第二章___弹性力学基本理论new

有限元讲义

第二章 弹性力学基础理论

前言

在这一章里，我们将学习结构有限元分析方法所依赖的力学方面的基础理论知识，而不是全面介绍弹性力学的内容，也不介绍如何直接用弹性力学求解结构问题。

求解一个在载荷作用下的受约束弹性体的结构问题，属弹性力学范畴。弹性力学与材料力学和结构力学的任务都是分析结构在弹性阶段的应力和位移，但三者研究对象有所分工。 材料力学：基本只研究所谓杆状结构——长度远大于高度和宽度的构件。 结构力学：研究杆状构件组成的集合体结构，即，杆系结构。如桁架、刚架等。

弹性力学：主要研究非杆状结构，如板、壳、三维实体。弹性力学也研究杆状结构，但比材料力学精确。

以梁为例：材料力学要假设梁具有平行于图形自身平面的对称平面，即梁的横截面具有：①垂直对称轴；②载荷作用在对称平面内；③梁在横向载荷下弯曲时，具有平面截面的假定——即横截

面上的正应力按直线分布。在材料力学中净截面内应力均匀。而弹性力学无须引进这些假定。

图

2-1 材料力学中对梁结构的解析

图2-2 弹性力学中对梁结构的解析

2.1 弹性力学基本假设

基本假设是弹性力学讨论问题的基础。这些基本假设包括：

理想弹性体假设和微小位移假设。 其中理想弹性体假设包括：连续性、均匀性、各向同性和完全弹性假设。微小位移假设是指形变值远小于物体的尺寸。

超出基本假设的问题将由固体力学的其他分支来讨论，如非线性弹性力学，塑性力学，复合材料力学等。

1. 理想弹性体假设：

连续性假设 假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。这样才可以使应力、应变和位移是连续的，才可以用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。也就是说，根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。虽然实际结构都是微粒组成的，它们彼此间有间隙，但只要微粒的尺寸和它们之间的距离远小于物体的尺寸，作连续性假设就不会引起显著误差。对于工程材料，微粒尺寸和微粒之间的距离远小于物体的几何尺寸，采用这一假设并不会引起明显的误差。

有限元讲义

均匀性假设 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。因此，物体的弹性性质处处都是相同的。根据这个假设，在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论，然后将分析结果应用于整个物体。 如果物体是由两种或者两种以上材料组成，例如混凝土，只要每一种物质的颗粒远远小于物体的几何尺寸，并且在物体内部均匀存在，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。当然对于明显的非均匀物体，例如环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。

各向同性假设 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，不随坐标方向的改变而变化。例如弹性模量E，泊松比μ、导热系数λ等等。

金属材料由晶体构成，虽然单晶体是各向异性的，微观上显然不是各向同性的。但是由于晶体尺寸极小，而且排列是随机的，因此宏观上，材料性能显示各向同性。

木材，纤维增强材料等属于各向异性材料，对它们的研究就不属于弹性力学的讨论范围，它们是复合材料力学研究的对象。

完全弹性假设 指的是物体在引起变形的外力撤去之后完全回复到没有受力的状态。这样，物体在的变形也就是无初始应力的假设 假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。根据这一假设，弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。） 2. 微小位移假设：

物体受力后，整个物体各点的位移远小于物体原来的尺寸（物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。），且应变与转角都远小于1，即ε<<1，α<<1。这样就可以用变形以前的尺寸代替变形后的尺寸而不致引起显著误差，转角和应变的二次幂和乘积都可以忽略不计。如转角α和应变ε有

13

α+ ≈α3!1

sinα=α α3+ ≈α

3!

