2004考研数四真题及解析

Born to win

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 若limsinx(cosx?b)?5，则a =

x?0ex?ax，b =.

dye2x(2) 设y?arctane?ln，则

dxe2x?1?x?1.

11?x2xe,??x??22，则2f(x?1)dx?(3) 设f(x)???121??1,x?2?.

?0?10???0?，B?P?1AP，其中P为三阶可逆矩阵, 则B2004?2A2?(4) 设A??10?00?1???(5) 设A?aij

．

??3?3是实正交矩阵，且a11?1，b?(1,0,0)，则线性方程组Ax?b的解是

T．

(6) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?.

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 函数f(x)?|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界( ) 2x(x?1)(x?2)(B) (0 , 1).

(C) (1 , 2).

(D) (2 , 3).

(A) (?1 , 0).

1??f(),x?0(8) 设f (x)在(??,??)内有定义，且limf(x)?a，g(x)??x，则( )

x????0,x?0 (A)x?0必是g(x)的第一类间断点. (B) x?0必是g(x)的第二类间断点. (C) x?0必是g(x)的连续点.

(D) g(x)在点x?0处的连续性与a的取值有关. (9) 设f(x)?x(1?x), 则 ( )

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(A) x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. (B) x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. (C) x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. (D) x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点.

?1,x?0x?(10) 设f(x)??0,x?0，F(x)??f(t)dt，则 ( )

0??1,x?0?

(A) F(x)在x?0点不连续.

(B) F(x)在(??,??)内连续，但在x?0点不可导. (C) F(x)在(??,??)内可导，且满足F?(x)?f(x). (D) F(x)在(??,??)内可导，但不一定满足F?(x)?f(x).

(11) 设f?(x)在[a,b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是( )

(A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)>f(a).

(B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f(b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0. (D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.

(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有( )

(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a. (C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0.

(13) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α,

若P{|X|?x}?α, 则x等于( ) (A) uα. (B) u21?α2. (C) u1?α. (D) u1?α.

221n(14) 设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，且其方差为??0. 令Y??Xi，

ni?1 Born to win

则( )

(A) Cov(X1,Y)?(C) D(X1?Y)??2n. (B) Cov(X1,Y)??2.

n?22n?12?. (D) D(X1?Y)??. nn

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分8分)

1cos2x?). 求lim(2x?0sin2xx(16) (本题满分8分)

求

??(Dx2?y2?y)d?，其中D是由圆x2?y2?4

和(x?1)2?y2?1所围成的平面区域(如图).

(17) (本题满分8分)

设f(u,v)f (u , v)具有连续偏导数，且满足fu?(u,v)?fv?(u,v)?uv. 求y(x)?e?2xf(x,x)所满足的一阶微分方程，并求其通解. (18) (本题满分9分)

设某商品的需求函数为Q?100?5P，其中价格P?(0,20)，Q为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)； (II) 推导

dR?Q(1?Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时， dP降低价格反而使收益增加.

(19) (本题满分9分)

??e2x,x?0设F(x)???2x，S表示夹在x轴与曲线y?F(x)之间的面积. 对任何t?0，

?,x?0?eS1(t)表示矩形?t?x?t，0?y?F(x)的面积. 求

(I) S(t) = S ?S1(t)的表达式； (II) S(t)的最小值.

(20) (本题满分13分)

设线性方程组

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?x1??2x1?3x?1T?λx2?x2?(2?λ)x2?μx3?x3?(4?μ)x3?x4?0,?2x4?0, ?4x4?1,已知(1,?1,1,?1)是该方程组的一个解，试求

(I) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (II) 该方程组满足x2?x3的全部解． (21) (本题满分13分)

设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1?λ2?6是A的二重特征值．若α1?(1,1,0),

Tα2?(2,1,1)T, α3?(?1,2,?3)T, 都是A的属于特征值6的特征向量．

(I) 求A的另一特征值和对应的特征向量； (II) 求矩阵A．

(22) (本题满分13分)

设A,B为两个随机事件,且P(A)?111, P(B|A)?, P(A|B)?, 令 432A发生，?1,?1,B发生， Y?? X???0，A不发生，?0，B不发生.求：(I) 二维随机变量(X,Y)的概率分布;

(II) X与Y的相关系数 ρXY; (III) Z?X?Y的概率分布.

