机械工程测试技术习题及解答答案

《机械工程测试技术》

习题与题解

第二章 习题解答

2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？

2-2．信号分类的方法有哪些？

22-3．求正弦信号x?t??Asin?t的均方值?x。 解：

1T21T22???x?t?dt??Asin?tdtT0T022T222T21?cos2?t2?A?sin?tdt?A?dt 00TT222?Tsin?T?A2?A????T?44??22xA2也可先求概率密度函数：p(t)?则：???xp(x)dx?。

??222?A?x12x?22-4．求正弦信号x?t??Asin(?t??)的概率密度函数p(x)。

xdt1??,?Adx?1Ax1?()2A?12解： ?t?arcsin?A?x2

代入概率密度函数公式得：

p(x)?lim?t?12dt1?2?lim??????x?0?x?x?0T??dxT?TA2?x2??

21??222??A2?x2?A?x?x

-T

t

-T1

T1

T

2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱

解 在x(t)的一个周期中可表示为

?1x(t)???0t?T1T1?t?T2

该信号基本周期为T，基频?0=2?/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn 当n=0时，常值分量c0：

c0?a0?当n?0时，

2T11T1dt? ??T1TTT1?T1cn?最后可得

1T1?jn?0t1?jn?0tedt??eT??T1jn?0T

?ejn?0t?e?jn?0t?cn???n?0T?2j?2cn?其幅值谱为：cn?

注意上式中的括号中的项即sin (n?0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为

2sin(n?0T1)2??sinc(n?0T1)，n?0

n?0TT2T1sinc(n?oT1)，相位谱为：?n?0,?,??。频谱图如下： T

Cn 2T1/T

?/T1 ?0?0

Cn

2T1/T

?/T1

?0?0 ?n ? ? 0??

2-6．设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。 即：若有

FSx?t????cn

FS

则 x?t?t0????e'cn??j?0t0cn

证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t- t0)，则其对应的傅立叶系数为

1T?Tx?t?e?j?0tdt

令??t?t0，代入上式可得

'cn?1T?x???eT?j?0(??t0)d?d?

1T?e?j?0t0cn?e?j?0t0因此有

?x???eT?j?0?FSx?t?t0????e?j?0t0cn?e?j(2?/T)t0cn

同理可证

FSx?t?t0????e?j?0t0cn?e?j(2?/T)t0cn

证毕！

2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度

解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数

2T1T?jn?0tCn??edt?1sinc(n?0T1)

T?T1T则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有

X(?)?2?2T1sinc(n?0T1)?(??n?0) ?Tn????此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频?0以及所有谐频处，其脉冲强度为4?T1/T0被sinc(t)的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。

2-8．求符号函数的频谱。

?1?解：符号函数为 x(t)???1?0?t?0t?0 t?0可将符号函数看为下列指数函数当a?0时的极限情况

??eatt?0解 x(t)?sgn(t)??at

et?0????0X?f???x?t?e?j2?ftdt?lim??e?at.e?j2?ftdt??eat.e?j2?ftdt??????a?0??0???11 ?lim???a?0a?j2?fa?j2?f????j?f?1j?f2-9．求单位阶跃函数的频谱：

解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即

t?0?1?(t)??1/2t?0

?0t?0?1?(t)??1?sgn(t)?

2所以：

?(f)???(f)?2?j?f??1?1?

2-10．求指数衰减振荡信号x?t??e?atsin?0t的频谱。

1??atX(?)?esin?0t?e?j?tdt?2?01??(a?j?)t解： ?esin?0td ?02?jsin?0t?(e?j?0t?ej?0t)21j??(a?j??j?0)tX(?)?()?e?e?(a?j??j?0)tdt2?20?1j?11?()??? 2?2?(a?j?)?j?0(a?j?)?j?0????

?0122?(a?j?)2??0FTx?t????X?f?

2-11．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性 即：若 则

FTx?t?e?j2?f0t???X?f?f0?

证明：因为

F[e?i2?f0t]??(f?f0)

FTx?t?e?j2?f0t???X?f0?*F[e?i2?f0t]

又因为

FTx?t?e?j2?f0t???X?f0?*?(f?f0)?X?f?f0?

证毕！

2-12．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性

FT即：若 x?t????X?f? 则

式中x*(t)为x(t)的共轭。

FTx*?t????X*??f?

证明： x?t??*?????X(f)ej2?ftdf

*??X?f????x(t)e?j2?ftdt??????? 由于

????x*(t)ej2?ftdt??上式两端用 -f 替代 f 得

X*??f???????x*(t)e?j2?ftdt

上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！

特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)= x(t)，可得X(f)共轭对称，即

X??f??X*?f?

-13．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性 即：若 x?t????X?f?

FT则 X?t????x??f? 证明：

FT由于 x(t)?

以 -t 替换 t 得

?????X(f)ej2?ftdf X(f)e?j2?ftdf X(t)e?j2?ftdt

x??t???上式 t 与 f 互换即可得

????x??f???证毕。

特殊情况,当x?t?为偶函数时，

????即 X?t??x??f?

FTX?t????x?f?

2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：

g?t??且已知

?at2 1?t2x(t)?eFT???X(f)?2aa??2?f?22

解：当a=2?，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2?，根据傅里叶变逆换有

e?2?t????2?2????2??2??2?f?22?e?2?tej2?ftdf?12?2j2?fte???1?f2df

??等式两端同时乘以2?，并用-t替代变量t得

??2?j2?ftedt

??1?f2??交换变量t和f得

2?e上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以

?2?f??2e?j2?ftdt 2??1?t??fg(t)?