123

=1 εx+εx εx+ ≈1 εx

1+εx

tgα=α+

“最小位移假设”在以后有限元方程的建立和求解过程中起着非常重要的作用。我们常常利用函数的幂级数（泰勒级数）展开，略去高阶小量使弹性力学中的代数方程和微分方程都能简化为线性方程，且可用叠加原理进行计算。 2.2 弹性力学基本方程

求解一个在载荷作用下的受约束弹性体的结构问题，要建立外载荷与应力、变形的关系。这要通过三个步骤来实现。

首先，要建立结构外部载荷与结构内部应力的关系。外部载荷包括集中力、面力和体积力。这就是静力学平衡问题，要建立静力学平衡方程。

其次，从物理学的角度，建立材料应变与应力之间的关系。这是材料的本构关系，描述材料在不同环境下的力学性质。

最后从几何学方面入手，建立应变与位移（变形）之间的关系。

总起来说，结构在载荷作用下产生变形，我们要研究它的规律，要涉及到三类变量：应力、应变和位移。它们通过三类方程建立联系，这三类方程是平衡方程、物理方程和几何方程。下面我们来推导这三类方程。

有限元讲义

图2-3 求解结构问题涉及的变量及其关系

一. 平衡方程

1. 外部的平衡方程

图2-4 处于外部平衡下的物体

设物体在第一象限，在静载荷作用下处于平衡。这时外部作用力和力矩必须和支点反力和反力矩来平衡。

如图所示，物体力作用有： 体力： Px,Py,Pz (结构内部分布力)

面力：Px,Py,Pz（结构表面上的分布力—A点） 力矩： Qx,Qy,Qz（D点） 集中力：Rx,Ry,Rz（C点）

约束反力及约束反力矩：在B点处有支点处的约束反力和约束反力矩。 当物体处于平衡时，必有

∑F=0 ∑M

i

s

v

s

v

i

=0。

∑F

由 ∑F

∑F

xy

=0 ∫PxdS+∫PxdV+∑Rx=0=0 ∫PydS+∫PydV+∑Ry=0 =0 ∫PzdS+∫PzdV+∑Rz=0

s

v

z

对集中力作用点C取矩：

有限元讲义

∑M 由 ∑M

∑M

cxcycz

(=0 ∫(Pz=0 ∫(Psss

y

=0 ∫Pzy PyzdS+∫(PzyP PyzP)dV+∑Qx=0

v

xPzP

v

xPy

zP

y

)

Px)dS+∫(Pz Px)dV+∑Q=0 Py)dS+∫(Px Py)dV+∑Q=0

x

v

p

x

P

z

在实际工程问题中，作用在研究体上的载荷并不一定显式地直接作用在它上面，常常要通过该物体与其外界的相互作用关系的分析来获得，即通过其外部平衡方程来求得。 2. 内部的平衡方程

由于载荷的作用，在物体内部会产生应力，使其任一微元体dxdydz处于平衡。微元体处于物体。微元体每个的内部，其上没有面力和集中力作用，但是有体积力（Px,Py,Pz—以单位体积力计）

面上都作用有正应力和剪应力，它们的作用点和作用方向如图所示。注意：它们的作用方向标记如

dy

dz

dx

下：

图2.5 处于内部平衡的微元体

⑴ 正应力σ的正方向与作用面的法线方向一致。其脚标为该面法线所在的坐标轴。例如，在X面上的正应力为σx，其正方向指向X轴负方向，而在x+dx面上的正应力为σx+dx，其正方向指向X轴正方向。

⑵ 同面剪应力有两个，其第一个脚标为所在面的法线，第二个脚标为该剪应力指向的方向，它必须与同面正应力指向的方向的正负相呼应。例如，X面上的剪应力有τxy和τxz，它们的正方向均指向相应坐标轴的负方向，这是因为σx指向X轴负方向。同理，在x+dx面上有τ(x+dx)y和τ(x+dx)z，均指向各自指向的坐标轴正向。

