3年级高斯课本 - 图文

目 录

第一讲 差倍问题

第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 和差倍中隐藏的条件 蜗牛爬行 日期问题 还原问题 最不利原则

第一讲 差倍问题

小热身

画出线段图并求出

(1)小高和墨莫一共挖了60个土豆，且小高是墨莫挖的3倍，那么墨莫挖了多少个土豆?

(2)小高和墨莫跳绳，一共跳了40个，且小高比墨莫多跳10个，那么墨莫跳了多少个?

知识精讲

我们已经学过和倍与和差问题，解决此类问题最常用的方法是画线段图。画图时一般选取较少的数量画成一段，再根据倍数关系画出其他量的长度，然后求出一段所代表的量。

这一讲中，我们主要学习差倍问题，也就是条件中给出了数量间的倍数及差的问题。

例题1：学校合唱团成员中，女生人数是男生人数的3倍，而且女生比

男生多80人，合唱团里男生和女生各有多少人?

练习1：阿呆和阿瓜两人买了一些西瓜，阿呆买的瓜的重量是阿瓜的2

倍，而且阿呆比阿瓜多买了9斤，他们两人一共买了多少斤西瓜?

在和倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，把“少”的补上，把问题变成整倍数来解决。那么在差倍问题中，这种方法还适用吗？

例题2：羊村里住了一些羊和狼，羊的数量比狼的5倍多2只，且羊比

狼多42只。请问：羊村里羊和狼分别有多少只?

练习2：狼村里住了一些狼和羊，狼比羊多23只，且狼的数量比羊的3

倍多1只。请问：狼村有多少只狼?

例题3：米老鼠和唐老鸭一起去挖土豆，唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠的

3倍少4个，且唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠多20个。请问:唐老鸭挖了多少个土豆?

练习3：阿呆的高思积分比阿瓜的多150分，且阿呆的高思积分比阿瓜的

4倍少30分，阿呆和阿瓜分别有多少个高思积分?

有暗差的差倍问题，做题一般步骤:

(1)先从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系，即现倍或原倍。

(2)接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差。

(3)然后将现差或原差通过画线段图的方法画出来，曾在移多补少与等量代换中学习过。

(4)画出差倍的线段图，标清差以及倍数关系。

(5)审题，看题目最后的问题是现在的还是原来的，学会还原的思想。

例题4：有块数一样多的两盒糖，第一盒放入8块，第二盒拿走18块，

这时第一盒的糖是第二盒的3倍，这两盒原来各有多少块糖?

练习4：有两款价格一样的大小冰箱，夏季大促销，大冰箱的价格下降

了100元，小冰箱的价格下降了400元，这时大冰箱的价格是小冰箱的2倍。请问：这两款冰箱原来的价格是多少元?

选做题

阿呆和阿瓜原来的苹果一样多，现在阿呆给阿瓜12个苹果，结果阿瓜的苹果比阿呆的3倍少2个.两个人原来各有多少个苹果?

课堂内外

长颈鹿（学名：Griaffa camelopardalis）是一种生长在非洲的反刍偶蹄动物。拉丁文名字的意思是“长着豹纹的骆驼”。它们是世界上现存最高的陆生动物。一般的长颈鹿站立时由头至脚可达4.8—5.5米，体重约1200千克，刚出生的幼仔就有1.7米左右高;皮毛颜色花纹有斑点和网纹型，头的额部宽，

第三讲 蜗牛爬行

小热身

请看开篇漫画中的小蜗牛，请你在下图中画出每个时间点小蜗牛的位置，

用黑点表示，直到它爬出井口为止，最后用线段将黑点依次连出。

知识精讲

同学们看看没画中的小蜗牛，它在第几天爬出井呢?