2-15．所示信号的频谱

2?2?FT???G(f)?2?e1?t2

x(t)?1x1(t?2.5)?x2(t?2.5) 2 式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。

解：根据前面例2-15求得x1(t), x2(t)的频谱分别为

X1(f)?sin?fsin3?f 和X2(f)??f?f根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：

X(f)?e?j5?f?1??2sin?f?sin3??

?f??

x(t)tx2(t)x1(t)tt图2-31

2-16．求信号x(t)的傅里叶变换

x(t)?e解：由例2-16已知 e?at?ata?0

1

a?j2?f?atat注意到x(t)为实偶函数， t >0 时x(t)?eu(t)，t<0 时x(t)?eu(?t)，所以

x(t)?e?atu(t)?eatu(?t)，根据线性叠加特性

FTu(t)???X(f)?Fe?atu(t)?Featu(?t)

FT又根据时间比例特性有x??t????X??f?，所以

1FTeatu(?t)???

a?j2?f最后得

????112a??2 2a?j2?fa?j2?fa??2?f?在实际应用中，一般a为?0的实数

1?f?FT 则 x?at????X??

a?a?X(f)?

2-17．已知信号x(t)试求信号x(0.5t) ，x(2t)的傅里叶变换

?1,x(t)???0,解：由例可知x(t)的傅里叶变换为

t?T1 t?T1X(f)?2T1sinc2?fT1

根据傅里叶变换的比例特性可得

如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,

Fx(0.5t)??F?x(2t)??1f??2T1sinc?2?T1??4T1sinc?4?fT1?0.50.5??1f??2T1sinc?2?T1??T1sinc??fT1?22??这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间

尺度压缩(a>1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。

2Tx(t/2)1a=0.5-1/2T1/2T-Tx(t/2)Tta=1.0-1/Tf1T1/T-T/2T/2x(t/2)t1 f1a=2.0-2/TT/21 2/T-T/4T/4tf

题图2-17 时间尺度展缩特性示意图

2-18．求同周期的方波和正弦波的互相关函数

解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移τ秒后计算：

3T??T?1?T4??Rxy(?)????1?sin?tdt??T41?sin?tdt??3T?1?sin?tdt?????T?044?3T??T??1??T44?cos?t?cos?t?cos?t03TT????4?4?T?????12??????3??????3??? cos????1?cos????cos????1?cos?????????????2222??????????1?4sin??2?2?sin??

?2-19．求信号x(t)?e?atu(t)的自相关函数。 解：由定义

Rx(?)???e????a?x(t)x(t??)dt??e?atu(t)e?a(t??)u(t??)dt????????

e?2atu(t)u(t??)dt其中积分的被积函数的非零区间为t?0与t???0的交集，即t?max(因此，当??00,??)。时，上式为

Rx(?)?e?a??e?2atdt?e?at?(01?2at?1?ate)0?e ?2a2a当??0时，则有

Rx(?)?e?a??e?2atdt?e?a??(???1?2at?12a?1a?e)???e?a?(0?e)?e ?2a?2a2a综合有

Rx(?)?1?a? e2a

2-20．下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。 （1）f(t)?asin?53t?（2）f(t)?asint?bcost （12?）

633?8（3）f(t)?asin(t?) （?）

433（4）f(t)?acos(t?bcos?t （30）

?4t??5) （8）

2-21．如图所示，有N?2n?1个脉宽为?的单位矩形脉冲等间隔（间隔为T??）地分布在原点两侧，设这个信号为x(t)，求其FT。

解：由题意，

x(t)?m??n?xn0(t?mT)

其中x0(t)?G?(t)，其FT为X0(?)??sinc(??2)。根据FT的时移特性，可以求得

ejm?T?e?j(n?1)?T?n?jm?T?X(?)?X0(?)??e??X0(?)?1?e?j?T?m??n?ej?T/2(ejN?T/2?e?jN?T/2)?X0(?)??j?T/2j?T/2e(e?e?j?T/2)(ejN?T/2?e?jN?T/2)?X0(?)?(ej?T/2?e?j?T/2)N?Tsin()2?X0(?)??Tsin()2下面分析一下所求的结果。

N?T)2m?2当??时，由罗彼塔法则可以求得?N，因此X(?)?NX0(?)，是单

?TTsin()22m?个矩形脉冲频谱X0(?)的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当??（m不

NTN?Tsin()2是N的倍数）时，。 ?0，这是N个谱相互抵消的结果。见图（b）?Tsin()2sin(可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点

2m?处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当N??时，时域信号变成了周期矩形脉T2m?冲信号，而频域则变成了只在离散点??处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变成

T??了冲激信号（因为能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在FT。

2-22．“时域相关性定理”可描述如下

F[Rxy(?)]?X(f)?Y(f)

试证明。

下面给出两种证明方法。 证明1：

F[Rxy(?)]????x(t)?y*(t??)dt?e?j2?f?d???????????????x(t)?y*(t??)e?j2?f?d??dt???????????y*(t??)e?j2?f(??t)d(??t)?dt?e?j2?ft ??x(t)??????????????????x(t)e?j2?f?dt???y*(?(??t))e?j2?f(??t)d(??t)??????????X(f)?Y*(f)?这里利用式：F[y*(?t)]?Y*(f)，是FT的“反褶共轭”性质。 证明2：

根据相关运算与卷积运算之间的关系

Rxy(?)?x(?t)?y(t)

利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。

在式中，令x?y，则可得

自相关的傅里叶变换

F[Rx(?)]?X(f)?X*(f)?X(f)

式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对”。

利用FT的奇偶虚实性，若y(t)是实偶函数，那么Y(f)也是实偶函数。这样我们就得到了一个特例结论，

2F[Rxy(?)]?X(f)?Y*(f)?X(f)?Y(f)

即当y(t)是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。 2-24．帕斯瓦尔定理

?证明：

???x(t)dt??2???2X(f)df

????f(t)dt??2????x(t)x*(t)dt*????x(t)?X(f)ej2?ftdf?dt??????????*?j2?ft??x(t)??X(f)edf???dt?????????*???X(f)???x(t)e?j2?ftdt??df??????(IFT定义)

(交换积分次序)(FT定义)????

