《创新设计高考总复习》配套学案：定积分与微积分基本定理

第13讲 定积分与微积分基本定理

[最新考纲]

1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义.

知 识 梳 理

1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式

nb－a

?f(ξi)Δx＝? nf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数i＝1i＝1

b－a

? ni＝1

n

n

叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx，即?f(x)dx＝

?a?af(ξi)．

(2)定积分的几何意义

bb

①当f(x)≥0时，定积分?bf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝

?af(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)

②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分?bf(x)dx表示介于x

?a轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，

即?bf(x)dx＝A1＋A3－A2. ?a2．定积分的性质

(1)?bkf(x)dx＝k?bf(x)dx(k为常数)． ?a?a

b(2)?b[f1(x)±f2(x)]dx＝?bf1(x)dx±?f2(x)dx. ?a?a?a(3)?bf(x)dx＝?cf(x)dx＋?bf(x)dx(其中a

一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么?bf(x)dx

?a＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．

辨 析 感 悟

1．关于定积分概念的理解

(1)定积分概念中对区间[a，b]的分割具有任意性．(√)

nb－a

(2)当n→＋∞时，和式?f(ξi)·Δx＝? nf(ξi)无限趋近于某一确定的常数．(√)

i＝1i＝1(3)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则?bf(x)dx＝?bf(t)dt.(√)

?a?a2．定积分的几何意义与物理意义

(4)在区间[a，b]上的连续的曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝?b|f(x)|dx.(√)

?a

(5)若?bf(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴

?a下方．(×)

(6)(教材习题改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是s＝

＝5t20.(√)

n

3．定积分的性质及微积分基本定理 (7)若f(x)是连续的偶函数，则

＝2??f(x)dx.(√)

0a

(8)若f(x)是连续的奇函数，则＝0.(√)

(9)(2013·湖南卷改编)如果?Tx2dx＝9，则常数T＝3.(√)

?0[感悟·提升]

1．一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”．定积分只与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关，如(2)、(3)．

2．一个定理 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由1

此可知，求导与积分是互为逆运算，如(9)中，可确定一个原函数F(x)＝3x3，进而求T.

3．两点提醒 一是重视定积分性质在求值中的应用，如(7)、(8)．

二是区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负，如(4).

学生用书第46页

考点一 定积分的计算

【例1】 (1)若A．－1 C.3

(2)定积分?39－x2dx的值为________．

?0(3)已知函数f(x)＝sin5x＋1，则

的值为________． ＝2，则实数a等于( )．

B．1 D．－3

解析 (1)∵(asin x－cos x)′＝sin x＋acos x，

ππ??

＝?asin 2－cos 2?－(asin 0－cos 0)＝a＋1， ??∴a＋1＝2.∴a＝1.

223(2)由定积分的几何意义知，直线x＝0，x＝3，?9－xdx是由曲线y＝9－x，

?0

y＝0围成的封闭图形的面积．故?3

?0

π·329π

9－xdx＝4＝4.

2

9

答案 (1)B (2)4π (3)π

规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y＝f(x)为奇函数，则【训练1】 (1)定积分(2)(2014·广东六校模拟)

?1?

解析 (1)∵?3x3－cos x?′＝x2＋sin x，

??

2?13??

??＝?3x－cos x??－1＝3.

?

是由曲线y＝

1－x2，直线x＝－1，x

1

＝0.

＝________. ＝________.

∴

(2)由定积分的几何意义知，

＝0，y＝0围成的封闭图形的面积，故2π

答案 (1)3 (2)4 π·12π＝4＝4.

考点二 利用定积分求平面图形的面积

【例2】 (1)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )．

2πA.5 3C.2

4B.3 πD.2

4

(2)曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为3，则k＝________. 审题路线 (1)先求二次函数f(x)的解析式，再利用定积分的几何意义求面积．(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积． 解析 (1)设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a<0)．

因为f(x)的图象过(0,1)点，所以－a＝1，即a＝－1. 所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2. 所以S＝

1

2

(1x)dx ＝2?－?

01

1?4?13???

x－x1－????＝2＝2＝. 3??3??0??3

2????y＝x，?x＝0，?x＝k，(2)由?得?或?

2

????y＝kx，?y＝0?y＝k，

则曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为?k(kx－x2)dx＝

?0

k3134?k213??

?2x－3x??＝－k＝，即k3＝8，∴k＝2.

