南京邮电大学数学实验练习题参考答案

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第一次练习

教学要求：熟练掌握Matlab软件的基本命令和操作，会作二维、三维几何图形，能够用Matlab软件解决微积分、线性代数与解析几何中的计算问题。

补充命令

vpa(x,n) 显示x的n位有效数字，教材102页

fplot(‘f(x)’,[a,b]) 函数作图命令，画出f(x)在区间[a,b]上的图形

在下面的题目中m为你的学号的后3位（1-9班）或4位（10班以上） 1.1 计算limmx?sinmxmx?sinmx与 lim33x?0x??xx程序：

syms x

limit((1001*x-sin(1001*x))/x^3,x,0) 结果：

1003003001/6

程序： syms x

limit((1001*x-sin(1001*x))/x^3,x,inf) 结果： 0

1.2 y?ecosxmx，求y'' 1000程序： syms x

diff(exp(x)*cos(1001*x/1000),2) 结果：

-2001/1000000*exp(x)*cos(1001/1000*x)-1001/500*exp(x)*sin(1001/1000*x)

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1

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1.3 计算

??1100ex2?y2dxdy

程序：

dblquad(@(x,y) exp(x.^2+y.^2),0,1,0,1) 结果：

2.13935019514228

x4dx 1.4 计算?22m?4x程序： syms x

int(x^4/(1000^2+4*x^2)) 结果：

1/12*x^3-1002001/16*x+1003003001/32*atan(2/1001*x)

1.5 y?excosmx,求y(10)

程序： syms x

diff(exp(x)*cos(1000*x),10) 结果：

-1009999759158992000960720160000*exp(x)*cos(1001*x)-10090239998990319040000160032*exp(x)*sin(1001*x)

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2

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1.6 给出m?x在x?0的泰勒展式(最高次幂为4).

1000.0程序： syms x

taylor(sqrt(1001/1000+x),5) 结果：

1/100*10010^(1/2)+5/1001*10010^(1/2)*x-1250/1002001*10010^(1/2)*x^2+625000/1003003001*10010^(1/2)*x^3-390625000/1004006004001*10010^(1/2)*x^4

1.7 Fibonacci数列{xn}的定义是x1?1,x2?1，

,xn?xn?1?xn?2(n?3,4,)用循环语句编程给出该数列的前20项（要求

将结果用向量的形式给出）。 程序： x=[1,1]; for n=3:20

x(n)=x(n-1)+x(n-2); end x

结果：

Columns 1 through 10

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Columns 11 through 20

89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

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3

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????211???A??020?1.8 对矩阵，求该矩阵的逆矩阵，特征值，特

??m??41?1000??征向量，行列式，计算A，并求矩阵P,D（D是对角矩阵），使得

6A?PDP?1。

程序与结果：

a=[-2,1,1;0,2,0;-4,1,1001/1000]; inv(a)

0.50100100100100 -0.00025025025025 -0.50050050050050 0 0.50000000000000 0 2.00200200200200 -0.50050050050050 -1.00100100100100 eig(a)

-0.49950000000000 + 1.32230849275046i -0.49950000000000 - 1.32230849275046i 2.00000000000000 [p,d]=eig(a) p =

0.3355 - 0.2957i 0.3355 + 0.2957i 0.2425 0 0 0.9701 0.8944 0.8944 0.0000 注：p的列向量为特征向量 d =

-0.4995 + 1.3223i 0 0 0 -0.4995 - 1.3223i 0 0 0 2.0000 a^6

11.9680 13.0080 -4.9910 0 64.0000 0 19.9640 -4.9910 -3.0100

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4

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1.9 作出如下函数的图形（注：先用M文件定义函数，再用fplot进行函数作图）：

1?2x0?x???2

f(x)???2(1?x)1?x?11??20.9函数文件f.m: 0.80.7function y=f(x)

0.6if 0<=x&x<=1/2

0.5 y=2.0*x;