(23) (本题满分13分)

设随机变量X在区间(0,1)内服从均匀分布，在X?x(0?x?1)的条件下，随机变量

22Y在区间(0,x)上服从均匀分布，求

(I) 随机变量X和Y的联合概率密度；

(II) Y的概率密度； (III) 概率P{X?Y?1}．

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2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析

一、填空题

(1)【答案】a?1,b??4

【详解】本题属于已知极限求参数的反问题. 方法1：根据结论：limf(x)＝A，(1) 若g(x)?0，则f(x)?0；(2) 若f(x)?0，g(x)且A?0，则g(x)?0

因为

sixnn(cxo?bs)?0，所以(cxo?bs)?5，且lismix?x?0x?0ex?alimx?0lim(ex?a)?0(否则根据上述结论(2)给极限是0，而不是5)，

)由 lime(?a?x?0xx?0leixm?x?0al?im?a?1得a = 1. 0

极限化limsinxx(cosx?b)?等价无穷小?lim(cosx?b)?1?b?5，得b = ?4.

x?0ex?1x?0xsinx(cosx?b)?5??，其中lim??0，解出 xx?0e?a因此，a = 1，b = ?4.

方法2：由极限与无穷小的关系，有

ex(5??)?(cosx?b)sinxa?,

5??ex(5??)?(cosx?b)sinx(cosx?b)sinx?limex?lim?1?0?1 上式两端求极限，a?limx?0x?0x?05??5??(5??)(ex?1)把a = 1代入，再求b，b?cosx?，两端同时对x?0取极限，得

sinx(5??)(ex?1)b?lim(cosx?)

x?0sinx(5??)(ex?1)(5??)x?limcosx?lim?1?lim?1?5??4 x?0x?0x?0sinxx因此，a = 1，b = ?4.

(2)【答案】

e?1. 2e?1【详解】因为

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e2x1112x2x???2x?ln?e2x?1???x?ln?e2x?1? ln2x??lne?lne?1???2??e?12?21e2xx由 y?arctane?ln，得 y?arctane?x?ln(e2x?1)，所以 2x2e?1x(ex)?1(e2x)?ex12e2xexe2xy???1???1???1?，

1?e2x2e2x?11?e2x21?e2x1?e2x1?e2xdy所以

dx

?exe2x?ee2e?1???1???1??. 2x2x?222x?11?e1?e1?e1?e1?e??x?1(3)【答案】?【详解】

1 211?2?t:??1 22121?2方法1：作积分变换，令x?1?t，则x:所以

?212f(x?1)dx??121?221?12f(t)dt＝?f(t)dt??1(?1)dt

212?121??211112xxedx??1(?1)dx??21exdx2?(1?)?ex2?22221?111?0??.

222(也可直接推出

?121?2xedx?0，因为

x2?121?2xexdx积分区间对称，被积函数是关于x是奇

2函数，则积分值为零) 方法2：先写出的f(x?1)表达式

1113???x?1?2(x?1)2x?1e,??x?1?(x?1)e,?x???????2222f(x?1)??即：f(x?1)??

3??1,??????????????????x?1?1??1,x????2?2所以

?212f(x?1)dx??(x?1)e3212(x?1)2dx??3(?1)dx

2321122111113311??(x?1)2(x?1)244?(e?e)??0?????12ed(x?1)??2???e?. 12222222?2?22

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?300??? (4)【答案】?030?

?00?1???【详解】因为

?0?10??0?10???100???????A2??100??100???0?10?，

?00?1??00?1??001???????为对角阵，故有

??100???100?????A4?(A2)2??0?10??0?10??E

?001??001??????122?1?1所以 B?PAPPAP?PA(PP)AP?PAP,?1?1,

B2004?P?1A2004P?P?1?A4?501P?P?1EP?P?1P?E

??100??300?????所以 B2004?2A2?E?2?0?10???030?.

