经济数学(定积分习题及答案)

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第六章 定积分

习题 6－1

2

y x1.利用定积分的定义，计算由抛物线、直线x = a, x = b及x轴所围的图形的面积

S(0 a b).

解 将区间 a,b n等分，则每个小区间的长均为

xi

b a

n

b ab a a (i 1),a i nn ,取小区间的右 于是第i个小区间为 b ab a2

a if( ) (a i)(i 1,2, ,n)ii

n，则n端点为 i，即

a(b a)(b a)22b a

Sn f( i) xi (a 2i i)2

nn ni 1i 1因为

n

n

2

b a n2b an(b a)2

a 2ai n i 1ni 1n2

2 i

i 1 n

b a 2b an(n 1)(b a)2n(n 1)(2n 1)

na 2a 2

nn26n

2a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1)

(b a) a 2

n6n

而

2a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1) limSn lim (b a) a n n n6n2

2(b a)2

(b a) a a b a

3

11

(b a)(a2 ab b2) (b3 a3)33

b213xdx (b a3). 3所以 a

2.利用定积分的定义，计算下列积分：

(1)

0

1

xdx

(2)

1xedx0

解 (1) 将区间

0,1 n等分，则每个小区间的长均为

n

xi

1

n，于是第

i 1i ii, f( ) (i 1,2, ,n) nn iix iinn，则i个小区间为, 取小区间的右端点为，即 n n 1 i11n

Sn f( i) xi =2 i ＝

ni 12n2 i 1i 1nn因为

n(n 1)1

limSn lim 2n n 2 2n两端取极限，得

n

所以

0

1

xdx

12.

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(2) 将区间0,1n等分，则每个小区间的长均为

xi

1

n，于是第i个

i 1i i

n,n i

, 取小区间的右端点xi为 i，即n，则 小区间为

f( i)

i en(in

1,2, ,n)

i111 1nn1 n12

Sn f( i) xi e (e) (en) (en)n

ni 1n i 1 因为

两端取极限，得

1e(e 1)n1

en 1

1en

1n

n

limSn lim

1n n

(e 1) 1

1en

lim

1en

(e 1) 1n

n

1en

e 1

1xedx0

e 1

所以 .

2.利用定积分的几何意义，说明下列等式：

(1)

cosx 4 (2)dx = 0

2

3 2

(3)

2

sinxdx 02

2

(4)

2

cosx

2 2

dx=2

20

cosx

dx

解 (1) 因为单位圆x y 1在第一象限的方程为

y

所以根据定积分的几何意义知故

x

为单位园在第一象限的面积.

x

4.

2

(2) 因为 当

x

3

2时，曲线y cosx在x轴的上方和下方的

曲边梯形的面积相等.所以根据定积分的几何意义知，(3) 因为当

cosxdx 0

2

3 2

.

2

x

2时，函数y sinx在x轴上方和下方的曲边梯

形的面积相等，所以根据定积分的几何意义知，

sinxdx 0

2 2

.

2,2 y cosx 上为偶函数，其图形关于y轴对称且 (4) 因为 在

经济数学(定积分习题及答案)

都在x轴的上方，所以根据定积分的几何意义知，

4.将下列极限表示成定积分：

111lim( )2n 14nn n n

nnn

(1)

2 cosxdx 2 02cosxdx

2

.

1(2) n n111

214nn n n nnn 解 （1）因为

lim

1 111

1222n2 n

1 ()1 ()1 () nnn

1

i1 ()2

n

111lim( )2n 14nn n n

nnn 所以

1n ni 1

lim

1111 dx20n in1 xi 11 ()2

n.

n

1

y n（2）

令 1

lny ln(n 1) ln(n 2) ln(2n) lnn

n 1

ln(n 1) ln(n 2) ln(2n) nlnn

n

1 12n ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) n nnn n

11

ln(1 )

nn i 1

i11limln(1 ) limlnyn nn＝ 0ln(1 x)dx i 1因为 n ＝

limy en lny

y e而，所以 n

limlny

ln(1 x)dx e 0

1

n

.

