1.4.3正切函数的性质与图像

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三 角 函 数

1.4 三角函数的图象与性质1.4.3 正切函数的性质与图象

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1.理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作 法. 2.能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有 关的基本问题.

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基础梳理 一、 正切函数的性质(1)正切函数的定义域和值域：定义域为__________, 值域为________; (2)正切函数的周期性：y=tan x的周期是________ (k∈Z,k≠0),最小正周期是________;

(3)正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是________ 函数，其图象关于原点________.(4)正切函数的单调性：正切函数在开区间 __________(k∈Z)内都是增函数. 一、(1) 心对称 (4) π x x≠kπ+ ,k∈Z 2

-π+kπ,π+kπ 2 2

R

(2)kπ π

(3)奇 中

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[-1,1] . 为________

π π 练习1:正切函数y=tan x在区间 - , 上的值域 4 4

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思考应用 1.能否说正切函数在整个定义域上是增函数？ 解析：不能.正切函数在整个定义域上不具有单调性， 因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是

增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函 π 数.举反例：x1= ,x2= 5π ,x1<x2.tan x1=tan x2这与单调 4 4 π 内， π 性的定义矛盾.对每一个k∈Z,在开区间 kπ- ,kπ + 2 2 函数单调递增.

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二、正切函数的图象(1)根据正切函数y=tan x的定义和周期，通过 π π 平移 单位圆中的________ 正切线 来作出它在区间 - , ________ 2 2 上的图象；

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π π (2)将正切函数y=tan x在区间 - , 上的图象向左、 2 2 右扩展，就可以得到正切函数y=tan x x≠kπ+π,k∈Z 的图 2 象.

我们把它叫做________.正切曲线是被互相平行的直 线x=________(k∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的.这些 平行直线x=________(k∈Z)叫做正切曲线各支的 ________.

π (2)正切曲线 kπ+ kπ+ 2

π 渐近线 2

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(3)结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线 __________作图法作出正切函数y= π π tan x在一个单调区间 - , 上的简图. 2 2

-π,-1 ,(0,0), π,1 .二线为：x= 其中，三点为： 4 4 π π π - ,x= .画图时，注意图象不能与直线x=kπ+ ,

(k∈Z)相交.

2

2

2

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思考应用 2.你能求不等式tan x≥

3的解集吗？

分析：本题可利用图象直观解决. π π - , 解析：作正切函数y=tan x在区间 2 2 上的简图， 观察图象，且由正切函数y=tan x在 区间上 -π,π 单调递增，tan= 3 , 2 2 π ∵tan x≥ 3 ,即tan x≥tan , 3 π π ∴在区间 -2,2 内，不等式tan x≥

3 π π 的解集 , , 3 2 故由正切函数的周期性可知原不等式 的解集为 kπ+π,kπ+π ,(k∈Z). 3 2

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自测自评

π 1.函数 y=tan 3x-4 的最小正周期是( π A. 6 π B. 3 π C. 2

)

π D. 4

解析： 因为ω=3,所以最小正周期T= π = π,故选B.

|ω|

3

答案：B

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2.下列命题正确的是(

)

A.正切函数在定义域内是增函数

B.正弦函数在定义域内是增函数C.函数y=3tan

x2 的图象关于y轴对称

D.若x是第一象限角，则y=tan x是增函数，y=cos x是 减函数 解析： 正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的 单调函数，可排除A、B、D,选C. 答案：C

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π 3.已知函数 y=tan(2x+φ)的图象过点 12,0 ,则 φ 可以是 ( π A.- 6 π C.- 12 ) π B. 6 π D. 12

π π 解析：将点 12,0 代入 y=tan(2x+φ)得，tan 6+φ =0, π ∴φ 可以是- . 6 答案：A

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4.函数y= A.[-1,1]

π π 1 , -4<x<4 的值域是( tan x

)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-∞,1] D.[-1,+∞) π π 解析：∵- <x< ,∴-1<tan x<1, 4 4 1 1 1 又由 y= ,解得 tan x= ,∴-1< <1, tan x y y

解不等式组 1 y<1

1 > -1 y

,

解得 y<-1 或 y>1,故答案选 B. 答案：B

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正切函数的图象 函数y=tan - 在一个周期内的图象是( 2 3

x

π

)

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分析：本题主要考查函数y=Atan(ωx+ )的图象. x π 解析：解法一：采用三点两线法作出函数 y=tan 2-3 在一个周期内的简图. 2π x π π 即令 - =0,± ,求得三点坐标分别为 3 ,0 , 2 3 4 7π,1 和 π,-1 , 6 6 x π π π 5π 又令 - ≠± ,求得二渐近线方程为 x≠- 且 x≠ , 2 3 2 3 3 故选 A. x π π 解法二：y=tan 2-3 的周期 T= =2π,而由图象 B、 1 2 D 可知周期为 π,故可排除 B、D. π π π π 当 x= 时，y=tan - =-tan ≠0,故可排除 C,

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π π π π 当 x= 时，y=tan 6-3 =-tan ≠0,故可排除 C, 3 6 因此应选 A. x π 1 2π 解法三：∵y=tan 2-3 =tan x- 3 , 2 x 2π ∴此函数图象可由 y=tan 的图象向右平移 个单位得 2 3 2π x 到，而 y=tan 的图象过原点，故原函数的图象过点 3 ,0 . 2 2π 又图象过点 3 ,0 的只有 A,故选 A. 答案：A

点评：三点两线法是作正切函数图象的常用方法.

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跟踪训练

π 1.与函数 y=tan 2x+4 的图象不相交的一条直线 是( π A.x= 2 π C.x=- 4 ) π B.x=- 2 π D.x= 8

π π π π 解析：当 x= 时，2x+ = ,y=tan 2x+4 无意义， 8 4 2 π 故 x=

与函数的图象不相交.答案选 D. 8 答案：D

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正切函数的周期性 求下列函数的最小正周期： (1)y=-tan π 3 ; x+ 3 5 (2)y=|tan x|.

分析：本题主要考查正切函数的周期，(1)式利用T= π求解；(2)式应画出函数y=|tan x|的图象，利用图象法求解.

|ω|

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9yzm.html