南京工业大学线性代数B试卷

南京工业大学 线性代数B 试题（A ）卷（闭）

2016-2017学年 第二学期 使用班级 16级计算机等专业 班级 学号 姓名

符号说明：A A 表示矩阵A 的转置，A (A )表示矩阵A 的秩，|A |表示方阵A 的行列式，A *

表示方阵A 的伴随矩阵。

一、选择题(每题3分，共12分) 1. 设A 为4阶方阵，且5A =，则(

)

1

5T

A

-=（ ）

A. 5

5 B. 3

5 C.5

-5 D. 3

-5

2. 设A 为m n ?阶矩阵，m n ≠，则齐次线性方程组0Ax =只有零解的充分必要条件是A 的秩（ ）

A. 小于m

B. 等于m

C. 小于n

D. 等于n 3.设向量组12,,

,r ααα(Ⅰ)和向量组12,,,s βββ（Ⅱ）均线性相关，且(Ⅰ)可由（Ⅱ）

线性表示，则一定有（ ）

A. (Ⅰ)的秩 ≤（Ⅱ）的秩

B. (Ⅰ)的秩 >（Ⅱ）的秩

C. r s ≤

D. r s >

4.已知11

121321

222331

32

33a a a A a a a a a a ??

?

= ? ???,1112

132122

23313233333a a a B a a a a a a ?? ?= ? ???，100030001P ?? ?= ? ???，100310001Q ??

?= ? ???

，

则 B =（ ） A. PA B. AP C. QA D. AQ

二、填空题 (每题3分，共18分)

1. ,3211???? ??-=A

则A 的伴随矩阵A *= . 2. 设A 为3阶方阵，如果对任意一个3维向量()T

321,,x x x X =都是AX=0解向量，则A= . 3. 设3阶方阵A 有特征值1，-1，2，E A B 232-=，则B 的特征值为= .

4. 设321ααα，，为3阶方阵A 的列向量组，且|A|=3，则22312-2αααα，，= .

5. 设有m 个n 维向量, 且m>n ，则该向量组必线性 .

6. 向量组(1, 0 ,1) T , (2, 3, 4) T 单位正交化为T

??? ??2102

1，，、 . 三、(8分)求行列式 D=1

2 2 2 22

12222 21222

22122

2221.

四、(10分)设????

? ?

?=????? ??--=100012,211340

2-03B A ，且AX-2X=B , 求X .

五、(12分)已知向量组()T 10231，，，=α，()T 23-1407，，，=α，()T 3101-2，，，=α，()T 42615，，，=α，()T 5141-2，，，=α.

(1). 求该向量组的秩。

(2). 求该向量组的一个极大线性无关组。

(3). 把其余向量用该极大线性无关组线性表示。

六、(10分)求线性方程组的通解：

?????=+++=+++=+++27494225363724321

43214321x x x x x x x x x x x x .

七、(14分)设二次型322322

213212223),,(x x x x x x x x f +++=， (1). 写出此二次型的矩阵A ；

(2). 求正交变换X QY =将此二次型化为标准型，并写出其标准型；

(3). 判断A 的正定性.

八、(10分)已知321ααα，，为3元非其次线性方程组AX=b 的3个线性无关的特解，且r(A)=1.

(1). 证明2312--αααα，

线性无关； (2). 求对应的齐次线性方程组AX=0的解空间的维数；

(3). 用321ααα，，

表示AX=b 的通解.

九、(6分)设A 为正定矩阵，证明:

|2A+E|>1.

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