才会成交。）

b.如果n=50只股票（买多25只，卖空25只），投资者在每只股票中拥有4万美元资产，以美元计的股票资产的收益方差为：50??40000?0.3?= 7 200 000 000，其收益标准差为

22?p×10%+ ?p2×5%

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a0dr.html