?001??00?1?????

(5)【答案】(1,0,0) 【详解】

T?1?方法1：设A?a21???a31a12a22a32a13?a23??，是正交矩阵，故的每个行(列)向量都是单位向量 a33??2222所以有 1?a12?a13?1，1?a21?a31?1，得a12?a13?0,a21?a31?0.

?10?故 A?0a22???0a320?T?1Ta23?，又由正交矩阵的定义AA?E知A是可逆矩阵，且A?A. ?a33??0??1??1??0???0? a32??????a33????0????0??则Ax?b，有唯一解.

?10x?A?1b?ATb???0a22??0a23方法2：同方法1，求得a11?1的正交阵为

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?10A???0a22??0a320?a23?? a33??A是正交阵，由正交矩阵的性质可知，A?1或?1不等于零，故

100a23?(?1)1?1a33a22a32a23a33A?0a220a32?a22a32a23a33?0，即有

a22a32a23a33?0，

则原方程Ax?b为

?x1?1??a22x2?a23x3?0 ?ax?ax?0?322333解得x1?1,x2?x3?0，即方程组有唯一解. (其中，由

a22a32a23a33?0及齐次线性方程组Ax?0只有零解的充要条件是A?0，可

?x1?1ax?ax?0?222233?知，方程组? 只有零解，故x2?x3?0. 进而?a22x2?a23x3?0的解

?a32x2?a33x3?0?ax?ax?0?322333为x1?1,x2?x3?0.)

(6) 【答案】

1 e【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算. 指数分布的概率密度为

??x?1??e,若x?0f(x)??，其方差DX?2.

?若x?0??0于是，由一维概率计算公式，P?a?X?b?? P{X?

二、选择题 (7)【答案】(A) 【详解】

?bafX(x)dx，有

??1??1DX}=P{X?}??1?e??xdx=?e??x????1 e Born to win

方法1：如果f(x)在(a,b)内连续，且极限limf(x)与limf(x)存在，则函数f(x)在

x?a?x?b?(a,b)内有界.

当x ? 0 , 1 , 2时f(x)连续，而

x??1lim?f(x)?lim?x??1?xsin(x?2)?sin(?1?2)sin3???，

x(x?1)(x?2)2(?1?1)(?1?2)218x?0limf(x)?lim??x?0?xsin(x?2)?sin(0?2)sin2???， 22x(x?1)(x?2)(0?1)(0?2)4xsin(x?2)sin(0?2)sin2??，

x(x?1)(x?2)2(0?1)(0?2)24x?0limf(x)?lim??x?0limf(x)?limx?1x?1xsin(x?2)sin(1?2)?lim??，

x(x?1)(x?2)2x?1(x?1)(1?2)2xsin(x?2)sin(x?2)1?lim?lim??， 22x?2x?2x(x?1)(x?2)(x?2)x?2limf(x)?limx?2x?2所以，函数f (x)在(?1 , 0)内有界，故选(A).

方法2：因为limf(x)存在，根据函数极限的局部有界性，所以存在??0，在区间[??,0)?x?0上f(x)有界，又如果函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界，根据题设f(x)在[?1,??]上连续，故f(x)在区间上有界，所以f(x)在区间(?1,0)上有界，选(A).

(8)【答案】 (D) 【详解】考查极限limg(x)是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通过换元u?x?01， x可将极限limg(x)转化为limf(x).

x?0x??因为 limg(x)?limf()?u??limf(u)= a，又g(0)?0，

x?0x?0u??1x1x所以， 当a?0时，limg(x)?g(0)，即g(x)在点x?0处连续，

x?0当a?0时，limg(x)?g(0)，即x?0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在

x?0点x?0处的连续性与a的取值有关，故选(D).

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(9) 【答案】C

【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.

1?1?方法1：由于是选择题，可以用图形法解决, 令?(x)?x(x?1)，则?(x)??x???，

2?4?是以直线x?21?11?为对称轴，顶点坐标为?,??，开口向上的一条抛物线，与x轴相2?24?交的两点坐标为?0,0?,?1,0?，y?f(x)??(x)的图形如图.

