山东省济南市2015届高三上学期期末考试数学（理）试题Word版含答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.

1.已知i是虚数单位，m是实数，若A. ?2

B. ?m?i是纯虚数，则m?（ ） 2?iC.2

D.

1 21 22?x?n2.已知集合M?xx?4x?0,N?xm?x?5，若M?N?x3??????，则m?n等于（ ） A.9

B.8

2C.7 D.6

3.“m?1”是“函数f?x??x?6mx?6在区间???,3?上为减函数”的（ ） A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

4.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（ ） A. 37? C. 33?

B. 35? D. 31?

25.在某项测量中，测量结果X服从正态分布N4,??????0?，若X在（0，8）内取值的

概率为0.6，则X在（0，4）内取值的概率为（ ） A.0.2 C.0.4

B.0.3 D.0.6

6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于（ ）

2 34C.

5A.

3 45D.

6B.

7.将函数y?cos2x的图象向左平移

?个单位，得到函数4y?f?x??cosx的图象，则f?x?的表达式可以是（ ）

A. f?x???2sinx B. f?x??2sinx

C. f?x??2sin2x 22?sin2x?cos2x? 22D. f?x??x2y28.点A是抛物线C1:y?2px?p?0?与双曲线C2:2?2?1?a?0,b?0?的一条渐近

ab线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（ ） A.

2 B.

3 C.

5 D.

6 ex?e?x9.下列图象中，可能是函数y?x图象的是（ ）

e?e?x

10.在?ABC中，P0是AB中点，且对于边AB上任一点P，恒有PBPC?P0BP0C，则有（ ） A. AB?BC

B. AC?BC

C. ?ABC?90

D. ?BAC?90

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

1??11.已知?x2??的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中含x项的系数为

x??________.

12.曲线y?x和曲线y?x围成的图形的面积是________.

22n?x?y?1?13.若x,y满足约束条件?x?y??1，若目标函数z?ax?3y仅在点（1，0）处取得最小

?2x?y?2?值，则a的取值范围为_________.

14.已知圆C过点??1,0?，且圆心在x轴的负半轴上，直线l:y?x?1被该圆所截得的弦长

为22，则过圆心且与直线l平行的直线方程为________. 15.已知命题：

①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的2倍； ②命题“?x?R,x2?x?1?0”的否定是“?x?R,x2?x?1?0”； ③在?ABC中，若A?B，则sinA?sinB； ④在正三棱锥S?ABC内任取一点P，使得VP?ABC?71VS?ABC的概率是；

82⑤若对于任意的n?N?,n2??a?4?n?3?a?0恒成立，则实数a的取值范围是?,???. 以上命题中正确的是__________（填写所有正确命题的序号）. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16. （本小题满分12分）在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A,差数列.

（I）若b?13，a?3，求c的值； （II）设t?sinAsinC，求t的最大值.

17. （本小题满分12分）为了参加市中学生运动会，某校从四支较强的班级篮球队A，B，C，D中选出12人组成校男子篮球队，队员来源如下表：

?1?3??B,C成等4

（I）从这12名队员中随机选出两名，求两人来自同一个队的概率；

（II）比赛结束后，学校要评选出3名优秀队员（每一个队员等可能被评为优秀队员），设其中来自A队的人数为?，求随机变量?的分布列和数学期望.

18. （本小题满分12分）在四棱锥P?ABCD中，AB//CD,AB?AD,AB?2,AD?2，

CD?1,PA?平面ABCD，PA=2.

（I）设平面PAB?平面PCD?m，求证：CD//m；

（II）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正切值为

PQ2，求的值.

PB2

19. （本小题满分12分）已知等比数列?an?的前n项和为Sn，且满足

Sn?2n?1?2p?n?N??.

（I）求p的值及数列?an?的通项公式； （II）若数列?bn?满足

an?1ab??3?p?nn，求数列?bn?的前n项和Tn. 2x2y231??20. （本小题满分13分）已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，且过点?3,?.

ab22??（I）求椭圆的标准方程；

（II）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设A?x1y,1B?,x?y2,满足4y1y2?x1x2.

（i）试证kAB?kBC的值为定值，并求出此定值； （ii）试求四边形ABCD面积的最大值.

2?，

21. （本小题满分14分）已知关于x的函数f?x??lnx?a?x?1?（I）求函数f?x?在点P?1,0?处的切线方程； （II）求函数f?x?有极小值，试求a的取值范围；

2?a?R?.

（III）若在区间?1,???上，函数f?x?不出现在直线y?x?1的上方，试求a的最大值.

（Ⅱ）∵A?C??3

?t?sinAsinC?sinAsin(?A)331?sinA(cosA?sinA)22311?cos2A?sin2A?()4221?1------------------------10分 ?sin(2A?)?264 ∵0?A???3，

???2A???5? .

