高等代数最重要的基本概念汇总

第一章 基本概念

1.5 数环和数域

定义1 设S是复数集C的一个非空子集,如果对于S中任意两个数a、b来说，a+b,a-b,ab

都在S内，那么称S是一个数环。

定义2 设F是一个数环。如果 （i）F是一个不等于零的数； （ii）如果a、b?F,，并且b?0，

ab?F，那么就称F是一个数域。

定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。

第二章 多项式

2.1 一元多项式的定义和运算

定义1 数环R上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式

? ?1? a0?a1x?a22x??na，x

n 是非负整数而a0,a1,a2,?an都是R中的数。

项式?1?中，a0叫作零次项或常数项，aix叫作一次项，一般，ai叫作i次项的系数。

i定义2 若是数环R上两个一元多项式f?x?和g?x?有完全相同的项，或者只差一些系数

为零的项，那么就说f?x?和g?x?就说是相等

f?x??g??x

n2n定义3 anx叫作多项式a0?a1x?a2x???anx，an?0的最高次项，非负整数n叫作

2n多项式a0?a1x?a2x???anx，an?0的次数。

定理2.1.1 设f?x?和g?x?是数环R上两个多项式，并且f?x??0，g?x??0，那么 ?i? 当f?x??g?x??0时， ?0?f?x??g??x??max???0?f??x,??0?g???x ;000 ?ii? ??f?x?g?x?????f?x?????g?x??。

多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律： fx ?x??g??x??g?x??f?；

1

2） 加法结合律：

?f?x??g??x????h?x??f?x???g?x???h； x3）乘法交换律： fx ?x?g??x??g?x?f?；

4） 乘法结合律：

； xx?f??x??g?x??h?f?x?g??x??h??5） 乘法对加法的分配律： f?x??g??x??h??x??f?x??g?x?h ?f?x?。

x推论2.1.1 f?x?g?x??0 当且仅当f?x?和g?x?中至少有一个是零多项式 推论2.1.2 若f?x?g?x??f?x?h?x?，且f?x??0，那么g?x??h?x?

2.2 多项式的整除性

设F是一个数域。f?x?是F上一元多项式环

定义 令f?x?和g?x?是数域F上多项式环f?x?的两个多项式。如果存在f?x?的多项式

h?x?，使g?x??f?x?h?x?，我们说，f?x?整除（能除尽）g?x?。

多项式整除的一些基本性质：

1） 如果f?x??g?x?，g?x??h?x?，那么f?x??h?x?

2） 如果h?x??f?x?，h?x??g?x?，那么h?x???f?x??g?x??

3） 如果h?x??f?x?，那么对于f?x?中的任意多项式g?x?来说，h?x??f?x?g?x? 4） 果h?x??fi?x?,i?1,2,3,?,t,那么对于f?x?中任意gi?x??i?1,2,3,?,t, h?x???f?x?1g1?x??f?x?2g2?x????f?x?igi?x?? 5） 次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任意多项式。

6） 每一个多项式f?x?都能被cf?x?整除，这里c是F中任意一个不等于零的数。 7） 如果f?x??g?x?，g?x??f?x?，那么f?x??cg?x?，这里c是F中的一个不等于

零的数

设f?x?，g?x?是两个任意的多项式，并且g?x??0。那么f?x?可以写成以下形式

f

?x??g?x?q?x??r?x?，这里r?x??0，或者r?x?的次数小于g?x?的次数。

2

定理2.2.1 设f?x?和g?x?是f?x?的任意两个多项式，并且g?x??0。那么在f?x?中

可以找到多项式q?x?和r?x?，使 （3）

fx?r?x?x??g??x?q??

这里或者r?x??0，或者r?x?的次数小于g?x?的次数，满足以上条件的多项式

q?x?和r?x?只有一对。

设数域F含有数域F而f?x?和g?x?是f?x?的两个多项式，如果在f?x?里g?x?不能整除f?x?，那么在F?x?里g?x?也不能整除f?x?。

1） 定义1 假定h?x?是f?x?和g?x?的任一公因式，那么由

rk?3?x??rk?2?x?qk?1?x??rk??1x?,

rk?2?x??rk?1?x?qk?x??rk?x?,rk?1?x??r?x?qk?1?x?中的第一个等式，h?x?也一定能整除r1?x?。同理，由第二个等式，h?x?也一定能整除r2?x?。如此逐步推下去，最后得出h?x?能整除rk?x?，这样，rk?x?的确是f?x?和g?x?的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。 定义2 设以g?x??x?a除f?x??anx?an?1xnn?1???a1x?a0时，所得的商

