线性代数第一章到五章（答案）

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第一章行列式

一填空题

1. n阶行列式aij的展开式中含有a11的项数为（n-1）！ ?1?2?n(n?1)22.行列式

?na110? (?1)?1?2??n

a12a2200a13a23a330a14a24a34的值a443. 行列式00a11a22a33a44

4.在n阶行列式A=|aij|中,若i?j时, aij=0(i,j=1,2,…,n),则A=解: A其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=10

6. 已知排列1274i56j9为偶排列，则(i,j)? (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为10

a11a22?ann

7. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为 -a12a21a33a44 . 解：四阶行列式中包含a12和a21的项只有-a12a21a33a44和a12a21a43a34

2x112?1x中,x3的系数为 -2 x8.在函数f(x)??x?x解: 行列式展开式中只有对角线展开项为x3项.

5x1231x129. 行列式含 x4的项

12x3x122x10x4

44aaaa?5x?x?x?2x?10xx11223344解：含的项应为.

10. 若n阶行列式aij每行元素之和均为零，则aij= 0 解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变

0011. 00030210100000? 120 .

411098712065解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式

1a?11?ab12.行列式的值是 1 。

?11?bc?11?c1a解?11?ab?11?bc?11?c

10a1b?11?bc?11?c1a=0101ab=01b01c1c01?11?c=1

2?10000?1200000?12?10000?12?1000002?10000?1213. 行列式

的值是 27 。

2?1002?1?1200解D?

?120?12?100?12122?2?3??12?1?33?27 ??12?122

222?14.行列式223?????222?22的值是（-2）（n-2）！。 2n?10解：将第二列乘以（-1）分别加到其余各列得到0222001???000，然后再将第二

????0020?n?2?10行乘以（-1）分别加到其余各行的到对角矩阵0020001???000=（-2）（n-2）！

????0000?n?2112315.方程D(x)?x2?123?0的解为x1?1,x2??1,x3?2,x4??2。 2x2?2解：D(x)?-2（x2-2）（x2-1）=0

x?a11?x?a1n16. 多项式f(x)????的次数最多是 n 次。

x?an1?x?ann解：利用行列式性质5

17. 设A是一个n(n?2)阶行列式，且已知A?a?0。将A的每一列都减去其余各列，所得的行列式记作B，则B＝ a 。

18. 设A为n阶方阵，将A的第一行与第二行交换，得方阵B，则A?B = 0 ，

A?B =

2A，A?B = 0 ，A?B= 0 。

1110110119.? -3

10110111解:应用化三角形法:

1110111110100?1?10110?10011101101111011??10?10100?10110??101011001011??3. 12031120．

1x?1?11x?1?1x?1?1? x4. x?11?1?11?1解: 先把各列累加到第一列再用化三角形法:

111x?110x001?11x?1x?1x?1?1x?x?11?1x?11?1x?10x01x00?11?1x?1x?11?11?10xx?1?1?x?1?111111?11x?1?1x?1?1

x?11?1?11?1x?11?x??x20?x0?xx?x4. 0011?1101?1121．110?11?....................111?10(?1)n?1(n?1)

解: 把各列累加到第一列再用化三角形法:

011?11101?11....................111?10102111?111111?1100?(?1)n?1(n?1).

01?11....................0?10?00?1?0....................110?11?(n?1)11110?11?(n?1)01?10000?0?122. 已知x31的代数余子式A12?0，则代数余子式A21? 4 . 4x2解：A12?(?1)1?20023. 行列式?0knx4k10?0kn?110=0得x=2，A21?(?1)2?12x0k2?0???00nn?1?= (?1)?ki

i?1?kn?1k12=4 2kn?2?k10?00nn?1?=(?1)?ki

i?1解：行列式按第一列展开得（-1）n+1kn0k2????00?kn?1???24. 设D????， ?,?,?是方程x3?px?q?0的三个根，则D?0 。

???

x3x21?1x11?11111?1?125. 在多项式P(x)?中，x的一次项的系数为 ?4

?1?1解：x的系数为A13=

111?11?102?73420?2?1=-4 ?1102, 则第四行各元素余子式之和的值为 -28 . 023226. 设行列式D?05解: 设第四行各元素对应余子式分别为A1,A2,A3,A4,则它们对应的代数余子式之和为

32A1?A2?A3?A4?D1?0?1

02?71420?103402??7?(?1)5222??28 0?1?1111?a?1a000000?1?aa0027．000?11?aa01?a?a2?a3?a4?a5

?11?aa?11?a解: 按第一行展开,得递推关系式,并依次展开即得.

D5?(1?a)D4?aD3?(1?a)[(1?a)D3?aD2]?aD3???1?a?a2?a3?a4?a5.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9y6f.html

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