概率论的起源和发展

自然科学凌

茜北师范学院学报

年第

期

概率论的起源和发展赖景耀

溉率论历史相当悠久

,

木文将介绍概率论产生的历史背景和发展情况。

,

并论及一些优秀

的概率论学者在发展这门学科中所作的贡献

英史,

数学家格雷舍,

,

一、

曾经说过。

“

任何企图将一种科目和它的了解和研究概率论发展的历,

历史割裂开来

我确信

,

没有哪一种科目比数学的损失更大

”

有助于加深对这门学科研究对象

研究方法的了解。

有利于总结成功经验和失败教训

启迪后人更好地为这门学科的发展作出贡献

一

占典概率时期,

一,

一

七世纪,

人们对偶然现象即随机现象规律性的探求经历了相当长的历史时期甚至可以追溯到“”远古的原始社会最早人们对事物的偶然性并不重视他们认为这是微不足道的而,,只注意那些有一定必然规律的现象但是严酷的现实使人们感到这种观点是错误的因为,,。。

火灾

、

水灾

、

地震等偶然现象一当发生“

,

便给人们的生命财产带来不可估量的损失。

。

随之,

,

又认为偶然现象是

可怕的”

,

“

严重的”面,。

但是

,

在实践中人们又发现,,,

,

事物的偶然性不。

仅有可怕的一面

,

也有造福于人类的一,

例如久旱后偶遇甘霖“

就是大喜之事”,

这样”。。

人

们开始探讨偶然现象发生的规律性然现象的规律性探求进展十分缓慢

由于生产力水平科学文化知识所限长期以来人们对偶甚至有人提出它是“

物辩证法产生

,

不可捉摸的神秘的才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统一中加深了认识

直到唯思格斯

在《路德维希的地方,

费尔巴哈和德国古典哲学的终结》一文中指出,

“

在表面上是偶然性起作用。

这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的,一

而我们的问题是在于发现这些规若考虑到概率与统计在早期难于,

律

。

”

马克思主义的认识论,

给人们指出了认识偶然性的正确方法。。

概率论的早期研究大约在十六世纪到十七世纪之间区分的辜实

它的历史可远溯到许多世纪之前,

根据科学史记载,

在。

!年就有人讨论过掷

般

子的问题

,

若把文明古国的抽签活动也加以考虑工业革命已开始蔓延,、

还可有更早的史料、

这段期间,、

,

欧洲,

进入文艺复兴时期

。

伴随工业发展提出的误差问题股票、

伴随航海事业发保险公司等加

展产生的天气预报问题

伴随商业发展而产生的贸易死亡率、

彩票和银行

之人们越来越需要了解的患病率

灾害规律等问题

,

急需创立一门分析研究随机现

此搞

乍忿月

日收到

象的数学学科学的研究,

。

概享论应社会实践的需要出现了,

。

在这个时期

,

意大利著名物理学家伽俐略。

一,,

就曾对物理实验中出现的误差进行了科并估计了他们产生的概率。

把误差作为一种随机现象,

有人认为

概牢论的起源是对赌博的研究,

这种看法是不全面的

。

正如

几

之谈及,

,

概率

论和其它学升一样

其生命力来源于生产力发展的需要,

但是

,

也应当尊重历史

早期刺激

数学家思考概率论的一些特殊问题是来自赌博者的请求于他们善于从具沐的赌博问题中际问题斗科。‘

。

那时的概率论工作者的贡献正在

看到它们的实际背景

,

并致力于把它们的研究成果从实,

家出来

,

上升为理论

,

使概率论成为一门有坚实社会基础,

应用日益广泛的学连一

以研究赌傅’题称著的惠更斯!年出版的《论赌博,

在他

中的计算》集子中有一段很深刻的话,

“

在任何场合我认为如果

读者仔细研究对象刻的理论的基础,。

当可注意到你所处理的不只是赌博而已,

其中实际上包含着很有趣很深,

”