0.4else 1/2

0.3 y=2.0*(1-x);

0.2end

0.1

000.10.20.30.40.50.60.70.80.91程序：fplot(@f,[0,1])

1.10 在同一坐标系下作出下面两条空间曲线（要求两条曲线用不同的颜色表示）

?x?cost?x?2cost??（1）?y?sint （2）?y?2sint

?z?t?z?t??程序：

t=-10:0.01:10; x1=cos(t); y1=sin(t); z1=t;

plot3(x1,y1,z1,'k');hold on x2=cos(2*t); y2=sin(2*t); z2=t;

plot3(x2,y2,z2,'r');hold off

5

1050-5-1010.50-0.5-1-1-0.50.501数学实验实验报告

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?4?22??134?????1.11 已知A???305?,B???20?3?，在MATLAB命令窗口中?15m3??2?11?????建立A、B矩阵并对其进行以下操作：

(1) 计算矩阵A的行列式的值det(A)

(2) 分别计算下列各式：2A?B,A*B,A.*B,AB?1,A?1B,A2,AT 解：（1）程序：

a=[4,-2,2;-3,0,5;1,5*1001,3]; b=[1,3,4;-2,0,3;2,-1,1];det(a) -130158

(2) 2*a-b 7 -7 0 -4 0 7

0 10011 5

a*b 12 10 12 7 -14 -7

-10003 0 15022

a.*b 4 -6 8

6 0 15 2 -5005 3

a*inv(b) 1.0e+003 *

-0.0000 0 0.0020 0.0000 0.0016 0.0001 1.1443 -1.0006 -1.5722

inv(a)*b 0.3463 0.5767 0.5383

0.0004 -0.0005 -0.0005 -0.1922 0.3460 0.9230

a^2 24 10002 4

-7 25031 9 -15008 15013 25036 A' 4 -3 1

-2 0 5005 2 5 3

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6

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?11.12 已知f(x)?e2??(x??)22?2分别在下列条件下画出f(x)的图形：

(1)??m/600,?分别为0,?1,1(在同一坐标系上作图); (2)??0,?分别为1,2,4,m/100(在同一坐标系上作图). (1)程序： x=-5:0.1:5;

h=inline('1/sqrt(2*pi)/s*exp(-(x-mu).^2/(2*s^2))');

y1=h(0,1001/600,x);y2=h(-1,1001/600,x);y3=h(1,1001/600,x); plot(x,y1,'r+',x,y2,'k-',x,y3,'b*')

0.250.40.350.20.30.150.250.20.10.150.10.050.050-8-6-4-2024680-8-6-4-202468

(2)程序：

z1=h(0,1,x);z2=h(0,2,x);z3=h(0,4,x); z4=h(0,1001/100,x); plot(x,z1,'r+',x,z2,'k-',x,z3,'b*',x,z4, 'y:')

1.13 作出z?mx?y的函数图形。 程序：x=-5:0.1:5;y=-10:0.1:10;

[X Y]=meshgrid(x,y);Z=1001*X.^2+Y.^4; mesh(X,Y,Z);

x 10442432101050-5-10-505

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7

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1.14对于方程x?5m先画出左边的函数在合适的区间上的图x?0.1?0，

200形，借助于软件中的方程求根的命令求出所有的实根,找出函数的单调区间,结合高等数学的知识说明函数为什么在这些区间上是单调的,以及该方程确实只有你求出的这些实根。最后写出你做此题的体会。 解：作图程序：（注：x范围的选择是经过试探而得到的） x=-1.7:0.02:1.7;y=x.^5-1001/200*x-0.1; plot(x,y)；grid on;

6420-2-4

由图形观察，在x=-1.5,x=0,x=1.5附近各有一个实根 求根程序：solve('x^5-1001/200*x-0.1') 结果：

-1.4906852047544424910680160298802 -.19980020616193485540810824654811e-1

.49944480891598282491814739731534e-2-1.4957641717395114847435704202656*i

.49944480891598282491814739731534e-2+1.4957641717395114847435704202656*i 1.5006763291923163201104639065887 三个实根的近似值分别为：