??????X*(f)X(f)dfX(f)df2

第三章 习题及题解

1

试说明二阶装置的阻尼比ζ多采用ζ＝（0.6~0.7）的原因

答： 二阶系统的阻尼比ζ多采用ζ＝（0.6~0.7）的原

因，可以从两个主要方面来分析，首先，根据系统不失真传递信号的条件，系统应具有平直的幅频特性和具有负斜率的线性的相频特性，右图所示为二阶系统的幅频特性和相频特性曲线，严格说来，二阶系统不满足上述条件，但在一定的范围内，近似有以上关系。在特性曲线中可以看出，当ω﹤0.3ωn时，ζ对幅频特性影响较小，φ(ω)－ω曲线接近直线。A(ω)在该范围内的变化不超过10％，可作为不失真的波形输出。在ω﹥(2.5～3.0)ωn范围内φ(ω)接近180?，且差值甚小，如在实际测量或数据处理中用减去固定相位差的方法，则可以接近不失真地恢复被测输入信号

A(?)543210?(?)0????????????????????????????????????1122??????-90?????????????????????????????????????33?????n?????n-180?二阶系统的幅频特性曲线和相频特性波形。若输入信号的频率范围在上述两者之间，由于系统的频率特性受ζ的影响较大，因而需作具体分析。分析表明，当ζ＝0.6～0.7时，在ω＝(0～0.58)ωn 的频率范围中，幅频特性A(ω)的变化不超过5％，此时的相频特性曲线也接近于直线，所产生的相位失真很小。

其次其他工作性能综合考虑，单位阶跃信号输入二阶系统时，其稳态输出的理论误差为零。阻尼比将影响超调量和振荡周期。ζ≥1，其阶跃输出将不会产生振荡，但需要经过较长时间才能达到稳态输出。ζ越大，输出接近稳态输出的时间越长。ζ﹤1时，系统的输出将产生振荡。ζ越小，超调量会越大，也会因振荡而使输出达到稳态输出的时间加长。显然，ζ存在一个比较合理的取值，ζ一般取值为0.6～0.7。

另外，在斜坡输入的情况下，ζ俞小，对斜坡输入响应的稳态误差2ζ/ωn 也俞小，但随着ζ的减小，超调量增大，回调时间加长，当ζ＝0.6～0.7时,有较好的响应特性。

综上所述，从系统不失真传递信号的条件和其他工作性能综合考虑，只有ζ＝0.6～0.7时，才可以获得最佳的综合特性。

2 试述信号的幅值谱与系统的幅频特性之间的区别 （1）对象不同，前者对象是信号；后者的对象是系统；（2）前者反映信号的组成，后者反映系统对输入信号不同频率成分的幅值的缩放能力（3）定义不同：处理方法各异：前者是对信号付氏变换的模，后者是输出的付氏变换与输入的付氏变换之比的模

3 已知信号

x(t)=5sin10t+5cos(100t-π/4)+4sin(200t+π/6)，通过传递函数为

H(s)?1的测试系统，试确定输出信号的频率成分并绘出输出信号的幅值谱。

0.005s?1解： 将输入信号的各次谐波统一写成Xisin(ωit+φxi)的形式 x(t)=5sin10t+5sin(100t+π/4)+4sin(200t+π/6)

信号x(t)由三个简谐信号叠加而成，其频率、幅值、相位分别为

频率 ω1=10 ω2=100 ω3=200 幅值Xi A1=5 A2 =5 A3=4 相位φxi φx1=0 φx2=π/4 φx3=π/6 设输出信号为y(t)，根据频率保持特性，y(t)的频率成分应与x(t)的频率成分相同，各频率成分的幅值和相位可由输入信号的幅值和相位与测试系统频率响应特性H(ω)确定，根据题设条件，可得系统的频率响应函数 H(?)?系统的幅频特性

1

0.005?j?11?(0.005?)? ?(?)??arctg0.005频率 ω1=10 ω2=100 ω3=200 A(?)?12

输出信号y(t)的频率、幅值、初相位分别为

幅值Yi= A (ωi) Xi Y1=4.99 Y2 =4.47 Y3=2.83 相位φyi=φ(ωi)+φxi φy1=－0.05 φy2=0.32 φy3=－0.26

绘出y(t)的幅值谱如右图。

?)Y(5432104080120160200?4 ω 在对某压力传感器进行校准时，得到一组输入输出的数据如下：

正行程平均值 反行程平均值 0.1 220.2 221.3 0.2 480.6 482.5 0.3 762.4 764.2 0.4 0.5 0.6 1532.8 1534.1 0.7 0.8 0.9 2211.6 2212.1 992.3 1264.5 993.9 1266.1 1782.5 2012.4 1784.1 2013.6 试计算该压力传感器的最小二乘线性度和灵敏度。