在早期概率论文献中能性‘一,

有一些著名的赌博问题一

。

十七世纪有一个赌博者叫梅尔次中至少出现一个。

他根据自己民期的赌博经验次中至少出现一对后者概率为‘一,

,

认为掷一枚股子的可能性大一些‘

的可

要比掷两枚般子‘

实际上。

,

前者概率为

备

,

一

‘

,

器,

,

二

”

“,

,

二者差别甚微

梅尔的猜想是对

的

,

但他不是用计算而是凭统计经验。

可见其赌术之精

赌史之长

,

这是一种朴素的统计概“,

扩

率思想的应用

梅尔还问题“

数学家巴斯卡,

一局就算是赢。。

们号教过一个著名

的

分赌本

,

两个赌徒相约赌若千局

谁先赢,

在一人赢

局日,

另一人赢,

局

,

赌博中止

。

问赌本应怎样分才合理

”

年

月

巴斯卡将自己的解

法写信告诉数学家费尔玛这是最早的概率论论著朴素的数学期望的思想。

一

后来惠更斯参加了他们的讨论,

并将解法写进了他的著作《论赌博中的计算》他们的计算都有按赢得整局赌博的概率的比例来分赌本的思想,

即

。

关于

“

分赌本”问题

早在十六世纪西欧就有讨论。

。

路加

、

巴巧罗

一指出,

曾提

出按已赢局数的比例分配一书一总点数。

后来,

,

意大利医生加尔达诺。

一

这样做未考虑

到每个赌徒能够再赢的局数,

但他找不到正确的解法

论赌博》加尔达诺曾著《。

在他死后的,一

年出版

,

书中已计算了掷两颗或三颗般子有多少方法得到某也作过类似的计算,

更早的塔塔利亚七!纪末卜。

一,

值得一提的是

瑞士数学家贝努里,。

凌一

在概“,

率论研究上所作的贡献

贝努里对惠更斯没有解决的问题给出了解答

并第一次用到了母函观察即用“

数概念

。

贝努里的成就主要是从理沦上证明了大数定理”

很早以前。

,

加尔达诺就有了

次数很大时经验资料与某常数值趋近经过大量试验后稳定的频率里大数定理”

的猜想

。

这一猜想是后来概率的统计定义雏形的近仁‘值

苦为事件井一

作

发生概杯。

这一事实的理论证明在

贝努

中得到

“

一

年

月

,

彼得格勒科学院举行

集会

,

隆重纪念大数定律诞生二百周年,

。

从这个定理开始。。

,

概率论开始从

“

单个问题

,

具体

”解决的古典意义下解脱出来

成为了一般理论。

贝努里的另一重大贡献是研究了独立重复试验概型

由于这种概型研究的是只有两个可。

能结果的试验

,

并经多次重复的结果“

因此具有很普遍的意义”。

至今

,

在许多概率论专著中。

仍把独立重复试验概型称为的巨著《猜度术》,

贝努里概型 !。

贝努里去世以后

,

年瑞士巴塞尔出版了他

这本书汇集了他一生的主要研究成果,

年

英国夭文学家哈雷。

一

曾研究过

如何根据死亡率来计算寿命保险的保险费问题

初等概率时期

十八世纪。

八世纪

,

概率论发展很快。

,

几乎初等概率的全部内容都在这个期间形成

在这个期

间

,

概率论工作者以不是孤立地随机变量,

、

静止地研究事件发生的概率“

,

而是把随机现象视为一种特,

殊的变量上,

—有了变数辩证法进入了数学研究随机变量的分布,,

恩格斯在《自然辩证法》中指出”。

有了变数,。

运动进入了数学

随机变量的引入

,

数学家如鱼得水,

他们利用各种数学工最早研究了随机变,

从而使概率论的研究得到了一次飞跃。

法国杰出的数学家德莫哇佛尔准服从正态分布的情形

一。

发现了正态概率分布曲线

这一重大发现有着不可磨灭的功绩

因

为在众多的随机现象中分布的极限正态分布一一”正态分布的各种定理’’

,

服从正态分布的随机现象是占绝大多数的。‘

接着‘

,

他又发现’

,

许多’

,

尸

一

‘

’

‘’

‘

‘

’

一

,

并证明了二项分布当的情形冬”一”一以后发展成概率论的一个重要组成部分一’