r?x??0q?x??bn?1xfn?1?bn?2xn?2???b1x?b0及余式c，比较

x??g???x??qxrx???两端同次幂的系数得bn?1?an，bn?2?an?1?abn?1，…

b0?a1?ab1，c0?a0?ab0，这种计算可以排成以下格式

22aanan?1?)abn?1an??a1a00?)abn?bn???)ab1?b0?ab)?c

0bn?1??an?bn?23用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。

2.3 多项式的最大公因式

设F是一个数域。f?x?是F上一元多项式环

3

定义1 令设f?x?和g?x?是f?x?的任意两个多项式，若是f?x?的一个多项式h?x?同时整除f?x?和g?x?，那么h?x?叫作f?x?与g?x?的一个公因式。

定义2 设d?x?是多项式f?x?与g?x?的一个公因式。若是d?x?能被f?x?与g?x?的每一个公因式整除，那么d?x?叫作f?x?与g?x?的一个最大公因式。

定理2.3.1 f?x?的任意两个多项式f?x?与g?x?一定有最大公因式。除一个零次因式外，f?x?与g?x?的最大公因式是唯一确定的，这就说，若d?x?是f?x?与g?x?的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数c与d?x?的乘积cd?x? 也是而且当f?x?与g?x?不完全为零时，只有这样的乘f?x?与g?x?的一个最大公因式；积才是f?x?与g?x?的最大公因式。

从数域F过度渡到数域F时，f?x?与g?x?的最大公因式本质上没有改变。 定理2.3.2 若d?x?是f?x?的多项式f?x?与g?x?的最大公因式，那么在f?x?里可以求得多项式u?x?和v?x?，使以下等式成立： （2）f?x?u?x??g?x?v?x?=d?x?。

注意：定理2.3.2的逆命题不成立。例如，令f?x??x,g?x?=x+1，那么以下等式成

2立：x?x?2???x+1??x-1??2x?2x?1但2x?2x?1显然不是f?x?与g?x?的最

2大公因。

定义3 如果f?x?的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这两个多项式互素。

定理2.3.3 f?x?的两个多项式f?x?与g?x?互素的充要条件是：在f?x?中可以求得多项式u?x?和v?x?，使 （4） fx??=x1 ?x?u??x??g?v从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实：

若多项式f?x?与g?x?都与多项式h?x?互素，那么乘积f?x?g?x?也与h?x?互素。 若多项式h?x?整除多项式f?x?与g?x?的乘积，而h?x?与f?x?互素，那么h?x?一

4

定整除g?x?。

2） 若多项式g?x?与h?x?都整除多项式f?x?，而g?x?与h?x?互素，那么乘积

g?x?h?x?也整除f?x?

最大公因式的定义可以推广到n?n?2?个多项式的情形：

若是多项式h?x?整除多多项式f1?x?,f2?x?,?,fn?x?中的每一个，那么h?x?叫作这n个多项式的一个公因式。若是f1?x?,f2?x?,?,fn?x?的公因式d?x?能被这n个多项式的每一个公因式整除，那么d?x?叫作f1?x?,f2?x?,?,fn?x?的一个最大公因式。

若d0?x?是多项式f1?x?,f2?x?,?,fn?1?x?的一个最大公因式，那么d0?x?是多项式

fn?x?的最大公因式也是多项式f1?x?,f2?x?,?,fn?1?x?的最大公因式。

若多项式f1?x?,f2?x?,?,fn?x?除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多项式互素。

