离散数学课后习题答案二

习题3.7

1. 列出关系{?a，b，c，d?|a，b，c，d?Z且a?b?c?d?6}中所有有序4元解 {?a，b，c，d?|a，b，c，d?Z且a?b?c?d?6}

??组。

?{?1,1,1,6?,?1,1,6,1?,?1,6,1,1?,?6,1,1,1?,?1,1,2,3?,?1,1,3,2?,?1,2,1,3?,?1,3,1,2?,

?1,2,3,1?,?1,3,2,1?,?2,3,1,1?,?3,2,1,1?,?2,1,3,1?,?3,1,2,1?,?2,1,1,3?,?3,1,1,2?

2. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。

表3.18 航班信息

航空公司 Nadir Acme Acme Acme Nadir Acme Nadir

解 略

3. 当施用投影运算?2,3,5到有序5元组?a，b，c，d?时你能得到什么？

解 略

4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？

解 略

5. 给出分别施用投影运算?1,2,4和选择运算?航空公司＝Nadir到二维表3.18以后得到的表。 解 对航班信息二维表进行投影运算?2,3,5后得到的二维表 登机口 34 22 33 34 13 22 34 起飞时间 08:10 08:17 08:22 08:30 08:47 09:10 09:44 航班 112 221 122 323 199 222 322 登机口 34 22 33 34 13 22 34 目的地 底特律 丹佛 安克雷奇 檀香山 底特律 丹佛 底特律 起飞时间 08:10 08:17 08:22 08:30 08:47 09:10 09:44 航班 112 221 122 323 199 222 322

对航班信息二维表进行选择运算?航空公司＝Nadir后得到的二维表

航空公司 Nadir Nadir Nadir

6. 把连接运算J3用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？

解 略

7. 构造把连接运算J2用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。 表3.19 供货商 23 23 23 31 31 32 32 33 零件供应商 项目 1 3 4 3 2 4 2 1

零件号 1001 1092 1101 3477 4975 6984 9048 9191 表3.20 零件数量和颜色代码 项目 1 1 3 2 3 4 4 2 数量 14 2 1 25 6 10 12 80 颜色代码 8 2 1 2 2 1 2 4 航班 112 199 322 登机口 34 13 34 目的地 底特律 底特律 底特律 起飞时间 08:10 08:47 09:44 零件号 1092 1101 9048 4975 3477 6984 9191 1001 解 零件供应商二维表与零件数量和颜色代码二维表连接运算J2结果 供货商 33 23 23 31 31 32 23 32

零件号 1001 1092 1101 3477 4975 6984 9048 9191 项目 1 1 3 2 3 4 4 2 数量 14 2 1 25 6 10 12 80 颜色代码 8 2 1 2 2 1 2 4 第4章：群、环、域

习题4.1

1. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。

（1）集合nZ?{n?z|z?Z}关于普通加法和普通乘法运算，其中n是正整数。

，n?Z}关于普通加法和普通乘法运算。 （2）集合S?{x|x?2n?11}关于普通加法和普通乘法运算。 （3）集合S?{0，n?S?{x|x?2，n?Z}关于普通加法和普通乘法运算。 （4）集合

?（5）n阶(n?2)实可逆矩阵集合Mn(R)关于矩阵加法和矩阵乘法运算。

?对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和分配律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。 解 略

2. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。 （1）正实数集合R和*运算，其中*运算定义为：

?

?a，b?R?，a?b?a?b?a?b

?，an}，n?2。*运算定义为： （2）A?{a1，a2，?a，b?A，a?b?b

对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和等幂律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。

解 （1）不封闭，例如：0.5?0.5?0.5?0.5?0.5?0.5??0.75?R （2）封闭。

不满足交换律：?a,b?A，a?b?b?a?b?aa?b?bb?a?a 满足结合律：?a,b?A(a?b)?c?b?c?c，a?(b?c)?a?c?c 满足等幂律：?a?Aa?a?a

?

a1，a2，?，an都是左单位元，但无右单位元。 a1，a2，?，an都是右零元，但无左零元。

因为无单位元，所以无逆元。

3. 设S?Q?Q，这里Q是有理数集合，*为S上的二元运算，

??u，v?，?x，y??S，

?u，v???x，y?＝?ux，uy?v?

