多边形与平行四边形

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第五章 四边形

第 22 讲 多边形与平行四边形

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考点一 多边形的概念与性质 1.定义：多边形的对角线是连结多边形不相邻的两个顶点的线段. n n-3 注意：从 n 边形的一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线，共有 条对角线. 2 2.n 边形的内角和是(n-2)· 180° ,外角和是 360° .

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考点二 平面图形的密铺 1.密铺的定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地 铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌. 2.平面图形的密铺 (1)一个多边形密铺的图形有：三角形，四边形和正六边形； (2)两个多边形密铺的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八 边形和正三角形和正十二边形； (3)三个图形密铺的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正 十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.

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考点三 平行四边形的定义、性质与判定 1.定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2.性质：(1)平行四边形的对边平行，平行四边形的对边相等； (2)平行四边形的对角相等，邻角互补； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)平行四边形是中心对称图形. 3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.目录 首页 上一页 下一页 末页

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(1)若一个正多边形的一个内角是 120° ,则这个正多边形的边数是( A.9 B.8 C.6 D.4

)

(2)现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且 它们的边长都相等.同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( ) A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种

(3)如图，在 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O,点 E 是边长 BC 的中点， AB=4,则 OE 的长是( ) 1 举 A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 一反 三

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(4)(2010· 成都)已知四边形 ABCD, 有以下四个条件： ①AB∥CD; ②AB=CD; ③BC∥AD ; ④BC=AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形 ABCD 成为平行四边形的选法种数共有 ( ) A.6 种 B.5 种 C.4 种 D. 3 种

【点拨】正确理解题意，明确已知和未知及所考查的知识点是关键.【解答】(1)∵正多边形的一个内角是 120° ,所以每个外角为 180° - 120° =60° ,∴边数 为 360÷60=6.故选 C. (2)两种地面砖密铺地面的图形有：①正三角形和正方形；②正三角形和正六边形；③正 方形和正八边形，共 3 种.故选 B. (3)在 ABCD 中，AC 与 BD 互相平分，∴O 为 AC 的中点，又∵E 是 BC 的中点，∴OE 为△ABC 的中位线. 1 1 ∴OE= AB= ×4=2,故选 A. 2 2 (4)能成为平行四边形的选法有①②,①③,②④,③④共 4 种.

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考 点 知 识 (1)(2010· 广东 )如图，分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边三 精 ，EF⊥AB,垂足为 F,连结 DF. 讲 角形 ACD、等边三角形 ABE.已知∠BAC=30° 中 考 典 例 精 析

①试说明 AC=EF; ②求证：四边形 ADFE 是平行四边形.

(2)(2009· 嘉兴)在四边形 ABCD 中，∠D=60° ,∠B 比∠A 大 20° ,∠C 是∠A 的 2 倍， 求∠A、∠B、∠C 的大小.【点拨】(1)题综合考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定.(2)题考查了四边 形的内角和定理. 【解答】 (1)①∵△ ABE 是等边三角形， ∴ AB= AE , ∠BAE= 60° .在 Rt△ ABC 中， ∵∠BAC =30° ,∴∠ ABC=60° ,∴∠ ABC=∠ BAE. ∵EF⊥AB,∴∠EFA=∠ ACB=90° ,∴△ ACB≌△EFA(AAS),∴ AC=EF. ②∵△ ACD 是等边三角形，∴ AC= AD ,∠DAC= 60° . 又∵AD =EF,∠DAF= 60° + 30° = 90° =∠EFA. ∴AD∥EF ∴四边形 ADFE 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). (2)设∠A=x(度),则∠ B=x+20(度),∠C= 2x(度). 根据四边形内角和定理得， x+(x+20)+2x+ 60=360.解得， x= 70.∴∠ A= 70° ,∠B= 90° ,∠ C=140° .目录 首页 上一页 下一页 末页

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1.如图是一个五边形木架，它的内角和是( A.720° B.540° C.360°

B ) D.180 °

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(第 1 题)

(第 2 题)

2.如图，在 ABCD 中，∠C=108° , BE 平分∠ ABC,则∠ AEB 等于( A.18° B.36° C.72° D.108°

B )

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3.如图，在 ABCD 中，已知 AD=5 cm,AB=3 cm,AE 平分∠ BAD 交 BC 边于点 E, 则 EC 等于( B ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm

(第 3 题)举 一 反 三

( 第 4 题)

4.如图，四边形 ABCD 中， AB= BC,∠ ABC=∠CDA=90° , BE⊥ AD 于点 E,且四 边形 ABCD 的面积为 8,则 BE=______.( C ) A.2 B.3 C.2 2 D.2 3

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5.若一个正多边形的每一个外角都是 30° ,则这个正多边形的内角和等于 1800° 度.6.如图，在 ABCD 中，已知点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上且 AE=CF. (1)求证：DE=BF; (2)连结 BD,并写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)

答案： (1) 通过证明四边形 DEBF 是平行四边形 ，得 DE = BF 中 考 △BDE≌△DBF △ ABD ≌△CDB 典 例 精 析举 一 反 三

(2)△ADE ≌△CBF

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多边形与平行四边形 多边形与平行四边形 训练时间：60分钟 分值：100分 训练时间：60分钟 分值：100分

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一、选择题(每小题 3 分，共 36 分)1. (2009 中考变式题)一个多边形的内角和是外角和的 2 倍， 则这个多边形的边数为( A.4 B.5 C.6 D.7 )

【解析】由题意得(n-2)· 180° =2×360° ,∴n=6. 【答案】C

2.(2010· 湛江 )小亮的父亲想购买一种大小一样、形状相同的地板砖铺设地面，小亮根据 所学的知识告诉父亲， 为了能够做到无缝隙、 不重叠地铺设， 购买的地板砖形状不能是( ) A.正三角形 B.正方形 举 一 C.正五边形 D .正六边形反 三

【解析】正五边形不能无缝隙，不重叠铺设. 【答案】C

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考 点 3. (2009 中考变式题 )若一个多边形的对角线的条数恰好为边数的 3 倍， 则这个多边形的 知 ) 识 边数为( 精 A.6 B.7 C. 8 D.9 讲 中 考 典 例 精 析

n n-3 【解析】设边数为 n,则 =3n,∴n=9. 2

【答案】D

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中 ( 考 典 例 【解析】在 ABCD 中，BC= AD=3 cm,CD=AB=2 cm,∴C ABCD=3×2+2×2=10 精 析 cm.

4.(2010· 湖州 )如图，已知在 ABCD 中，AD= 3 cm,AB=2 cm,则 ABCD 的周长等于 ) A.10 cm B. 6 cm C.5 cm

D.4 cm

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【答案】A

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中 考 典 例 【解析】在 ABCD 中，AB∥CD,∴∠DCA=∠CAB.∵AC 平分∠DAB,∴∠DAC= 精 析 ∠CAB,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=CD,∴ ABCD 是菱形，∴C ABCD=3×4=12. 举 一 反 三

5.(2010· 河北 )如图，在 ABCD 中，AC 平分∠DAB,AB=3,则 ABCD 的周长为( A. 6 B. 9 C.12 D. 15

)

【答案】C

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考 6 . (2010· 宜 昌 ) 如 图 ， 正 六 边 形 ABCDEF 关 于 直 线 l 的 轴 对 称 图 形 是 六 边 形 点 知 A′ B′C′ D′E′F′,下列判断错误的是( ) 识 精 讲 中 考 典 例 精 析

A.AB=A′B′ B.BC∥B′C′ C.直线 l⊥ BB′ D.∠A′=120°

【解析】本题考查成轴对称图形的性质.举 一 反 三

【答案】B

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