233???0答案 (1)B (2)2

规律方法 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．

求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．

【训练2】 (1)设a>0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.

1

(2)曲线y＝x，y＝2－x，y＝－3x所围成图形的面积为________． 解析 (1)S＝?a

?0

23?234xdx＝x2 ?＝a2＝a2，∴a＝.

339?0

?y＝x，

(2)由?

?y＝2－x，

y＝2－x，??

得交点A(1,1)；由? 1

y＝－3x，??得交点B(3，－1)． 故所求面积

1?1???

S＝?1?x＋3x?dx＋?3?2－x＋3x?dx

???0??1?

1??21412???23?

＝ ?x2?x? ?＋?2x－3x2??＝3＋6＋3

???16??0?313

＝6.

1

a

k

3

413

答案 (1)9 (2)6 考点三 定积分在物理中的应用

【例3】 (2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋

25

(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽1＋t

车继续行驶的距离(单位：m)是( )． 11

A．1＋25ln 5 B．8＋25ln 3 C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2

8

解析 令v(t)＝0，得t＝4或t＝－3(舍去)， 25??

7－3t＋?dt ∴汽车行驶距离s＝??

1＋t?0??

4

3?

＝[7t－2t2＋25ln(1＋t)]?

?0＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 答案 C

学生用书第47页 4

规律方法 (1)利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式．

(2)定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义．防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为定积分时出现错误． 【训练3】 设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)． 解析 由题意知变力F(x)对质点M所做的功为

?13??

??＝??3x＋x??1＝342.

答案 342

1．求定积分常用的方法 (1)利用微积分基本定理．

(2)运用定积分的几何意义(曲边梯形面积易求时)转化为求曲边梯形的面积． 2．定积分计算应注意的问题+

(1)利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数 的原函数，熟练掌握导数公式及求导法则，求导与积分互为逆运算． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．

(3)面积非负，而定积分的结果可以为负．利用定积分求平面图形的面积时一定要准确转化，当图形的边界不同时，一定注意分情况讨论．

易错辨析4——对定积分的几何意义理解不到位致误

【典例】 (2011·课标全国卷)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )． 10

A.3 16C.3

???y＝x，?x＝4，

[错解] 由?得?

???y＝x－2，?y＝2，∴y＝x与直线y＝x－2的交点为(4,2)， 于是，围成图形的面积是 S＝?4[x－(x－2)]dx－?4(x－2)dx

?0?2

B．4 D．6

10

＝

??1???1???－?2x2－2x??－?2x2－2x??

???0???2?0

4

4

4

1610

＝3－2＝3. [答案] A

[错因] (1)不理解定积分的几何意义，导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示．

(2)求错原函数，导致计算错误．

[正解] 作出曲线y＝x，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．

??y＝x，由?得交点A(4,2)． ??y＝x－2

因此y＝x与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为

44

?[x－(x－2)]dx＝?(x－x＋2)dx ?0?0

211612?23??

＝ ?x2?x?2x??＝3×8－2×16＋2×4＝3. 2?3??0[答案] C

[防范措施] (1)准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提．

(2)利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数． 【自主体验】

1

曲线y＝x与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为________．

1

解析 作出曲线y＝x，直线y＝x和x＝2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部

4

分的面积．

?y＝1

x，

由??y＝x

2

1

得交点(1,1)．因此y＝x与y＝x及x＝2所围成的图形的面积为

S＝?xdx－?xdx ?1?112??＝2x?－ln x?

?1?1

33

＝2－(ln 2－ln 1)＝2－ln 2. 3

答案 2－ln 2

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题 1.?1(ex＋2x)dx等于 ?0A．1 C．e

?1

解析 ?(e＋2x)dx＝(e＋x)?

?0?0

x

x

2

1

2

21

2

B．e－1 D．e＋1

( )．

＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e. 答案 C

ππ

2．(2014·济南质检)由直线x＝－3，x＝3，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图 形的面积为

( )．

1A.2 3C.2

解析 由题意知S＝答案 D

B．1 D.3

3?3??＝2－?－2??＝3.

??π??

3．(2014·广州模拟)设f(x)＝?sin tdt，则f?f?2??的值等于

?????0

x

( )．

A．－1 C．－cos 1 ?π?

?解析 ∵f??2?＝

1

B．1 D．1－cos 1 ＝1，

???π??

∴f?f?2??＝f(1)＝?1sin tdt＝(－cos t)?＝1－cos 1. ?????0?