2.4 多项式的分解

定义1 f?x?的任何一个多项式f?x?，那么F的任何不为零的元素c都是f?x?的因式，

另一方面，c与f?x?的乘积cf?x?也总是f?x?的因式。我们把f?x?这样的因式叫作它的平凡因式，

定义2 令f?x?是f?x?的一个次数大于零的多项式。若是f?x?在f?x?只有平凡因式，

f?x?说是在数域F上（或在f?x?中）不可约。若f?x?除平凡因式外，在f?x?中

还有其他因式，f?x?就说是在 F上（或在f?x?中）可约。

如果f?x?的一个n（n>0）次多项式能够分解成f?x?中两个次数小于n的多项式 g?x?与h?x?的乘积：

（1） fx ?x??g??x?h?，

那么f?x?在F上可约。

若是f?x?在f?x?中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么f?x?在F

5

上不可约。

不可约多项式的一些重要性质：

1） 如果多项式p?x?不可约，那么F中任一不为零的元素c与p?x?的乘积cp?x?也不可

约。

2） 设p?x?是一个不可约多项式而f?x?是一个任意多项式，那么或者p?x?与f?x?互

素，或者p?x?整除f?x?。

3） 如果多项式f?x?与g?x?的乘积能被不可约多项式p?x?整除，那么至少有一个因式

被 整除。

4） 如果多项式f1?x?,f2?x?,?,fs?x??s?2?的乘积能被不可约多项式p?x?整除，那么

至少有一个因式被p?x?整除。

定理2.4.1 f?x?的每一个n(n>0)次多项式f?x?都可以分解成f?x?的不可约多项式的乘

积。

定理2.4.2 令f?x?是f?x?的一个次数大于零的多项式，并且 f?x??p1?x?p2?x??pr?x??q1?x?q?2x??qs?x?

此处ci与qj?x??i?1,2,?,r,j?1,2,?,s?都是f?x?的不可约多项式，那么

r?s，并且适当调换qj?x?的次序后可使qj?x??ci?x?pi?x?,i?1,2,?,r,此处ci?x?是F上的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式f?x?分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的。

形如

f?x??ap1?x?k1p2?x?k2?pt?x?的多项式叫作多项fkt?x?的典型分解式，每一个

典型分解式都是唯一确定的。

2.5 重因式

定义 f?x?的多项式 f?x??a?1ax?02a2x???na xnn?1的导数或一阶导数指的是f?x?的多项式f??x??a1?2a2x???nanx

一阶导数f??x?的导数叫作f?x?的二阶导数，记作f???x?，f???x?的导数叫作f?x?的

6

三阶导数，记作f????x?，等等。f?x?的k阶导数也记作f 关于和与积的导数公式仍然成立： （1） ??f（2） ??f??k??x?。

??x??g??x????x?g??x?????f??x??g? xx??g?x??f ?f?x?g???x?k?k?1f?x?? （3） ?f?x???kf?x?定理2.5.1 设p?x?是多项式f?x?的一个k?k?1?重因式。那么p?x?是f?x?的导数的一个k-1重因式。

定理2.5.2 多项式f?x?没有重因式的充要条件是f?x?与它的导数f??x?互素。

2.6 多项式函数 多项式的根

设给定了1?R的一个多项式 f?x??a?1ax?02ax??2?na xn和一个数c?R,那么在f?x?的表示式里，把x用c来代替，就得到R的一个数

2? a0?a1c?a2c??na cn这个数叫作当x?c时，f?x?的值，并且用f?c?来表示。对于R上的每一个数c，就有 R中唯一确定的数f?c?与它对应。就得到R与R的一个影射。这个影射是由多项式f?x? 所确定的，叫作R上的一个多项式函数。

定理2.6.1 设f?x??R?x?,c?R，用x?c除f?x?所得的余式等于当x?c时f?x?的值

f?c?

定义 令f?x?是R?x?的一个多项式而c是R中的一个数，若是当x?c时f?x?的值

f?c??0，那么c叫作f?x?在数环R中的一个根。

定理2.6.2 数c是f?x?的根的充要条件是f?x?能被x?c整除。

定理2.6.3 设x?c是R?x?中一个n?0次多项式。那么f?x?在R中至多有n个不同的根。 定理2.6.4 设f?x?与g?x?是R?x?的两个多项式，它们的次数都不大于n。若是以R中

n+1个或更多不同的数来代替x时，每次所得f?x?与g?x?的值都相等，那么

7

f?x?=g?x?。

定理2.6.5 R?x?的两个多项式f?x?与g?x?相等，当且仅当她们所定义的R上多项式函

数相等。

n?1 f?x???i?1bi?x?a???x1??i1a???x?ai?i1?i1a????x?n1??ai?a1???ai?a?i1??a???a?a?a ?n1这个公式叫作拉格朗日(Lagrange)插值公式。