解 由校准数据得知，该压力传感器近似线性特性，迟滞误差较小，可用平均校准曲线来计算 根据3－14式

数据序号 1 0.1 220.75 0.01 2 0.2 481.55 0.04 3 0.3 763.3 0.09 4 0.4 993.10 0.16 5 0.5 1265.30 0.25 6 0.6 1533.45 0.36 7 0.7 1783.3 0.49 8 0.8 9 0.9 ∑ 4.5 xi yi 2013.0 2211.85 11265.6 0.64 0.81 2.85 xi2xiyi 22.08 96.31 228.99 397.24 632.65 920.07 1248.31 1610.4 1990.66 7146.71

x?y?n14.5x??4.5＝0.5 ?in9111265.6y??1251.73 ?in9n2Lxx??(xi?x)(xi?x)??xi?nx2?2.85?9?0.52?0.6

i?1i?1Lxy??xiyi?nxy?7146.71?9?0.5?1251.73?1513.93

i?1n1513.93?2523.2

Lxx0.6b?y?mx?1251.73?2523.2?0.5??9.87

m??最小二乘拟合直线方程式为

y=2523.2x－9.87-

再将各个输入值xi代入上式，依次找出输出－输入校正值与拟合直线相应点数值之间的最大偏差（见表？？？？），根据式(3-10)，

线性度＝ ?Lxy?LmaxA?100%??49.16?100%??2.2%

2211.850.4 993.10 0.5 1265.30 0.6 1533.45 0.7 1783.3 0.8 2013.0 0.9 2211.85 压力传感器的平均灵敏度用输出量和输入量的测量范围之比表示，

xi yi yi?y 0.1 220.75 0.2 481.55 0.3 763.3 242.45 494.77 -21.7 -13.22 747.09 999.41 1251.73 1504.05 16.21 -6.31 13.57 29.4 1756.37 2008.69 2261.01 26.93 4.31 -49.16 yi

S?y2211.85?220.75?mv?(kPa)?1?2488.88mv/kPa x0.9?0.1S=k=2523.2mv/kPa

也可以由拟合直线方程的斜率得到

5 试证明由若干个子系统串联而成的测试系统的频率响应函数为

H(?)??Hi(?)

i?1n由若干个子系统并联而成的测试系统的频率响应函数为

H(?)??Hi(?)

i?1n证明：图示为两个频率响应函数各为H1(?)和H2(?)串联而成的测试系统，假设两个子系统之间没有能量交换，系统在稳态时的输入和输出分别为x(t)、y(t)，显然，根据频率响应函数的定义，有

H(?)?即

Y(?)Y(?)Z(?)?? X(?)Z(?)X(?)H(?)?H1(?)?H2(?)

对于n个子系统串联而成的测试系统，可以将前(n-1)个子系统视为一个子系统，而把第n个子系统视为另一个子系统，应用两个子系统串联时频率响应函数的结论并递推可得 H(?)?n?H(?)

ii?1对于n个子系统并联而成的测试系统，如图所示，系统的稳态输出

y(t)?y1(t)?y2(t)?...?yn(t)

nY(?)Y1(?)?Y2(?)?...?Yn(?)∴ H(?)????Hi(?)

X(?)X(?)i?1证毕。

6 某一阶温度传感器，其时间常数τ=3.5 (s)，试求：(1) 将其快速放入某液体中测得温度误差

在2％范围内所需的近似时间。2 ) 如果液体的温度每分钟升高5?C，测温时传感器的稳态误差是多少？

解：(1) 将温度传感器快速放入某液体中测量温度，属于其实质是阶跃输入

根据阶跃输入状态下，一阶系统的响应特征，当t约为4τ时，其输出值为输入值的98.2%，

(2) 如果液体的温度每分钟升高5?C，传感器的输入信号为斜坡输入

x(t)=5t/60 其拉氏变换为 X(s)=5/60s2 一阶系统的传递函数

H(s)?Y(s)1?X(s)?s?1Y(s)?H(s)?X(s)?∴ y(t)?L[Y(s)]? 测温时传感器的稳态误差

e =5τ/60=0.29

7 试述线性系统最主要的特性及其应用

?151 ?260s(?s?1)5?[t??(1?e?t?)] 60线性系统最主要的特性是线性特性频率保持特性。

根据式3-2，线性特性表明，对于线性系统，如果输入放大，则输出将成比例放大；同时作用于线性系统的两个输入所引起的输出，等于两个输入分别作用于该系统所引起的输出的和，当多个输入作用于线性系统时，也有类似的关系。据此，在分析线性系统多输入同时作用下的总输出时，人们常常将多输入分解成许多单独的输入分量，先分析各分量单独作用于系统所引起的输出，然后将各分量单独作用的输出叠加起来便可得到系统总输出。

频率保持特性指线性系统的稳态输出y(t)，将只有和输入频率相同的频率成份，既

若 x(t)? 则 y(t)??Xi?1nii?1ni?ej?it

j(?it??i)?Y?e

也就是说，输出y(t)与输入x(t)保持相同的频率成分，由线性系统的叠加特性可知，多个

简谐信号叠加的输入，其输出必然有也只能有有与输入频率相同的频率成分。在测试工作中，人们常利用该性质，判断输出信号的信源，分析系统的传递特性，改善系统的信噪比，例如，一个系统如果处于线性工作范围内，当其输入是正弦信号时，它的稳态输出一定是与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值和相位有所变化。若系统的输出信号中含有其他频率成份时，可以认为是外界干扰的影响或系统内部的噪声等原因所至，应采用滤波等方法进行处理，予以排除。