习题 6－2

1.确定下列定积分的符号：

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(1) 1

2

xlnxdx

(2)

40

1 cos4x

dx2

sinx xcosx1

dx|x|dx

(3) 0cosx xsinx (4) 1

解 (1) 因为被积函数f(x) xlnx在[1,2]上连续，且f(x) 0，但f(x)不恒等于0，

1

所以由性质6知,

2

1

xlnxdx 0.

1 cos4x 0, f(x)

2(2) 因为被积函数在 4 上连续，且f(x) 0，但f(x)不恒等于0，

4

1 cosx4dx 0. 02所以由性质6知,

sinx xcosxf(x)

cosx xsinx在 0,1 上连续，且f(x) 0，但f(x)不恒等(3) 因为被积函数

sinx xcosx

dx 0. 0cosx xsinx于0，所以由性质6知,

(4) 因为被积函数f(x) |x|在[-1,1]上连续，且f(x) 0，但f(x)不恒等于0，所以由

1

性质6知 1

2.不计算定积分，比较下列各组定积分值的大小.

(1) 0(3)

1

1

|x|dx 0.

与 0

1

x2dx

2

x3dx

2

(2)

(4)

0

3

x2dx

4

与

33xdx0

1

lnxdx

与 1

ln2xdx

3

lnxdx

与 3

4

ln2xdx

232

0,1 x x x(1 x) 0，即 x2 x3 解 (1) 因为在上，

所以

1

xdx x3dx.

2

1

3

2

23

(2) 因为在 1,3 上，x x x(1 x) 0， 即 x x

2

xdx xdx

所以 .

1

2

1

3

2

(3) 因为在 1,2 上，0 lnx 1,lnx lnx lnx(1 lnx) 0

2

即 lnx lnx

所以

2

1

lnxdx ln2xdx.

1

2

2

lnx lnx lnx 1 lnx 0 [3,4]1 lnx (4)因为在上，，

2

即 lnx lnx

所以

4

3

lnxdx ln2xdx.

3

4

2

1 sinx dx4

0x2 xedx2

3.估计下列积分值： (1) 1(3)

4

x

2

1dx

5 4

(2)

arctanxdx

(4)

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2

解 (1) 因为被积函数f(x) x 1在区间1,4上单调递增,所以在区间1,4上有

2 x2 1 17，即1 x 4

故由定积分的估值定理，得

6

4

1

x

2

1

dx 5

1

(2) 设被积函数f x 1 sin2x'

，则由f x sin2x 0，得驻点

x

1 ,ff f 为 2x2 2,f 1,

. 3

且 2

4 2, 5 3 4

2

即 1 1 sin2

x 2

5 故由定积分的估值定理，得

4

1 si2

nx

xd 2

4

.

x (3) 设被积函数f(x)

xarctanx，

f'

因为(x) arctaxn x1 x2 ，0则f(x

)在

上单调递增，x

时，f xarctanx f

xarctanx即

故由定积分的估值定理，得

9

arctaxnx d

2

.

3

0x2 x(4) 因为

2

edx 2ex

2

x

dx

，设被积函数f(x) e

x2 x

，x 0,2

1

x) 2x 1 2

令f'(x 0，得驻点为x 11 e

x

4

2,且f(2) e,f(0) 1,

f(2) e2

，所以当x 0,2 时， e

14

ex

2

x

e2 2故由定积分的估值定理，得 2e

14

0

ex

2

x

dx 2e2

即

2e2

0x2 142

exdx 2e

.

4.证明下列不等式：

x

(1)

2

1(2) 2 1x 6

x 证 （1）

0,2

而 0 cos2

x 1

所以

当

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1所以

x 0, 2

2故由定积分的估值定理，得

f

x

f(x)在 0,1 上连续，且

（2）令

f'(x)

122

f(0) f(1) ,f() x

'

233，且令f(x) 0，得驻点

x

1所以

2

x [0,1]

11 x26

故由定积分的估值定理，得

5.求下列极限：

（1）n 01

lim

1

xnex

ex

dx

1n

x

lim2

（2）n 01 x

dx

0,11 ex，则f(x)在 解 (1) 设被积函数

（0，1）内，至少存在一点ξ，使得

f(x)

xnex

上连续，由积分中值定理知，在区间

xnex ne

dx (0,1) 01 ex1 e nx1xe ne

lim x lim 0n 01 exn 1 e 故 .

