构造新函数（教案）

1、【2015江西高安中学押题一】已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)?3，且f(x)的导数f?(x)在R上恒有f?(x)?2(x?R)，则不等式f(x)?2x?1的解集为（ ） A．(1,??)

B．(??,?1)

C．(?1,1)

D．(??,?1)?(1,??)

【答案】A.

【解析】构造函数F(x)?f(x)?2x?1，则F'(x)?f'(x)?2，又因为f(x)的导数f?(x)在R上恒有f?(x)?2(x?R)，所以F'(x)?f'(x)?2?0恒成立，所以F(x)?f(x)?2x?1是R上的减函数.又因为F(1)?f(1)?2?1?0，所以当x?1时，F(x)?F(1)?0，即f(x)?2x?1?0，即不等式f(x)?2x?1的解集为(1,??)，故应选A.

2、【2015河南南阳中学一模】函数y?f(x),

(x?R)为奇函数，当x?(??,0)时，

11xf?(x)?f(?x)，若a?3?f(3),b?(lg3)?f(lg3),c?(log2)?f(log2)，则a，b，

44c的大小顺序为( )

A. a＜b＜c B. c＞b＞a C. c＜a＜b D. c＞a＞b【答案】D

[来源:Zxxk.Com]

3、【2015河南南阳中学三模】设函数f(x)在R上存在导数f?(x)，?x?R，有

在(0,??)上f?(x)?x，若f(4?m)?f(m)?8?4m，则实数m的f(?x)?f(x)?x2，取值范围为（ ）

A．[?2,2] B．[2,??) C．[0,??) D．(??,?2]?[2,??) 【答案】B

【解析】设g?x??f?x??12x 2因为对任意x?R,f??x??f?x??x2，

112??x??f?x??x2=f??x??f?x??x2?0 22所以，g??x??g?x??f??x??所以，函数g?x??f?x??12x为奇函数；又因为，在(0,??)上f?(x)?x， 212所以，当时x?0，g??x??f??x??x?0即函数g?x??f?x??x在(0,??)上为减函

212数，因为函数g?x??f?x??x为奇函数且在R上存在导数，所以函数

21Rg?x??f?x??x2在上为减函数，所以，

2112g?4?m??g?m??f?4?m???4?m??f?m??m2

22?f?4?m??f?m???8?4m??0所以，g?4?m??g?m??4?m?m?m?2

所以，实数m的取值范围为[2,??).

12x?ax?(a?1)lnx,(a?1)， 2（1）求f(x)的单调性4、函数f(x)?（2）证明：若a?5,则对?x1,x2?(0,??),x1?x2,有解题方法：（1）结合函数与导数的关系直接求得

f(x1)?f(x2)??1x1?x2 （2）构造新函数，巧妙的结合新函数的单调性得出要证明的结果。 答案：（1）a?1时，(0,??)单调增；

1?a?2时，（a-1,1）单调减，（0，a?1）单调增； a?2时，(1,a?1)单调减，(0,1)单调增，(a?1,??)单调增。

（2）构造函数g(x)?f(x)?x，

g'(x)?x?a?a?1?1(x?0)?2a?1?a?1?1?(a?1?1)2 x1?a?5,g'(x)?0

g(x)为增函数，再根据增函数的定义法，证明出结论。

5、

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