‘

’

一

‘

一

”

一

’

梦

一

尔还叙述了乘法公式年,

,

导出了斯特灵

公式的等价形式一书中,

—。

这种证明某一分布的极限是一一”一一”心限哇中极定理德英佛’

一

’

一

’

一、‘

。

。

他的成果汇集于他

年在伦敦出版的《机会的学说英国数学家心普松会的性质与规律》所研究的问题中有一个对产品剔废及检查很重要的问题属于第一级,

一设有

一

的《机。

出版,

在书里,

,

他件,

件等级不同的产品。

属于第二级,

……

,

我们任意取其中的,

件

,

试求其中取得

件第一级

件第二级

对于探讨概率的统计定义和概率的几何定义

一的概率一

。

这就是现在常用到的多项分布的情形。

法国博物学家蒲丰,

,

一次,

了“

作出’很大的贡献出正面”

为了验证频率的稳定性,

他亲自将一枚均匀钱币投掷十分接近,。

得到,

的频率为

这一数据与理论数据是令人钦佩的。

这种不厌其烦的

试验精神

这种锲而不舍的科学态度

,

另外,

在蒲丰“

年完成

,

年出

或然算术试验》中提出了用投掷小针计算版的著作《的小针投掷在距离为

值的著名

”蒲丰

问题

将一根长

率是 p

二

琴 a了L

,

若用 p

、

一

件l f

(

。

的若干等距平行线上可以证明针与任一直线相交的概,,则得到二、为投掷次数;为针与直线相交次数 )

烈a

。

林

值得注意的是

,

蒲丰用这种机会游戏的方法

,

得到了前人过通多方努力才求出的得到二

二,

值

。 1 9 0 1

年

,

r川 )曾用此方法掷针 3 40 8次,意大利拉兹瑞尼 (L oZz a i

值为

3.1

1 5 4 9 2 9

近心程

度相当高法

。

后来人们根据这种几何概率的思想

,

—蒙特卡诺

(M o n te

—

r e o)法 ea

创造出了至今应用十分广泛的近似计算方

。

分析概率时期 (十九世纪 )在整个十八世纪和十九世纪初叶的作用,

,

概率论风行一时“

。

但是或“

,

由于一些学者过分夸大了它”

许多人企图把它应用到诸如诉讼之类的,。

精神

”

道德,

的科学上去

,

遭到了失

败

。

这以后。

欧洲的一些数学家认为概率论只是一种数学游戏、

不可能有重大的具有科学根

据的应用到忽视

甚至概率论在气体动力论“。

误差论”,

、

射击论等方面的卓有成效的应用也因此而受导致概率论的发展在西欧较长的一段时间,

这些错误后来被形容为

数学诞语

(十九世纪下半叶 )出现停滞法国数学家拉普拉斯 ( p ier re S im o n L a p lae,。

1 7

4 9。

o e s一 182 7)和波阿松 ( S im e n D n i

1 7 8 1 )是对概率论有重大贡献的学者但这两位数学家都错误地宣传过把一 18 40 s o n P i o““”概率论应用到伦理科学上去拉普拉斯认为大部分我们的审判都建立在证人证词的概

率上的,

,

所以把它们加以计算是一件很重要的事情。

。

”

他认为法院根据一定多数作判决是对

因为这相当于判断问题正确的概率

在更早的时间 (十八世纪末到十九世纪初 )许多讨论这类问题的论文均作了如下假设尹

:

各法官所作的结论是彼此独立的,。

,

他们达到问题正确解决的概率是一个常数,

。

因此

,

如

果有许多法官参加某问题的判决而且以大多数表决来作裁决则按贝努里大数定理几乎是不,:,会错判这种理论与实际差距很大根本原因在于证人的证词不一定都是正确的各法官

所代表的各阶层利益不可能完全一致者

较好地应用数学工具。

,

法官的表态受多种因素的干扰,

,

不可能相互独立,

。

虽然概率论在这段时期走了一段弯路,

但它的发展仍是主流,

。

在这个时期

概率论工作

使概率论的理论更加严密

基本上完成了概率论作为数学的一个分

支应具备的条件拉普拉斯 1812年在巴黎出版了他的经典著作 (分析概率论》 (T h e o r ie a n a ly tiq u e d esp re s) b a o b i l t。