1

xn 1

f(x) 1,则f(x)在

1 x 2 上连续，由积分中值定理知，在区间(2) 设被积函数

1

0,2 内，至少存在一点ξ，使得

1

xn2x01 x n

1

()

12

故

6*. 设f(x), g(x)在[a,b]上连续，求证：

(1) 若在[a, b]上，f(x) 0且 a

b

lim

120n

xn n

x lim 0

n 1 1 x.

f(x)dx

=0，则在[a, b]上, f(x)≡0;

b

(2) (2) 若在[a, b]上, f(x) g(x) 且 a

必有 f(x)≡ g(x)

解 （1）用反证法.

f(x)dx g(x)dx

a

b

，则在[a, b]上，

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若f(x)不恒等于为零，则至少存在一点x0 [a, b]，使得f(x0) 0.

不妨假设f(x0)＞0，且x0 (a, b)，则由f(x)在[a , b]的连续性知，

x x0

limf(x) f(x0) 0f(x)

，根据定理2.3得推论2知，在点x0的某个邻域内，就必有

1

f(x0) 02.于是由性质4，得

a

b

f(x)dx

x0

a

f(x)dx

x0

x0

f(x)dx

b

x0

f(x)dx

由此与已知

b

x0

x0

x0 1

f(x)dx f(x0) dx f(x0) 0

x 02

b

a

f(x)dx 0

矛盾，反证法之假设不成立，即f(x) 0.

（2）令F(x) g(x) f(x)，则在[a , b]上就必有F(x) 0，且

a

F(x)dx 0

.

由（1）的结论可知，在[a , b]上就必有F(x) 0，即f(x) g(x).

7*. 设f(x)在区间[a, b]上连续，g(x)在区间[a, b]上连续且不变号，求证至少存在一点

(a, b)，使得 af(x)g(x)dx f( ) ag(x)dx.

证 因为f(x)在[a , b]上连续，必有最大值M和最小值m，所以 x [a , b]，有

m f(x) M.

设g(x) 0，则有 由定积分的性质5，得

b

bb

mg(x) f(x)g(x) Mg(x)

b

b

m g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx

a

a

a

m

于是，有

b

a

f(x)g(x)dx

b

M

a

g(x)dx

又由介值定理知，在(a , b)内，必存在一点 ，使得

a

b

f(x)g(x)dx

ag(x)dx

故

b

f( )

ba

b

a

f(x)g(x)dx f( ) g(x)dx

(a,b).

习题 6－3

1. 1. 已知函数

'

y sintdt

x

x

，求当x = 0及

x

4时, 此函数的导数.

解 因为

y ( sinxdx)' sinx

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所以 y'|x 0 sinx|x 0 sin0

y'|

x

4

sinx|

x

4

sin

4

2. 2. 求由决定的隐函数y（x）对x的导数. 解 将方程两边对x求导并注意到y为x得函数，得

ytx

edt costdt00

0

ey y' cosx 0

'' y

解出y，得 y ecosx.

3. 3. 当x为何值时，极小值？

2

I(x) te tdt

x2

有极值？此极值是极大值还是

' x

I'(x) 0，I'(x) 0解 由I(x) xe 0，得驻点x 0，而当x 0时，当x 0时，

所以，当x 0时，I(x)有极值，此极值是极小值I(0) 0.

4. 4. 计算下列导数：

dx3dx2t tx2dx (1)dx0

(2)

d0

(3) 2tcost2dtdxx

2

dx

t (x2)' 2 解

(1) dx0

dx3(2) 2t x3)' (x2)'

dxx

2

(3)

5. 5. 计算下列定积分：

2

2

d0224234

tcostdt xcosx (x)' 2xcosx.2

dx x

4

(x t)dx 1x(1)

(2) 1(3) (5)

dx(x2 a2)

(4) 1

1

3x4 3x2 1

x 1

2

dx

0

5

x2 3x 2dx

x

(6)

0x 1dx| a

b

(7)

0

t(t 1)dt

(8)

xdx(a b)

x 1(x 1)

f(x) 1

2

(x 1) x

2(9) , 求

0f(x)dx.

