数学选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.2（二）

个帅哥帅哥的ffff 3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系

学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．

知识点一 向量法判断线线垂直

设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直

43

2，，1?，平面α的法向量为μ2＝?3，2，?，则直线l思考 若直线l的方向向量为μ1＝?2??3??与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？

2

答案 垂直，因为μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直

3线l与平面α垂直．

判断直线与平面的位置关系的方法：

(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线?l⊥α.

(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直?直线与平面平行或直线在平面内． (3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直?l⊥α.

梳理 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R)．

知识点三 向量法判断面面垂直

思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.

梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff

→→

已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，→

AP＝(－1,2，－1)． 判断下面结论的对错： 1．AP⊥AB；(√) 2．AP⊥AD.(√)

→

3.AP是平面ABCD的法向量．(√) →→

4.AP∥BD.(×)

类型一 证明线线垂直

例1 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是1

侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.

4

证明 设AB的中点为O，连结OC，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

1

－，0，0?， 由已知得A??2?13

，0，0?，C?0，，0?， B??2??2?N?0，

?

131?，0，1?， ，，B1??2?24?二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff ∵M为BC的中点， 13

∴M?，，0?.

?44?

131—→→

∴MN＝?－，，?，AB1＝(1,0,1)，

?444?11→—→

∴MN·AB1＝－＋0＋＝0.

44→—→

∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.

反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．

跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.

证明 ∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，AC，BC，C1C两两垂直．

如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， →

∴AC＝(－3,0,0)， —→

BC1＝(0，－4,4)， →—→∴AC·BC1＝0，∴AC⊥BC1.

二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff 类型二 证明线面垂直

例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.

→→—→

证明 方法一 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)， E(2,2,1)，F(1,1,2)． →

∴EF＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)． —→

AB1＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)，

→

AC＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． →—→而EF·AB1

＝(－1，－1,1)·(0,2,2)

＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.

→→EF·AC＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC.

又AB1∩AC＝A，AB1?平面B1AC，AC?平面B1AC， ∴EF⊥平面B1AC.

二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff →→—→

方法二 设AB＝a，AD＝c，AA1＝b，

1—→→→1→—→—→1—→—→1—→→

则EF＝EB1＋B1F＝(BB1＋B1D1)＝(AA1＋BD)＝(AA1＋AD－AB)＝(－a＋b＋c)，

2222—→→—→

∵AB1＝AB＋AA1＝a＋b， →—→1∴EF·AB1＝(－a＋b＋c)·(a＋b)

21

＝(b2－a2＋c·a＋c·b) 21

＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. 2→—→

∴EF⊥AB1，即EF⊥AB1， 同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，

AB1?平面B1AC，B1C?平面B1AC， ∴EF⊥平面B1AC.

反思与感悟 用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)基向量法：

①设出基向量，然后表示直线的方向向量； ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示； ③利用数量积计算． (2)坐标法：

①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示； ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；

③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行． 跟踪训练2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：直线PB1⊥平面PAC.

二位分为Greg

个帅哥帅哥的ffff →→—→

证明 如图，以D为坐标原点，DC，DA，DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(1,0,0)，

→→—→

A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，PC＝(1,0，－1)，PA＝(0,1，－1)，PB1＝(1,1,1)， —→

B1C＝(0，－1，－2)， —→

B1A＝(－1,0，－2)．

—→→PB1·PC＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0， —→→

所以PB1⊥PC，即PB1⊥PC. —→→又PB1·PA＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， —→→

所以PB1⊥PA，即PB1⊥PA.

又PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC， 所以PB1⊥平面PAC. 类型三 证明面面垂直

例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.

证明 由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，

二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff 10，0，?， E?2??

1—→→—→→

－2，0，?. 故AA1＝(0,0,1)，AC＝(－2,2,0)，AC1＝(－2,2,1)，AE＝?2??设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)， —→??AA1＝0，?n1·?z＝0，

则?即?

?→－2x＋2y＝0.??AC＝0，?n1·

令x＝1，得y＝1，故n1＝(1,1,0)． 设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)， －2a＋2b＋c＝0，—→??AC1＝0，?n2·?