其实蜗牛在最后一天的时候直接爬出了井口，井不会往下滑了，所以在考虑周期的时候候要特别注意整个过程结束的时候是不是完整的周期。

当实际问题并不是一个完整的周期问题时，一定要先把周期之外的问题考虑好。再计算周期相关的问题。

比如一串数1，2，3，4，3 4，3，4?,计算这个数列的相关问题时，一般要先排除掉前两个数的影响，即有头周期，要先“砍头”。

比如在钢牛爬井问题中，爬出井口的那天不需要再下滑，所以要先去掉最后一天的影响，即有尾周期，要先“去尾”,注意最后的周期是否完整。

例题1：桌子上有6块巧克力糖，第一天阿呆吃掉了2块，第2天妈妈

又放4块巧克力，第三天阿呆又吃掉了2块，第四天妈妈又放上4块，??如此不停循环下去，第6天后桌子上有多少块巧克力糖？

练习1：菜地里有7根成熟的胡萝卜，第1天白兔妈妈挖出3根，第2

天又有4根胡萝卜成熟了，第3天白免妈妈又挖出3根，第4天又有4根胡萝卜成熟了，??照这样下去，到第6天后，菜地里有多少根成熟的胡萝卜?

例题2：一只蜗牛在一口15米深的井底，如果它每个白天往上爬3米，

但是在晚上又往下滑1米，请问:这只蜗牛在第几天能爬出这口井?

练习2：一只蜗牛在一口10米深的井底，如果它每个白天往上爬3米，

但是在晚上又往下滑2米，请问:这只蜗牛在第几天能爬出这口井?

例题3：工厂的仓库里有80吨货物，这些货物都由同一辆卡车负责运输。

第一天卡车往仓库里运进50吨，第二天运了60吨，第三天又运进50吨，第四天再运出60吨，??如此不停地循环下去。第几天的时候，仓库里的货物才会被运完?

练习3：砖头厂有50块砖头，第一天白天运进10块，晚上运出20块，

第二天白天运进10块，晚上运出20块，??如此不停地循环下去，第几天的时候，砖头厂里的砖头才会被运完?

例题4：工厂的仓库里有80吨货物，同样是由一辆卡车负责货物的运输。

第一天，卡车从仓库里运出60吨，第二天再运进50吨，第三天又运出60吨，第四天再运进50吨，??如此不停地循环下去，第几天的时候，仓库里的货物才会被运完?

练习4:砖头厂有50块砖头，第一天白天运出20块，晚上运进10块，第

二天白天运出20块，晚上运进10块，??如此不停地循环下去,第几天的时候，砖头厂里的砖头才会被运完?

选做题

桌子上原本放着6块巧克力，第1天阿朵吃掉了2块。第2天妈妈又放了4块巧克力，第3天阿呆又吃掉2块，第4天妈妈又放上4块，??如此不停循环下去，请问第几天结束的时候桌子上有10块巧克力?(请写出所有的可能)

课堂内外

里斯与蜗牛爬井

里斯(1880-1956)，匈牙利数学家，泛函分析创始人之一，1907年他和菲舍尔相互独立地得到著名的“里斯一菲舍尔定理”，阐明了可积函数的空间同平方和收敛序列的希尔伯特空间等价，是早期量子论数学理论基础方面的一个重大贡献。此外，他在点集拓扑、遍历理论、正交函数系、傅里叶分析、解析丽数边界值问题、位势论、函数逼近论、积分方程、半序向量空间理论等方面都有建树，同时他还是著名的教育家，培养了许多优秀的数学家。

据说，里斯曾出过这样一道数学题:井深20尺，蜗牛在井底，白天爬7尺，夜里降2尺，几天可以到达井顶?

聪明的小朋友，你试着算一算吧!

第四讲 日期问题

小热身

一星期是7天，所以是7天一周期。 请完成下表，在空白处写出是星期几：

3月1日 3月8日 3月2日 3月9日 3月3日 3月10日 3月4日 3月11日 3月5日 3月12日 3月6日 3月13日 3月7日 3月14日 知识精讲

在周期问题中，还有一类非常经典的题型，即和日期相关的题型。比如同学们最熟悉的星期，我们经常需要去计算一些和星期有关的问题。

例题1：如果今天是星期六，再过60天是星期几？

练习1：如果今天是星期四，再过30天是星期几?

