山东省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）

山东省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）

x

1．（5分）集合A={y∈R|y=2}，B={﹣1，0，1}，则下列结论正确的是（） A． A∩B={0，1} B． A∪B=（0，+∞） C． （?RA）∪B=（﹣∞，0） D． （?RA）∩B={﹣1，0} 2．（5分）“2a＞2b”是“lna＞lnb”的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

3．（5分）已知α∈（0，π），且 A．

B．

，则cos2α的值为（） C．

D．

4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（） A．

B． 2

C． 4

D．6

5．（5分）设函数f（x）=sinxcos2x图象的一个对称轴是（） A．

6．（5分）若方程|x+4x|=m有实数根，则所有实数根的和可能是（） A． ﹣2、﹣4、﹣6 B． ﹣4、﹣5、﹣6 C． ﹣3、﹣4、﹣5 D．﹣4、﹣6、﹣8 7．（5分）要得到一个奇函数，只需将函数f（x）=sin2x﹣的图象（） A． 向左平移 C． 向右平移

8．（5分）定义在R上的偶函数满足f（+x）=f（﹣x）且f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f的值为（） A． 2 B． 1 C． 0 D．﹣2 9．（5分）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（） A． 等边三角形 B． 直角三角形

2

B． x=0 C． D．

个单位 个单位

B． 向右平移D． 向左平移

个单位 个单位

C． 钝角三角形

10．（5分）函数f（x）=

+

D． 不含60°角的等腰三角形 的性质：

①f（x）的图象是中心对称图形； ②f（x）的图象是轴对称图形； ③函数f（x）的值域为[，+∞）； ④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（） A． ①③ B． ③④ C． ②③ D．②④

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上. 11．（5分）定积分

12．（5分）如果f（tanx）=sinx﹣5sinxcosx，那么f（2）=．

13．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx+x，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集为． 14．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为． 15．（5分）设函数f（x）=lnx，有以下4个命题： ①对任意的x1、x2∈（0，+∞），有f（

）≤

；

2

2

（2x+e）dx．

x

②对任意的x1、x2∈（1，+∞），且x1＜x2，有f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1； ③对任意的x1、x2∈（e，+∞），且x1＜x2，有x1f（x2）＜x2f（x1）； ④对任意的0＜x1＜x2，总有x0∈（x1，x2），使得f（x0）≤其中正确的是（填写序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16．（12分）已知函数有f（x）=sinxcosx+（1）求f（

）及f（x）的单调递增区间；

，

]的最值．

（cosx﹣sinx）．

2

2

．

（2）求f（x）在闭区间[﹣

17．（12分）设命题p：函数f（x）=x﹣ax﹣1在区间[﹣1，1]上单调递减；命题q：函数y=ln2

（x+ax+1）的值域是R．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．

3

18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；

（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

19．（12分）已知数列{an}满足，an+1+an=4n﹣3（n∈N）． （Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求a1的值； （Ⅱ）当a1=2时，求数列{an}的前n项和Sn．

20．（13分）已知函数f（x）=ax+bx+cx+dx+e的图象关于y轴对称，其图象过点A（0，﹣1），且在x=

处有极大值．

4

3

2

*

．

（1）求f（x）的解析式；

2

（2）对任意的x∈R，不等式f（x）﹣tx﹣t≤0恒成立，求t的取值范围．

21．（14分）已知函数f（x）=x2

（1）求实数a的取值范围； （2）证明：f（x2）

．

在（﹣1，0）上有两个极值点x1，x2，且x1＜

山东省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意） 1．（5分）集合A={y∈R|y=2}，B={﹣1，0，1}，则下列结论正确的是（） A． A∩B={0，1} B． A∪B=（0，+∞） C． （?RA）∪B=（﹣∞，0） D． （?RA）∩B={﹣1，0}

考点： 交集及其运算；并集及其运算；补集及其运算；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．

专题： 计算题．

x

分析： 本题利用直接法，先利用指数函数的值域性质化简集合A，再求CRA，最后求出A、B的交、并及补集等即可．

x

解答： 解：∵A={y∈R|y=2}={y∈R|y＞0}， ∴CRA={y∈R|y≤0}， 又B={﹣1，0，1}， ∴（CRA）∩B={﹣1，0}． 故选D．

点评： 这是一个集合与函数的性质交汇的题，本小题主要考查集合的简单运算．属于基础题之列． 2．（5分）“2a＞2b”是“lna＞lnb”的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．

分析： 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 解答： 解：由2a＞2b得a＞b， 由lna＞lnb得a＞b＞0，