则?即? 1

→－2a＋c＝0.??2AE＝0，?n2·?令c＝4，得a＝1，b＝－1，故n2＝(1，－1,4)． 因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2. 所以平面AEC1⊥平面AA1C1C. 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法

(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．

跟踪训练3 如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.

→→→

证明 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，以A为坐标原点，AB，AD，AS的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff

111?则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E??2，2，2?，连结AC，设AC与BD相交于点O，11?连结OE，则点O的坐标为??2，2，0?. 1→→

0，0，?， 因为AS＝(0,0,1)，OE＝?2??→1→→→

所以OE＝AS，所以OE∥AS.

2

又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD， 又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.

1．若直线l1的方向向量为a＝(2，－4,4)，l2的方向向量为b＝(4,6,4)，则l1与l2的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直

解析 因为a·b＝2×4＋(－4)×6＋4×4＝0， 所以l1⊥l2.

2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l与α的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直

解析 ∵a∥μ，∴l⊥α.

3．平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直

解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面垂直．

二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff 4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t的值为________． 答案 5

解析 ∵平面α与平面β垂直，

∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直， ∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.

→

5．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则下列等式中可能不成立的是________．(填序号)

→→→→→→→→①PA⊥AB；②PA⊥CD；③PC⊥BD；④PC⊥AB. 答案 ④

解析 由题意知PA⊥平面ABCD，

所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，①②正确；

又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，③正确．

证明垂直问题的方法：

(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；

②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．

一、填空题

1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 答案 10

解析 因为a⊥b，故a·b＝0，

二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff 即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.

2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________． 答案 －10

解析 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直， 所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0， 解得x＝－10.

1?3．已知直线l的方向向量为e＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n＝??2，λ，－1?(λ∈R)．若l⊥α，则实数λ的值为________． 1答案 － 2

解析 ∵l⊥α，∴e∥n，∴

－1121＝＝，∴λ＝－. 1λ－122

4．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为________． 答案 (－1,0,2)

→→→

解析 由题意知AB＝(－1，－1，－1)，AC＝(2,0,1)，AP＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，→→

所以有AB·AP＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0，① →→AC·AP＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，② 联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2)．

5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则下列结论成立的是________．(填序号)

①CE⊥BD；②A1C1⊥BD；③AD⊥BC1；④CD⊥BE. 答案 ①②

解析 以D点为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0，1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0，1)，

二位分为Greg

个帅哥帅哥的ffff

11?

C1(0,1,1)，E??2，2，1?，

11→→

，－，1?，AC＝(－1,1,0)， ∴CE＝?2??2→—→

BD＝(－1，－1,0)，A1D＝(－1,0，－1)， —→

A1A＝(0,0，－1)，

11→→

－?＋0×1＝0， ∵CE·BD＝(－1)×＋(－1)×??2?2∴CE⊥BD.显然A1C1⊥BD，故只有①②正确．

→→→

6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP→

＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的一个法向→→

量；④AP∥BD.

其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ①②③

→→

解析 因为AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0， →→

则AB⊥AP，即AP⊥AB； →→AP·AD＝(－1)×4＋2×2＋0＝0， →→

则AP⊥AD，即AP⊥AD，

又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD， →

故AP是平面ABCD的一个法向量．

→→→

BD＝AD－AB＝(4,2,0)－(2，－1，－4)＝(2,3,4)， →→

所以AP与BD不平行．

二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff 7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝22，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为________．

答案 垂直

解析 以D点为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

依题意可得D(0,0,0)，P(0,1，3)，C(0,2,0)，A(22，0,0)， M(2，2,0)．

→

∴PM＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， →

AM＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， →→∴PM·AM＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， →→

即PM⊥AM，∴AM⊥PM.

8．在空间直角坐标系O－xyz中，已知点P(2cosx＋1，2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]．若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________． ππ答案 或 23

→→

解析 由题意得OP⊥OQ， ∴cosx·(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)＝0. ∴2cos2x－cosx＝0， 1∴cosx＝0或cosx＝. 2又∵x∈[0，π]， ππ∴x＝或x＝. 23

二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff 9．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝21，则n的坐标为________________． 答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)

→→

解析 据题意，得AB＝(－1，－1,2)，AC＝(1,0,2)． 设n＝(x，y，z)， ∵n与平面ABC垂直，

→??－x－y＋2z＝0，?y＝4z，AB＝0，?n·??∴?即?解得?