小总结

四年一闰，百年不闰，四百年再闰。 间年:2月有29天，一年366天。 平年: 2月有28天，一年365天。

大月小月的判断：一、三、五、七、八、十、腊，三十一天永不差；拳头法：

要知道哪个月有多少天，可用拳头帮助记忆，凸起的地方每月是31天，凹下的地方每月是30天(二月除外)。

下面的歌诀，可以帮我们记住有31天的月份。 一、三、五、七、八、十、腊，三十一天永不差。

接下来我们来学习如何判断某一年是闰年还是平年，如1921年，不是4的倍数，所以一定是平年。如1924年，是4的倍数，但不是100的倍数，所以一定是闰年，如1700年，是4的倍数，是100的倍数，但不是400的倍数，所以一定是平年。如2000年，是4的倍数，是100的倍数，也是400的倍数，所以一定是闰年。

小判断

四年一闰，百年不闰，四百年再闰。 判断下面哪此年份是闰年?哪些年份是平年? (1)1949年是 。(2)1900年是 。

例题2:2033年2月1日是星期二，请问:2033年2月的最后一天是是期

几?

练习2:2052年2月1日是星期四，请问:2052年2月的最后一天是星期

儿?

例题3:2052年3月1日是星期五，请何:2052年4月5日是星期几？

练习3：2012年5月1日是星期二，请问:2012年儿童节是星期儿?

在日期问题中有个非常好用的小技巧叫“度年如日”，那么这个小技巧对于我们解决其他的周期问题有什么启示吗?

例题4：2013年元且是星期二，请问:2014年元旦是星期几?

练习4： 2016年4月1日是星期五，请问:2017年4月1日是星期几?

选做题

2017年10月1日是星期日，那么2018年的12月1日是星期几?

课堂内外

闰年

地球绕日运行周期为365天5小时48分46秒(合365.24219天)，即一回归年（topical year）。公历的平年只有365日，比同归年短约0.2422日，

每四年累积约一天，把这一天加于2月末(即2月29日)，使当年时间长度变为366日，这一年就为闰年。需要注意的是，现在的公历是根据罗马人的“儒略历”改编而得，由于当时没有了解到每年要多算出0.0078天的问题，从公元前46年，到16世纪，一共累计多出了10天。为此，当时的教皇格雷果里十三世，将1582年10月5日人为规定为10月15日。并开始了新闰年规定。即规定公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年，不是400的倍数的就是平年，比如，1700年、1800年和1900年为平年，2000年为闰年，按照每四年一个闰年计算，平均每年就要多算出0.OO78天，经过四百年就会多出大约3天来，因此，每四百年中要减少三个闰年。闰年的计算，归结起来就是通常说的:四年一闰，百年不闰，四百年再闰。

第五讲 还原问题

小热身

快速抢答

(1)一个数加上5变为7，原数为 。 (2)一个数减去10变为90，原数为 。 (3)一个数乘5变为30，原数为 。 (4)一个数除以9变为5，原数为 。 (5)一个数增加了2倍后变为15，原数为 。

知识精讲 小故事

萱萱把一个包装精美的盒子打开。她先拆开最外层的彩纸；接着打开纸盒，纸盒里有一个绒布盒，再打开绒布盒一看，里面是两支笔。妈妈说，这礼物是送给爸爸的，要萱萱把它重新包装起来。萱萱是按这样的顺序做的:先把两支笔放入绒布盒→盖上绒布盒，并把它放进纸盒→盖上纸盒，并用彩纸封好。萱萱重新包装的步聚(顺序)恰好与她打开这盒礼物的顺序相反。这是生活中常会遇到的“还原问题”。

在数学中，还原问题也很多。比如计算一个数加3，同学们很快可以算出最后的结果.但如果知道最后的结果等于8，反过来要求原来的数呢?大家自然想到利用加法的逆运算——减法，我们利用8-3，就可以算出原数等于5，像这样把结果还原成开始的数量的问题叫做还原问题。

本讲中我们就将遇到这样一类应用题:开始时的状态不知道，只知道中间的过程以及结束时的状态，这时我们需要从最后结果出发，利用已知条件一步一步倒推，逐步接近最开始的状态，直至解决问题。这种思考问题的方法叫做倒推法(还原法)。

我们在倒推求解问题时，常常通过逆运算来还原:加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，原即原来是加(减)几，还原时要变成减(加)几；原来是乘(除以)几，还原时要变成除以(乘)几。

例题1：一个数加上6，乘6，减去6，除以6，最后结果还是6，问这个

数是几?

练习1：一个数加上8，乘10，最后结果是120，问这个数是几？

例题2：有一个数，把它加上24，再乘4，减去20，得到的结果用15去

除，商是5，余数是5。这个数是多少?

练习2：将一个自然数减去18，然后乘4，再除以7，得到的商是23,余

数是3，请问这个自然数是多少?