2

2

解 (1)

1

2

4x372

(x t)dx ( 4lnx tx) 4ln2 t

x331

.

经济数学(定积分习题及答案)

xd()dx11a(2) 0x2 a2a01 (x)2a

a

1

( 0) .

a33a

x

1d()1111x arcsin 2 0

20122

(3) .

(4)

3x4 3x2 1

x2 1

1

dx (3x2

1

)dx

x2 1

1

4

x 3x 2,0 x 1,或2 x 5

x2 3x 2 2

(x 3x 2),1 x 2(5) 因为被积函数

2

(x3 arctanx)|0 1

1.

所以

0

5

x2 3x 2dx (x2 3x 2)dx (x2 3x 2)dx

1

12

51

(x2 3x 2)dx 14.

2 2

(6) 因为在本题中，变量为x且0 x 1，t为参数，但是可以取任意 实数，即本题结果应为t的函数. 所以设

当t 0时，得

1

1

I(t) x tdx

1

，则

I(t) x tdx (x t)dx

当0 t 1时, 得

1

t

1 t2

1

I(t) x tdx (t x)dx (x t)dx t2 t

t

当t 1时, 得

12

I(t) x tdx (t x)dx t

11

12

1

2 t, t 0

1

I(t) t2 t , 0 t 1

2

1

t 2, t 1 故 .

t(t 1), t 0

t(t 1) t(t 1),0 t 1

t(t 1), t 1 (7) 因为被积函数，且x为参数可取一切实数，所以应分

下列情况讨论：

x3x2

I(x) t(t 1)dt

0x 032 当时，有

x

经济数学(定积分习题及答案)

x3x2

I(x) t(1 t)dt

00 x 132 当时，有

x

当x 1时，有

I(x) t(t 1)dt

1

0x

1

x3x21

t(t 1)dt

323

x3x2

,x 0 32

x3x2

I(x) ,0 x 1

2 3

x3x21

,x 1 323 故 .

(8) 令被积函数x 0,得x 0，按数0在区间a,b的不同位置状况，可分为下列几

种情况：

① 当a b 0时，得

bb1

I xdx xdx (b2 a2)

aa2

② 当a 0 b时，得

③ 当0 a b时，得

0b1

I xdx xdx (b2 a2)

a02 b1

I xdx (b2 a2)

a2

故综上所述，有

I

b

a

122

2(b a), a b 0 1

xdx (b2 a2), a 0 b

2 122

2(b a), 0 a b .

x 1(x 1)

f(x) 1

2

(x 1) x2 (9) 因为

f(x)dx 0f(x)dx 1f(x)dx 0(x 1)dx 1

所以 0

6. 6. 求下列极限：

1x1x

lim2 arctantdtlim(1 sin2t)dt

(1)x 0x0 (2) x 0x0

21212

x28

dx 23.

lim

(3)

x 0

x2

x

excostdtlimx (4)* x

2

2

x2t2

tedt0

1x

(1 sin2t)dt lim(1 sin2x) 1. 0x 0x 0x解 (1)

1xarctanx21lim2 arctantdt lim lim

0x 0xx 0x 02(1 x2)2x2. (2)

lim

经济数学(定积分习题及答案)

(3)

x 0

e

x2

xcost2

dt x 0

x2

cost2dt lim4x4 0.

x 0

(4) lim

x2

x

x

x2t2

tedt0

lim

x

x2t2

tedt0

xex2

x2

lim

x2ex

2

2

x

ex(1 2x2)

lim

1 .

x (1 2x2)2

2 x,x [0,1)

f(x) x

3

(x) x,x [1,2] 0f(t)dt在[0，2]的表达式，并讨论 (x)在[0, 7*. 设，求

2]上的连续性与可导性.

x3

(x) tdt

00 x 13 解 因为 当时，

x2

当1 x 2时，

(x)

12

tdt0

x3tdt1

1x4 124

x3

, 0 x 1 3

(x) 4

x 1, 1 x 2 12 4所以 (x)的表达式为

又因为f(x)在区间[0,1)与(1,2]上为初等函数，显然为连续函数.