2.7 复数和实数域上多项式

定理2.7.1 （代数基本定理） 任何n?n?0?次多项式在复数域中至少有一个根。 定理2.7.2 任何n?n?0?次多项式在复数域中有n个根（按重根重数计算）。

复数域C上任一n?n?0?次多项式可以在C?x?里分解为一次因式的乘积。负数域上任一 次大于1的多项式都是可约的。

定理2.7.6 若实数多项式f?x?有一个非实的复数根?，那么的共轭数?也是f?x?的根，

并且?与?有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的非实的复数根两两

成对。

定理2.7.4 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只含非实共轭复数根的二次多项式。 定理2.7.5 每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因

式的乘积。

2.8 有理数域上多项式

令f?x?是整数环Z上的一个n??0?次多项式。如果存在g?x?,h?x??Z???x???，它们

的次数都小于n，使得f?x??g?x?h?x?， （1）

那么f?x?、g?x?、h?x?自然可以看成有理数域Q上的多项式。等式（1）表明，f?x?在

Q?x?中是可约的。

定义 若是一个整系数多项式f?x?的系数互素，那么f?x?叫作一个原本多项式。 引理2.8.1 两个原本多项式的乘积仍然是一个原本多项式。

定理2.8.1 若是一个整系数n??0?次多项式f?x?在有理数域上可约，那么f?x?总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。 定理2.8.2 （艾森斯坦（Eisenstein）判别法）设 f

?x??a?1ax?02ax??2?na x8

n是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p，使得 （i）最高次项系数an不能被p整除； （ii）其余各项都能被p整除； （iii）常数项a0不能被p2整除， 那么多项式f?x?在有理数域上不可约。 有理数域上任意次的不可约多项式都存在。 定理2.8.3 设f?x??a0x?a1xnn?1???an是一个整系数多项式。若是有理数

uv是f?x?

的一个根，这里u和v是互素的整数，那么

（i）v整除f?x?的最高次项系数a0，而u整除f?x?的常数项an； （ii）f?x???x???u??q?x?，这里q?x?是一个整系数多项式。 v?2.9 多元多项式

在这一节里，R总表示一个数环，且1?R

k1k2kn令x1,x2,x3,?,xn是n个文字，形如ax1x2?xn的表示式。其中a?R,k1,k2,?kn是

非负整数，叫作R上x1,x2,?,xn的一个单项式。数a叫作这个单项式的系数，如果某一

ki?0，那么xi可以不写，约定ax1?xi?1xixi?1?xnkik1ki?10ki?1kn?ax?xi?1xi?1?xnk11ki?1ki?1kn。

因此，m?m?n?个文字的单项式总可以看成n个文字的单项式。特别，当

k1?k2?k3??kn?0时，我们有ax1x2?xn?a?R。

000形式表达式a1x1k11x2?xnk12k1n?a2x1k21x2k22?xnk2n???asx1x2?xn,ai?R，kij是

ks1ks2ksn非负整数?i?1,2,3,?,s;j?1,2,?,n?，叫作R上n个文字x1,x2,x3,?,xn的一个多项式，或简称R上一个n元多项式。

我们通常用符号f?x1,x2,?,xn?，g?x1,x2,?,xn?等来表示R上n个文字

x1,x2,x3?,,nx的多项式。

定理2.9.1 数环R上的两个n元多项式f?x1,x2,?,xn?与g?x1,x2,?,xn?的乘积是首项等于这两个多项式首项的乘积。特别，两个非零多项式的乘积也不等于零。 定理2.9.2 数环R上两个不等于零的n元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的和。 定理2.9.3 设f?x1,x2,?,xn?是数环R上的一个n元多项式，如果对于任意

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?c1,c2,?cn??Rn都有f?c1,c2,?cn??0，那么f?x1,x2,?,xn??0

推论2.9.1 设f?x1,x2,?,xn?与g?x1,x2,?,xn?是数环R上n元多项式，如果对于任意

?c1,c2,?cn??Rn都有

f?c1,c?,cn??g?cc1?,cn2?,，2那么

f?x1,x?,xn?,?g?cc1?c,n2,句话说.，如果由f?x1,x2,?,xn?与?换2g?x1,x2,?,xn?确定的多项式函数f与g相等，那么这两个多项式相等。