这部著作对十八世纪概率论的研究成果作了比较完美的总结、

,

内容包括几何概。

率

、

贝努里定理,

最小二乘法等,

。

他还明确了概率的古典定义。

,

证明了中心极限定理中的德可以说,

莫哇佛尔密地

—系统地奠定概率论基础的第一个人,、

拉普拉斯形式

发展了概率论在观察和测量误差方面的应用。

他是严,

只是企图把任何一个概率问题因概率》。

不足之处在于他对概率的定义缺乏深入的讨论:《勉强纳入简单的等可能模型他还有很多著作论事件原、

《概率论报告》

、

《关于叙列的报告》,

《概率论的哲学探讨》

。

法国数学家波阿松通过研究

布了

他还推广了大数定律“

,

发现了在概率论中占重要地位的一个分布 1837在年他的《关于民型审判的概率研究》著作中, . .

—第一次提出,。

波阿松分

这一名称波阿松还是第一个把概率论用到解决射击问题上的数学家 . .德国数学家高斯 ( C a re F r ied rieh G auss一 1855 2 2 3)是历史上伟大大数定律,1 7 7 7 4 3 0

”

。

数学家之一乘法原理。

他的名字在数学史上与阿基米德,

、

牛顿

、

欧拉等并列

。 1 8 0 9

年

,

高斯发表了他。

的名著《天体沿园锥曲线绕日运动的理论》

书中首次叙述了在统计学中十分重要的最小二这个原理数学家勒让德在 1806年曾谈及过但高斯 1794年已开终使用此外高,,

斯对正态分布进行了深入的讨论

,

并运用于射击和误差理论, H

。

十九世纪后半叶概率论有了很大的发展非洲几何学的创始人罗巴契夫斯基 (H

这是同俄国的几位数学家的努力分不开的几 o 6 a、e B,

。

e

k

益益,

1 7 9 2

一 285 6)留下的丰富

数学遗产中有两篇概率论作品到的。

。

他并不研究概率论, .、o B e K

他

对概率论的兴趣是从几何学研究中得

布尼亚科夫斯基 (B

只

B y H

直介,

一 80 4

出版了俄罗斯的第一本教科书《数学概率论基础》

一。

589)为了在俄国推广概率论,

,

1

8 4 6

年书。

虽然他受拉普拉斯和波阿松的影响

,

伦理科学的错误观点但这部著作的意义仍是很重大的:“,既然我们至今还没有任何关于数学概率论的专书甚至布尼亚科夫斯基在该书绪言中说连译本都没有此外,,

中有不少论述是把概率论用于

“

”

则我们面临要用俄罗斯的术语来写一门还没有通行辞藻和表达方法的新科学。

这样的一种困难有功绩的。

”

事实上

,

布尼亚科夫斯基采用的术语大部分已在俄国的文献中生了根,

。

他广泛地在俄国推行把概率论应用到统计学

特别是在保险事业和人口统计上也是卓 6 e l T l b l B e

布尼亚科夫斯基的优秀学生切比雪夫 (n,

几

,

. 1 8 2 1 5

. 6 1

. . .一 189 4 12 8 )。

发表的概率论论文虽然只有四篇但它们对后来概率论的影响是难以评价的以他的名字命名: p: X一“‘ X,的“比雪夫不”式给况下随机《在未”分}{, 1概率的估计同时他作为基础知识在概率论和数理统计中起着十分变量与其期望之间差另

卜{聚异灯

”。

,

。

爪要的作用

。

切比雪夫的概率论思想为后来俄罗斯概率论学派的杰出工作奠定了基础技研究的性质,:来说这个学派的活动大致可分为两个时期第一个时期代表人物有马尔科夫 (A

A

a

M

. p k o b 1 8 5 6 6

. 1 4

. .一 1922 7 2 0)

,

李雅普诺夫 (A

M

几,

n y H o B

1 5 5 7一 1 9 1 8 )

。

这个. .