点x?0是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.

方法2：写出y?f(x)的分段表达式： f(x)????x(1?x),?1?x?0,

0?x?1?x(1?x),?1?x?00?x?1,

??1?2x,?1?x?0?2,???从而f(x)??, f(x)??1?2x,0?x?1???2,x?0x?0limf?(x)?lim?1?2x??1?0，所以0?x?1时，f(x)单调增， ??x?0x?0?limf?(x)?lim??1?2x???1?0，所以?1?x?0时，f(x)单调减， ?所以x?0为极小值点.

当?1?x?0时, f??(x)?2?0，f(x)为凹函数； 当1?x?0时,

f??(x)??2?0，f(x)为凸函数, 于是(0,0)为拐点.

(10)【答案】 (B)

【详解】先求分段函数f(x)的变限积分F(x)?可导性即可.

方法1：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理：设f(x)在[a,?b]上除点

?0xf(t)dt，再讨论函数F(x)的连续性与

c??a,?b?外连续，且x?c为f(x)的跳跃间断点，又设F(x)??f(t)dt，则

cx

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(1)F(x)在?a,?b?上必连续；(2)F?(x)?f(x)，当x??a,?b?，但x?c；

??(3)F?(c)必不存在，并且F??(c)?f(c),?F??(c)?f(c)

直接利用上述结论，这里的c?0，即可得出选项(B)正确. 方法2：当x?0时，F(x)??0x(?1)dt??x；当x?0时，F(x)??1dt?x，当x?0时，

0xF(0)?0. 即F(x)?x，

显然，F(x)在(??,??)内连续，排除选项(A)，又F??(0)?lim?x?0x?0?1，x?0F??(0)?lim?x?0?x?0??1，所以在x?0点不可导. 故选 (B). x?0

(11)【答案】(D) 【详解】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，或应用举例法找出错误选项. 方法1：举例说明(D)是错误的. 例：f(x)?4?x,?1?x?1，

2f?(?1)??2xx??1?2?0,f?(1)??2xx?1??2?0.但在[?1,1]上f(x)?3?0.

方法2：证明(A)、(B)、(C)正确.

由已知f?(x)在[a,b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则由介值定理，至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0，所以选项(C)正确；

另外，由导数的定义f?(a)?limx?a?f(x)?f(a)?0，根据极限的保号性，至少存

x?a在一点x0?(a,b)使得

同理，f?(b)?lim?x?bf(x0)?f(a)?0，即f(x0)?f(a)，所以选项(A)正确.

x0?af(b)?f(x)根据极限的保号性，至少存在一点x0?(a,b)?0，

b?x使得f(x0)?f(b). 所以选项(B)正确，故选(D).

(12)【答案】(D ) 【详解】

方法1：矩阵等价的充分必要条件：矩阵A与B等价?A,B是同型矩阵且有相同的秩,故

由A与B等价，知A与B有相同的秩.

因此，当|A|?0时, r(A)?n, 则有r(B)?n, 即|B|?0, 故选(D).

方法2：矩阵等价的充分必要条件：A与B等价?存在可逆P,Q，使得PAQ?B. 两边

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取行列式，由矩阵乘积的行列式等于行列式的积，得PAQ?PAQ?B. P,Q可逆，由矩阵A可逆的充分必要条件：A?0，故P?0Q?0，但不知具体数值.由

PAQ?B，知A?0时，B不能确定.但A?0有B?0.故应选(D).

方法3：由经过若干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有：

(1)A中某两行(列)互换得B ，则B??A. (2)A中某行(列)乘k(k?0)得B，则B?kA. (3)A中某行倍加到另一行得B，则B?A.

又由A与B等价，由矩阵等价的定义：矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，知B??kA.

故当A?0时，B??kA?0，虽仍不等于0，但数值大、小、正负要改变，但

|A|?0，则B?0，故有结论：初等变换后，矩阵的行列式的值要改变，但不改变行

列式值的非零性，即若|A|?0?B?0，若A?0?B?0.故应选(D).