即“2a＞2b”是“lna＞lnb”的必要不充分条件， 故选：B

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．

3．（5分）已知α∈（0，π），且 A．

B．

，则cos2α的值为（） C．

D．

考点： 二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系． 专题： 三角函数的求值．

分析： 利用条件，两边平方，可得sin2α=﹣，进而可求cosα﹣sinα，利用二倍角的余弦公式可得结论． 解答： 解：∵∴1+2sinαcosα=，

∴sin2α=﹣，且sinα＞0，cosα＜0， ∴cosα﹣sinα=﹣

=﹣

， ．

，α∈（0，π），

∴cos2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=﹣

故选C．

点评： 本题考查用二倍角的余弦公式，考查同角三角函数的平方关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（） A．

B． 2

C． 4

D．6

考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 函数f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f（x）的定义域（3﹣2a，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a的值．

解答： 解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，

而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．

又函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2． 故选B．

点评： 本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题． 5．（5分）设函数f（x）=sinxcos2x图象的一个对称轴是（）

A．

考点： 专题： 分析： 解答： ∴f（﹣

B． x=0 C． D．

余弦函数的对称性．

计算题；三角函数的图像与性质．

利用函数的对称性对A、B、C、D四个选项逐一判断即可． 解：∵f（x）=sinxcos2x，

）=sin（﹣）cos2×（﹣）=1≠f（0）=0，

对称，排除A；

∴函数f（x）=sinxcos2x图象不关于x=﹣

∵f（﹣x）=sin（﹣x）cos2（﹣x）=﹣sinxcos2x=﹣f（x），

∴f（x）=sinxcos2x为奇函数，不是偶函数，故不关于直线x=0对称，排除B； 又f（

）=sin

cos（2×

）=﹣1≠f（0）=0，故函数f（x）=sinxcos2x图象不关于x=

对

称，排除C；

又f（π﹣x）=sin（π﹣x）cos2（π﹣x）=sinxcos2x=f（x） ∴f（x）关于直线x=

对称，故D正确．

故选D．

点评： 本题考查三角函数的对称性，考查排除法在选择题中的应用，属于中档题．

6．（5分）若方程|x+4x|=m有实数根，则所有实数根的和可能是（） A． ﹣2、﹣4、﹣6 B． ﹣4、﹣5、﹣6 C． ﹣3、﹣4、﹣5 D．﹣4、﹣6、﹣8

考点： 函数的零点与方程根的关系． 专题： 函数的性质及应用．

2

分析： 函数y=|x+4x|由函数y=x+4x的图象纵向对折变换所得，画出函数图象可得函数

22

y=|x+4x|的图象关于直线x=﹣2对称，则方程|x+4x|=m的实根也关于直线x=﹣2对称，对m的取值分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．

22

解答： 解：函数y=|x+4x|由函数y=x+4x的图象纵向对折变换所得： 如下图所示：

22

由图可得：函数y=|x+4x|的图象关于直线x=﹣2对称，则方程|x+4x|=m的实根也关于直线x=﹣2对称，

2

当m＜0时，方程|x+4x|=m无实根，

2

当m=0或m＞4时，方程|x+4x|=m有两个实根，它们的和为﹣4，

2

当0＜m＜4时，方程|x+4x|=m有四个实根，它们的和为﹣8，

2

当m=4时，方程|x+4x|=m有三个实根，它们的和为﹣6， 故选：D

点评： 本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，数形结合是处理此类问题常用的方法． 7．（5分）要得到一个奇函数，只需将函数f（x）=sin2x﹣的图象（） A． 向左平移 C． 向右平移

个单位 个单位

B． 向右平移D． 向左平移

个单位 个单位

2

2

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 首先用三角函数的辅助角公式，将函数化简得f（x）=2sin（2x﹣），然后将函数的图象向右平移θ个单位，得到f（x﹣θ）=2sin（2x﹣2θ﹣），再根据奇函数图象过原点，得到2sin（﹣2θ﹣）=0，解之得θ=﹣+，最后取k=1，得实数θ的最小值为．

解答： 解：函数f（x）=sin2x﹣函数的图象向左平移t个单位得到： g（x）=2sin（2x+2t﹣

），

cos2x=2sin（2x﹣），

由于所得图象对应的函数为奇函数，

令：2t﹣解得：t=

=kπ（k∈Z）， +

，

，

当k=0时，t的最小值为：即向左平移

个单位，

故选：A．

点评： 本题将函数y=Asin（ωx+φ）的图象平移后，得到一个奇函数的图象，求平移长度的最小值，着重考查了三角函数的奇偶性、三角函数式的化简和函数图象平移的规律等知识点，属于基本知识的考查．

8．（5分）定义在R上的偶函数满足f（+x）=f（﹣x）且f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f的值为（） A． 2 B． 1