由微元体的力平衡： 有 ∑Fx=0, ∑Fy=0, ∑Fz=0 。 由

∑F

x

=0 有

(σx+dx σx)dydz+(τ(y+dy)x τyx)dxdz+(τ(z+dz)x τzx)dxdy+Pxdxdydz=0

∵ σx+dx

σx1 2σx2

dx+dx+ （Taylor级数展开） =σx+

2! x2 x

有限元讲义

根据微小位移假设，可略去二次及以上高次小量（d2x 项）

∴ σx+dx σx+

σx

dx 代入平衡方程，从而有： x

τyx σx τ

dxdydz+dxdydz+zxdxdydz+Pxdxdydz=0 x y z

整理可得平衡方程也可写成

σx τxy τxz

+++Px=0 x y z

同理， 由

∑F

y

=0, ∑Fz=0 可以得到类似的结果：

σx τxy τxz

+++Px=0 xyz τyx σy τyz

+++Py=0 这就是静力学平衡方程。

xyz τ τ σz zx+zy++Pz=0

xyz

由三个合力矩为0，

∑M

x

=0 ∑My=0 ∑Mz=0可以得到剪应力互等。即，

τxy=τyx, τyz=τzy, τzx=τxz。这样，9个应力变量就成为6个变量。

证明：由

∑M

x

=0，并将坐标轴原点移到微元体中心，有

dydy dzdz

+ + dxdzττττyz (y+dy)z zy dxdy=0 (z+dz)y22 22

而 τ(y+dy)z=τyz+

τyz y

dy, τ(z+dz)y=τzy+

τzy z

dz

τyz τzy

dy 2τzy+dz =0 代入上式有 2τyz+ yz

这样，当dy→0 dz→0时，有

τyz y

dy→0

τzy z

dz→0

τyz τzy=0 τyz=τzy 任一处剪应力互等

同理有

τxz=τzx (∑My=0)τxy=τyx (∑Mz=0)

得证。

有限元讲义

σx σ y Px

σ

把载荷和应力写成矢量形式，有 {R}= Py ，{σ}= z 。

P τxy z

τyz

τ zx σσ{}xx

xyσxz

σ也可写成 {σ}= σyx

σσ

yyyz 称为“张量”。

σzxσzyσzz

2. 物理方程（本构方程） 由广义虎克定律知

ε1x= σx μ(σy+σz)

E

εy=1 σ μ(σx+σz)

E y

εz=1

E

σz μ(σx+σy)

其中E－弹性模量 μ－泊松比，G－剪切模量， γ1xy= Gτxy

γ1yz=τ Gyz

γ1

xz=Gτxz μ

μ εx

1 ε

μ σx y1 μ0

∴ {ε}=

ε z μ 1

σy γ =1

μxy2(1+μ)

σz E

τ xy γyz

0

2(1+μ) γ

xz

2(1+μ) τyz

τzx 1

μ

μ

μ1 μ0

弹性系数矩阵 [C]=1 μ

μ1

E

2(1+μ)

0

2(1+μ)

2(1+μ)

从而有： {ε}=[C]{σ}

G=E21+μ。

有限元讲义

有限元方程

图2-6 有限元法是一种位移法

考虑到有限元法是一种以位移为变量的求解方法,如图2-6所示。它首先建立载荷与位移的关系，解得位移后，再利用几何方程求应变，然后再用物理方程求应力。因此，我们在推导三类方程时，也要为今后的有限元分析做准备。所以，我们将物理方程变换成用应变表达应力的形式。 使 {σ}=[D]{ε}， [D]称为应力矩阵。

μμ 1 μ

μ1 μμ μμ1 μ

1 2μ E

[D]=21+μ1 2μ

0

3．几何方程

1 2μ2

1 2μ

2

有限元讲义

建立应变与变形（位移）之间的关系。即，求εx,εy,εz,γxy,γyz,γxz与(u,v,w)之间的关系。 微元体受力之后，会产生两类变化，一是由于相邻单元的牵引而发生刚体位移。二是自身在力的作用下发生变形，包括长度和角度的变化。

我们来考察微元体上的两条相互垂直的棱边的变化，变形前各边平行于坐标轴。

当dx,dy发生刚体位移(u,v)及单元变形后，发生的变化有：两棱边组成的单元OAB→O'A'B'，

()

O→O'(u,v)，A→A'，B→B'。dx→dx′, dy→dy′。

此时A点在X方向的位移为u+

u vdx，A点在Y方向的位移为v+dx

x x

同样，B点在X方向的位移为u+

u v

dy，B点在Y方向的位移为v+

dy，并且有：

y

y

u u

dx' O'C, O'C=dx+ u+dx u=dx+dx

x x

证明如下：

'

