高考数学(理科)必考题型过关练:专题4 第17练 平面向量中的线
更新时间:2024-06-30 05:24:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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第17练 平面向量中的线性问题
题型一 平面向量的线性运算
例1 如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三→
EF等于( ) 1→1→A.AB-AD 231→1→B.AB+AD 421→1→C.AB+DA 321→2→D.AB-AD 23
破题切入点 顺次连接,选好基底. 答案 D
→→→解析 在△CEF中,有EF=EC+CF. →1→
因为点E为DC的中点,所以EC=DC.
2→2→
因为点F为BC的一个三等分点,所以CF=CB.
3→1→2→所以EF=DC+CB
231→2→
=AB+DA 23
1→2→
=AB-AD,故选D. 23
题型二 平面向量基本定理及其应用
→→
例2 如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知AM=c,AN=d,试用c,d表示→→AB,AD.
等分点,那么
破题切入点 利用平面向量基本定理,用基底表示其余向量. 解 在△ADM中,
1→→→→
AD=AM-DM=c-AB.①
2在△ABN中,
1→→→→
AB=AN-BN=d-AD.②
2
→2→2
由①②得AB=(2d-c),AD=(2c-d).
33题型三 平面向量的坐标运算
例3 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足a=mb+nc的实数m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(3)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=5,求d. 破题切入点 向量坐标表示下的线性运算. 解 (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),
??-m+4n=3,
所以?
??2m+n=2,
?m=9,得?8
n=?9.
5
(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 16
解得k=-. 13
(3)设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).
?4?x-4?-2?y-1?=0,?
由题意得? 22
??x-4?+?y-1?=5,????x=3,?x=5,?得或? ?y=-1???y=3.
∴d=(3,-1)或(5,3).
总结提高 (1)平面向量的性线运算主要包括加减运算和数乘运算,正确把握三角形法则和多边形法则,准确理解数与向量乘法的定义,这是解决向量共线问题的基础.
(2)对于平面向量的线性运算问题,要注意其与数的运算法则的共性与不同,两者不能混淆,如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定,灵活利用三角形法则、平行四边形法则.同时抓住两条主线:一是基于“形”,通过作出向量,结合图形分析;二是基于“数”,借助坐标运算来实现.
→
1.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为( )
34A.(,-)
5534C.(-,)
55答案 A
→
解析 由题意知AB=(3,-4),
43B.(,-)
5543D.(-,)
55
→AB34→
所以与AB同方向的单位向量为=(,-).
55→|AB|
→→
2.(2014·课标全国Ⅰ)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC等于( ) →A.BC →C.AD 答案 C
→→
解析 如图,EB+FC →→→→=EC+CB+FB+BC →→1→→=EC+FB=(AC+AB)
21→→=·2AD=AD. 2
3.(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF2→→→→=μDC.若AE·AF=1,CE·CF=-,则λ+μ等于( )
31A. 25C. 6答案 C
→→→→→→
解析 ∵AE=AB+λBC,AF=AD+μDC, →→→→→→∴AE·AF=(AB+λBC)·(AD+μDC) →→→→→→→→=AB·AD+μAB·DC+λBC·AD+λμBC·DC 11=2×2×(-)+4μ+4λ+2×2×(-)λμ
22=-2+4(λ+μ)-2λμ=1. 3
∴2(λ+μ)-λμ=.①
2
2B. 37D. 121→B.AD 21→D.BC 2
→→→→∵CE·CF=(1-λ)CB·(1-μ)CD →→=(λμ-λ-μ+1)CB·CD 1
=2×2×(-)(λμ-λ-μ+1)
22
=-2[λμ-(λ+μ)+1]=-,
3
12
∴λμ-(λ+μ)+1=,即λμ-(λ+μ)=-.②
335
由①②解得λ+μ=. 6
→
4.(2014·福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA→→→
+OB+OC+OD等于( )
→→→→A.OM B.2OM C.3OM D.4OM 答案 D
→
解析 因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点,所以点M是AC和BD的中点,由平行四边形法则知OA→→→→→→→→→→+OC=2OM,OB+OD=2OM,故OA+OC+OB+OD=4OM.