-1.490685，-0.019980，1.500676 由图形可以看出，函数在区间(??,?1)单调上升，在区间(?1,1)单调下降，在区间(1,?)单调上升。

diff('x^5-1001/200*x-0.1',x) 结果为5*x^4-1001/200

solve('5*x^4-1001/200.')得到两个实根：-1.0002499与1.0002499 可以验证导函数在(??,?1.0002499)内为正，函数单调上升 导函数在(?1.0002499,1.0002499)内为负，函数单调下降 导函数在(1.0002499,?)内为正，函数单调上升 根据函数的单调性，最多有3个实根。

-6-2-1.5-1-0.500.511.52数学实验实验报告

8

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1.15 求ex?3mx2?0的所有根。（先画图后求解）（要求贴图） 作图命令：（注：x范围的选择是经过试探而得到的） x=-5:0.001:15;y=exp(x)-3*1001*x.^2; plot(x,y);grid on;

3x 10612.50.521.501-0.50.5-10-1.5-0.5-5051015-2-0.03-0.02-0.0100.010.020.03

可以看出，在(-5,5)内可能有根，在(10,15)内有1个根

将(-5,5)内图形加细，最终发现在(-0.03,0.03)内有两个根。 用solve('exp(x)-3*1001.0*x^2',x)可以求出3个根为： .18417113274368129311145677478702e-1 13.162041092091149185726742857195 -.18084038990284796648194134222365e-1 即：-0.018417,0.018084,13.16204

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9

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第二次练习

教学要求：要求学生掌握迭代、混沌的判断方法，以及利用迭代思想解决实际问题。

m?x?(x?)/2?n?1nxn2.1 设?，数列{xn}是否收敛？若收敛，其值为多少？

?x?3?1精确到8位有效数字。 解：程序代码如下（m=1000）： >> f=inline('(x+1000/x)/2'); x0=3; for i=1:20; x0=f(x0);

fprintf('%g,%g\\n',i,x0); end 运行结果：

1,168.167 11,31.6228 2,87.0566 12,31.6228 3,49.2717 13,31.6228 4,34.7837 14,31.6228 5,31.7664 15,31.6228 6,31.6231 16,31.6228 7,31.6228 17,31.6228 8,31.6228 18,31.6228 9,31.6228 19,31.6228 10,31.6228 20,31.6228

由运行结果可以看出，，数列{xn}收敛，其值为31.6228。

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10

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x?1x?m2,f2(x)?2.2 求出分式线性函数f1(x)?的不动点，再编程判x?mx?m断它们的迭代序列是否收敛。 解：取m=1000. （1）程序如下：

f=inline('(x-1)/(x+1000)'); x0=2; for i=1:20; x0=f(x0);

fprintf('%g,%g\\n',i,x0); end 运行结果：

1,0.000998004 11,-0.001001 2,-0.000999001 12,-0.001001 3,-0.001001 13,-0.001001 4,-0.001001 14,-0.001001 5,-0.001001 15,-0.001001 6,-0.001001 16,-0.001001 7,-0.001001 17,-0.001001 8,-0.001001 18,-0.001001 9,-0.001001 19,-0.001001 10,-0.001001 20,-0.001001

由运行结果可以看出，，分式线性函数收敛，其值为-0.001001。易见函数的

不动点为-0.001001（吸引点）。 （2）程序如下：

f=inline('(x+1000000)/(x+1000)'); x0=2;

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for i=1:20; x0=f(x0);

fprintf('%g,%g\\n',i,x0); end 运行结果：

1,998.006 11,618.332 2,500.999 12,618.302 3,666.557 13,618.314 4,600.439 14,618.309 5,625.204 15,618.311 6,615.692 16,618.31 7,619.311 17,618.311 8,617.929 18,618.31 9,618.456 19,618.31 10,618.255 20,618.31