28?n2.48 试求由两个传递函数分别为 和的两个子系统串联而成的测

3.6s?0.4s2?1.3?ns??n2试系统的总灵敏度（不考虑负载效应）

解：在不考虑负载效应的条件下，由题给传递函数的两个子系统串联而成的测试系统的频率响应函数为

228?n2.4 H(?)??223.6?j＋0.4-??1.3?n?j??n系统的总灵敏度为

2S＝H(?)??02.428?n??0.4?n22?22.4

9 对某静态增益为3.0的二阶系统输入一单位阶跃信号后，测得其响应的第一个峰值的超调量

为1.35，同时测得其振荡周期为6.28s，试求该测试系统的传递函数和系统在无阻尼固有频率处的频率响应。

解：据题意，被测二阶系统是一个欠阻尼二阶系统，其最大超调量M1和阻尼比ζ的关系式

?＝（1

)2?1?lnM1将M1＝1.35/3.0＝0.45 代入上式，可得ζ＝0.24 其有阻尼固有频率为 ?d?2???n1??2 Td式中Td为振荡周期，由题设条件Td＝6.28，解出ωn＝1.316 该系统的传递函数为

H(s)?S?n22s2?2??ns??n?5.20 2s?0.63s?1.73系统的频率响应函数

?n2H(?)?2(?j)2?2??n?j??n

H(?)

?＝?n?3?n22(?j)2?2??n?j??n?6.25j10 试述脉冲响应函数与频率响应函数、传递函数之间的联系。

当输入信号的作用时间小于0.1τ（τ为一阶系统的时间常数或二阶系统的振荡周期）时，则可以近似地认为输入信号是单位脉冲信号δ(t)，其响应则称为单位脉冲响应函数，又称为权函数，根据δ(t)函数的筛选性质：

X(?)???(t)e?j?tdt?1

0?立即有Y(?)?H(?)X(?)?H(?) 对上式两边求付氏逆变换：

y(t)?F?1[H(?)]?h(t)

以上推导可以看出在单位脉冲信号输入的时候，系统输出的频域函数Y(s)，就是系统的频率响应函数H(ω)，而其时域响应函数y(t)，就是脉冲响应函数h(t)，它表示测试系统在时域内的动态传递特性。

第四章 习题与题解

1、余弦信号被矩形脉冲调幅，其数学表达式为

??cos2?f0txs(t)????0试求其频谱

t?Tt?T

解：设xs(t)?cos2?f0t?w(t)

??1其中 w(t)????0t?Tt?T

11F[cos2?f0t]??(f?f0)??(f?f0)22F[w(t)]?????w(t)e?j2?ftdt??e?j2?ftdt?2Tsinc2?fT?TT

11F[xs(t)]?2Tsinc2?fT?[?(f?f0)??(f?f0)] 22?Tsinc[2?(f?f0)T]?Tsinc[2?(f?f0)T]

2、已知余弦信号x(t)?cos2?f0t，载波z(t)?cos2?fzt，求调幅信号xm(t)?x(t)?z(t)的频谱。

解：

11F[x(t)]??(f?f0)??(f?f0)2211F[z(t)]??(f?fz)??(f?fz)22 1111Xm(f)?[?(f?f0)??(f?f0)]?[?(f?fz)??(f?fz)]22221?[?(f?fz?f0)??(f?fz?f0)??(f?fz?f0)??(f?fz?f0)]4

3、求余弦偏置调制信号xm(t)?(1?cos2?f0t)cos2?fzt的频谱。

解：

Xm(f)?F[cos2?fzt]?F[cos2?f0t?cos2?fzt]11?[?(f?fz)??(f?fz)]?[?(f?fz?f0)??(f?fz?f0) 24??(f?fz?f0)??(f?fz?f0)]4、已知理想低通滤波器

?j2?f?0??A0eH(f)????0f?fc其它

试求当?函数通过此滤波器以后的时域波形。

解：根据线性系统的传输特性，将?函数通理想滤波器时，其脉冲响应函数h(t)应是频率响应函数H(f)的逆傅里叶变换，

由此有：

???fch(t)????

H(f)ej2?ftdfA0e?j2?f?0ej2?ftdf

?fc?2A0fcsinc[2?fc(t??0)]第五章习题解

5-1. 画出信号数字分析流程框图，简述各部分的功能。

解：下图为信号数字分析流程框图，整个系统由三部分组成：模拟信号予处理，模数转换和数

字运算分析。

图5-2 信号数字分析框图

模拟信号予处理 模拟数字转换 数字分析

器抗频混滤波幅值适调 采样保持 幅值量化 运算分析 显示输出 x?t? x??t?

x?n??

xn

1) 模拟信号予处理主要有抗频混滤波和幅值适调，也可能包括抗频混滤波前的去直流分量。输入模拟电压信号x?t?经抗频混滤波，变为有限带宽为fc的信号，为离散采样作准备；幅值调节经过放大或衰减，将信号的幅值调整一定值（一般是?5V）的x??t?，与量化器的输入电平相适应。这一予处理虽然仍采用模拟手段实现，但由于是信号数字分析系统中特有的和不可缺少的部分，通常也把它归于信号数字分析系统。

