数学拔高1练习1的变式巩固试题

数学培优1练习1的变式巩固试题-根与系数的

关系等考点

1练习1的变式巩固试题-根与系数的关系等考点

一、选择题（共9小题）

1、（2003?岳阳）已知a、b、c是△ABC三边的长，则方程ax+（b+c）x+=0的根的情况为（ ） A、没有实数根 B、有两个相等的正实数根 C、有两个不相等的负实数根 D、有两个异号的实数根

22

2、关于x的一元二次方程x+（k﹣4）x+k+1=0的两实数根互为相反数，则k的值（ ） A、2 B、0 C、±2 D、﹣2 3、若实数a、b满足等式a=7﹣3a，b=7﹣3b，则代数式

2

2

2

之值为（ ）

A、﹣

2

B、

2

C、2或﹣ D、2或

4、已知方程x﹣2（m﹣1）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m的值是（ ） A、m=±1 B、m=﹣1 C、m=1 D、m=0

22

5、一元二次方程x﹣3x﹣1=0与x﹣x+3=0的所有实数根的和等于（ ） A、2 B、﹣4 C、4 D、3

2

6、（2011?贵港）若关于x的一元二次方程x﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（ ） A、1 B、﹣1 C、2 D、﹣2

22

7、（2009?烟台）设a，b是方程x+x﹣2009=0的两个实数根，则a+2a+b的值为（ ） A、2006 B、2007 C、2008 D、2009

22

8、（2002?内江）关于x的一元二次方程（m+1）x+x+m﹣2m﹣3=0有一根是0，则m的值是（ ） A、m=3或m=﹣1 B、m=﹣3或m=1 C、m=﹣1 D、m=3 9、若x=1满足2mx﹣mx﹣m=0，则m的值是（ ） A、0 B、1 C、0或1 D、任意实数 二、填空题（共8小题）

2222

10、已知关于x的方程x﹣2ax+a﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x1+x2=2，则a的值是 _________ ． 11、如果方程（x﹣1）（x﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是 _________ ． 12、如果方程x﹣2x+m=0的两实根为a，b，且a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是 _________ ． 13、（2011?日照）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 ___ ．

222_

14、关于x的一元二次方程mx+m=x2x+1的一个根为0，那么m的值为 _________ ．

2

15、关于x的方程ax﹣3x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是 _________ ．

2

16、关于x的一元二次方程kx﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _________ ．

2

17、关于x的一元二次方程mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，m= _________ ． 三、解答填空题（共1小题）

22

18、（2006?孝感）已知关于x的方程①x+（2k﹣1）x+（k﹣2）（k+1）=0和②kx+2（k﹣2）x+k﹣3=0． （1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；

（2）已知方程②有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 _________ ；

（3）如果方程②的两个不相等实数根α、β的倒数和等于方程①的一个根，则k的所有取值，由小到大依次为 _________ ， _________ ， _________ ． 四、解答题（共8小题）

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2

22

2

1练习1的变式巩固试题-根与系数的关系等考点

19、（2011?乐山）：已知关于x的方程x+2（a﹣1）x+a﹣7a﹣4=0的两根为x1、x2，且满足x1x2﹣3x1﹣3x2﹣2=0．求

的值．

20、（2011?江汉区）若关于x的一元二次方程x﹣4x+k﹣3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．

2

21、（2010?孝感）关于x的一元二次方程x﹣x+p﹣1=0有两实数根x1，x2， （1）求p的取值范围；

（2）若[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求p的值．

2

22、（2010?中山）已知一元二次方程x﹣2x+m=0． （1）若方程有两个实数根，求m的范围；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．

23、（2009?淄博）已知x1，x2是方程x﹣2x+a=0的两个实数根，且x1+2x2=3﹣（1）求x1，x2及a的值；

32

（2）求x1﹣3x1+2x1+x2的值．

24、（2006?舟山）设x1、x2是关于x的方程x﹣（m﹣1）x﹣m=0（m≠0）的两个根，且满足

2

2

2

22．

+=﹣，求m的

值．

222

25、（2007?天水）已知：x1，x2是关于x的方程x﹣（m﹣1）x+2m=0的两根，且满足x1+x2=8，求m的值．

22

26、（2007?襄阳）已知关于x的方程x﹣2（m﹣2）x+m=0．问是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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1练习1的变式巩固试题-根与系数的关系等考点