(13) 【答案】(C)

【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何x?0有

P?X?x??P?X??x??1P?X?x?. 或直接利用图形求解. 2方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{X??u?}??，于是

1???1?P{X?x}?P{X?x}?P{X?x}?P{X??x}?2P{X?x}

即有 P{X?x}?方法2：

1??，可见根据分位点的定义有x?u1??，故应选(C). 22y f(x) P?X?u????

f(x) y P?X?x???

1?? 2O O 图一 图二

x x Born to win

如图一所示题设条件.图二显示中间阴影部分面积?，P{X?x}??.两端各余面积

1??，所以P{X?u1??}??，答案应选(C). 22

(14)【答案】A.

【详解】由于随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，所以必有：

??2, i?j Cov(Xi,Xj)??0, i?j??n?n2又 D??aiXi???aiD(Xi)???i?1?i?1下面求Cov(X1,Y)和D(X1?Y).

2?ai?1n2i

1n而Y??Xi,故本题的关键是将Y中的X1分离出来，再用独立性来计算.

ni?1对于选项(A)：

1n11n11Cov(X1,Y)?Cov(X1,?Xi)?Cov(X1,X1)??Cov(X1,Xi)?DX1??2

ni?1nni?2nn所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算. 可以看本题(C),(D)选项. 因为X与Y独立时，有D(X?Y)?D?X??D?Y?. 所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：

1?n1D(X1?Y)?D(X1?X2?nn1(1?n)22n?12?Xn)???2? 2nnnn2?3n2n?32???， =

nn2n?111(n?1)22n?12D(X1?Y)?D(X1?X2???Xn)???2? 2nnnnnn2?2n2n?22???. =2nn所以本题选 (A)

三、解答题

(15)【详解】求“???”型极限的首要步骤是通分，或者同乘、除以某一式以化简.

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1cos2xx2?sin2xcos2x?????等价?????x2?sin2xcos2xlim(2?2)?通分?limlim x?0sinxx?0xx2sin2xx4sinxxx?0?1??2211x2?sin22x2x?sin4x?x?sin2x?4???lim42lim 洛=lim43x?0x?0x?0x4x4?x??1????2x?sin4x?2sin22x????????等???????2(2x)241?cos4x2???limlim?lim?. 洛lim222x?0x?0x?0x?06x6xsin2x2x6x3?4x3??

(16)【详解】利用对称性与极坐标计算.

方法1：令D1?{(x,y)|x2?y2?4},D2?{(x,y)|(x?1)2?y2?1}，根据二重积分的极

坐标变换：D?{(x,y)|?????,r1????r?r2???}，则： ??Df?x,y?d?????????f?rcos?,rsin??rdr

r1r2?????D1x2?y2d?化为极坐标：

D1?{(x,y)|x2?y2?4}?{(x,y)|0???2?,0?r?2} 所以

??D1x?yd???222?0d??20rcos??rsin?rdr??22222?0d??r2dr；

02??D2?3?x2?y2d?化为极坐标：D2?{(x,y)|(x?1)2?y2?1}?{(x,y)|???,0?r??2cos?}

22所以

??D2x?yd????d??2223?2?2cos?0rcos??rsin?rdr???d??222223?2?2cos?0r2dr

所以

??Dx2?y2d????x2?y2d????x2?y2d?

D1D2??2?0d??3?22rdr??202?d???2cos?2rdr0??2?03?3r3rd????230322?2cos?d?

0 Born to win

3?3?38?8cos?88?2?????2d??2?????2?1?sin2??dsin?

3233323?288?sin??16?8?2?16?3216?2????sin?????2???(3??2) ????33?3??33?3?39923区域D关于x轴对称，

??yd?中被积函数y为y的奇函数，根据区域对称性与被

D积函数的奇偶性：设f?x,y?在有界闭区域D上连续，若D关于x轴对称，f?x,y?对

y为奇函数，则??f?x,y?d??0，所以??yd??0

DD所以

2222??(x?y?y)d????x?yd????yd??DDD16(3??2). 9方法2：

2222(x?y?y)d??x?yd????yd??2????DDDD上半??x2?y2d??0

3232?极坐标变换?2[?d??0r2dr???d???2cos?r2dr]?2?[2?202?2?rr???23023?d?]