∵ dx′==OC=O'C'2AC

在微小位移的前提下，θ1 1 ， '2=tg2θ1为高阶小量。 ∴ dx′=O'C 证毕。

OC

于是我们可得到dx的正应变：按定义应有

有限元讲义

u dxdx dx+ dx' dxO'C' dx u x

εx====

dxdxdx x

∴ εx=

u

y

v+

v

dy+dy v dy

v y

=

dy y

dy' dyO'D' dy

==同理 εy=

dydy

γxy=θ1+θ2 tgθ1+tgθ2

u v u+dy uv+dx v yA'C'B'D' x =+=+

u vO'C'O'D'dx+dxv+dy+dy v x y

而 u vdydx

v u11 y+= + =

u v x u y v dx 1+ dy 1+ 1+ 1+ xx y y

=

v u+ x y

这儿又一次使用了微小位移假设。因为变形是微小的，所以，可以在计算中用变形前的长度代

u

替变形后的长度 1 1+ ，而不致引起大的误差。

x

v

v1 u

=1 ，= 我们同样还可证明

xx 1+1+

x x证明如下：

1 u u u u

=1 + + =1 x x x x1+ x

证毕。 v

2

v v u u u v= v 1 ++= + u x x x x x x x 1+

x于是，我们得到几何方程：

23

u εx= x εx=

x

v v

{ε}= εy=， 同理可得 εy=

y y

u v w+ γxy=ε= z y x z

u

u v

+ y x v wγyz=+

z y w uγxz=+

x z

γxy=

有限元讲义

从上述推导中可以看出求解固体力学的基本方程数如下：

表1 求解固体力学的基本方程数 三维问题

3 6 6 15

表2 各类问题的未知数

未知数 位移 应力 应变 未知数总数

4．应力边界条件（边界上的微元体平衡条件）

考虑一般的自由曲面的实体，边界上的单元一般不全是完整的长方体，而是四面体。其一个侧面是曲面。用平面代替。现考虑由边界上的面力作用下，该微元体的平衡。

三维问题

二维问题

一维问题

二维问题

2 3 3 8

一维问题

1 1 1 3

方程类型 平衡方程 应力—应变关系 应变—位移关系

方程总数

u,v,w u,v

u

σx,σy,σz,τxy,τyz,τxzσx,σy,τxy σx εx

3

εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx

15

εx,εy,γxy

8

准备工作：曲面用平面代替，其表面积为dS，法向量为n，其三个方向余弦为(l,m,n)

l=cosα

m=cosβ α,β,γ为n与坐标轴X，Y，Z的夹角

n=cosγ

1

2dxdy=dS cosγ=ndS 1

有 dydz=dS cosα=ldS

2 1

2dxdz=dS cosβ=mdS 现考察四面体的平衡：

由

∑F=0 (i=x,y,z)

i

∑F

x

=0，有 σx dydz +( τyx) dxdz+( τzx) dxdy+XdS=0

222

111

(σxldS+τyxmdS+τzxndS)+XdS=0 得：lσx+mτyx+nτzx=X

有限元讲义

同理有

lσx+mτyx+nτzx=X

lτxy+mσy+nτzy=Y

lτxz+mτyz+nσz=Z

这就是应力边界条件。当作用有面力时，必须考虑。 2.3 相关重要基础知识 1．变形协调性条件 （1）应变协调关系

一个物体在变形前是连续的，变形后仍将保持连续，即在物体内没有出现裂缝，也没有出现重

叠。因此位移场是连续的，也是单值的，这就是变形的协调性。也就是说，位移应是坐标的单值、连续函数。但是在几何方程中，6个应变分量是由三个位移分量来表征的，因此应变分量多于位移分量。这样，在应变分量之间必然存在着互相关联的关系，这种关系称为应变协调关系。这是一个客观存在的事实。

因此为了应变分量与协调变形一致，则这些应变之间必有确定关系。反映这种确定的关系的方程称为“协调方程”。（应变是位移的应变量，由于数量多于自变量，所以它们之间必定存在着某些互相关性，这里称为协调性。）在三维弹性问题中共有6个协调性方程。 （a）协调性方程（或相容性方程） u