2.10 对称多项式

定义1 设f?x1,x2,?,xn?是数环R上的一个n元多项式，如果对于这n个文字

x1,x2,x3,?,xn的指标集?1,2,?,n?施行任意一个置换后，f?x1,x2,?,xn?都不改变，那么就称f?x1,x2,?,xn?是R上一个n元对称多项式。

??x1x2?xn?1?x1x2?xn?2xn???x2x3?xn,?n?x1x2?xn定义2 （1）n?1，这里?k表

示 x1,x2,x3,?,xn中k个所作的一切可能乘积的和，这样的n个多项式显然都是n元对称多项式。我们称这n个多项式?1,?2,?,?n为n元对等对称多项式。

引理2.10.1 设f?x1,x2,?,xn???ai1i2?inx11x22?xnn是数环R上一个n元对称多项式，以

iii?i代替xi，1?i?n，得到关于?1,?2,?,?n的一个多项式f??1,?2,?,?n???ai1i2?in?1?2??n。如果f??1,?2,?,?n??0，那么

i1i2in一切系数ai1i2?in?0，即f?x1,x2,?,xn??0

定理2.10.1 数环R上一n元对称多项式f?x1,x2,?,xn?都可以表示成初等对称多项式

?1,?2,?,?n的系数在R中的多项式，并且这种表示法是唯一的。

推论2.10.1 设f?x?是数域F上的一个一元n次多项式，它的最高次项系数是1。令

?1,?2,?,?n是f?x?是复数域内的全部根（按重根重数计算）。那么?1,?2,?,?n的每一个系数取自F的对称多项式都是f?x?的系数的多项式

10

（它的系数在F内）因而是F的一个数。

第三章 行列式

3.2 排列

定义1 n个数码1，2，…，n的一个排列指的是由这n个数码组成的一个有序组，叫做数码

的排列。 定义2 一般的在一个排列里，如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面，就说这两

个数码构成一个反序，在一个排列里出现的反序总数的总和叫做这个排列的反

序数（逆序数）。

一个排列的逆序数可能是偶数也可能是奇数，有偶数个逆序数的排列叫作一个偶排列；有奇

数个逆序数的排列叫作一个奇排列。

定义3 如果把这个排列里任意两个数码i与j交换一下，而其余的数码保持不动，那么就得

到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫作一个对换，并且用符号

?i,j?来表示。

定理3.2.1 设i1i2?in和j1j2?jn是n个数码的任意两个排列，那么 总可以通过一系列对

换由i1i2?in得出j1j2?jn。

定理3.2.2 每一个对换都改变排列的奇偶性。

定理3.2.3 n?2时，n个数码的奇排列与偶排列的个数相等，各为

n?2个。

3.3 n阶行列式

我们用符号??j1j2?a1jn?来表示排列j1j2?jn的逆序数。

定义1 用符号

11aa?1222??aa?n1n2

a2?

an1an2?ann表示的n阶行列式指的是n?项的代数和，这些项是一切可能取自

a11a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann

的不同的行与不同的列上的n个元素的 乘积。项a1j1a2j2?anjn的符号为

??1?

??j1j2?jn?，也就是说，当j1j2?jn是偶排列时，这一项的符号为正，当j1j2?jn11

是奇排列时，这一项的符号为负。 定义2 n阶行列式

a111aa?1222??aa?n1n2 D?a2?

an1an2?ann如果把D的行变为列，就得到一个新的行列式

a112aa?2122??anan?ann1 D??a1?

2a1nD?叫作D的转置行列式。

a2n?引理3.3.1 从n阶行列式的第i1,i2,?,in行和j1,j2,?,jn列取出的元素作积

ai1j1ai2j2?ainjn，这里i1,i2,?,in和j1,j2,?,jn都是1，2，…，n这n个数码

的排列，那么这一项在行列式中的符号是

??1?命题3.3.1 命题3.3.2 推论3.3.1 命题3.3.3

s?ts,???i1i?it??,2n??jj?jn?12

行列式与它的转置行列式相等。

交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。

如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。

把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k，等于以数k乘以这

个行列式。

推论3.3.2 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符号外边。 推论3.3.3 如果一个行列式中有一行（列）的元素全是零，那么这个行列式等于零。 推论3.3.4 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。 命题3.3.4 设行列式D的第i行的所有元素都可以表示成两项的和：