时期的特征是研究独立随机变量叙列和马尔科夫链概型(A

只

X

H

”H H

,

1

8 9 4

第二个时期的代表人物是辛钦 .1 1.18 . . 95 9 )和柯尔莫哥洛夫 (A H K o二 M o r o p 0 B一1, . 1 9 0 3 4 2 5。

。

一

)这个时期的特征是将实变函数的观点和方法引入概率论中切比雪夫的学生马尔科夫研究了一种离散的随机序列,。

这种序列的特点是

“

无后效性。

”。

后来人们称之为马尔科夫链”

广义的理论后来成为一类独立的学科。

科夫还推广了大数定律和中心极限定理的应用范围定理,

—。

随机过

程。

马尔

切比雾夫的另一个学生李雅普诺夫证明了较广泛条件下的中心极限定理

为了证明这个

他创造了特征函数方法一

从卜九世纪八十年代起

,

这种方法已成为概率论的基本工具之一英国生物学家高尔顿 (F一 191 1)和皮尔逊 G l a t 1 8 2 2 n o

。

(K

p e

a

r s o

n

1

5

5

7

一 19 36)建立了。

“

变异

”

、

“

相关

”

、

“

回归。

,

等概念,

,

并将概率论他提出了在数

应用于进化论和生物学研究间研究统计学,

顺便提及的是。

,

皮尔逊原是一个物理学家

他花了五十年的时,

还在 1911年于伦敦创办了世界卜第一所统计学校“

在 19 00年

理统计中占有重要地位的兀一分布曲线

现代概率时期 (二十世纪 )二十世纪以来 14,

概率论有了很大的发展

。

由千公现化体系的建立

,

使得概率论的理论更

加完备出来,

。

另外

,

极限理论的研究取得了一系列的结果。。

。

随机过程

,

数理统计从概率论中独立,

成为两门生命力极强的新学科,

概率的应用性越来越显示出来,

产生了应用概率的研。

究分支

并由此滋生出许多分支,。

概率论与其它学科相结合,

又出现了不少边缘学科,。

二十世纪初

随着概率论的发展十九世纪以来

人们越来越发现它的基础不牢固,

明确定义概率成为

一个非常突出的问题

,

数学各分支都纷纷出现公理化潮流。 1 9 3 3

集合论的发展使,

人们认清了事件

,

测度论的发展使人们了解了概率的实质

特别是实变函数论中的勒贝格测年柯尔莫哥洛夫顺应潮流,

度和积分的研究叙述了他的定义

,

都为概率公理化定义的出现创造了条件。

在他的 (概率论的基本概念》 (o e H o B n o le n o一 H oT o H,这个定义以勒贝格测度为理论基础。。

T e o p。”

B o p o二T H o e T e、

益)

一书中、

,

,

抓住概率的有界性

非负性,

可加性

三条最基本的性质来定义概率率论成为一个严谨的数学分支二十世纪以来,

这种定义在逻辑关系上和别的数学分支完全相仿,

从而使概

a e er美籍南斯拉夫数学家费勒 (W ill m F ll1 8 8 6,

1 9 0 6

一 19 70)及法国数学。 1 9 3 5

家列维 (P

一 197 1)在极限理论方面开展了一系列有益的研究工作 l im m一费勒找到了

满足中心极限定理的充要条件后来数学界称这个条件 ( L y

,

v e

年

,

会9

二

”,。

为费勒条件、

费勒在马尔科夫过程论的研究中对首先引用半群理论作了很有意义的研究。对现代数理统计作出决定性贡献的是英国数学家费歇尔 (R一 );;他以医学生物实验为背景提出了似然方法开创了试验设计方差分析确立了统计推断的基本方法 (二三十年代 ) J和皮尔逊原籍波兰的美国数学家奈曼 ( .