答案与评分标准

一、选择题（共9小题）

1、（2003?岳阳）已知a、b、c是△ABC三边的长，则方程ax+（b+c）x+=0的根的情况为（ ） A、没有实数根 B、有两个相等的正实数根 C、有两个不相等的负实数根 D、有两个异号的实数根 考点：根与系数的关系；根的判别式；三角形三边关系。

分析：根据三角形的三边关系，确定出方程的根的判别式△的符号后，判断方程根的情况． 解答：解：∵a=a，b=（b+c），c=

2

∴△=b﹣4ac=（b+c）﹣4×a×=（b+c）﹣a=（a+b+c）（b+c﹣a） ∵三角形两边之和大于第三边， ∴a+b+c＞0，b+c﹣a＞0 ∴△=（a+b+c）（b+c﹣a）＞0 ∴有两个不相等的实数根

根据一元二次方程根与系数的关系可得：两根的积是=＞0，则两个根一定同号；

2222

两根的和是﹣＜0

∴方程的两根都是负数． 故方程有两个不相等的负根． 故本题选C．

点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根．

解决本题的关键是正确对（b+c）﹣a进行分解因式，能够结合一元二次方程的根与系数的关系判断方程根的符号．

22

2、关于x的一元二次方程x+（k﹣4）x+k+1=0的两实数根互为相反数，则k的值（ ） A、2 B、0 C、±2 D、﹣2 考点：根与系数的关系。

222

分析：首先根据一元二次方程x+（k﹣4）x+k+1=0的两实数根互为相反数，得k﹣4=0，即k=±2；再进一步代入看方程是否有实数根．

22

解答：解：∵一元二次方程x+（k﹣4）x+k+1=0的两实数根互为相反数， 2

∴k﹣4=0，即k=±2．

2

当k=2时，有方程x+3=0，此方程无实数根，应舍去，取k=﹣2． 故选D．

点评：此题要结合互为相反数的两个数的和为0以及一元二次方程根与系数的关系求得k的值，最后不要忘记代入

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2

2

1练习1的变式巩固试题-根与系数的关系等考点

检查方程是否有实数根．

3、若实数a、b满足等式a=7﹣3a，b=7﹣3b，则代数式

2

2

之值为（ ）

A、﹣ B、

C、2或﹣ D、2或

考点：根与系数的关系。 专题：分类讨论。

分析：根据题意，分a=b和a≠b两种情况讨论，当a≠b时，易得a、b是方程x=7﹣3x的根，利用根与系数的关系求解即可．

解答：解：当a=b时，

=2；

2

当a≠b时，

2

∵a、b是方程x+3x﹣7=0的根， ∴a+b=﹣3，ab=﹣7，

∴====﹣；

综上所述，=2或，

故选C．

点评：此题要注意分情况考虑，特别不要忘记a=b这种情况，同时也要利用根与系数的关系．

22

4、已知方程x﹣2（m﹣1）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m的值是（ ） A、m=±1 B、m=﹣1 C、m=1 D、m=0 考点：根与系数的关系。

分析：由于方程x﹣2（m﹣1）x+3m=0的两个根是互为相反数，设这两根是α、β，根据根与系数的关系、相反数的定义可知：

2

α+β=2（m﹣1）=0，由此得到关于m的方程，进而可以求出m的值．

22

解答：解：∵方程x﹣2（m﹣1）x+3m=0的两个根是互为相反数， 设这两根是α、β，

根据根与系数的关系、相反数的定义可知

2

α+β=2（m﹣1）=0， 进而求得m=±1，

但当m=1时，原方程没有实数根， ∴m=﹣1． 故选B．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系及其应用，最后所求的值一定要代入判别式检验．