0

答案 D

1

4.如图所示，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1及y＝4，所围成的图形(阴影部分)的 面积为

( )．

2A. 31C.2

2

1B. 31D.4

111

解析 由x＝4，得x＝2或x＝－2(舍)，则阴影部分的面积为S＝

＝

1

?1?

1?1?113??2?1

?4x－3x??＋?3x3－4x??＝14. ?????

?0?2

答案 D

?10，0≤x≤2，

5．一物体在力F(x)＝?(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方

?3x＋4，x>2向运动了4米，力F(x)做功为 A．44 J C．48 J

B．46 J D．50 J

( )．

解析 力F(x)所做的功为?210dx＋?4(3x＋4)dx＝20＋26＝46(J)．

?0?2答案 B 二、填空题

6．已知2≤?2(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围是________．

?13?12??2kx＋x???解析 ∵?(kx＋1)dx＝2＝2k＋1，

???1?

1

2

32

∴2≤2k＋1≤4，∴3≤k≤2. ?2?答案 ?3，2?

??

7.如图所示，是一个质点做直线运动的v－t图象，则质点在前6 s内的位移为________ m.

解析 由题图易知 3??4t，0≤t≤4，v(t)＝?3

9－??2t，4

3?3?

∴s＝?6v(t)dt＝?44t dt＋?6?9－2t?dt

??0?0?4?3??3??

＝8t2?＋?9t－4t2??＝6＋3＝9.

???4?0答案 9

1

8．(2013·江西卷改编)若S1＝?2x2dx，S2＝?2xdx，S3＝?2exdx，则S1，S2，S3的大

?1?1?1小关系为________．

1?7

解析 S1＝?2x2dx＝3x3?＝3，

?1?

1

2

4

6

1

S2＝?2xdx＝ln 2，S3＝?2exdx＝e2－e，

?1?17

∵e2－e＝e(e－1)>e>3>ln 2， ∴S2＜S1＜S3. 答案 S2＜S1＜S3 三、解答题

9．已知f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，试求?3f(x)dx的值．

?0解 ∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)， ∴f′(2)＝4＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3. ?1??

∴?3f(x)dx＝?3x3－4x2＋3x??＝－18.

???0?

0

3

10．求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．

解 作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．

2

?y＝x，

解方程组?得交点(1,1)，

?y＝x，2

?y＝x，

解方程组?得交点(3,9)，

y＝3x，?

因此，所求图形的面积为 S＝?1(3x－x)dx＋?3(3x－x2)dx ?0?1＝?12xdx＋?3(3x－x2)dx ?0?1?＝x2?

?0

1

?3213??＋?2x－3x?? ???1

3

?3213??3213?×3－×3×1－×1???? ＝1＋2－33???2?13

＝3.

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题 1．若??

?1?A．2 C．4

a

a?2x＋

1?

dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是 x??

B．3 D．6

( )．

1???

解析 ?a?2x＋x?dx＝(x2＋ln x)?＝a2＋ln a－1，

??1??

1

∴a2＋ln a－1＝3＋ln 2，则a＝2. 答案 A

2．(2014·郑州调研)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝x围成

一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC

内任何一点是等可能的)，

则所投的点落在叶形图内部的概率是

1A.2 1C.4

1B.6 1D.3

10

( )．

2

解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为1＝1，阴影区域的面积等于??(x

－x)dx＝答案 D 二、填空题

2

11

＝3，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于3.

3．(2014·广州调研)若f(x)＝则f(2 014)＝________.

解析 当x>0时，f(x)＝f(x－4)，则f(x＋4)＝f(x)， ∴f(2 014)＝f(2)＝f(－2)，

1

＝3，

又∵

17

∴f(2 014)＝f(－2)＝2－2＋3＝12. 7

答案 12 三、解答题

4.如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x)＝4x－8的切线l.

(1)求切线l的方程；

(2)求切线l，x轴及曲线f(x)＝4x－8所围成的封闭图形的面积S. 解 (1)由f(x)＝4x－8，∴f′(x)＝1

又点A(6,4)为切点，∴f′(6)＝2，

1

因此切线方程为y－4＝2(x－6)，即x－2y＋2＝0. (2)令f(x)＝0，则x＝2，即点C(2,0)．

在x－2y＋2＝0中，令y＝0，则x＝－2，∴点B(－2,0)． ?1?

故S＝?6－2?2x＋1?dx－?64x－8dx

????