?2cos???88?8cos3??8?8?16??????1?sin2??dsin? ??2?????d??333233?2?316?16?sin3??16???sin???(3??2). ?33?3??92?

(17)【详解】求复合函数的偏导数，求一阶线性微分方程的解 方法1：由y(x)?e?2xf(x,x)，两边对x求导有，

y???2e?2xf(x,x)?e?2xf1?(x,x)?e?2xf2?(x,x)

??2e?2xf(x,x)?e?2x?f1?(x,x)?f2?(x,x)???2y?e?2x?f1?(x,x)?f2?(x,x)?

?(u,v)?fv?(u,v)?uv，即f1?(u,v)?f2?(u,v)?uv，则f1?(x,x)?f2?(x,x)?x2. 已知fu因此，y(x)满足下述一阶微分方程为 y??2y?x2e?2x.

由一阶线性微分方程

dy?P?x?y?Q?x?通解公式： dx

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?P?x?dx??P?x?dxdx? f(x)?e?C?Qxe???????这里P?x??2,??Q?x??x2e?2x，代入上式得：

?2dx2dxy?e?(?x2e?2xe?dx?C)?e?2x(?x2e?2xe2xdx?C)

?e?2x(?xdx?C)?e2?2x?x3??C??(C为任意常数). ?3?y( x) (1)

方法2：由y(x)?e?2xxf(x,x)有 f(x,x)?2e已知f(u,v)满足 fu?(u,v)?fv?(u,v)?uv (2)

2这是一个偏微分方程，当u?x,v?x时(2)式变为f1?(x,x)?f2?(x,x)?x

df(x,x)?x2 dx以(1)代入，有 (ey(x))??x，即2ey(x)?ey?(x)?x， 化简得 y(x)??2y(x)?xe由通解公式得

2?2x2x22x2x2，

1?2dx2dxy?e?(?x2e?2xe?dx?C)?(x3?C)e?2x(C为任意常数).

3

(18)【详解】(I) 由于需求量对价格的弹性Ed> 0，所以

Ed?P?PPPdQ； ?Q?100?5P?P?(0,20)??100?5P???100?5P20?P20?PQdP(II) 由R?PQ，得

PdQdRd?PQ?dQ?P?Q(1?)?Q(1???Q?P)?Q(1?Ed)

QdPdPdPdP20?P要说明在什么范围内收益随价格降低反而增加，即收益为价格的减函数，证Q(1?Ed)?0?Ed?1，换算成P为

dR?0，即dPP?1，解之得：P?10，又已知P?(0,20)，

20?P所以20?P?10，此时收益随价格降低反而增加.

(19)【详解】当x?0时，?x?0，所以F(?x)?e2??x??e?2x?F?x?，同理：当x?0时，

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?x?0，所以F(?x)?ex???x????2??x??e2x?F?x?，所以y?F(x)是关于y轴对称的偶函数.

x???x???又limF(x)?lime?2x?0，limF(x)?lime2x?0，所以x轴与曲线y?F(x)围

成一无界区域，面积S可用广义积分表示.

y?F(x)图形如下：

(I) S??????F?x?dx?F?x?偶函数?2???0edx????2x??0e?2xd(?2x)??e?2x0?1

??S1(t)表示矩形?t?x?t，0?y?F(x)的面积，所以S1(t)?2te?2t，

?2t因此 S(t)?S?S1(t)?1?2te，t?(0,??).

(II) 由于S?(t)??2(1?2t)e?2t，令S?(t)?0，得S(t)的唯一驻点为t??t2e?)2t又 S??(t)??2(1所以 S()?1?