由运行结果可以看出，，分式线性函数收敛，其值为618.31。易见函数的不动点为618.31（吸引点）。 2.3 下面函数的迭代是否会产生混沌？（56页练习7（1））

1?2x0?x???2

f(x)???2(1?x)1?x?1??2解：程序如下：

f=inline('1-2*abs(x-1/2)'); x=[]; y=[]; x(1)=rand();

y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=f(x(1));

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for i=1:100; x(1+2*i)=y(2*i); x(2+2*i)=x(1+2*i); y(2+2*i)=f(x(2+2*i)); end

plot(x,y,'r'); hold on; syms x;

ezplot(x,[0,1/2]); ezplot(f(x),[0,1]); axis([0,1/2,0,1]); >> hold off 运行结果：

1 - 2 abs(x - 1/2)10.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.050.10.150.20.25x0.30.350.40.450.5

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2.4 函数f(x)??x(1?x)(0?x?1)称为Logistic映射，试从“蜘蛛网”图观察它取初值为x0?0.5产生的迭代序列的收敛性，将观察记录填人下表，若出现循环，请指出它的周期．（56页练习8）

? 序列收敛情况 3.3 T=2 3.5 T=4 3.56 T=8 3.568 T=9 3.6 混沌 3.84 混沌 解：当?=3.3时，程序代码如下： f=inline('3.3*x*(1-x)'); x=[]; y=[]; x(1)=0.5;

y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=f(x(1)); for i=1:1000; x(1+2*i)=y(2*i); x(2+2*i)=x(1+2*i); y(1+2*i)=x(1+2*i); y(2+2*i)=f(x(2+2*i)); end

plot (x,y,'r'); hold on; syms x;

ezplot(x,[0,1]); ezplot(f(x),[0,1]); axis([0,1,0,1]); hold off运行结果：

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-(33 x (x - 1))/1010.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.10.20.30.40.5x0.60.70.80.91

当?=3.5时，上述程序稍加修改，得：

-(7 x (x - 1))/210.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.10.20.30.40.5x0.60.70.80.91

当?=3.56时，得：

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15

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-(89 x (x - 1))/2510.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.10.20.30.40.5x0.60.70.80.91

当?=3.568时，得：

-(446 x (x - 1))/12510.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.10.20.30.40.5x0.60.70.80.91

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当?=3.6时，得：

-(18 x (x - 1))/510.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.10.20.30.40.5x0.60.70.80.91

当?=3.84时，得：

-(96 x (x - 1))/2510.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.10.20.30.40.5x0.60.70.80.91

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2.5 对于Martin迭代，取参数a,b,c为其它的值会得到什么图形？参考下表（取自63页练习13）

a m -m -m m/1000 m/1000 m/100 -m/10 b m -m m/1000 m/1000 m m/10 17 c m m -m 0.5 -m -10 4

解：取m=10000；迭代次数N=20000； 在M-文件里面输入代码：

function Martin(a,b,c,N)

f=@(x,y)(y-sign(x)*sqrt(abs(b*x-c))); g=@(x)(a-x); m=[0;0]; for n=1:N

m(:,n+1)=[f(m(1,n),m(2,n)),g(m(1,n))]; end

plot(m(1,:),m(2,:),'kx'); axis equal

在命令窗口中执行Martin（10000，10000，10000，20000），得：

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2500020000150001000050000-5000-2-1.5-1-0.500.511.52x 104

执行Martin（-10000，-10000，10000，20000），得：

50000-5000-10000-15000-20000-25000-2-1.5-1-0.500.511.52x 104

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执行Martin（-10000，10，-10000，20000），得：