而

x 1

23

limf(x) limx 1, limf(x) limx 1

x 1

x 1

x 1

即 limf(x) 1

x 1

知，f(x)在x 1处连续. 所以f(x)在区间[0,2]上连续. 故由定

x

由

limf(x) f(1) 1

x 1

理6.5知，函数 (x)在区间[0,2]上可导.

8*.设f(x)在[a, b]上可积，求证：当x (a, b)时， (x)= 0意可积函数的有界性).

证 因为设对任意的x, x x (a, b)时,有

f(t)dt

在[a, b]上连续(提示: 注

(x) (x x) (x)

x x

a

f(t)dt f(t)dt

a

xx x

x

f(t)dt

又由f(x)在[a, b]上可积知,存在常数M>0, 使得f(x) M 所以

(x)

x

x x

f(t)dt M

x

x x

dt M x

lim x 0,则lim (x) 0

x 0而 x 0

故 (x)在[a, b] 上任意一点x处连续, 即 (x)在[a, b]上连续.

习题 6－4

经济数学(定积分习题及答案)

1. 计算下列定积分：

(1)

(3)

(1 sin3x)dx

(2) (4)

1

1x

t22

x

0te

2

dt

(5)

1

e

2

x

(6)

2 cosxcos2xdx 0

(7)

2

x

(8)

3

2

x

解 (1)

(1 sinx)dx dx sin3xdx

dx (1 cos2x)dcosx

14

(x cosx cos3x)

33 0

(2)1

x

x令x sint 2

4

costsint

22

dsint

2

cos2tsint1sint

22

dt

1 sin2tsint

2

dt

44

2

4

dt 2dt 1

4

4

.

(3)1 20

x

1x2

20(3a2 x2) 1)a.

)

t2

e2

(4)

t2 1

te2dt0

t2 1t22ed( 02

1 e

1

2.

(5)

e2

1

x (1 lnx)d(1 lnx)

1

21ex)2

e2

12

2(1 ln

1).

1

(6) 2 cosxcos2xdx 2 2(1 2sin2x)dsinx

2

2 2dsinx 4 2sin2xdsinx

2sin

2x0

42 sin3x2 .

033

经济数学(定积分习题及答案)

(7) 2 x 2x

2

2 2sin

1

x(cosx)2dx

2

1

2(cosx)2dcosx0

2 (8)

32

2

(cosx)2

3

4 .3

x

xdx

xdx

xdx

2

x

20

x 2

2. 2. 利用函数的奇偶性计算下列定积分：

sinxdx(1) (2)

(3)

3

2

2

sin4xdx

1

2

x

dx 3x4 2x2 1 (4)

x3tan2x

解 （1）因为sinx在 , 上为奇函数，所以

sinxdx 0.

2,2 4

上是偶函数，所以 （2）因为sinx在

2sinxdx 22(1 cos2x)2dx 12(1 2cos2x cos22x)dx

0

22 0

42

1 12 121 cos4xdx sin2x0

2222 021 12 3 . sin4x0442168

(arcsinx)2

（3）因为

x2

2

11

2,2

上是偶函数，所以

在

120

1x 2

2

2

x

1

2 332

2 x)d(arcsinx) (arcsinx)|0 .

3324

3x3tan2xx3tan2x

dx 0 4242 3,3 3 x 2x 1（4）因为x 2x 1在上是奇函数，所以.

3. 证明下列各题：

x111

dt 1 11 t2 1 t2dt

x(1)

1

2(arcsin0

经济数学(定积分习题及答案)

(2)

1m

x(1 0

n

x)ndx xn(1 x)mdx

1

(3)

sinxdx 2 2sinnxdxt

证 (1) 令

11,dt 2dyyy，则

1

1

左端 =

x

11dy1

1 t

2

dt

x

dy11 y2

12 x1 y

x

dt11 t2

右端.