????4e?2t?4e?2t1， 214?te)?2t，S??()??0， ?8te?2t?8(12e121 为极小值，它也是最小值. eTT(20)【详解】已知(1,?1,1,?1)是该方程组的一个解，故可将(1,?1,1,?1)代入方程组，有

?1?????1?0,? ?2?1?1?2?0,?3?(2??)?(4??)?4?1,?解得λ?μ．代入原方程，并对方程组的增广矩阵A施以初等行变换, 得

??10??1??10??1??1行乘(-2),(-3)?? A??21120?01?2?1?2?00?3行??32??4??41?分别加到2，?02?2?4?2?11???????10???10??1?12行?(-1)??2，3行??01?2?1?2?0001311?互换??加到3行??0???1311???01?2?1?2?00?

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?10??1?2行?(2??1)??01311 ??加到3行?002(2??1)2??12??1???(I)当λ?

1

时，有 2

?1??10???A 3行?(2??1) ?01311?，故r(A)?r(A)?3?4.

?00211???定理：设A是m?n矩阵，方程组Ax?b，则，(1)有唯一解?r(A)?r(A)?n；(2)有无穷多解?r(A)?r(A)?n；(3)无解：?r(A)?1?r(A)，故方程组有无穷多解.

所以，该方程组有无穷多解，对应的齐次线性方程组同解方程组为

?x1??x2??x3?x4?0? ?x2?3x3?x4?0?2x?x?0?34由于此方程组的系数矩阵的秩为3，则基础解系的个数为n?r?4?3?1，故有1个自由未知量.选x2为自由未知量，取x2??1，得方程组的基础解系为η?(?2,1,?1,2)，取非齐次

T方程的一个特解为?0?(?1,0,0,1)，故方程组的全部解为k???0(k为任意常数)．

T当λ?1时，有 21?1?2?A??01?00??1?10?2?311?， 000???可知，r(A)?r(A)?2?4，所以该方程组有无穷多解，对应的齐次线性方程组的同解方程组为

11??x1?x2?x3?x4?0 22???x2?3x3?x4?0则基础解系的个数为n?r?4?2?2，故有2个自由未知量.选x3,x4为自由未知量，将两

T组值：(1,0),(0,2)代入，得方程组的基础解系为η1?(1,?3,1,0)，η2?(?1,?2,0,2)，取

T Born to win

T非齐次方程的一个特解为?0?(?1,0,0,1)，故方程组的全部解为

???0?k1?1?k2?2?(?1,0,0,1)T?k1(1,?3,1,0)T?k2(?1,?2,0,2)T

(k1,k2为任意常数)．

(II)当λ?1时，方程组的通解为 2???0?k??(?1,0,0,1)T?k(?2,1,?1,2)T?(?2k?1,k,?k,2k?1)T

若x2?x3，即k??k得k?0，故原方程组满足条件x2?x3的全部解为(?1,0,0,1). 当λ?T1时，方程组的通解为 2???0?k1?1?k2?2?(?1,0,0,1)T?k1(1,?3,1,0)T?k2(?1,?2,0,2)T

T=(k1?k2?1,?3k1?2k2,k1,2k2?1)

若x2?x3，即 ?3k1?2k2?k1，得k2??2k1，代入通解，得满足条件x2?x3的

TT全部解为k1(3,1,1?4)?(?1,0,0,1)

(21)【分析】由矩阵A的秩为2, 立即可得A的另一特征值为0. 再由实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交可得相应的特征向量, 此时矩阵A也立即可得.

【详解】(I)A的秩为2，于是|A|?0，所以|0?E?A|?A?0，因此A的另一特征值

λ3?0．

特征值的性质：若?i是矩阵A的k重特征值，则矩阵A属于的线性无关的特征向量的个数不超过k个

又λ1?λ2?6是A的二重特征值，故A的属于特征值6的线性无关的特征向量个数

?2. 因此?1,?2,?3必线性相关.由题设知α1?(1,1,0)T，α2?(2,1,1)T为A的属于特征值6

的线性无关的两个特征向量.

定理：实对称矩阵对应与不同特征值的特征向量是正交的.