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2

2

1练习1的变式巩固试题-根与系数的关系等考点

解得，k＜且k≠0；

故答案是：k＜且k≠0．

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．

2

17、关于x的一元二次方程mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，m= 2 ． 考点：根的判别式；一元二次方程的定义。

分析：由mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，可得△=b﹣4ac=[﹣（3m﹣1）]﹣4m（2m﹣1）=1，解关于m的方程即可．

222

解答：解：由题意，得：△=b﹣4ac=[﹣（3m﹣1）]﹣4m（2m﹣1）=1，即m﹣2m+1=1，解之得：m=0或m=2；

2

又∵mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0是一元二次方程，∴m≠0， ∴m=2． 点评：此题考查了一元二次方程及根的判别式的应用，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 三、解答填空题（共1小题）

22

18、（2006?孝感）已知关于x的方程①x+（2k﹣1）x+（k﹣2）（k+1）=0和②kx+2（k﹣2）x+k﹣3=0． （1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；

（2）已知方程②有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 k＜4且k≠0 ；

（3）如果方程②的两个不相等实数根α、β的倒数和等于方程①的一个根，则k的所有取值，由小到大依次为 2﹣

， 2 ， 2+

．

2

2

2

考点：根与系数的关系；根的判别式。

分析：用一元二次方程的根的判别式与0的关系判断根的有无．有根时，用根的判别式来确定k的取值范围，用根与系数的关系来确定k的值． 解答：解：（1）对于①a=1，b=2k﹣1，c=（k﹣2）（k+1）．

2

∴△=b﹣4ac=9＞0．

∴方程①总有两个不相等的实数根．

（2）对于方程②a=k，b=2（k﹣2），c=k﹣3．

2

∴△=b﹣4ac=16﹣4k＞0． ∴k＜4．

（3）对于方程①的根用求根公式来解x=∴x1=2﹣k；x2=﹣k﹣1． 对于方程②α+β=﹣

αβ=

．

．

==﹣．

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1练习1的变式巩固试题-根与系数的关系等考点

∴当方程①的根为2﹣k时，有﹣解得：k1=2，k2=5．

当方程①的根为﹣k﹣1时，有﹣

=﹣k﹣1． =2﹣k．

解得：

∵在方程②中k＜4． ∴k2=5舍去． ∴k的值为k=2或k=2+

，．

或k=2﹣．

点评：此题有一定的难度，用到一元二次方程的根的判别式，又用到根与系数的关系和求根公式，计算时要细心，做到条理清晰，计算准确． 四、解答题（共8小题） 19、（2011?乐山）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．

22

题甲：已知关于x的方程x+2（a﹣1）x+a﹣7a﹣4=0的两根为x1、x2，且满足x1x2﹣3x1﹣3x2﹣2=0．求

的值．

题乙：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，

BC=BD=3，AC=4． （1）求证：AC⊥BD； （2）求△AOB的面积． 我选做的是 甲 题．

考点：根与系数的关系；分式的化简求值；勾股定理的逆定理；梯形；相似三角形的判定与性质。

分析：甲：首先利用根与系数的关系求得x1+x2，x1x2的值，然后代入x1x2﹣3x1﹣3x2﹣2=0，即可求得a的值，然后化简

，代入a的值即可求得答案；

乙：（1）过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，即可证得四边形ACED是平行四边形，则可求得BD，BE，DE的长，由勾股定理得逆定理即可证得BD⊥DE，则可证得BD⊥AC；

（2）首先作DF⊥BC，由S△DBC=BE?DF=BD?DE，即可求得DF的值，求得△ABC的面积，又由△AOD∽△COB，求

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1练习1的变式巩固试题-根与系数的关系等考点

得OA与OC的比值，根据同高的三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案． 解答：解：题甲：关于x的方程x+2（a﹣1）x+a﹣7a﹣4=0的两根为x1、x2，

2

∴x1+x2=﹣2（a﹣1）=2﹣2a，x1x2=a﹣7a﹣4，

22

∴x1x2﹣3x1﹣3x2﹣2=x1x2﹣3（x1+x2）﹣2=a﹣7a﹣4﹣3（2﹣2a）﹣2=a﹣a﹣12=0， 解得：a=﹣3（舍去）或a=4， 又∵

=

?