=εx x

ε= v

y y

ε= w

z z

出发， 从几何方程

u v γxy=+ y x

γyz= v+ w z y

γ= w+ u xz x z

一方面，可以平面内的应变与位移的关系导出三个正应变与剪应变之间的关系。 三个平面存在三个方程。在XY平面内，找出εx,εy,γxy之间的关系，在YZ平面内，找出εy,εz,γyz之间的关系，在ZX平面内，找出εz,εx,γzx之间的关系。另一方面，可以从不同平面之间的几何方程导出其他的调性方程。 b) xy平面内找出正应变与剪应变之间的关系。

有限元讲义

u εx=

x

v∵ εy= 设法消去u,v，出εx,εy,γxy之间的关系。

y

u v

+ γxy=

y x

2 2 u 2εx=2

y x 2 2 3u 3v 2 u v 2 y

2εx+2εy=γxy +2=作变换： 2 + =22

yxxyxyxyyxxy ε= v

y22 x y x 2 2 2

∴ 在xy平面内有 2εx+2εy=γxy

y x x y 2 2 2

同理：在YZ平面有 2εy+2εz=γyz

z y y z

2 2 2

γxz 这就是从三个同一平面的应力推导的协调方程。 在XZ平面有 2εz+2εx=

x z x z u v

γ= xy y+ x (1)

v w

C）不同平面内，导出εx,εy,εz与γxy,γyz,γzx之间的关系。现利用 γyz= (2)， +

zy

w u

(3)+ γzx=

x z

设法从方程中消去u, v, w。 先作变换：

(1)+(3) (2)=γxy+γxz γyz z y x z y x

v u w u w v 2u+ + + + =2 （4） z x y y x z x y z y z 再设法消去u，∵

u

=εx ∴将（4）代入再作用

x x

2

即有 γxy γyz+γyz =2εx 这就是三个剪应变与x方向正应变之间的关系。

x z x y y z 2

εy 这就是不同平面的三个协调方程。 同理有 γxy+γyz γzx =2

y z x y x z

2

εz γxy+γyz+γzx =2

z z x y x y

这是描述弹性变形的应变量之间存在的内在关系，一共有6个协调方程。

有限元讲义

从6个协调方程中可以看出协调方程中只包含应变的二次偏微分。

在我们将来设计近似函数时，要使近似函数能满足变形协调性方程。因为变形协调性是客观存在的，而当用近似函数来代替实际存在的函数时，就有一个是否满足变形协调性问题，近似函数设计不当，就可能丧失函数的单值、连续性。 （2） 应力协调方程

协调方程用应力来表示。 利用物理方程（本构方程）

1 σx μ(σy+σz) =εx E

ε=1 σ μ(σ+σ)

z x

yE y

εz=1 σz μ(σx+σy)

E

2(1+μ)1 γxy=τxy=τxy

GE 21+μ) γyz=1τyz=(τyz GE 21+μ) γzx=1zx=(τzx GE

2 2 2

例如， 将εx,εy,γxy的上述表达式代入由XY平面导出的协调方程2εx+2εy=γxy，即可用

y x x y

应力来表示。

2 22(1+μ)1 2

σx μ(σy+σz) 现有 2 + x2 σy μ(σx+σy) = x yExy E y

2 2 2 2 2 2(1+μ) 21 2

ixy 整理后可得： 2 μ2 σx+ 2 μ2 σy μ 2+2 σz =

x E yxyxyExy 其他五个协调方程的推导从略。

这就是用应力表示的协调方程。从以上可看出，协调方程（相容方程）中，只含应力分量的二

次微分。很明显，当应力（应变）是常量，或是坐标的线性函数时，相容性方程就是自然满足的。 以后我们可以看到，当采用近似函数来表达位移函数时是存在是否符合协调性方程的问题的。 u=u0+Ax+By+Cz

