同饮一江水 风情两相宜 - 在策略提升中发展学生的几何直观能力

同饮一江水 风情两相宜

——在策略提升中发展学生的几何直观能力

江苏省如皋师范学校附属小学 佘路祥 18761776912

【摘要】怎样发展学生的几何直观能力成为目前小学数学教学关注的一个热

点，本文结合解决问题策略的教学从五个方面阐述在策略提升中发展学生的几何直观能力。即“画图策略：直观感知，发展几何直观能力的抓手。倒推策略：准确描述，发展几何直观能力的基石。替换策略：合情转换，发展几何直观能力的关键。假设策略：化静为动，发展几何直观能力的内核。转化策略：以形助数，发展几何直观能力的瓶颈。”

【关键词】直观感知 准确描述 合情转换 化静为动 以形助数

“几何直观”作为新增的核心概念在《数学课程标准》中这样阐述：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”几何直观能力是利用实物、形体模型和图形，生动形象地描述和把握形体的空间形式，展开丰富多彩的空间联想与描述，直观地反映和揭示问题思路，形成表象，从而有效解决问题的一种认知能力。

“问题解决”是数学课程的总目标之一，要求“学生能获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”问题解决需要相应的策略支撑对问题的分析、思考。怎样在教学实践中同时实现解决问题策略的提升和几何直观能力的发展？本文试从五个方面谈谈我们的做法。

一、画图策略：直观感知，发展几何直观能力的抓手。

要发展学生的几何直观能力，教师必须重视作图方法的指导，让学生掌握一定的作图技能，养成作图的习惯，然后才能借助图形来思考。《用“画图”的策

1

略解决问题》第一课时主要教学用画直观示意图的方法解决有关面积计算的实际问题。在教学时，关键要使学生体会到画图、正确画图、用图分析和体验画图解决问题的好处。例题如下：

梅山小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？

教学时首先可以向学生呈现纯文字的例题，通过富有启发性的的问题“光看文字叙述能够理清长、宽与面积变化的关系吗？”“可以用什么方法帮助我们整理题中的条件和问题呢？”从而诱发画图的需要，引起学习和探索画图策略的动机。接着鼓励学生尝试画草图，让学生的思维集中于用图来表达题意，并通过师生交流，进一步完善画出的示意图，使学生感受到画图能清楚地理解题意。然后借助示意图复述题意，分析数量关系，明确先求什么，再求什么，感受看图思考比较方便，体会画图的好处，发展学生的几何直观能力。

随后“试一试”的教学，可以在学生根据数据的特征作好图后，利用学生的直观感知和顿悟，推动学生几何直观能力的发展。题目如下：

小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。后来因扩建公路，鱼池的宽减少了5米，这样鱼池的面积就减少了 150平方米。现在鱼池的面积是多少平方米？

根据题意，学生画出右边的示意图。 大部分学生会这样算：150÷5=30（米），20－5＝15（米），30×15=450（平方米）。

在学生交流的基础上进一步引导学生观察示意图：比较现在鱼池的面积和减少的面积之间的关系，如果不求长，也能求现在的面积吗？学生观察后马上悟出：先看减少的150平方米，以5米作为标尺，现在的面积是就是150平方米的3倍，直接列式计算：150×3=450（平方米）。相对准确的示意图给学生提供了直观的刺激，在这个过程中，无须利用长方形的面积公式，画图所引发的直觉思维给学生深刻的体验。这一过程体现了几何直观的特点：未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识[1]。

二、倒推策略：准确描述，发展几何直观能力的基石。

2

借助几何图形来描述数学问题，能加强学生对问题情境信息及其关系的理解，帮助学生从整体上把握问题，提示问题的转化方法，从而获得正确的解题思路。从某种意义上说，几何直观对启迪学生解题策略的作用是显而易见的。《用“倒推”的策略解决问题》中有这样一道练习题。

“小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多1张送给小明，自己还剩25张。小军原来有多少张画片？”

在教这道题时，我预测学生会在第一步出现障碍，也就是用25加1，还是25减1上出现分歧。因此我在学生的练习纸上增设了一个描述问题的过程：选择下面的一种方法表示出小军送画片的情况（①用一根线段表示小军原有画片的张数；②用一个正方形表示小军原有画片的张数）。在交流时两种方法都有学生采用了，一种是单维的线段图，另一种是二维的示意图。（分别如下）

两图一出，学生不由自主地议论开了：“我怎么没选用正方形的？”“用正方形来表示小军送画片的过程真好。我一下子就能看出剩下的25张还不足原有画片的一半，必须先加上1张后才能乘2。”“办法总是有的，只要我们肯动脑。”??