（1）*运算在S上是否可交换、可结合？是否为等幂的？

（2）*运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。 （3）*运算在S上是否满足消去律？ 解 略

?，f6。?x，y?R有 4. R为实数集合，定义以下六个函数f1，f1(?x，y?)?x?y f3(?x，y?)?|x?y|

f2(?x，y?)?x?y f4(?x，y?)?xy f6(?x，y?)?max(x，y)

f5(?x，y?)?min(x，y)

（1）指出哪些函数是R上的二元运算。

（2）若是R上的二元运算，说明是否是可交换的、可结合的、等幂的？

（3）若是R上的二元运算，在存在的情况下求出单位元、零元以及每个可逆元素的逆元。

（4）若是R上的二元运算，说明是否满足消去律。 解 略

，2，?，10}，问下面定义的运算*在G上是否封闭？对于封闭的二元运5. 设G?{1算，请说明运算是否满足交换律、结合律，并并在存在的情况下求出运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。

（1）x?y?gcd(x，y)，gcd(x，y)表示x与y的最大公因数。 （2）x?y?lcm(x，y)，lcm(x，y)表示x与y的最小公倍数。 （3）x?y?大于等于x和y的最小整数。

（4）x?y?质数p的个数，其中x?p?y。

解 （1）封闭。满足交换律，满足结合律，满足等幂律。无单位元，1是零元。因为无单位元，所以无逆元。

5)?15?G （2）不封闭，例如：3?5?lcm(3，（3）封闭。满足交换律，满足结合律，满足等幂律。1是单位元，10是零元。1的逆元为1，其他无逆元。

（4）封闭。不满足交换律，不满足结合律，不满足等幂律。无单位元，无零元。因为无单位元，所以无逆元

§4.2 半群与群

习题4.2

1. 设G是所有形如

a12??0??

??是半群吗？是有么半群吗？这里的矩阵组成的集合， *表示矩阵乘法。试问?G，?a11??0?a11、a12是实数。

?a11a12??b11b12?????0??00??0G????、 A?B?解 任取中的2个元素 、

?a11a12??b11b12??a11b11a11b12????????0????0???00?＝?00???G A?B??∵

?G，??是一个代数系统。??是∴ 且因为矩阵的乘法满足结合律，所以?G，半群。

又因为，只要a11＝1，则

?a11??A?B??0a12??b11b12??a11b11???00????0??*??＝?0a11b12??b11b12????00??0??＝???B

?1a12???00???是左单位元（不论a12取什么值）对任何的B?G成立，即?。但右单位元不存在，

因为不论b11，b12取什么值，

?a11a12??b11b12??a11b11??????0???0???00?＝??0 A?B??不可能对任何的A?G成立。

??不是有么半群。 所以?G，

2. 在正实数集合R上定义运算*如下

?

a11b12??a11???0?＝??0a11??0???B

所以单位元不存在（事实上，若单位元存在，则左、右单位元都存在且相等还唯一），

a?b???R，??是半群吗？是有么半群吗？ 试问

a?b1?ab

解 略

3. 在自然数集合N上定义运算?和?如下：

a?b?max{a，b}，

a?b?min{a，b}

??和?N，??是半群吗？是有么半群吗？ 试问?N， 解 略

??是半群，它有一个左零元?，令 4. 设?G，G??{x??|x?G}

?证明 解 略

?G，??构成半群。

5. 在一个多于一个元素的有么半群中，证明一个右零元不可能有右逆元。

解 略

6. 设G是一个多于一个元素的集合，G是G上所有函数组成的集合，证明有么半群

G?GG，??有多于一个的右零元，但没有左零元。这里?表示复合运算。

解 略

7. 设Z为整数集合，在Z上定义二元运算?如下：

x?y?x?y?2，?x，y?Z

问Z关于运算?能否构成群？为什么？ 解 略

8. G?{f(x)?ax?b|a?0，a，b?R}，证明?G，??是群，这里?是复合运算。

解 略

??是群，这1/r，1?r，1/(1?r)，(r?1)/r，r/(r?1)}，证明?G，9. 设G?{r，里，运算a?b表示将b代换到a中r所在位置。

解 略

1}。在A上定义六个函数如下： 10. 设A?{x|x?R?x?0，f1(x)?x

f3(x)?1?x

f2(x)?x?1

f4(x)?(1?x)?1

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