0-2000-4000-6000-8000-10000-12000-10000-8000-6000-4000-200002000

执行Martin（10，10，0.5，20000），得：

302520151050-5-10-20-100102030

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99,10000 100,0.0002

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第三次练习

教学要求：理解线性映射的思想，会用线性映射和特征值的思想方法解决诸如天气等实际问题。 3.1 对A????42?(0)(0)TT(x,x)?(1,2)，，求出{xn}的通项. ?12?13??程序：

A=sym('[4,2;1,3]'); [P,D]=eig(A) Q=inv(P) syms n; xn=P*(D.^n)*Q*[1;2] 结果： P =

[ 2, -1] [ 1, 1] D = [ 5, 0] [ 0, 2] Q =

[ 1/3, 1/3] [ -1/3, 2/3] xn =

2*5^n-2^n 5^n+2^n 3.2 B??0.40.2?1(0)(0)TT(x,x)?(1,2)对于练习1中的，，A???B12??10?0.10.3?求出{xn}的通项. 程序：

A=sym('[2/5,1/5;1/10,3/10]'); %没有sym下面的矩阵就会显示为小数 [P,D]=eig(A)

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Q=inv(P)

xn=P*(D.^n)*Q*[1;2] 结果： P = [ 2, -1] [ 1, 1] D = [ 1/2, 0] [ 0, 1/5] Q =

[ 1/3, 1/3] [ -1/3, 2/3] xn =

2*(1/2)^n-(1/5)^n (1/2)^n+(1/5)^n

(n)x23.3 对随机给出的(x,x)，观察数列{(n)}.该数列有极限吗?

x1(0)1(0)T2>> end

end

(n)x2结论：在迭代18次后，发现数列{(n)}存在极限为0.5

x1

3.4 对120页中的例子，继续计算xn,yn(n?1,2,?).观察{xn},{yn}及

m(xn)的极限是否存在. （120页练习9）

>> A=[2.1,3.4,-1.2,2.3;0.8,-0.3,4.1,2.8;2.3,7.9,-1.5,1.4;3.5,7.2,1.7,-9.0]; x0=[1;2;3;4]; x=A*x0;

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for i=1:1:100 a=max(x); b=min(x); m=a*(abs(a)>abs(b))+b*(abs(a)<=abs(b)); y=x/m; x=A*y; end

x %也可以用fprintf(‘%g\\n’,x1)，不能把x1,y一起输出 y m

程序输出： x1 =

0.9819 3.2889 -1.2890 -11.2213 y =

-0.0875 -0.2931 0.1149

1.0000 m =

-11.2213 结论：{xn},{yn}及m(xn)的极限都存在.

3.5 求出A的所有特征值与特征向量，并与上一题的结论作对比. （121页练习10）

>> A=[2.1,3.4,-1.2,2.3;0.8,-0.3,4.1,2.8;2.3,7.9,-1.5,1.4;3.5,7.2,1.7,-9.0]; [P,D]=eig(A) P =

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-0.3779 -0.8848 -0.0832 -0.3908 -0.5367 0.3575 -0.2786 0.4777 -0.6473 0.2988 0.1092 -0.7442 -0.3874 -0.0015 0.9505 0.2555 D =

7.2300 0 0 0 0 1.1352 0 0 0 0 -11.2213 0 0 0 0 -5.8439

结论：A的绝对值最大特征值等于上面的m(xn)的极限相等，为什么呢？ 还有，P的第三列也就是-11.2213对应的特征向量和上题求解到的y也有系数关系，两者都是-11.2213的特征向量。 3.6 设p(0)?(0.5,0.25,0.25)T，对问题2求出若干天之后的天气状态，并

找出其特点（取4位有效数字）. （122页练习12） >> A2=[3/4,1/2,1/4;1/8,1/4,1/2;1/8,1/4,1/4]; P=[0.5;0.25;0.25]; for i=1:1:20

P(:,i+1)=A2*P(:,i); end P P =

Columns 1 through 14

0.5000 0.5625 0.5938 0.6035 0.6069 0.6081

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