(2)左端 10

xm(1 x)ndx令x 1 u 0

(1 u)m1

undu

1un(1 u)mdu 1

xn(1 x)mdx 右端.

(3)左端

sinnxdx令x

2

u 2 sinn(

2

2

u)d(

2

u)

cosn

udu 2

2

20

cosnudu

2

令u

y 2n

2 sinydy 22 20sinnxdx 右端.

4.* 设f(x)在[0,1]上连续且单调减少，求证：对任给 0,1 ，均有

1

f(x)dx 0

f(x)dx

证 由于

f(x)dx令x t 1

f( t)dt

, 则当0 1,0t 0 t 1且, 0 t tf(x)

又由已知在[0,1]上单调减少，所以f( x) f(x)

1于是

0

f(x)dt f( t)dt 1

f(t)dt

1

即 0

f(x)dx 0f(x)dx

.

5. 5. 计算下列积分：

1

xe

(1)0

xe dx (2) 1

xlnxdx

4

(3)

1

x

(4) 1

xarctanxdx

20e2xcosxdx

(6) 0

(xsinx)

2

(5) dx

e1lnxdx

1

x

(7)

e

(8) 0

(x 1)3

dx

e2

(9)

1

cosxlnxdx

1

1 x2解 (1)0xexdx xe x0 0edx e 1 e x0 1 e.

，

时

经济数学(定积分习题及答案)

(2)(3)

1

1

e

x21ee2121

xlnxdx lnx xdx x (e2 1).

2212414x 2

lnx14

e

e

4

4

1

2

1421

1

2lnx 2 xdx 8ln2 4x

4(2ln2 1)

.

x211x21

(4) xarctanxdx arctanx|0 dx

02201 x2

1 1 11

(x arctanx)0 .

24242

1

2x

(5) 2e

cosxdx e

2x

sinx

2x

2

2 2e2xsinxdx

e 2e

cosx

20

4 2e2xcosxdx

e 2 4 2e2xcosxdx

1 2x

ecosxdx (e 2.) 5移项解得

1

(6) (xsinx)2dx x2(1 cos2x)dx

020

2

x3

6

1 2

xcos2xdx 02

x21

sin2x xsin2xdx

6420

x1 3

cos2x cos2xdx .

064464 0

(7) 令 lnx 0，则x 1

e

1e

1

e

3 3

lnxdx 1lnxdx lnxdx

e

1

1e1e

xlnx1 1dx xlnx|1 dx 2(1 ).

1ee

e

(8) (x 1)3xdx

1

11

(x 1)d3x ln30

(x 1)x

3

ln3

11x

3dxln3 0

1

11x

3ln3(ln3)2

ln3 2ln3

2

.

经济数学(定积分习题及答案)

(9)

e2

1

coslnxdx xcos(ln

x)|2

1

e2

e1

sin(lnx)dx

e2

1

e2

1

cos(lnx)dx

e2

1

移项解得 1cosxlnxdx 2

2(e 1).

6. 已知 cosx 0(x 2)2dx2sinxcosx= m, 求 0x 1dx.

解

2sinxcosx12sin2x1 sint0x dx 02x 2dxt 2x2 0t 2dt 12 10t 2

d(cost)

1cost 1 cost12 t 20 2 0(t 2)2dt 2(1 2 12 m).

x

f(2x a) xeb

,求

y

a 2b

f(t)dt.

解 设t 2x a

，则

y

y ay ax 2 2

2a 2bf(t)dt 2 b

f(2x a) dxb

x ebdx

2 xy ay axy a xbeb2 b edx

b(y a 2b) e bb

.

8. 设f(2) 1212，f'(2) 0， 0f(x)dx 1，求 0x2f''

(2x)dx

. 1解 0x2f''

(2x)dx 12 10x2df (2x)

习题 6－5

1. 利用定义判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，试计算其值.

