广西北海市2019-2020学年高一数学上学期期末教学质量检测试题(含答案)

高一数学 第1页（共4页） 广西北海市2019-2020学年度第一学期期末教学质量测查卷

高 一 数

学 （考试时间：120分钟，满分150分）

温馨提示：

本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将选择题、填空题的答案以及解答题的解答过程写在答题卷相应的位置上，在试题卷上作答无效。

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一、选择题：（每小题只有一个选项符合要求，每小题5分，共60分）

1．设A ＝{0，1，2，4，5，7}，B ＝{1，3，5，8，9}，则A ∩B ＝

A ．｛1,5｝

B ．｛1｝

C ．{5}

D ．{1,5,7}

2．下列哪组中的两个函数是同一函数 A. ()1f x x =- ，2

()1x g x x

=-

B.2(),()f x x g x ==

C.

24(),()f x x g x == D. 0()1,()f x g x x ==

3．下列图象是函数y ＝?????

x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是

4．下列命题中正确的是

A ．若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面

B ．若直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行

C ．平行于同一条直线的两个平面平行

D ．若直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ?α，则b ∥α

5．已知函数2()ln g x x x

=-，则函数g (x )的零点所在区间为 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)

6．函数y ＝1x －1

在[2,3]上的最小值为 A ．2 B ．12 C ．13 D ．－12

高一数学 第2页（共4页）

7．如右图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为

8．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是

9．已知(3)4,1()log ,1a

a x a x f x x x --

10.如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三 棱锥B 1-ABC 1的体积为 A. 12

6 B.43 C.

123 D.46 11．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，则P 到BC 的距离是

A ．5

B ．25

C ．3 5

D ．4 5

12．三棱锥P ABC -中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，P A ⊥PB ，三棱锥P ABC -的外接球的体积为

A ．272π

B ．2732

π C ．273π

D ．27π

第10题图

高一数学 第3页（共4页） 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13．

函数2log (34)y x =-的定义域为________.

14．已知正四棱锥V -ABCD 中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的

高为________．

15. 设函数2,0()2

0x bx c x f x x ?++≤=?>?，若(4)2,(2)2f f -=-=-，则关于x 的方 程f (x )＝x 的解的个数是________．

16．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，

∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，

DF 交于点E ．要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长

为________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．

(Ⅰ)分别求A ∩B ，(?R B )∪A ；

(Ⅱ)已知集合{}C |1,A C C x a x a 若，=<<+?=求实数a 的取值范围.

18. （本小题满分12分） 已知2)(++=

x b ax x f )2(-≠x ，3

1)1(=f ，0)0(=f . (Ⅰ)求实数a 、b 的值，并确定f (x )的解析式； (Ⅱ)试用定义证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增.

19.（本小题满分12分）

“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数。当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2（千克/年）；当4

(Ⅰ)当0

(Ⅱ)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x = 可以达到最大？求出最大值.

第16题图

高一数学 第4页（共4页） 20.（本题满分12分）

如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ， P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．

求证：(Ⅰ)P A ⊥底面ABCD ；

(Ⅱ)BE ∥平面P AD ；

(Ⅲ)平面BEF ⊥平面PCD .

21.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，4CD =，PD ＝2.

(Ⅰ)求异面直线AP 与BC 所成角的正弦值；

(Ⅱ)若三棱锥P －CDB 体积为2，求BC 的长．

22.（本小题满分12分） 已知函数1

2

1()log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． (Ⅰ)求a 的值；

(Ⅱ)当(1,)x ∈+∞ 时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；

(Ⅲ)若关于x 的方程12

()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k 的取值范围．

第21题图 第20题图

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高一数学参考答案及评分标准

说明：1．本参考答案提供一至二种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则；

2．解答题右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分；

3．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数.

13.??????

<≤-4321x x

14. 6 15． 3 16. 12 三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17解：(Ⅰ)∵3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33，

∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}． ……………………………………………(1分)

∵log 2x >1，即log 2x >log 22，

∴x >2，∴B ＝{x |x >2}． …………………………………………………(2分)

∴A ∩B ＝{x |2

∴?R B ＝{x |x ≤2}， ………………………………………………………(4分)

∴(?R B )∪A ＝{x |x ≤3}． …………………………………………………(5分)

(Ⅱ)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，

由A C C ?=得C A ?， …………………………………………………(6分)

可得1a a 13≤+≤且 ………………………………………………………(8分)

解得12a ≤≤.