当位移法求解中的位移函数取坐标的线性函数： v=v0+Dx+Ey+Fz 所以自然满足协调性方程。

w=w0+Gx+Hy+Iz

有限元法是位移法求解，如果求得了位移函数，则求得u后再求ε=2．位移变量中刚体位移分量的存在

(1). 即使应变分量为0，也存在刚体位移分量。

u

，σ=Eε肯定解是唯一的。 x

有限元讲义

u

即， 即使{ε}＝{0}时，也有{δ}= v ≠{0}

w

u x v y

εx

z ε

y

uv + εz

证明： 由几何方程 {ε}= = y x

γxy

vw γyz +

z y γzx

wu + x z

可知当弹性体位移分量u,v,w完全确定后，应变分量{ε}就被完全地确定了。但是反过来若{ε}被确定后，位移分量却不能被完全确定。我们分别考察正应变为0和剪应变为0的情况。

u

x=0

u=u(y,z)+u0

v

=0 时，只说明 v=v(x,z)+v0，即u中 不含x，v中 不含y，w中 不含z。 (a). 当 y

w=w(x,y)+w0

w

=0 z u v y+ x=0 γxy=0

v w

+=0 。由此可知， (b). 又有 γyz=0 进而 又有

z y γ=0

xz

w u

=0 +

x z

u是y的一次函数，v是x的一次函数， v又是z的一次函数，w是y的一次函数， w又是x的一次函数，u又是z的一次函数，

u=u(y,z)+u0=Ay+Bz+u0

综合(a)和(b)， 有 v=v(x,z)+v0=Cx+Dz+v0

w=w(x,y)+w=Ex+Fy+w

00 u v

y+ x=0 u=Ay+Bz+u0 A= C v w 又由 +=0 得 D= F v= Ax+Dz+v0

w= Bx Dy+w B= E z y

0 w u

+=0 x z

有限元讲义

这说明即使{ε}=0,在弹性体的位移分量中也包含常位移(u0,v0,w0)和线性位移分量(Ay,Bz)在

u中, ( Ax,Dz)在v中, ( Bx, Dy)在w中。

这一客观存在的事实说明，在我们设计的位移近似函数中必须包含这些分量。即常位移分量和线性位移分量。否则，就不能反映这一客观规律。 (2). A,B,D,u0,v0,w0的几何意义 下面来考证A,B,D,u0,v0,w0的几何意义。 (a) 首先来考虑u0,v0,w0

① 令u0≠0，而其它系数均为0，此时有u=u0，这表明弹性体只作X轴方向的平移，各处位移相等。故u0表征弹性体作X方向的刚体位移。

同理, 令v0≠0而其它系数均为0时，弹性体作Y方向的刚体位移。 令w0≠0而其它系数均为0时，弹性体作Z方向的刚体位移。 总之，u0,v0,w0的存在说明当{ε}=0时，弹性体还可以存在刚体位移。 （b）再来考察A，B，D的几何意义： ① 令A≠0而其余各系数均为0。

u=Ay

此时有 来考察弹性体中任一点M的运动：M=M(x,y)

= xvA

使M点运动到M点，

'

u=Ay

如图2-7所示。

v= Ax

（a）系数A的作用 （b）系数B的作用 （c）系数D的作用

有限元讲义

图2-7 位移分量中的刚体转动

显然MM=Ar，且MM'⊥OM ∵α＋β=900,∠OMM'=α+β=900 说明M点沿r的切向运动，运动角速度wz， wz=

'

()