2) 模拟数字转换完成模拟电压离散采样和幅值量化，将模拟电压信号转换为数字码。首先，采样保持器根据电压信号x??t?的带宽，按照采样定理选定适当的采样频率fs>2fc（要考虑抗频混滤波器的截止特性）将x??t?采样为离散序列x?n??，这样的时间轴上离散而幅值模拟的信号通常称为采样信号。而后，量化装置将每一个采样信号的电压幅值转换为数字码，最终把电压信号x??t?变为数字序列xn。

3) 运算分析单元接收数字序列xn，将其分为点数固定的一系列数据块，实现信号的时域截断和加窗，进而完成各种分析运算，显示、输出分析结果。

5-2 .模数转换器的输入电压为0～10V。为了能识别2mV的微小信号，量化器的位数应当是多

少？若要能识别1mV的信号，量化器的位数又应当是多少？ 解:

设量化装置的位数为m。

若要识别2mV的信号，则

10?2?10?3，得m?13 m210?1?10?3，得m?14 m2若要识别1mV的信号，则

5-3. 模数转换时，采样间隔?分别取1ms，0.5ms，0.25ms和0.125ms。按照采样定理，要求抗

频混滤波器的上截止频率分别设定为多少Hz（设滤波器为理想低通）？ 解:

采样间隔?取1ms，0.5ms，0.25ms和0.125ms，分别对应的采样频率为1000Hz，2000Hz，4000Hz和8000Hz。根据采样定理，信号的带宽应小于等于相应采样频率的一半。所以，抗频混滤波器（理想低通滤波器）的上截止频率应分别设为为500Hz，1000Hz，2000Hz，4000Hz。 5-4. 连续信号x?t?的频谱如下图所示。取采样间隔?=2.5ms，求离散信号x?n??在的频谱

X??f?。

解:

此题的关键是要掌握在不满足采样定理时，信号超出奈魁斯特频率的频谱部分将以奈魁斯特频率为分界线，向低频端折叠这一频混现象。

采样间隔?=2.5ms，采样频率400Hz，奈魁斯特频率200Hz。信号频谱超出200Hz的部分（200Hz～300Hz）将以200Hz为分界向内折叠并叠加在原频谱的200Hz～100Hz的范围之上。下左图是原连续信号的频谱，下右图是经400Hz采样后的离散信号的频谱（只画出?200Hz的一个周期）。

5-5．某信号x?t?的幅值频谱如下图。试画出当采样频率fs分别为1)2500Hz，2) 2200Hz，3) 1500Hz时离散信号x?n??在0～fN之间的幅值频谱。

A(f) 2.82 1.8100 200 300 f Hz

100 200 f

1 1 0 100 200 300 f Hz 题图 5-4 1 X?f? X?f? X??f? 2 f Hz

解 原理同题4

1) 当fs =2500Hz时，fN =1250Hz，大于信号的最高频率，满足采样定理。离散信号的频谱在0～fN的频率范围内与原信号的频谱相同。

2) 当fs =2200Hz时，fN =1100Hz，小于信号的最高频率，不满足采样定理。原信号中，高于奈魁斯特频率fN的1200Hz的谱线以fN为界向低频方向折叠，变为1000Hz,产生频混。此时离散信号的频谱如下：

3) 当fs =1500Hz时，fN =750Hz，小于信号的最高频率，不满足采样定理。原信号中，高于奈魁

0 200 800 1000 fN＝1100Hz f Hz

2 A(f) 2.81.80 200 800 fN=1250Hz 1200 2 A(f) 2.81.8f Hz

斯特频率fN的800Hz和1200Hz的谱线以fN为界向低频方向折叠，分别变为700Hz和300Hz，产生频混。此时离散信号的频谱如下：

5-6. 已知某信号的截频fc＝125Hz，现要对其作数字频谱分析，频率分辨间隔?f＝1Hz。问： 1)采样间隔和采样频率应满足什么条件？2)数据块点数N应满足什么条件？3)原模拟信号的记录长度T＝? 解:

1) 信号的带宽为125Hz，采样频率应该大于等于它的两倍，所以 fs?250Hz ， ??10 200 300 700 fN=750Hz f Hz

2 1.8A(f) 2.8fs?4ms。

2) 频率分辨间隔?f＝1Hz，所以N??1 s。如果取??4ms，则 N?250

若N 值取基2数，则N＝256。

3) 模拟信号记录长度T?N?理论上至少应在1.024秒以上。.

第八章题解

8-1 拟用固有频率fn=100Hz，阻尼比ξ= 0.7的惯性式测振装置（如图）测频率为f = 45Hz的加

速度时，其振幅误差为多少？又，若用此装置所记录频率为5Hz之振动位移的振幅范围为±0.1mm，则可测试的最大加速度为多少？

kmcxmxg 题图 8-1

视各频带声压级为独立声源产生的声压级，A计权频带声压级最大值是1000Hz处的81.2 dB(A)，与此值相比差别明显大于10 dB(A)的那些频带声压级可以忽略不计。因此该风机噪声的A声级可由77.5、81.2、78.2和70.4 dB(A)四项合成

LA?10lg1077.510?1081.210?1078.210?1070.410?84.23 dB(A)。

??