。

。

A

i F

h s

r e

1

8

,

、

、

。

,

N

y c

m

n a

)

从 19 28年起

,

建立了严格的假设检验理论。

。 1 9 4 6

年

,

瑞典数学家克拉梅尔 (H

a r C m r e )

出,

版了《统计数学方法》

这部著作收集了半个多世纪以来的数理统计研究成果。

。

它的出现

标志着数理统计作为一门独立的数学分支正式确立第二次世界大战以后德创立了统计判决理论。

,

数理统计的理论开始向纵深发展,

。

四十年代末

,

美国数学家瓦尔。

他的想法是把形形色色的统计问题归并在一个统一的模型下以便进

行统一的处理

。

许多数理统计分支,,

如参数估计

,

都受到这种理论的影响而得到发展,,,,

由于、

概率论中极限理论的发展此而得到迅猛的发展近年来,。

正态分布作为统计量的地位越来越明显,

统计中的大样本理论由非。

参数估计中的极大似然估计稳健统计自适应估计随机逼近 s参数统计等都发展较快另外贝叶斯 (B ay e )统计学派在这个时期复兴并发展由于电子计算机的广泛应用,,

统计中的大量计算工作变得容易,

。

另一面方

,

计,,

算机在短时间内处理大量数据的功能数理统计中纯数学比重加大又出现一种理论与实际“,

在一定程度上降低了数学模型的作用。

。

近几十年来

所用的数学工具越来越精深。

许多实际工作者感到难于问津

分家”的趋势

随机过程产生是近代概率论发展的重要标志之一或随机变量的分布,,

古典概率论主要研究随机事件的概率,。

而现代概率论则主要研究无穷多个随机变量的集合即研究随机过程继马尔可夫链产生后柯尔莫哥洛夫建立了马尔科夫过程的一般理论;美国数学家维

纳 er (N o r b ert W ie )由于研究控制论的需要首先讨论了平稳过程的预测理论; n一 1964 193 4年苏联数学家辛钦建立了平稳随机过程理论; 1937年克拉梅尔开始研究随机过程的, 1 8 9 4

,

,

,

统计理论;美国数学家杜勃 (J的工作。

L D o ) b

进一步研究随机过程

,

在经典鞍论上做了发展性

1

5

随机过程按研究的性质分类等。

它与其它学科结合

,

又可分为马氏过程平稳过程软正态过程点过程:又产生了许多边沿分支与微分方程数理统计数论几何计,,,、、、、、

、

,

算

、

数学相结合。。

,

出现了随机微分方程,

过程统计

、

数论中的概率方法点过程现代理论。、

、

几何概率

、

计算概

率等等

近十年间

还出现了无穷质点的随机过程,

、

马氏过程与位势论等

新研究方向1 9 5 5

这种应用性很强的研究方,;向在社会科学数量化精确化中在日益需要的自动控制和管理学中越来越受到人们的重视应用概率的诸分支又有:排队论可靠性理论马尔科夫决策规划对策论信息论:随机规划等等还有与其它学科的结合分支生物统计药学统计军事统计气象统计

年

,

在美国数学年会上、

第一次提出了、

“

冲应用概臻、

,

。

、

、

、

,

、

、

、

、

水文统计等等,可以预见的分支,

。

随着科学技术的发展、

,

概率论的理论与应用也将得到更大的发展、

。

作为数学

概率论的高度抽象性。

广泛应用性

休系严谨性的特点在发展中将愈来愈明显地显

示出来

参考文献 .,,, l〔〕梁宗巨世界数学史简编辽宁人民出版社 1 9 8 0,,双e H K o,〔2〕 B关于概率论的若干问题数学进展八e n K o概率论教程,丁寿田译, 1 9 5 9〔3〕 B

B

n

e

. ( 1 9 5 8 )

r

B

r

n

e

〔4〕王梓坤

,

概率论今昔、

,

百科知识

, 7 (

1 9 8

。 )

。

.,,, 2 1 9 8 2〔5〕陈希孺谈谈数理统计自然杂志 ( ),,,〔6〕陆传荣林正炎概率论初步浙江人民出版社,,,〔7〕董泽清应用概率自然杂志 1 9 8 2

. 1 9 7 9

群

(

上接第1 7页)‘ (y )={“2”

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〔 1〕罗春松

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,〔2〕官民孝

形位误差的分析

,

四川机械

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附记:命题 8是罗春松老师给出的,

。

延用文献〔 1〕中的编号顺序6

。

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