??→?x＋2z＝0，?x＝－2z.?AC＝0，?n·

∵|n|＝21，∴x2＋y2＋z2＝21， 解得z＝1或z＝－1. 当z＝1时，y＝4，x＝－2； 当z＝－1时，y＝－4，x＝2， ∴n＝(－2,4,1)或n＝(2，－4，－1)．

→→→→→

10．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)＝________. 4015

，－，4? 答案 ?7?7?

→→→→→→

解析 AB·BC＝3＋5－2z＝0，故z＝4.BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，且BP·BC＝3(x－1)＋y－1240154015

，－，4?. ＝0，得x＝，y＝－.所以(x，y，z)＝?7?7?77二、解答题

11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.

→→→

证明 设正方体的棱长为1，如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，

二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff

11，1，?， 则A(1,0,0)，E?2??A1(1,0,1)，D1(0,0,1)， 1

0，，0?. F??2?

1—→1→—→

0，1，?，A1D1＝(－1,0,0)，D1F＝?0，，－1?， ∴AE＝?2???2?1→—→

∴AE·A1D1＝0×(－1)＋1×0＋×0＝0，

2→—→11AE·D1F＝－＝0，

22→—→→—→∴AE⊥A1D1，AE⊥D1F，

即AE⊥A1D1，AE⊥D1F，又A1D1∩D1F＝D1， A1D1，D1F?平面A1D1F， ∴AE⊥平面A1D1F.

12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用向量法证明：

(1)平面A1BD∥平面CB1D1； (2)AC1⊥平面A1BD.

→→—→

证明 以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.

则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，C1(0,1,1)．

二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff —→

(1)∴A1D＝(－1,0，－1)， —→

A1B＝(0,1，－1)， —→

D1B1＝(1,1,0)， —→

D1C＝(0,1，－1)，

设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， —→??－x1－z1＝0，A1D＝0，?n1·?

则?即?

?—→?y1－z1＝0.?A1B＝0，?n1·

令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.

∴平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1,1,1)． 设平面CB1D1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， —→??D1B1＝0，?n2·?x2＋y2＝0，

则?即?

?→y－z＝0.?22?D1C＝0，?n2·

令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1， ∴n2＝(－1,1,1)， ∴n1＝n2，即n1∥n2. ∴平面A1BD∥平面CB1D1. —→—→

(2)又AC1＝(－1,1,1)，∴AC1∥n1. —→

∴AC1是平面A1BD的法向量， ∴AC1⊥平面A1BD.

13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.

→→→

证明 以A为坐标原点，AD，AB，AP的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的

二位分为Greg

个帅哥帅哥的ffff 空间直角坐标系，

11

0，，?，D(3，0，0)， 则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，F??22?设BE＝x(0≤x≤3)， 则E(x,1,0)，

→→→→?0，1，1?＝0，即PEPE·AF＝(x,1，－1)·⊥AF. ?22?所以当x∈[0，3 ]时都有PE⊥AF，即无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF. 三、探究与拓展

14．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是______． 答案 －3或1

解析 ∵|a|＝22＋42＋x2＝6，∴x＝±4， 又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0， 1

∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，

2当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.

15．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD；

(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．

(1)证明 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．

设E(0，a，e)(0≤e≤a)，

二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff —→

A1E＝(－a，a，e－a)， →

BD＝(－a，－a，0)，

—→→A1E·BD＝a2－a2＋(e－a)·0＝0， —→→

∴A1E⊥BD，即A1E⊥BD.

(2)解 设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． ∵DB→＝(a，a,0)，—→DAa)，DE→

1＝(a,0，＝(0，a，e)，∴???ax1＋ay1＝0，??＋ay2＝0，

?ax1＋az1＝0，

??ax2??ay 2＋ez2

＝0.

取x1＝x2＝1，

得n＝(1，－1，－1)，na

12＝??1，－1，e??， 由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2， ∴2－aa

e＝0，即e＝2

.

∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.

二位分为Greg

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