MM′Ar

==A rr

∴ A表征弹性体绕Z轴的刚体转动角速度，且方向为沿Z轴负方向。 同理 ② 当B≠0，其他系数都为0时， 有

u=Bz

u,w在X，Z平面内

w= Bx

∴ B表征绕Y轴的刚体转动，且沿Y轴正向，wy=B

v=Dz

③ 当D≠0，有 v,w在Y，Z平面内

w= Dy∴ D表征绕X轴负方向的刚体转动，wx=D

结论：∴u0,v0,w0表征刚体平移，A,B,C表征刚体转动。 需要认识的几个问题

① 弹性体的变形中，微元体发生的运动形式包括：

a） 本身的变形（正应变、剪应变）

b） 客观位移（由于其它微元体的变形而引起的牵连运动，——刚体位移。即使它本身不

变形）即使{ε}={0}也会存在刚体平动和刚体转动。

② 在弹性体的应变、应力之间存在着协调关系，即6个应变分量（之间）不是相互独立的，存在协调关系。

③ 在应变、应力分量中存在常应变、常应力。

上述几点是在构建位移近似函数时必须考虑的因素，以便得到反映实际变形规律的近似函数。 3. 虚功原理（虚位移原理） （一）分析力学的回顾——理论力学

1）虚功原理，虚位移原理亦称为可能位移原理。

它是解决分析力学系统平衡问题的普遍原理。根据这一原理可以解决任何具体机械系统的平衡问题，（在理论力学中，一个物体的平衡方程∑F=0, ∑M=0有6个方程来求解主动力与约束力之间的关系）。n个物体组成的系统就有6n个方程，而对大多数机械来说，并不需要知道约束力有多大，而只需要注意有用阻力和主动力。在弹性力学中，一个弹性体的主动力与位移之间的关系就有15个方程，因此求解就非常不容易。人们在实践中发现，当一个系统平衡时，若给系统一个约束所允许的小位移，则外力在这个位移上做功之和为零。使问题的求解变得非常简单。 虚位移原理的描述：

有限元讲义

在理论力学中：对于受双面理想约束的系统，它平衡的充分，必要条件是所有主动力在任一组可能位移上所作的可能的功之和为零。（即虚功＝0）∑Fiδri=0 Fi为主动力， δri为虚位移。所谓

i=1n

理想约束是指在这种约束下，约束力所作的可能功之和为零。∑Niδri=0，Ni——理想约束。

i=1

m

2）约束和约束力：约束以外的力称为主动力。

约束：事先对系统的位置、速度所加限制。在静力学中讨论对位置的约束，而对速度的约束则在动力学中讨论。

约束有单面约束和双面约束之分。单面约束：如摆，若采用柔绳约束，则约束方程为

x2+y2≤l2，小球(x,y)向圆外运动受限制，而向圆内运动不受限制。而双面约束：若将绳换成刚

性体，则有小球的运动轨迹为x+y=l。这种刚性约束称为双面约束。约束的作用力称为约束力，其大小方向取决于运动状态和其它的作用力。 3）可能位移和可能功：

可能位移：

满足约束条件的微小位移，而且是在t时刻瞬间发生的——δr，对于n个质点组成的系统，各点位置为xi,yi,zi(i=1,2 n)，若有l个约束，则约束方程为fj(x1,y1,z1, xm,ym,zm)=0 (j=1,2, l) 若系统各质点有可能位移δx1,δy1,δz1, δxn,δyn,δzn

则各质点位置变成 x1+δx1,y1+δy1,z1+δz1, xn+δxn,yn+δyn,zn+δzn

也要满足约束方程 fjx1+δx1,y1+δy1,z1+δz1, xn+δxn,yn+δyn,zn+δzn=0

将可能位移发生前后的约束方程相减，并用talor展开。由于δx1, δxn是微小的，可略去高阶小量。

2

2

2

()

fj fj fj

δxi+δyi+δzi =0 (j=1,2, l) 有Δfj=∑ xyz i=1 iii

n

可能功：

当给出系统的一组可能位移时，作用在系统上的力将因作用点发生位移而做功，这种功就称为

可能功，或虚功。

相对应的实位移dr有其明显的特点： ①需要有一个非零的时间dt

②符合约束条件。约束条件有两类：稳定约束——无限小的实位移与约束相切。不稳定约束

——由于dt时间内约束的改变dt与约束不相切。例如：爬行在漏气的气球表面的小虫的实位移不

有限元讲义

与小球表面相切。 4）虚位移原理的严格证明

必要性：在理想约束下，若系统平衡，则所有主动力的虚功之和为零。

证明：设Fi,Ni分别为作用在第i质点上的主动力和约束力。因为质点平衡∴Fi+Ni=0 则对i质点任意给定虚位移δri时，则质点i得到的虚功为 (Fi+Ni)δri 且∵Fi+Ni=0 ∴(Fi+Ni)δri=0