666所以当2A????,即A??时，t有最大值1.?????????12分

6246（17）解：（Ⅰ）从这12名队员中随机选出两名, 两人来自同一个队记作事件A，

22C4?C32?C2?C3213?则P(A)? ????????4分 2C1266

（Ⅱ）?的所有可能取值为0，1，2，3． 因为

12213C8314C4C828C4C812C41P(?=0)?3?，P(?=1)?3?，P(?=2)?3?，P(?=3)?3?．????

C1255C1255C1255C1255８分

所以?的分布列为：

? P 0 14 551 28 552 12 553 1 55E??0?1428121?1??2?+3??1 ????????12分 55555555（18）解：（Ⅰ）证明：∵AB//CD,CD?平面PAB,AB?平面PAB，

?CD//平面PCD.

因为CD?平面PCD，平面PAB?平面PCD=m

?CD//m??????4分 （Ⅱ）设

PQ??,因为AB?AD,PD?平面ABCD，所以建立如图所示的空间直角坐标PB系

设 Q（x，y，z），直线QC与平面PAC所成角为θ. 所以PQ??PB，

所以即Q(2?,0,-2?+2)??????6分 所以

PzCQ?(2??1,?2,?2??2)????????7分AP?(0,0,2),AC?(1,2,0)

平面PAC的一个法向量为n?(2,?1,0).???9分

BxACDy?tan??22，

?cos??n?CQn?CQ?33

解得

??712∈

??????11分

7PQ所以 = 12 ??????????????12分

PB

Tn?2?12n?1?n????12分 n231c3?1，又a2?b2?c2，------------------2分 ，2??2a4ba2（20）解：（Ⅰ）由题意e?解得a?4,b?1,

22x2?y2?1.-------------------------------------4分 椭圆的标准方程为4（Ⅱ） (i) 直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0）时不满足4y1y2?x1x2 设直线AB的方程为y?kx?m，设A(x1,y1),B(x2,y2) 联立??y?kx?m222，得(1?4k)x?8kmx?4(m?1)?0 22?x?4y?4??(8km)2?4(4k2?1)?4(m2?1)?16[4k2?m2?1]?0 (*)

?8km?x?x??121?4k2 ????6分 ?24(m?1)?x1x2?1?4k2? ?4y1y2?x1x2

又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2x1x2?km(x1?x2)?m2????7分

?(4k2?1)x1x2?4km(x1?x2)?4m2?0

4(m2?1)?8km2?(4k?1)?4km?4m?0????8分 221?4k1?4k24(m2?1)?(4k?1)4(m?1)?4km??8km?4m2(1?4k2)?0 21?4k22整理得4k2?1

?k??1 2所以kAB?kBC为定值0. ????10分 (ii) 由(i),不妨取kAB?-?x1?x2?2m1,则? 2?x1x2?2(m2?1)设原点到直线AB的距离为d，则

S?AOB??11|m|??????11分 |AB|?d?1?k2?|x2?x1|?2221?k|m||m|(x1?x2)2?4x1x2?4m2?4?2(m2?1) 22?m2(2?m2)?1 ??????12分

2当m?1时(满足(*)式)取等号.

?S四边形ABCD?4S?AOB?4.

即四边形ABCD的面积的最大值为4. ????????13分 （21）解：（Ⅰ）f?(x)?1?2a(x?1)(x?0) x?f?(1)?1

又f(1)?0

所以f(x)在点P（1,0）处的切线方程为y?x?1. ??????４分

2ax2?2ax?1,(x?0) ??????５分 （Ⅱ）f?(x)?x令g(x)?2ax2?2ax?1,(x?0)

(i)a?0时f?(x)?0无解，f(x)无极小值；

(ii) a?0时，g?0??1?0，所以g(x)?0有两解x1,x2，且x1?0?x2；

0?x?x2时g(x)?0，f?(x)?0

x?x2时g(x)?0，f?(x)?0

此时，f(x)无极小值. ????７分 (iii) a?0时, 因为g(0)?1?0,g(x)的对称轴为x?即4a2?8a?0 ?a?0或a?2?a?2

此时g(x)?0有两解x3,x4?0，不妨设设x3?x4， 则 x3?x?x4时g(x)?0，f?(x)?0

1,要使函数f(x)有极小值,则??02x?x4时g(x)?0，f?(x)?0此时，f(x)有极小值f(x4). ??????９分

综上所述，a?2. ??????10分 （Ⅲ）由题意，f(x)?x?1,x?1

即lnx?a(x?1)?x?1,x?1??????11分 下证：lnx?x?1,x?0

记h(x)?lnx?(x?1)?lnx?x?1,x?0 则h?(x)?211?x?1?,x?0 xx0?x?1时h?(x)?0， x?1时h?(x)?0， ?h(x)?h(1)?0

即lnx?x?1,x?0 ??????12分

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