(1) 11x4dx dx

(2) x2 2x 2

(3)

0eax

dx

(4) 0

(1 x)adx

2

e

(5)

1

x

(6)

1

(7)

2

dx2a

(1 x)2

(8) a

(x a) dx

(a 0)

1t

1

解 （1）

1

x

4

dxtlim

t

1 1

x4dx tlim ( 3x3

)

7. 设

经济数学(定积分习题及答案)

111

lim( t 3 ) .t 333

0 dxdxdx

2 x2 2x 2 0x2 2x 2

（2） x 2x 2

0tdxdx lim 2 lim 2t tx 2x 2t 0x 2x 2

0td(x 1)d(x 1) lim lim .t t1 (x 1)2t 01 (x 1)2

t11lim eaxdx

a,所以广义积分收敛于a； （3）当a < 0时， t 0

当a 0

tax

edx

时，t 0

lim

,所以广义积分发散.

（4）当a < -1时，t

lim (1 x)adx

1

1 a， 所以广义积分收敛于

1

1 a；

当a -1时，t （5）因为

0

lim (1 x)adx

, 所以广义积分发散.

1

lim

2

1

0

lim t2 1)dt

18

2lim (t3 t

3 03

8

所以广义积分收敛且收敛于3.

（6）因为 x = e 为瑕点，且存在 >0,有

e e lim lim 0 1

01 limarcsin(lnx)e lim[arcsinln(e ) arcsin(ln1)] 1 0

0

arcsin1

2.

所以原瑕积分收敛，且

（7）因为

e

1

2

.

2

12dxdxdx

(1 x)2 0(1 x)2 1(1 x)2且

0

1

lim

1

dx

(1 x)2

lim

0

11 x

1 0

dx 0(1 x)2即发散, 所以原瑕积分发散.

(8) 因为

a

2a

(x a) dx

(x a)

1

12a

a

,且

经济数学(定积分习题及答案)

当 = -1时， a

2a

(x a) dx

原式发散；

当

< -1时，

a

2a

(x a) dx

2a

1

2a

( 1)(x ) 1a

发散；

当 > -1时，原式=所以当

a

a 1

(x a)dx

( 1)收敛.

a 1

-1时，原式发散；当 > -1时，原式收敛于( 1).

2. 2. 当k为何值时，广义积分

积分发散？k为何值时，该广义积分取得最小值？

2

dx

x(lnx)k收敛？k为何值时，该广义

b

解 因为

2

dxx(lnx)

k

2

(lnx)1 k k

(lnx)d(lnx) lim

b 1 k

2

而 当k 1时，广义积分发散；

dx11 k1 k

lim[lnb ln2] 2x(lnx)kb 1 k当k 1时，，广义积分发散；

当k 1时，

2

dxx(lnx)k

lim

1(k 1)(lnx)k 1

b

b

2

1(k 1)(ln2)k 1

1

k 1

所以当k 1时，积分发散；当k 1时，广义积分收敛于(k 1)(ln2).

(ln2)1 k[kln(ln2) ln(ln2) 1](ln2)1 kF (k) F(k)

(k 1)2k 1，则又设

1

k0 1

ln(ln2)，且当k k0时F (k) 0，当k k0时F (k) 0，由F (k) 0，得驻点

1

ln(ln2)时，该广义积分取得最小值. 故当

sinx

dx x2，求证： 3. 已知 0

k 1

sinx xcosx x x x2

2 x4 （2）0 （1） 0

sinxcosx1 sin2x1

x d(2x) . 00x22x224 证（1）

sin

2

(2)

12sinxd()

00xx2

2sinxcosxsin2x

dx

0x0x

sin2x

x

sintsin2x dxt 2x dt 0xt2

经济数学(定积分习题及答案)

04*.求函数的最大和最小值.

解 因f(x)为偶函数，则只需求f(x)在[0，+ ）内的最值.

f(x) (2 t)e tdt

2

x2

22 x

0，

则得驻点为x

且当0 xf'(x)> 0,

当令f'(x) 2x(2 x)e

x , f'(x)< 0

，故x f(x)在[0，+ ]的极大值点，也是最大值点，且

maxf(x) f (2 t)e tdt (2 t)e t

2

2 t2

－edt00

1 e 2

而

f( ) limf(x)

x

(2 t)e tdt (2 t)e t

0

tedt0

1

f(0) 0

所以 minf(x) f(0) 0.