对所有质点求和 有∑(Fi+Ni)δri=0 ∑Fiδri+∑Niδri=0

由于是理想约束，根据条件∴∑Niδri=0 ∑Fiδri=0 到此必要性得证 充分性：若在理想约束下，所有的主动力的虚功之和为零，则系统平衡。

1

此处采用反正法：若系统不平衡，则从静到动，经Δt时间后，获得动能为mivi2>0

2

而这些动能是因为有力做了功而产生的，也就是应有∑(Fi+Ni)δri= 又因为条件为理想约束，应有∑Niδi=0 ∴∑Fiδi>0 但假设前提是所有的主动力的虚功之和为零(∑Fiδri=0) ∴推论的结果与假设矛盾。不成立，据此定理得证。 （二）弹性力学 (S.Timoshenko)

1

mivi2>0 ∑2

虚功原理的表述：设质点（系）在平衡状态中，则所有作用于该质点（系）的力在任何虚位移

中所作的总功等于零。 作用在弹性体上的虚位移可以是任一微小位移，但须与该物体表面的位移条件及材料的连续性条件相容。（例如已知该物体表面的某一部分是不动的，或有一定量的位移，则该部分的虚位移必须为零。） 与刚体静力学不同的是：弹性体在任何位移过程中，有一种抵制质点之间的相互作用而作的功，1

这种功存在于应变能中，它等于储存的应变能。微元体的应变能为dV=σεdxdydz，{σ}6,{ε}6。

2

单位体积的应变能 V0=

1

σxεx+σyεy+σzεz+τxyγxy+τyzγyz+τxzγxz) 引入虎克定律，可以将应变能(2

表达成只含应力或应变成分的函数。）

具体来说：当虚位移为δu,δv,δw时，这种抵制质点间相互作用而作的功就等于对应于位移

u+δu,v+δv,w+δw的应变能与对应于u,v,w位移的应变能的增量。 而虚位移使应变成分也发生了变化：

v w u

δεx=δ ， δεy=δ ，δεz=δ ，

z x y

有限元讲义

u v w v w u

δγxy=δ + ， δγyz=δ + ，δγzx=δ +

yxyz x z 这样，当虚位移产生时，单位体积的应变能V0的增量为δV0

有 δV0=

V0 V V V V V

δεx+0δεy+0δεz+0δγxy+0δγyz+0δγxz εx εy εz γxy γyz γxz

这里，在应用虚功原理时，在虚位移过程中，各作用力都当作常量：主动力和应力。 整体的应变能

δV=∫δV0dV=∫δV0dxdydz=∫ VVV

V0 εx

δεx+

V0 V V V V

δεy+0δεz+0δγxy+0δγyz+0δγxz dxdydz εy εz γxy γyz γxz

当外力在虚位移上作正功时，应变能是抵抗外力做功，所以应变能的改变是作负功。 当外力为集中力{P}，面力fs，体力fb，虚位移为δ*时，虚功原理可以表达为： 当外力为集中力，面力，体力{P}，f虚功原理可以表达为：

{}

{}

s

{}

{}，{f}时，虚位移为{δ}

b

*

{δ}{P}+∫{δ}{f}dS+∫{δ}{f}dV ∫δVdxdydz=0

*T

*T

s

*T

b

S

V

V

换言之，在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了约束允许的任意虚位移，这时外力在虚位移上所作的功等于虚位移发生时，引起弹性体的应变能的增量，即等于整个体积内应力在虚应变上做的功。可以证明：

∫δVdxdydz=δV=∫(σδε

V

V

x

x

+σyδεy+σzδεz+τxyδγxy+τyzδγyz+τxzδγxz)dxdydz

即：

V V V V V0 V

=σx 0=σy 0=σz 0=τxy 0=τyz 0=τxz 成立

εy γxy γyz εz γxz εx

1

(σxεx+σyεy+σzεz+τxyγxy+τyzγyz+τzxγzx) 2

思路：∵ V0=

现在我们设法将V0表达成{ε}的函数，以便使 δV0=

V0 V V V V V

δεx+0δεy+0δεz+0δγxy+0δγyz+0δγxz，以证得等式的成立。 εx εy εz γxy γyz γxz

显然，这可以利用物理方程，即胡克定律，将V0中的{σ}用{ε}来表示即可实现。下面我们证明：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9xni.html