综上所述：

a 的取值范围是[]1,2 …………………………………………(10分)

18解:(Ⅰ)由31)1(=f ，0)0(=f 有???????==+?02

3131b b a ，……………………………………(3分) 解得0,1==b a ，………………………………………………………………(5分)

所以2)(+=x x x f .

………………………………………………………………(6分)

高一数学答案 第2页（共4页） (Ⅱ)证明：任设 x 1

x x x x -=++. ………………………(9分) ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，……………………………………………………(10分) ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

19.解：(Ⅰ)由题意得当0

当4

由已知得????? 20a ＋b ＝0，

4a ＋b ＝2，解得??? a ＝－18，b ＝52，………………………………………(4分)

所以()v x ＝－18x ＋52

.…………………………………………………………………(5分) 故函数*

*2,04,()15,420,8

2x x N v x x x x N ?<≤∈?=?-+<≤∈?? …………………………………(6分) (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得

f (x )＝????? 2x ，0

－18x 2＋52x ，4

……………………………………………………(7分) 当0

当4

， f (x )max ＝f (10)＝12.5…………………………………………………………………(11分) 所以当0

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，

最大值为12.5千克/立方米.…………………………………………………………(12分)

高一数学答案 第3页（共4页）

20.证明：(Ⅰ)因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A 垂直于这两个平面的交线AD ，

所以P A ⊥底面ABCD ………………………………………………………………(3分) (Ⅱ)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，

所以AB ∥DE ，且AB ＝DE ………………………(5分)

所以平面ABED 为平行四边形．

所以BE ∥AD ……………………………………(6分)

又因为BE ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，

所以BE ∥平面P AD .……………………………(7分)

(Ⅲ)因为AB ⊥AD ，而且平面ABED 为平行四边形，

所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .…………………………………………………………(8分) 由(1)知P A ⊥底面ABCD ，

所以P A ⊥CD ………………………………………………………………………(9分) 又P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD .

又PD ?平面P AD ，所以CD ⊥PD .………………………………………………(10分) 因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF .

又EF ∩BE ＝E ，所以CD ⊥平面BEF …………………………………………(11分) 因为CD ?平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD .……………………………(12分)

21.解:(Ⅰ)由已知AD ∥BC ，

故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角 ………………………(1分) 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD.………………(2分)

在Rt △PDA 中，由已知，

得AP ＝22PD AD +＝2221+5=，………(3分)

故sin ∠DAP ＝

AP PD ＝5

52..............................(5分) 所以异面直线AP 与BC 所成角的正弦值为552 (6)

)

高一数学答案 第4页（共4页） (Ⅱ)因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ?平面PDC ，所以AD ⊥PD.

又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC ，

又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PBC.…………………………………………………(8分) 所以PD ⊥PC …………………………………………………………………………(9分) 在Rt △PDC 中，由CD ＝4，PD ＝2，可得PC ＝2………………………………(10分) 又因为AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，所以BC ⊥PC ，

所以V D －PBC ＝BC S PCD ???31

BC PC PD ????=2131BC ????=3222

1312= 所以BC ＝3..……………………………………………………………………(12分) 22.解：(Ⅰ)∵因为函数()f x 的图象关于原点对称，

∴函数()f x 为奇函数，…………………………………………………………（1分） ∴()()f x f x -=- 即1

11222

111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----在定义域内恒成立 ∴1111ax x x ax

+-=---， ……………………………………………………………（2分） 即22211a x x -=-在定义域内恒成立，

∴21a = ………………………………………………………………………（3分） 解得：1a =- 或1a =（舍去）

所以1a =- . …………………………………………………………………（4分）

(Ⅱ)11

112222

1()log (1)log log (1)log (1)1x f x x x x x ++-=+-=+- 当1x > 时，12

log (1)1x +<- ………………………………………………（6分） ∵(1,)x ∈+∞ 时，12

()log (1)f x x m +-<恒成立

∴1m ≥- ………………………………………………………………………（8分）

(Ⅲ) 12()log ()f x x k =+即1122

1log log ()1x x k x +=+- 即：11

x x k x +=+-…………………………………………………………………（9分） 即12111

x k x x x x +=-=-+--在[2,3] 上有解…………………………………（10分） 因为12()111

x g x x x x x +=-=-+--在[2,3] 上单调递减……………………（11分） (2)1,(3)1g g ==-

所以[1,1]k ∈-

即k 的取值范围为[1,1]-…………………………………………………………（12分）

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