=

，

2

2

当a=4时，原式==2．

故

的值为2．

题乙：（1）过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，

∵AD∥BC，

∴四边形ACED是平行四边形， ∴DE=BD，DE∥BD，CE=AD， ∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，

∴BE=BC+CE=5，DE=AC=4，BD=3，

222∴BD+DE=BE， ∴∠BDC=90°， ∴BD⊥DE， ∴BD⊥AC；

（2）过点D作DF⊥BC于F， ∵S△DBC=BE?DF=BD?DE，

∴DF===，

∴S△ABC=BC?DF=×3×∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

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=，

1练习1的变式巩固试题-根与系数的关系等考点

∴

=，

∴OA：AC=2：5， ∴S△AOB：S△ABC=2：5， ∴S△AOB=S△ABC=×

=

．

点评：此题考查了根与系数的关系，分式的化简以及梯形的性质，平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题时要注意仔细分析．

20、（2011?江汉区）若关于x的一元二次方程x﹣4x+k﹣3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值． 考点：根与系数的关系。 专题：方程思想。

分析：根据根与系数的关系（x1+x2=﹣，x1?x2=）列出等式，再由已知条件“x1=3x2”联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可．

解答：解：由根与系数的关系，得 x1+x2=4 ①，

x1?x2=k﹣3 ②（2分） 又∵x1=3x2③，

联立①、③，解方程组得

（4分）

2

∴k=x1x2+3=3×1+3=6（5分）

答：方程两根为x1=3，x2=1；k=6．（6分）

点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a、b、c的意义．

2

21、（2010?孝感）关于x的一元二次方程x﹣x+p﹣1=0有两实数根x1，x2， （1）求p的取值范围；

（2）若[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求p的值． 考点：根与系数的关系；根的判别式。 分析：（1）一元二次方程有实根，△≥0，根据判别式的公式代入可求p的取值范围；

22

（2）将等式变形，结合四个等式：x1+x2=1，x1?x2=p﹣1，x1﹣x1+p﹣1=0，x2﹣x2+p﹣1=0，代入求p，结果要根据p的取值范围进行检验． 解答：解：（1）由题意得：

2

△=（﹣1）﹣4（p﹣1）≥0 解得，p≤；

（2）由[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9得，

22

（2+x1﹣x1）（2+x2﹣x2）=9

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1练习1的变式巩固试题-根与系数的关系等考点

∵x1，x2是方程x﹣x+p﹣1=0的两实数根，

22

∴x1﹣x1+p﹣1=0，x2﹣x2+p﹣1=0，

22

∴x1﹣x1=p﹣1，x2﹣x2=p﹣1

2

∴（2+p﹣1）（2+p﹣1）=9，即（p+1）=9 ∴p=2或p=﹣4，

∵p≤，∴所求p的值为﹣4．

点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力． 22、（2010?中山）已知一元二次方程x﹣2x+m=0． （1）若方程有两个实数根，求m的范围；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值． 考点：根与系数的关系；根的判别式。

2

分析：（1）一元二次方程x﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围； （2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．

2

解答：解（1）∵方程x﹣2x+m=0有两个实数根，

2

∴△=（﹣2）﹣4m≥0，解得m≤1；

（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1?x2=m， 解方程组

，得

2

2∴m=x1?x2=．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握． 23、（2009?淄博）已知x1，x2是方程x﹣2x+a=0的两个实数根，且x1+2x2=3﹣（1）求x1，x2及a的值；

32

（2）求x1﹣3x1+2x1+x2的值．

考点：根与系数的关系；解二元一次方程组；一元二次方程的解。 分析：（1）将x1+2x2=3﹣

3

2

2

．

与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组即可求出x1，x2及a的值；

3

（2）欲求x1﹣3x1+2x1+x2的值，先把代此数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值即可求出x1﹣2

3x1+2x1+x2的值． 解答：解：（1）由题意，得

，

解得x1=1+，x2=1﹣．

所以a=x1?x2=（1+

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）（1﹣）=﹣1；

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