a1?D?bi1?ci?an111a?12?a?n1bi2?ci?an22?bin?cin ?ann?那么D等于两个行列式D1与D2的和，其中D1的第i行的元素是

bi1,bi2,?bin，D2的第i行元素是ci1,ci2,?,cin，而D1与D2的其他各行都

和D的一样。

命题3.3.5 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，

行列式不变。

3.4 子式和代数余子式行列式的依行列展开

12

定义1 在一个n阶行列式D中任意取定k行和k列。位于这些行列式的相交处的元素所构

成的k阶行列式叫作行列式D的一个k阶子式。

定义2 n?n?1?阶行列式

a1?1a?j1?a?n1 D?ai1?an1aij?anj?ain ?ann?的某一元素aij的余子式Mij指的是在D中划去aij所在的行和列后所余下的n?1阶子式。 定义3 n阶行列式D的元素aij的余子式Mij附以符号??1?i?j后,叫作元素aij的代数余子

i?j式。元素aij的代数余子式用符号Aij来表示：Aij???1?定理3.4.1 若在一个n阶行列式

a1?1Mi?j。

?a?j1?a?n1 D?ai1?an1?aij?anj?ain ?ann??中，第i行（或第j列）的元素除aij都是零，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积： D?aijAi j定理3.4.2 行列式D等于它任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和。

换句话说，行列式有依行或依列展开式：

D?D?i1ai1A?A?i2a??Ai2j2???ia1n,A?2?n?,iij,,nnj1aj1a??Aj2?an1A,?2?,jjn?

定理3.4.3 行列式

a1?ai11a?12?a?n1ai2?aj2?an2?ain? D??aj1?an1

?ajn?ann? 13

的某一行(或列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于

零。换句话说，

ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin?0?i?j?， a1sA1t?a2sA2t???ansAnt?0?s?t?

3.5 克拉默法则

设给定了一个含有n个未知量n个方程的线性方程组

a11x1?a12x2???a1nxn?b1a21x1?a22x2???a2nxn?b2????an1x1?an2x2???annxn?bn ?1?

利用?1?的系数可以构成一个n阶行列式

a11D?a21?an1a12a22?an2?a1na2n?ann，

这个行列式叫作方程组?1?的行列式。

定理3.5.1 （克拉默Cramer）法则)一个含有n个未知量的n个方程的线性方程组?1?当它

的行列式D?0时，有且仅有一个解x1?D1D,x2?D2D,?,xn?DnD，此处的

Dj是把行列式的第j列的元素换以方程组的常数项b1,b2,?,bn而得到的n阶

行列式。

第四章 线性方程组

4.1 消元法

定义 我们对线性方程组施行这三个初等变换：

(i) 交换两个方程的位置；

(ii) 用一个不等于零的数乘以某个方程； (iii) 用一个数乘以某个方程后加到另一个方程； 叫作线性方程组的初等变换。

定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组。 定义1 由st个数cij排成的一个s行和t列的表

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c11c21?cn1c12c22?cn2??c1nc2n? cnn? 叫作一个s行t列（或s?t）矩阵。cij叫作这个矩阵的元素。 定义2 矩阵的行（或列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：

（i）交换矩阵的两行（或列）；

（ii）用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素；

（iii）用某一个数乘以矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上。

定理4.1.2 设A是一个m行n列的矩阵：

?a11?a21A??????am1a12a22?am2???a1n??a2n? ???amn?通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：

?1?0???r? 行 ?0?0????0?*1?00?0**?00?0?????**?10?0**?*0?0?????*??*????*? *????0?? 进而化为以下形式：

?1?0?????0?0????0?01?00?000?00?0?????00?10?0c1,r?1c2,r?1?cr,r?10?0?????c1n??c2n????crn? 0????0?? 这里r?0,r?m,r?n,*表示矩阵的元素，但不同的位置上*的表示的元素未必

相同。

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引理5.2.1 设对矩阵A施行一个初等变换后，得到矩阵A，那么A可逆的充要条件是A可逆。

定理5.2.1 一个m?n矩阵A总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵：

?IrA???Om?r,rOr,n?r??

