北京理工大学数学专业数理统计期末试题(07000233)

课程编号：07000233 北京理工大学2011-2012学年第二学期

2010级数理统计期末试题A卷

2一、设总体X?N0,?，X1,X2,???,Xm?n是抽自总体X的简单随机样本，求常数c使

??22X12?X2?????Xm得随机变量Y?c?2服从F分布，指出分布的自由度并证明。 22Xm?1?Xm?????X?2m?n22二、设总体X?N?,?，其中?2??0为已知常数，??R为未知参数。X1,X2,???,Xn??是抽自总体X的简单随机样本，x1,x2,???,xn为相应的样本观测值。 1.求参数?的矩估计；

2.求参数?和EX的极大似然估计；

21n3.证明X????iXi，其中??i?1和X??Xi都是?的无偏估计；

ni?1i?1i?14.比较两个无偏估计X?和X的有效性并解释结果。

三、设总体X服从泊松分布P???，X1,X2,X3是抽自总体X的简单随机样本，设假设检验问题H0:??3;H1:??nn1的否定域为D?3??X,X,X123?X?0.5?。

1.求该检验问题犯第一类错误的概率；

2.求该检验问题犯第二类错误的概率和在H1下的功效函数。

??32??x?xe,x?0四、设总体X的概率密度函数为f?x,????2，其中??0为未知参数，

?0,x?0?X1,X2,???,Xn是抽自总体X的简单随机样本。

1.验证样本分布族是指数族，并写出其自然形式（标准形式）； 2.证明T?X???Xi?1ni是充分完全（完备）统计量，并求ET?X?；

11n3.利用充分完全统计量法和Cramer-Rao不等式方法证明是X?i?的一致最小方差无偏

3ni?1估计。

五、设X1,X2,???,Xn是从总体X抽取的简单随机样本，且X的密度函数为

??1????,x?2?2??xf?x,????，其中??0为未知参数。

??0,x?2nX1X22??2，进而验证2??lni??21.验证2?lnn； 22i?12.考虑假设检验问题H0:???0;H1:???0，给出该检验问题的检验统计量以及水平为； ??0???1?的检验的否定域（拒绝域）

3.求参数?的一个置信系数为1???0???1?的置信区间。

六、掷一颗骰子60次得到如下结果，试在显著性水平??0.05下检验这颗骰子是否均匀？

1 2 3 4 5 6 点数 次数 27 8 12 11 29 13 2附表：?5?0.05??11.07,?6?0.05??12.59,?7?0.05??14.07

六、此问题为非参数假设检验中的分布拟合问题（书6.4节250页），不在这次考试的范围，以下答案供参考。记X?i,i?1,2,3,4,5,6表示掷出i点，则检验问题为

1H0:P?X?i??,i?1,2,3,4,5,6，由表中数据：

6k07?10???8?10???12?10???11?10???9?10???13?10???10222222

2?2.8?11.07??5?0.05?，因此接受H0，即认为这颗骰子是均匀的。

课程编号：07000233 北京理工大学2012-2013学年第二学期

2011级数理统计期末试题A卷

2一、设总体X?N0,3，X1,X2,X3,X4,X5是抽自总体X的简单随机样本，

??1.确定常数a使得随机变量T?a?X1?X2X?X?X232425服从t分布，指出分布的自由度并证明。

2X12?X22.确定常数b使得随机变量F?b?2服从F分布，指出分布的自由度并证明。 22X3?X4?X5二、设总体X?P???，其分布列为P?X?x???xx!e??,x?0,1,2,?，其中??0为未知

参数，X1,X2,???,Xn是抽自总体X的简单随机样本，x1,x2,???,xn为相应的样本观测值。 1.求参数?的矩估计；

2.求参数?和P?X?0?的极大似然估计；

1n3.利用充分完全统计量法和C-R不等式法证明X??Xi是?的一致最小方差无偏估计。

ni?12三、设总体X?N?1,?，X1,X2,???,Xn是抽自总体X的简单随机样本，设总体

??Y?N??2,?2?，Y1,Y2,???,Yn是抽自总体Y的简单随机样本，两组样本相互独立，且?2已

知。为使?1??2的置信系数为95%的置信区间的长度为?，则样本容量n可以取为多少？ 四、总体X?N??,1?，其中??R为未知参数。X1,X2,?,X9是为抽自总体X的简单随机样本，设假设检验问题H0:??0?H1:??0的否定域为：

12D???X,X,?,X129?X?c?。

1.确定常数c，使得该检验犯第一类错误的概率为0.05；

2求该检验的功效函数和犯第二类错误的概率，结果用标准正态分布函数????表示。 五、设X1,X2,???,Xn是从总体X中抽取的简单随机样本，X的密度函数为

f?x,???22?21xe1?x2?I?x?0?，其中??0为未知参数。

1.验证

?X??，进而验证

22X??i?12n2i2??2n；

2.考虑假设检验问题H0:??1?H1:??1，给出该检验问题的检验统计量以及水平为； ??0???1?的检验的否定域（拒绝域）

3.求参数?的一个置信系数为1???0???1?的置信区间。 附表：??1.645??0.95,??1.96??0.975。

课程编号：07000233（MTH17172）

北京理工大学2014-2015学年第二学期

2013级数理统计期末试题A卷

2一、（15分）设总体X?N?,?，其中??R,?2?0，X1,X2,???,Xn是抽自总体X的

??21n1n2简单随机样本，求：（1）EX,DX,ES,DS，其中X??Xi,S?Xi?X?；??ni?1n?1i?122X?1?X（2）若??0,n?3，求Y??1?2?服从的分布，并指出其自由度；

2?X3X3?（3）在（2）的条件下求P?Y?1?。

2????1??x二、（20分）1.设总体X服从伽玛分布，其密度函数为：f?x;?,???xeI?x?0?，

????其中??0,??0均未知，X1,X2,???,Xn是抽自总体X的简单随机样本，求参数?,?的矩估计；

2. 设总体X的密度函数为：f?x;???3e2?3?x???I?x???，其中??R未知，X1,X2,???,Xn是

抽自总体X的简单随机样本，求?和EX的极大似然估计（MLE）。

??三、（10分）设X1,X2,???,Xni..id?U??,???，??0未知，证明：?计和相合估计。

2X是?的无偏估3四、（10分）设总体X?N??,9?，X1,X2,???,Xn是抽自总体X的简单随机样本，为使?的置信水平为95%的置信区间的长度不超过1.96，样本容量n至少为多少？

五、（15分）总体X服从两点分布B?1,p?，X1,X2,X3是从总体X中抽取的简单随机样本，设假设检验问题H0:p?0.5?H1:p?0.2的一个检验的否定域为：

D???X,X,X123?X1?X2?X3?1?。

求：1.该检验犯第一类错误的概率；2该检验犯第二类错误的概率；3.在H1下的功效函数。 六、（30分）设X1,X2,???,Xn是从总体X中抽取的简单随机样本，且X的密度函数为

f?x,????c?x??1???I?x?c?，其中c?0已知，??0未知。

1.验证样本分布族是指数族，并写出其自然形式（标准形式）；

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