5. 用欧拉函数表示下列积分,并指出它们的收敛范围:

11p xn

(ln)dx edx(n 0) 00x （1） (2)

(3) 0

xme xdx n 0

n

(4)

xm 1

dxn

(1 x)

解 （1）

1

xn

edx0

x

1 un

ue0

1n 111

udx () (n 0)nnn

1

（2）

0 u(p 1) 11p1p u

(ln)dxu ln uedu du 0x 0eux

(p 1) (p 1).

(3)

0

xme x

n

1

dxu xn e uu

n0

m 1

1ndu

1m 1m 1

()( 0)nnn.

10

（4）

xm 1xu

dxu , x n

x 11 u(1 x)

um 1(1 u)(n m) 1du

(m,n m) (n m 0)

6. 利用欧拉积分计算下列积分： （1

） 解 （1

）

x

（2）

10

3 12x(1

3

12x)dx

2

sin6xcos4xdx

x

33

(,)

22

3

1

131111

(,) (,)

22242228.

1 2

u sinx,dx u(1 u)2du

2（2）令

2

1112 1

22

sinxcosxdx u(1 u)du 0 02 175115513 3 (,) (,) .

6

4

11

75

222222 2

7*.判别下列广义积分的敛散性：

888512

经济数学(定积分习题及答案)

（1）

1

1lnx

dxsinxdx 21xx (2

）

12

(1 cosx)dxx 0x0 （3

） （4）

lnxsinxf(x) 0

xx解 （1）因为 x 1, ,有

而

x

limxf(x) lim

3

2

xsinx 0

故广义积分

1

lnx

sinxdxx2收敛.

1

0

（2）因为 x 1, ,有

f(x)

1 x

sin 1x

arctanx

lim

1x2

f(x) lim

x1

x 2 0

而

故广义积分

1

1dx

x发散.

（3）因为 x = 0为瑕点，且 x 0,1 ,恒

有

f(x)

e

1

0

且连续.而

x 0

lim

1x2

f(x) lim

x 0

1

xesinx 1

lim

x 0

x

1sinx

dx 0esinx 1故广义积分收敛.

1 cosx

x 0, f(x) 0n

2 x（4）因为x = 0为瑕点，且，恒有 0, n p 21

lim xpf(x) lim n p 2

x 02x 0, n p 2 而 x 0

所以当p 1时,得 n 1 2,即n 3时，该积分发散;当0< p < 1时，得n - 1 < 2，即n < 3

时，广义积分

20

1

(1 cosx)dxx收敛.

综合习题六

1.填空: (1) 若

a xf(x2)dx f(x)dx,

11

则a = .

经济数学(定积分习题及答案)

(2)

若b xf(2x)dx xf(x)dx,

k

2

12

则b = .

(2x 3x

(3 ) 若 0

x

)dx 0, 则k (4 ) 若

y (t 1)dt,

则y的极小值为 .

1

解（1）2 ； （2） 4； （3）1 、0； （4）2.

2. 单项选择：

（1）下面积分错误的是（ ）.

①

2 sinxdx 0

2

②

1

x 2 x

2

③

(2)下列广义积分中，（ ）不收敛. ①③

1x2

1

1

dx

112 2(x x 6 x 1

④ 2

ln

1 12

x( )dx1 x ② e1 x1 2x

e1

2

4

x

④

e

（3）若

①

I (1 lnx)dx

，则下列不等式（ ）是正确的.

0 I

11

I 0

e ②e

③0 I e 1 ④1 I e

11f(t)dt f(x)

22且f（0）=1，则f（x）=（ ）. （4）若 0

1x12xx

ee2x2ee① ②2 ③ ④2

x

解（1）③; （2）④; （3）③; （4）③.

3.计算下列极限：

ppp1n1 2 nlimlim

n nnnp 1i （1

） （2）

xxlimf(t)dtx ax a a

（3）（其中f(t)为连续函数）

(4

）

xlim

x

(arctant)2dt1nlim

xx 1)

n ni 1解 （1

）=

2

(1 x)3

32

1

2

13

1|0

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9ywe.html