8-6 在非接触的位移（或间隙）测量仪器中，常常利用有皱纹的圆筒—波纹管作为增张器（放

大器），波纹管中内部压力的微小变化将引起它的长度有相对大的改变，图示为用于自动检验零件椭圆度的波纹管变换器简图。质量为m的圆筒4悬挂在仪器外壳1中刚度为c 1的平板弹簧2上，圆筒4同刚度为c 2的波纹管5刚性连接，波纹管中的压力由导管6供给。预紧力f0和仪器的调节用刚度为c 3的弹簧7实现，当被检验的尺寸超出允许范围时，触点8

CVRR1C1幅频特性曲线 负载传感器幅频特性曲线 题图 8-8 题图 8-10

中的一个发生闭合并产生挑出废品的信号。在把零件送往检验时，为了减小仪器振动衰减的时间，在测量系统中引入粘滞摩擦阻尼器3，阻尼器的阻尼力与移动速度成比例，即F=αx。设波纹管中压力的变化与测量端和零件之间间隙的变化成比例，即Δp/p0=（e/δ）Asinωt，式中e—偏离圆柱形状的振幅，δ—零件和顶端之间的间隙，ω—零件的角速度，A—系数。试作出仪器的振幅—频率特性曲线，并求测量动态误差不超过被测量值±10%的角速度ω的范围（也即这样的范围，在该范围内，质量4振动的振幅与静偏离的差不大于10%）。

8-6解：圆筒4的运动微分方程具有形式

，

???x??(c1?c2?c3)x??pFm?x （a）

???2nx??p02x?Bsinx?t （b）

或者

式中 2n??/m?75/c

B?p0eAF/(m?)?1.2?102M/c2

静偏离 xcT?B/K0?3.42MM 圆筒振动频率和振幅的关系具有形式

222 x0/xcT?(1??/p0)?(2n?/p0)p0?(c1?c2?c3)/m?3.5?104c?2

22?22??1/2

在所研究的情况

2n/p0?75/3.5?104?0.4

或者 x0/xcT?(1??/p0)?(0.4?/p0)?222?1/2?

这函数的曲线表示在图上（曲线2）

在那表示出了测量动力误差的允许范围（线阴影部分）其方程表示为

x0/xcT?1?0.1

允许范围和振幅——频率特性曲线的相交点给出被检验零件角速度的最大许可值

?max?p02/3?62.5c?1

8-7解：是基于Xe＝X－Xr 因为X是绝对运动，Xr是相对运动，而Xe是牵连运动，有

x＝Xsin?t, xr=Xrsin?t, xe?Xesin?t

x?xe?xr 即Xsin?t=Xesin?t+Xrsin?t

故X=Xe+Xr

Xe＝X－Xr因为矢量式才正确，若仅从标量关系出发则将得出错误结果，因它们之间

存在着相位差。

8-8 某测振仪器的频响曲线如图所示，问可否用该仪器来进行振动测量，为什么？又，在振动

测量中，能够正确反映或记录简谐振动的传感器，是否就一定能正确反映或记录一般的周期振动，为什么？

8-8解：有所得试验波形应进行波形修正反演处理。因从频响曲线知该仪器所测波形不满足不失真测量的两个条件。即各次谐波的幅值放大同样的倍数和各次谐波的相位正比于各次谐波的频率。为此，需对所测波形进行频谱分析，分出它的各个组成频率分量，然后由测式系统的频响曲线（幅频特性和相频特性）的各对应值进行修正，最后再把各修正后的分频波形合成器来即可得出相应的真实波形。 即 实测波形 x(t)?修正反演后的波形 x(t)??Asin?t

iii?1345A1sin(?t?1200)?A2sin(2?t?450)?A3sin(3?t?150) 36又，一定能。这是基于波形的付氏基数分解和叠加原理而确定的。

8-9 当用共振法测定阻尼系统的固有频率，且用压电式加速度计进行拾振时，是否所测得的加

速度共振频率就是该系统的固有频率，为什么？

8-9解：通常所说的共振，是指当激振频率到达某一特定值时，振动量的幅值达到极大值的现象。但从以上分析可以看出，振动位移、速度、加速度响应的幅值，其各自到达极大值时的频率是各不相同的。一般情况下，共振频率并非就是固有频率。只有在弱阻尼条件下，三种共振频率以及有阻尼自由振动频率才接近于系统的固有频率。但是，只有速度共振频率才真正与系统的固有频率相等。加速度幅值为

?B?2?FM??222F?1M??

加速度幅值的极值条件为

2n??2???2n???2??2n??2???2n??22

???n1?2?2??n1?2?2

二者不相等，可见加速度共振频率不是该系统的固有频率。

8-10压电式加速度传感器有一Re—Ce负载，跨接如图所示。传感器的等效电路由电容C串接一

电压源V=q/C 。式中q为传感器中所产生的电荷，R为传感器的漏电阻。当V1=V0时，q从静止起有一量值为Q的阶跃变化。求从阶跃变化开始时的V1（t）。（可用拉普拉斯变换法进行求解）

8-10解：设i为电容C的电流,则各电流相加有

U1U1dU1 ??C1RR1dtdU11t1tUU又 U??idt?U1??(1?1?C1)dt?U1

00CCRR1dt11t q?UC?(?)?U1dt?C1U1?CU1?K

RR10式中K为积分常数，当ｔ＝０时考虑方程的值即可求得 0?0?C1U0?CU0?K K??(C1?C)U0

11t故 q?(?)U1dt?(C1?C)U1?(C1?C)U0

RR1?0将上列方程进行拉氏变换并考虑到当U1?U0时q从零起有一量值为Q的阶跃变化

(C?C)U0Q11V(s) ?(?)1?(C1?C)V1(s)?1SRR1SS(C1?C)U0?Q(C1?C)U0?Q整理后得 V1(s)? ?11??(C1?C)S?(?)(C1?C)?S?(1/R?1/R1?RR1C1?C??i?利用拉氏反变换即得

U1(t)?[U0?Q/(C1?C)]exp???(R1?R)t??