T设λ3?0所对应的特征向量为α?(x1,x2,x3),所以，α1α?0，α2α?0，即

TT?x1?x2??2x1?x2?x3?0, ?0, Born to win

则基础解系的个数为n?r?3?2?1，故有1个自由未知量. 选x2为自由未知量，取x2?1T得方程组的基础解系为α?(?1,1,1)，故A的属于特征值λ3?0全部特征向量为

kα?k(?1,1,1)T (k为任意不为零的常数)．

(II)令矩阵P?(α1,α2,α)，求P?1

?12?1100??12?1100?????1110101行?(?1)加到2行0?12?110???? ?011001??011001?????00??12?1100??12?11????1行加到2行?0?12?110?3行?3?0?12?110?

?003?111??001?1/31/31/3?????00??12?11??3行?(-2)+2行?0?10?1/31/3?2/3??001?1/31/31/3???1?1??1000??3行，2行?2依次加到1行，0?10?1/31/3?2/3??

?001?1/31/31/3???1?1??1000??2行?(?1)?0101/3?1/32/3?

?001?1/31/31/3??????01?1??6?????112??1?1??PAP?6则 P?，??，

?333??0??11???1???3??33????1?1??422??6??12?1??6??0?????1????112???24?2A?P6P?1116?所以 ??． ????????333?011?????0?0?1??2?24??????11?????3??33

(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题

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方式值得注意。

先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.

【详解】(I) 由于P(AB)?P(A)P(B|A)?P(AB)11?, ，P(B)?P(AB)612所以 P{X?1,Y?1}?P(AB)?1， 121， 61 P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(B)?P(AB)?,

12 P{X?1,Y?0}?P(AB)?P(A)?P(AB)? P{X?0,Y?0}?P(AB)?1?P(A?B)=1?P(A)?P(B)?P(AB)?(或P{X?0,Y?0}?1?故(X,Y)的概率分布为

Y

X 0 1

2 31112???)， 1261232 31 1

6 0

(II) X,Y的概率分布分别为

1 121 12213??, 3124111P{X?1}?P{X?1,Y?1}?P{X?1,Y?0}???,

6124111P{Y?1}?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?1}???,

12126215P{Y?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}???.

366P{X?0}?P{X?0,Y?1}?P{X?0,Y?0}?所以X,Y的概率分布为

X 0 1 Y 0 1 P

3151 P 446611133由0?1分布的数学期望和方差公式，则EX?,EY?，DX???，

464416 Born to win

1515DY?? =, 所以E(XY)?0?P?XY?0??1?P?XY?1??P?X?1,Y?1?=,

663612故Cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY?(III)Z的可能取值为：0,1,2 .

1Cov(X,Y)15，从而?XY??. 2415DX?DY21，P{Z?2}?P{X?1,Y?1}? 3121P{Z?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1}?，

4P{Z?0}?P{X?0,Y?0}?即Z的概率分布为：

Z P 0 1 2 112 3412

(23) 【详解】正确理解已知条件, 即条件密度是求解本题的关键.

根据题意X的概率为：

?1,0?x?1， fX(x)???0，其他，在X?x(0?x?1)的条件下，Y的条件概率密度为

?1?,0?y?x，fY|X(y|x)??x ??0，其他，求联合密度、边缘密度概率都有现成公式：f(x,y)?fX(x)fY|X(y|x)；

fY(y)??????f(x,y)dx；P{X?Y?1}?X?Y?1??f(x,y)dxdy.

1 x(I) 当0?y?x?1时，随机变量X和Y的联合概率密度为f(x,y)?fX(x)fY|X(y|x)?在其它点(x,y)处，有f(x,y)?0，即 ?1?,0?y?x?1，f(x,y)??x ?其他．?0，(Ⅱ) 当0?y?1时，Y的概率密度为

y 1 x?y?1 y?x O 1 x

Born to win fY(y)??f(x,y)dx??????1dx??lny； yx1当y?0或y?1时，fY(y)?0．因此 ??lny,0?y?1， fY(y)??其他．?0，111dy??1(2?)dx?1?ln2． (III) P{X?Y?1}???f(x,y)dxdy??1dx?1?xxx22X?Y?11x

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