例题3：果园里有一棵桃树。有一天，两只猴子来偷吃桃子。第一只猴子

吃了1个桃子并摘下了剩桃子的一半，然后第二只猴子吃了2个桃子并摘下了剩下桃子的一半。这时树上刚好还有11个桃子，请问原来树上一共有几个桃子?

练习3：田里种着一些玉米。一天晚上，田鼠-家来偷玉米。田鼠爸爸偷

走了所有玉米的一半还多一个，田鼠妈好偷走了剩下玉米的一半多一个，这时玉米还有13个。请问原来田地里共有多少个玉米?

小故事

李白买酒

朱世杰是我国宋元时期杰出的数学家，他的《四元玉鉴》中，有许多精辟的数学创作，流传极广的数学名题“李白买酒”，就出现在《四元玉鉴》中。题目是这样的:

无事街上走，提壶去买酒， 遇店加一倍，见花喝八斗， 三遇店和花，喝光壶中酒。

诗的意思是说，李白一日闲来无事，在街市上游走，忽然闻到不远处香气扑鼻，单凭嗅觉他就断定那必是清香爽口、绵柔顺和的醇酒，便忍不住要前去打酒，他的壶中本来就有酒，每次遇到有卖如此醇酒的小店时再打的酒都与壶中的酒一样多，壶中酒便也因此增加一倍;每次看到花，他就不禁饮酒作诗，喝上八斗，这样边打边饮，三次之后，壶中的酒就全部被喝光了。

这是一道典型的还原问题，聪明的同学们，你知道李白的酒壶中原来有多少酒吗?

当题目中有两个或两个以上的量在变化时，只是画出示意图有时不能把中间步骤表示清楚，这时我们可以采用多排倒推图的方法依次记录每个变化过程。

例题4：地上有26块砖，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚挑起一

些砖，哥哥赶到了，挑了剩下的砖。哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。这时哥哥挑了9块，弟弟挑了17块，请问:最初弟弟准备挑多少块砖?

练习4：王刚和李强手中各有若干枚硬币。开始时李强给王刚一些硬币，

让王刚手中的硬币数量增加一倍;然后，王刚给李强一些硬币，让李强手中的硬币数量增加一倍，这样交换后，每人手中各有20枚硬币。请问原来王刚有多少枚硬币?

选做题

甲、乙各有一些糖，一共48块，每次甲给乙一些糖，使得乙的糖数增加一倍。经过四次这样的操作以后，甲的糖数是乙的2倍。原来甲有多少块糖？

课堂内外

李白

李白一生不以功名显露，却高自期许，不畏权力，貌视权贵，曾流传着“力上脱靴”“贵妃捧砚”“御手调羹”“龙巾拭吐”的故事。他肆无总惮地嘲笑以政治权力为中心的等级秩序，批判当时腐败的政治现象，以大胆反抗的姿态，推进了盛唐文化中的英雄主义精神。李白反权贵的思想意识，是随着他的生活实践的丰富而日益成熟起来的。在早期，主要表现为“不屈已、不干人”“平交王候”的平等要求，正如他在诗中所说:“昔在长安醉花柳，五侯七贵同杯酒、气岸遥凌豪士前，风流肯落他人后!”(《流夜郎赠辛判官》)“揄扬九重万乘主，谑浪赤墀青琐贤.”(《玉壶吟》)他有时也发出轻蔑权贵的豪语，如“黄金白璧买歌笑，一醉累月轻王侯”(《忆旧游寄谯郡元参军》)等，但主要还是表现内心中的高傲，而随着对高层权力集团实际情况的了解，他进一步揭示了百姓基层和权贵的对立:“珠玉买歌笑，糟糠养贤才.（《古风》第十五)“梧桐巢燕省，棋棘栖鸳鸾。”(《古风》第三十九)并对因谄事帝王而窃据权位者的丑态极尽嘲讽之能事，如:“大车扬飞尘，亭午暗阡陌。中贵多黄金，

连云开甲宅。路逢斗鸡者，冠盖何辉赫、鼻息千虹霓，行人皆怵惕。世无洗耳翁，谁知尧与跖!”而在《梦游天姥吟留别》中，他发出了最响亮的呼声:“安能摧眉折腰事权贵，使我不得开心颜!”这个艺术概括在李白诗歌中的意义，正如同杜甫的名句“朱门酒肉臭，路有冻死骨”(《自京赴奉先咏怀五百字》)在杜诗中一样重要。