2

1

. x－2

能力提升练——导数及其应用

(建议用时：90分钟)

一、选择题

1．(2014·襄阳调研)曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ( )． A．30° C．60°

B．45° D．120°

解析 由y′＝3x2－2得y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°. 答案 B

2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为 A．(－1,1) C．(－∞，－1)

B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

( )．

解析 设g(x)＝f(x)－2x－4，由已知g′(x)＝f′(x)－2>0，则g(x)在(－∞，＋∞)

上递增，又g(－1)＝f(－1)－2＝0，由g(x)＝f(x)－2x－4>0，知x>－1. 答案 B

3．定积分?1(ex＋2x)dx的值为

?0A．1 C．e

?

解析 ?1(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)?＝e.

?0?0答案 C

4．已知函数f(x)＝2ln x－xf′(1)，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程是 ( )． A．x－y＋2＝0 B．x＋y＋2＝0 C．x＋y－2＝0 D．x－y－2＝0

2

解析 易知f′(x)＝x－f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2－f′(1)，∴f′(1)＝1，因此f(x)＝2ln x－x，∴f(1)＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝1·(x－1)，即x－y－2＝0. 答案 D

5．(2014·济南质检)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于 A．2 C．6

解析 ∵f′(x)＝12x2－2ax－2b， Δ＝4a2＋96b＞0，又x＝1是极值点，

∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，且a>0，b>0，

?a＋b?2

∴ab≤4＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以ab的最大值为9. 答案 D

6．(2014·青岛模拟)幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解

B．3 D．9

( )．

1

B．e－1 D．e＋1

( )．

y′f′?x?

析式两边求对数得ln y＝g(x)ln f(x)，两边求导数得y＝g′(x)ln f(x)＋g(x)，

f?x?于是y′＝f(x)

g(x)

f′?x???

?g′?x?lnf?x?＋g?x??.运用此法可以探求得知·

f?x???

的一个

单调递增区间为 ( )．

A．(0，e) B．(2,3) C．(e,4) 解析 将函数

D．(3,8)

y′1111

2两边求对数得ln y＝xln x，两边求导数得y＝－xln x＋x·x

．令y′>0，即1－ln

11

2＝x(1－ln x)，所以y′＝y·x2(1－ln x)＝x>0，∴0

7．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是

( )．

解析 设h(x)＝f(x)ex，

则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex. 由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点． ∴c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.

a若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1，x2，则x1x2＝a＝1，D中图象一定不满足条件． 答案 D

8．物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在

物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为 A．3 C．5

B．4 D．6

( )．

解析 因为物体A在t秒内行驶的路程为?t(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路

?0?

程为?t10t dt，所以?t(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)?＝t3＋t－5t2，∴t3＋t－5t2＝5，

?0?0?0(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5. 答案 C

9．(2014·广州模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是 A．f(a)

B．f(a)

( )．

t

解析 由f′(x)＝ex＋1>0，知f(x)在R上是增函数， ∵f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－1>0. ∴函数f(x)的零点a∈(0,1)． 1

由g′(x)＝x＋1>0(x>0)， 得g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又g(1)＝ln 1＋1－2<0，g(2)＝ln 2>0， ∴函数g(x)的零点b∈(1,2)，

从而0

exe2

10．(2013·辽宁卷)设函数f(x)满足xf′(x)＋2xf(x)＝x，f(2)＝8，则x>0时，

2

f(x)

A．有极大值，无极小值

( )．

B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

x2

ex2f?x?e－2xf?x?

解析 由条件，得f′(x)＝x3－x＝. x3令g(x)＝ex－2x2f(x)，

则g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)

2?2exx?

＝e－2(xf′(x)＋2xf(x))＝e－x＝e?1－x?，

??

x

2

x

令g′(x)＝0，得x＝2.

当x>2时，g′(x)>0；当0

从而g(x)≥0，f′(x)＝x3>0，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极大(小)值． 答案 D 二、填空题

11．若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______． 11解析 依题意得，f′(x)＝2ax＋x＝0(x>0)有实根，所以a＝－2x2<0. 答案 (－∞，0)

12．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的 距离为________．

解析 由题意得切点坐标为(－1，－1)，切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3x2|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1.

故切线l的方程为y－(－1)＝－[x－(－1)]， 整理得x＋y＋2＝0.

|3＋2＋2|72

∴点P(3,2)到直线l的距离为＝2.