在这里，学生借助线段或正方形来表征问题情景的成分和结构，达到对问题结构性的理解，进而洞察数学对象的关系，获得数学结论。这样处理，让学生体验到了几何直观的强大魅力，更增进了对数学的积极情感，促使学生从不同的角度描述问题。由此可见，利用图形创造性地描述数学问题，是发展几何直观能力的基础，只要描述准确了，就能获得一些未经解释或形式转换就可察觉与使用的信息，从而为后续的分析问题、解决问题奠定基础。

三、替换策略：合情转换，发展几何直观能力的关键。

双重编码理论认为：造成数学知识学习困难的主要原因在于学习材料（数学语言和符号）具有高度的抽象性，它不容易唤起视觉映像。[2]因此，在数学教学

3

中，应该重视对学生心里映像方面的训练，引导学生把言语表征转换成表象表征，使需要解决的数学问题视觉化。为学生创造了一个主动思考的机会，从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程。如《用“替换”的策略解决问题》中的例题：“小明把720

1毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的。小杯

3和大杯的容量各是多少毫升？”这道题同时要求两个未知量，对于部分同学来说，还是有一定难度的。在充分讨论大杯和小杯的容量关系后，引导学生借助图形来分析，问题一下子就简单起来。学生画出的图形主要有下面两种。

徐利治先生认为：几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。[3]这里将题中的文字语言转换成图形语言后，学生很容易想到把大杯换成小杯或小杯换成大杯后，总量720毫升没有发生变化，从而顺利地解决问题，形成策略，同时也发展了学生的几何直观能力。所以可以说学生能否顺利地把言语表征转化为表象表征，做到在两者之间来回穿梭，是发展几何直观能力的关键。

四、假设策略：化静为动，发展几何直观能力的内核。

几何直观是一种创造性思维，也是一种很重要的科学研究方式。对于学生的数学学习而言，很多时候解题的灵感往往来自于几何直观，只有具备把抽象的数学问题转化成可借用的几何直观问题，学生才有可能展开想象和创造性的探求活动。

4

几何直观能把静止的数量关系转化为可见的图形，通过动手操作和推理解决数学问题。如《用“假设”的策略解决问题》中的例题：“全班42人去公园划船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只？”教学时可以提示学生根据自己的假设画出示意图，并根据画出的图分析假设后乘船人数的变化以及产生这种变化的原因，引导学生根据数量发生的变化及时在图上进行动态调整，推算出每种船的只数，最后进行检验。（下图是假设全部是大船时调整的情况）

这一解决问题的过程学生借助几何直观沿着“假设—比较—调整—检验”的思路，动态呈现思考的过程，启迪学生的思维逐步走向深刻。让思维过程形象地外显，可以促进学生在头脑中建立运动的表象，留住一些图形，从而帮助学生不断积累利用几何直观进行思考的经验，发展几何直观能力。

五、转化策略：以形助数，发展几何直观能力的瓶颈。

几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式。它是基于表象的、在人头脑中进行的“快捷处理”。[4]这里的“形”可以是眼睛看见的，可以是画出的，也可以是大脑想到的。更重要的是它是要依托“形”直接地产生对数量关系及事物其他本质属性的感知。《用“转化”的策略解决问题》中有一个关于计算的问题，给出的算式是：

1111＋＋＋。我们教学时可以481622这样处理：出示题目要求学生计算，学生使用通分的方法算出结果。然后出示11111111＋＋＋＋＋＋＋，让学生计算，由于计算的繁难很多学生48163264128256会放弃计算的方法寻找更快捷的方法。这时提醒学生联系认识分数的过程，从简单入手画图表征问题，于是学生画出了下面两种图形。

借助直观图，学生很快就想到把加法转化成减法进行计算，运用转化的策略直接找到答案，体会到几何直观带来的直觉思维的魅力。由此可见，对于几何直

5

观难就难在学生会主动想到用几何的方法去分析问题，主动地“以形助数”，而不是教师给学生一个几何直观的方法，让学生去解题。

事实上小学数学教材中承载几何直观能力培养的内容有很多，我们在教学实践中要有目的、有计划地教给学生利用图形描述和分析数学问题的方法，帮助学生不断积累借助图形直观解决问题的经验，感受几何直观在解决问题中的作用，从而在第三学段能初步建立几何直观。

【参考文献】

[1]秦德生、孔凡哲：关于几何直观的思考，《中学数学教学参考》，2005年第10期

[2]王林：《小学数学课程标准研究与实践》第175、176页

[3]徐利治：谈谈我的一些数学治学经验，《数学通报》，2000年第5期 [4]顾志能：对“几何直观”概念的几点辨析，《小学数学教师》，2012年第7、8期

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9wm2.html