第六讲 最不利原则

小热身

把10个苹果放进9个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果。这个看上去很显然的现象，在数学中我们把它称作抽屉原理。

一般地，我们有如下结论: 抽屉原理

把一些苹果随意放人若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果。

以9个抽屉为例:把9个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数不多于抽屉个数，如果苹果平均放进抽屉中，则每个抽屉都只放了1个苹果。但如果把10个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果，因为即使每个抽屉都放1个苹果时，也只能放进1x9=9个苹果，剩下的1个苹果再放进任何一个抽屉，都会使该抽屉中有2个苹果。

请聪明的小朋友回答以下几个问题:

(1)将14个苹果放人13个抽屉中，一定能找到一个抽屉里面至少放了个（ ）苹果。

(2)将9只羊放在8个笼子中，一定能找到一个笼子里面至少放了（ ）只羊。

知识精讲

回想刚才得出抽展原理的过程，在计算时我们都使用了平均分配的思想。为什么要平均分呢?因为只有这样做才能使得放人同一个抽展的苹果尽量少，求出的结果才是至少几个。虽然我们算的是分到同一个抽屉的苹果，但考虑的时候却是让同一抽屉中的苹果尽量少——这种从反面考虑的分析方法又叫做“最不利原则”，即考虑最坏的情形。这一原则不仅体现在抽屉原理中，它还在解决很多与“至多”“至少”相关的问题时非常有用。

例题1：一个鱼缸里有4个品种的鱼，每种鱼都有很多条。至少要捞出多

少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼?

练习1：一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很多，

至少要拿出多少个彩球，才能保证其中有6个相同颜色的彩球?

例题2：一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球，其中红色的有

10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。现在闭着眼睛从中摸球，请问:至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色?

练习2：爷爷给小明买了一盒糖，这些糖分为苹果味桔子味和菠萝味三

种口味，每种口味各30颗，小明特别喜欢吃苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证能拿到两种口味的糖?

例题3：一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球，其中红色的有

10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。现在闭着眼睛从中摸球，请问:至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球?

练习3：爷爷给小明买了一盒糖，这些糖分为苹果味、桔子味和菠萝味

三种口味，每种口味各30颗，小明特别喜欢吃苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证一定能拿到1颗苹果味的?

例题4：将1只白袜子、2只黑袜子，3只红袜子，8只黄袜子和9只绿

袜子放入一个布袋里，请问:一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子?

练习4：袋子里白袜子、黑袜子红袜子各10只，现在闭着眼睛从袋子

中携袜子，请问:至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子?

选做题

一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张，现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，那么最少要取出多少张牌?

课堂内外

二桃杀三士

《晏子春秋》里有一个“二桃杀土”的故事。齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳，但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴，晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计:以齐景公的名义赏赐三名勇土两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。

三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子，于是公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃:田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃。两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古治子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子；并且觉得自己功劳不如人家。却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了。古治子见了，后悔不迭，仰天长叹道:“如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇土尊严，为了维护自己而差辱同伴，又有损义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士!”说罢，也拔剑自杀了。

晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝的一位无名氏在一首诗中曾不无讽刺地写道：“??一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子!”

值得指出的是，在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理一抽屉原理。

在“二桃杀三士”的故事中，把两个桃子看作两个抽展，把三名勇土放进去，至少有两名勇士在同一个抽屉里，即有两人必须合吃一个桃子，如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个桃子的差耻，那么悲剧的结局就无法避免。

三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子，于是公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃:田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃。两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古治子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子；并且觉得自己功劳不如人家。却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了。古治子见了，后悔不迭，仰天长叹道:“如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇土尊严，为了维护自己而差辱同伴，又有损义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士!”说罢，也拔剑自杀了。

晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝的一位无名氏在一首诗中曾不无讽刺地写道：“??一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子!”

值得指出的是，在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理一抽屉原理。

在“二桃杀三士”的故事中，把两个桃子看作两个抽展，把三名勇土放进去，至少有两名勇士在同一个抽屉里，即有两人必须合吃一个桃子，如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个桃子的差耻，那么悲剧的结局就无法避免。

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