Om?r,n?r?这里Ir是r的单位矩阵，Ost表示s?t的零矩阵，r等于A的秩。

当A等于单位矩阵I时，A可逆。因为I本身就是I的逆矩阵。当A不等于I时，A至少有一个元素全是零的行，因而用任意一个n阶矩阵B右乘A时，所得的乘积AB中也至少有一个元素全是零的行，所以A不可逆。

定理5.2.2 n阶矩阵A可逆，当且仅当它可以写成初等矩阵的乘积。 定理5.2.3 n阶矩阵A可逆，当且仅当A的秩等于n。 定义 我们把n阶矩阵

?a11?a21?A?

????an1aa?an2?1222????an2? ???ann?n1a的唯一的n阶子式

a111aa?1222??amam?amn1

a2?a1n

2a2n?叫作矩阵A的行列式，记作detA。

定理5.2.4 n阶矩阵A可逆，当且仅当它的行列式detA?0。 求逆矩阵的方法：

1） 通过行初等变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I时，对单位矩阵I施行同样的初等变换，

就得到A的逆矩阵A?1。 2） 从行的性质的来的。

设n??1?阶矩阵

?a11?a21?A?

????an1aa?an2?1222????an2?。 ???ann?n1a定义 我们把

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?a11?a12* A??????a1naa?2122??a2n???an2? ???ann?n1a 矩阵A*叫作矩阵A的伴随矩阵。

引理5.2.2 一个n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵 ?d1? A?????00??? ??dn?d2? 并且detA?detA?d1d2?dn。

定理5.2.5 设A，B是任意两个n阶矩阵。那么det?AB??d1d2?dndetB?detAdetB。 定理5.2.6 两个矩阵乘积的秩不大于每一因式的秩。特别，当有有一个因子是可逆矩阵说，

乘积的秩等于另一个因子的秩。

5.3 矩阵的分块

定义 设A是一个4?3矩阵 ?a11?a21 A???a31??a41a1aaa2223242a?13?a23? a?33?a?43 我们可以如下地把它分成四块： ?a11?a21 A???a31??a41a1aaa2223242a?13?a23? a?33?a?43 用这种方法被分成若干小的矩阵叫作一个分块矩阵。

根据矩阵的加法，和数与矩阵的乘法的定义，如果A，B是两个m?n矩阵，并且对A,B都用同样的方法来分块：

?A11?? A????A?p1???B11????，B????BApq???p1Aq1??B1q???? Bpq??而a是一个数，那么，

?A11?B1?? A?B???A?Bp1?p11?AqB1?q1?Apq?Bpq??aA11??aA?，?????aAp1????aA1q???? aApq?? 22

两个同类型的矩阵A，B，如果按同一种分法进行分块，那么A与B相加时只需把对应位置的小块相加。

定义 分块乘法就是在计算AB时，把各个小块看成矩阵的元素，然后按照通常矩阵的

乘法把它们相乘。用式子表示如下： ?A11 AB???A21A1?B?A1B?11ABC?2?11?112?21??????????

A2?BAB?ABC2??21?2111?22?21?21注意：上面A的列的分法和B的行的分法是一致的，所以A11B11，A12B21有意义，都是

2?2矩阵，因而，A11B11?A12B21是一个2?2矩阵，同样A21B11?A22B21也是

2?2矩阵，这样结果??C11??是一个4?2矩阵。 ?C21?一般的说，设A是一个m?n矩阵，B??bij?是一个n?p矩阵。把A和B如下分块，

使A的列的分法和B的行的分法一致：

???????????n1??????n2??????????????ns??A?????A11A21?Ar1A12A22?Ar2???A1s?m1?A2sm2

?????Ars?mrB1t?n1?B2tn2 ?????Bst?ns??????????p1??????p2??????????????ps?B11?B21B??????Bs1B12B22?Bs2???这里矩阵右面的数?m1,m2,?,mr和?n1,n2,?,nt分别表示它们的左边的小块矩阵的行数，而矩阵上面的数?n1,n2,?,nt和?p1,p2,?,pt分别表示它们下边的小块矩阵的列数，因而

?m1?m2???mr?m n1?n2???ns?n?p1?p2???pt?p

那么就有

??????????p1??????p2???????????ps?C11?C21

AB??????Cr1C12C22?Cr2???C1t?m1?C2tm2

?????Crt?mr 23

这里Cij?Ai1B1j???AisBsj,i?1,?,r;j?1,?,t

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