→→→→→→→
5. 如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC→→3→→→→的夹角为30°,且|OA|=2,|OB|=,|OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),
2则( ) A.λ=4,μ=2 4
C.λ=2,μ=
3答案 C
→→
解析 设与OA,OB同方向的单位向量分别为a,b, →
依题意有OC=4a+2b, →→3又OA=2a,OB=b,
2→→4→则OC=2OA+OB,
34
所以λ=2,μ=.
3
6.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于14→→→→
不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN (m,n>0),则+的最小值为( )
mn
83
B.λ=,μ=
3234
D.λ=,μ=
23
A.2 9C. 2答案 C
→→→
解析 MO=AO-AM
B.4 D.9
→→
AB+AC1→?11?→1→=-AB=?2-m?AB+AC.
2m2
11?→1→→同理NO=??2-n?AC+2AB,M,O,N三点共线, 11→1→11?→1→
-AB+AC=λ??2-n?AC+AB?, 故???2m?2?2??
11λ?→?1λλ?→11λ1λλ→→
--AB+-+AC=0,由于AB,AC不共线,根据平面向量基本定理得--=0且-+即??2m2??22n?2m222n=0,消掉λ即得m+n=2, 14?141
故+=(m+n)??m+n? mn2n4m119
5++?≥(5+4)=. =?mn?22?2
12→→→7.(2013·江苏)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2
23为实数),则λ1+λ2的值为________. 1
答案
2解析 如图,
→→→1→2→DE=DB+BE=AB+BC
23
1→2→→1→2→
=AB+(AC-AB)=-AB+AC, 2363121则λ1=-,λ2=,λ1+λ2=. 632
→→→
8.(2013·四川)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO,则λ=________. 答案 2
→→→→
解析 由于ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,∴AB+AD=AC=2AO,∴λ=2. 9.(2014·北京)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________. 答案
5
解析 ∵λa+b=0,∴λa=-b, ∴|λa|=|-b|=|b|=22+12=5, ∴|λ|·|a|=5. 又|a|=1,∴|λ|=5.
m→→→→→→→10.在平面内,已知|OA|=1,|OB|=3,OA·OB=0,∠AOC=30°,设OC=mOA+nOB(m,n∈R),则等n于________. 答案 ±3
→→解析 因为∠AOC=30°,所以〈OA,OC〉=30°. →→→→→因为OC=mOA+nOB,OA·OB=0, →→→所以|OC|2=(mOA+nOB)2 →→=m2|OA|2+n2|OB|2 =m2+3n2, →
即|OC|=m2+3n2.
→→→→→又OA·OC=OA·(mOA+nOB) →
=mOA2=m,
→→→→则OA·OC=|OA|·|OC|cos 30°=m, 即1×m2+3n2×
2
2
3
=m, 2
m2
平方得m=9n,即2=9,
nm所以=±3.
n
11.已知非零向量e1,e2不共线.
→→→
(1)如果AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3(e1-e2),求证:A、B、D三点共线; (2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值. →
(1)证明 ∵AB=e1+e2,
→→→
BD=BC+CD=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2) →=5AB,
→→
∴AB与BD共线,且有公共点B, ∴A、B、D三点共线.
(2)解 ∵ke1+e2与e1+ke2共线,
∴存在λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2), 则(k-λ)e1=(λk-1)e2. 由于e1与e2不共线,
??k-λ=0,只能有?∴k=±1.
?λk-1=0,?
→→→12.已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM=t1OA+t2AB. (1)求点M在第二或第三象限的充要条件;
(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A、B、M三点都共线; →→
(3)若t1=a2,求当OM⊥AB且△ABM的面积为12时a的值. →→→
(1)解 OM=t1OA+t2AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2). 当点M在第二或第三象限时,
?4t2<0,?有? ?2t+4t≠0,?12
故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0. (2)证明 当t1=1时, →
由(1)知OM=(4t2,4t2+2). →→→
∵AB=OB-OA=(4,4),
→→→→AM=OM-OA=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2AB, ∴不论t2为何实数,A、B、M三点共线. →
(3)解 当t1=a2时,OM=(4t2,4t2+2a2). →→→又AB=(4,4),OM⊥AB, ∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0, 1→
∴t2=-a2,故OM=(-a2,a2).
4→
又|AB|=42,
点M到直线AB:x-y+2=0的距离 |-a2-a2+2|d==2|a2-1|.
2∵S△ABM=12,
11∴|AB|·d=×42×2|a2-1|=12, 22
解得a=±2,故所求a的值为±2.
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