(C?C)RR11??

第九章习题解

9.1求证式（9-17）。 证明： 式(9-17) 如下：

1??L?10lg???L?L?10?1?10ptpe?? ?表示分贝减量?L是总声压级Lpt和背景噪声声压级Lpe之差的函数，从总声压级中扣除此分贝减量就得到声源声压级Lpso

Lpso?Lpt??L

?L?Lpt?Lpso

2pt2psopt2pt2?pe2 ?10lg2?10lg2?10lg2?10lg 2p0p0p0p0pt2 ?10lg2?10lg2pt?pe1 (1) pe21?2ptpe2pe2pt2? 10lg2?10lg2?10lg2?Lpe?Lpt

p0p0ptpe2??L?L?10? 2?10ptpe（这是将两均方声压和它们的声压级联系在一起的重要关系式） (2)

pt 将式(2)代入式(1)，就得到公式(9-17) ?L?10lg?9.2 声场中某点的瞬时声压为

p?t??A1sin?100?t??A2cos?400?t??A3sin?2000?t?

式中 A1?2Pa，A2?1.2Pa，A3?1Pa。求该点的均方声压p2，声压p，声压级Lp，A声级LA。

解：正弦信号的有效值是其峰值的2??1?10?Lpt?Lpe10?1??? ?2

? A1?2Pa ? p1?2Pa, p12?2Pa

222? A2?1.2Pa ? p2?0.62Pa, p2?0.72Pa

? A3?1Pa ? p3?222?0.5Pa Pa, p32222测点的均方声压为 p2?p1?p2?p3?3.22 Pa

2声压为 p?3.22?1.794 Pa

p23.22声压级为 Lp?10lg2?10lgp02?10?5??2?99.1 dB

三个不同频率声波的声压级分别为 Lp1?10lg Lp2?10lg Lp3?10lg2?2?10?0.72?52?52?97 dB ?92.6 dB ?91 dB

?2?10?0.5?2?10??52将这三个声压级合成也可以得到声场该点的声压级

Lp?10lg10?9.7?109.26?109.1?99.1 dB

?三个声波的频率分别是50、200和1000Hz ，由教科书的图9-7，A计权网络在这些频率处的衰减量分别为-30、-11和0dB，所以

LA1?97?30?67 dB(A)

LA2?92.6?11?81.6 dB(A) LA3?91?0?91 dB(A)

测点的A声级是LA1，LA2，LA3合成的结果。由于LA1与LA2之差大于10dB(A)，LA2与LA3之差也接近10dB(A)，所以合成的近似结果是LA?LA3?91 dB(A)。

还可以用公式（9-12）作较精确的计算

LA?10lg106710?1081.610?109110?91.47 dB(A) 两个结果相差小于0.5 dB(A)。

可以看出，由于A计权较大地衰减了低频声波，经A计权后的A声级LA比声压级Lp降低了7个多分贝。

9.3. 声场中某测点附近有3个声源，同时发声时测得A声级为92dB（A）；1号声源停止，2、3号声源发声时测得A声级为87.5dB（A）；2号声源停止，1、3号声源发声时测得A声级为90.6dB（A）。求各声源单独发声时产生的A声级（不计声场背景噪声）。 解：

1号声源停止时，声级为87.5 dB(A)。视其为本底噪声声级，声级差为92?87.5?4.5 dB(A)，根据图9-3所示曲线，扣除值?L?2 dB(A)，所以1号声源单独发声时产生的声级为

??LA1?92?2?90 dB(A)。

2号声源停止时，声级为90.6 dB(A)。按式(9-15)，2号声源单独发声时产生的声级 LA2?10lg109210?1090.610?86.4 dB(A)

2、3号声源同时发声时声级是87.5 dB(A)，2号单独发声时的声级为86.4。声级差为

??87.5?86.4?1.1 dB(A)，按式(9-17) 扣除值

?L?10lg1?6.5 dB(A)

1?10?1.110所以3号声源单独发声时产生的声级为LA3?87.5?6.5?81dB(A)。

将90、86.4和81 dB(A)合成，校验以上计算 LA?10lg10?10?109.4. 测得某风机的1倍频程各频带声压级如下：

1倍频程中心频率 Hz 频带声压级 dB 63 45 125 52.5 250 70.3 ?901086.4108110??92 dB(A)。

1000 81.2 2000 77.2 4000 69.4 8000 63 500 80.5

试求它的总A声级。

解：将原题所给风机的1倍频程频谱值（频带声压级）、1倍频程中心频率对应的A计权衰减量（图9-7）和经A计权后的频带声压级列表如下：

1倍频程中心频率 Hz 频带声压级 dB A计权衰减量 dB A计权频带声压级dB(A) 63 45 -26 19 125 52.5 -16 36.5 250 70.3 -8 62.3 500 80.5 -3 77.5 1000 81.2 0 81.2 2000 77.2 1 78.2 4000 69.4 1 70.4 8000 63 -1 62

视各频带声压级为独立声源产生的声压级，A计权频带声压级最大值是1000Hz处的81.2 dB(A)，与此值相比差别明显大于10 dB(A)的那些频带声压级可以忽略不计。因此该风机噪声的A声级可由77.5、81.2、78.2和70.4 dB(A)四项合成

LA?10lg1077.510?1081.210?1078.210?1070.410?84.23 dB(A)。

??

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