221＋1

答案

722 13．不等式x2－2x<0表示的平面区域与抛物线y2＝4x围成的封闭区域的面积为_______．

2x，∴所求面积S＝2?解析 由x2－2x<0，得0

02

＝

16

答案 3 2

162＝3.

e2x2＋1e2xg?x1?f?x2?

14．设函数f(x)＝x，g(x)＝ex，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式k≤

k＋1恒成立，则正数k的取值范围是________． 解析 因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)， g?x1?f?x2?kg?x1?max不等式k≤恒成立，所以≥.

f?x?2mink＋1k＋1e2x

因为g(x)＝ex＝xe2－x，

所以g′(x)＝(xe2－x)′＝e2－x＋xe2－x·(－1)＝e2－x(1－x)． 当00；当x>1时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 所以当x＝1时，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e. 1

又f(x)＝e2x＋x≥2e(x>0)．

11

当且仅当e2x＝x，即x＝e时取等号，故f(x)min＝2e. g?x1?maxe1k1所以＝2e＝2，应有≥2，

f?x2?mink＋1又k>0，所以k≥1. 答案 [1，＋∞)

三、解答题

15．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 解 (1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x， ?x1?f′(x)＝4e(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)?e－2?.

??

x

令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)． 1

16．设函数f(x)＝aex＋aex＋b(a>0)． (1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；

3

(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x，求a，b的值． 1

解 (1)f′(x)＝aex－aex，令f′(x)>0，得x>－ln a， 令f′(x)<0，得x<－ln a.

所以f(x)在(－ln a，＋∞)上递增，f(x)在(－∞，－ln a)上递减．

①当00，f(x)在(0，－ln a)上递减，在(－ln a，＋∞)上递增， 从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－ln a)＝2＋b.

②当a≥1时，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小1

值为f(0)＝a＋a＋b.

13

(2)依题意f(2)＝3，f′(2)＝ae2－ae2＝2，

1

解得ae＝2或－2(舍去)，

2

211

因此a＝e2.代入f(2)＝3，得2＋2＋b＝3，即b＝2. 21故a＝e2，且b＝2.

x3

17．(2014·南平质检)已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝mx－6(m为实数)． ?π?π??

??(1)求曲线y＝f(x)在点P?4，f??4??处的切线方程； ?(2)求函数g(x)的单调递减区间；

x3

(3)若m＝1，证明：当x＞0时，f(x)＜g(x)＋6. π2?π2??π?解 (1)由题意得所求切线的斜率k＝f′?4?＝cos4＝2.切点P?，?，则切线方

???42?22?π?程为y－2＝2?x－4?

??π

即x－2y＋1－4＝0. 1

(2)g′(x)＝m－2x2.

①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)； ②当m＞0时，令g′(x)＜0，解得x＜－2m或x＞2m， 则g(x)的单调递减区间是(－∞，－2m)，(2m，＋∞)． x3

(3)当m＝1时，g(x)＝x－6.

令h(x)＝g(x)－f(x)＝x－sin x，x∈[0，＋∞)， h′(x)＝1－cos x≥0，

则h(x)是[0，＋∞)上的增函数．

x3

故当x＞0时，h(x)＞h(0)＝0，即sin x＜x，f(x)＜g(x)＋6.

18．已知函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜 率为3.

(1)求实数a的值；

(2)若k∈Z，且k<

f?x?

对任意x>1恒成立，求k的最大值． x－1

解 (1)因为f(x)＝ax＋xln x， 所以f′(x)＝a＋ln x＋1.

因为函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e处的切线斜率为3， 所以f′(e)＝3，即a＋ln e＋1＝3，所以a＝1. (2)由(1)知，f(x)＝x＋xln x，

f?x?x＋xln x又k<＝对任意x>1恒成立，

x－1x－1x＋xln xx－ln x－2令g(x)＝，则g′(x)＝，

x－1?x－1?2令h(x)＝x－ln x－2(x>1)， 1x－1

则h′(x)＝1－x＝x>0，

所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 因为h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，

所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3,4)． 当1x0时，h(x)>0，即g′(x)>0，

x＋xln x

所以函数g(x)＝在(1，x0)上单调递减，

x－1在(x0，＋∞)上单调递增， 所以[g(x)]min＝g(x0)＝

x0?1＋ln x0?x0?1＋x0－2?

＝＝x0，

x0－1x0－1

所以k<[g(x)]min＝x0∈(3,4)， 故整数k的最大值是3.

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