考点： 抽象函数及其应用．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

C． 0 D．﹣2

分析： 由定义在R上的偶函数满足f（+x）=f（﹣x）可知函数f（x）是周期为3的函数；从而可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f=671（f（1）+f（2）+f（3））+f（1），求f（1）、f（2）、

f（3）即可．

解答： 解：∵定义在R上的偶函数满足f（+x）=f（﹣x），

∴函数f（x）是周期为3的函数； 又∵f（﹣1）=1，∴f（1）=1；

∴f（2）=f（﹣1）=1，f（3）=f（0）=﹣2； 故f（1）+f（2）+f（3）+…+f =671（f（1）+f（2）+f（3））+f（1） =671×（1+1﹣2）+1 =1； 故选B．

点评： 本题考查了抽象函数的应用，属于中档题． 9．（5分）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（） A． 等边三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 不含60°角的等腰三角形

考点： 两角和与差的正弦函数． 专题： 三角函数的求值．

分析： 利用三角形的内角和，结合差角的余弦公式，和角的正弦公式，即可得出结论．

解答： 解：∵sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C）， ∴sin（A﹣B）=1﹣2cosAsinB，

∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB， ∴sinAcosB+cosAsinB=1， ∴sin（A+B）=1， ∴A+B=90°，

∴△ABC是直角三角形． 故选B．

点评： 本题考查差角的余弦公式，和角的正弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

10．（5分）函数f（x）=

+

的性质：

①f（x）的图象是中心对称图形； ②f（x）的图象是轴对称图形； ③函数f（x）的值域为[，+∞）； ④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（） A． ①③ B． ③④ C． ②③ D．②④

考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 函数的性质及应用；推理和证明．

分析： ①因为函数不是奇函数，所以错误．②利用函数对称性的定义进行判断．③利用两点之间线段最短证明．④利用函数的值域进行判断．

解答： 解：①因为f（﹣x）=图象关于原点不对称，所以错误． ②因为f（3﹣x）=

+

+≠﹣f（x），所以函数不是奇函数，所以

=+，所以f（x）的

图象关于x=对称，所以②正确． ③由题意值f（x）≥f（），而f（）=

+

=

，所以f（x）≥

，即函数f（x）

的值域为[，+∞），正确．

④设f（x）=t，则方程f[f（x）]=1+，等价为f（t）=1+，即t=0，或t=3． 因为函数f（x）≥，所以当t=0或t=3时，不成立，所以方程无解，所以④错误． 故正确的说法为：②③ 故选：C

点评： 本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的分析能力．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上. 11．（5分）定积分

考点： 定积分．

（2x+e）dxe．

x

专题： 导数的综合应用．

分析： 直接利用定积分运算法则求解即可． 解答： 解：

（2x+e）dx=（x+e）

x

2

x

=1+e﹣1=e．

故答案为：e．

点评： 本题考查定积分的运算法则的应用，考查计算能力．

12．（5分）如果f（tanx）=sinx﹣5sinxcosx，那么f（2）=﹣．

考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

2

分析： 由已知得f（tanx）=sinx﹣5sinxcosx=此能求出f（2）．

2

解答： 解：f（tanx）=sinx﹣5sinxcosx =

2

=，由

=

令tanx=2， 得f（2）=

，

=﹣．

故答案为：﹣．

点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意三角函数性质的合理运用．

13．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx+x，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集为（，e）．

考点： 其他不等式的解法．

专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： 求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式f（lnx）＜f（1）即为F|lnx|）＜f（1），

则|lnx|＜1，运用对数函数的单调性，即可得到解集．

2

解答： 解：函数f（x）=xsinx+cosx+x的导数为 f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx）， 则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，

2

且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）=f（x）， 则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），

则不等式f（lnx）＜f（1）即为F|lnx|）＜f（1），

2

则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e． 故答案为：（，e）．

点评： 本题考查函数的单调性和奇偶性的运用：解不等式，考查导数的运用：判断单调性，考查对数不等式的解法，属于中档题和易错题． 14．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．

考点： 余弦定理；数列的应用；正弦定理． 专题： 综合题；压轴题．

分析： 因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答： 解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，

则cos120°=

化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10， 所以三角形的三边分别为：6，10，14 则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15

=﹣，

．

故答案为：15

点评： 此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题． 15．（5分）设函数f（x）=lnx，有以下4个命题： ①对任意的x1、x2∈（0，+∞），有f（

）≤

；

②对任意的x1、x2∈（1，+∞），且x1＜x2，有f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1； ③对任意的x1、x2∈（e，+∞），且x1＜x2，有x1f（x2）＜x2f（x1）； ④对任意的0＜x1＜x2，总有x0∈（x1，x2），使得f（x0）≤

其中正确的是②③（填写序号）．

考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 函数的性质及应用；简易逻辑．

分析： 直接由对数函数的运算性质结合基本不等式判断①； 构造函数g（x）=x﹣lnx（x＞1），利用导数求得其单调性后判断②；

．

构造函数函数t（x）=（x＞e），利用导数求得其单调性后判断③；

取两个特殊的x1，x2，求出

的范围后判断④．

解答： 解：f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函数， 对于①，由f（

）=

，

=，

∵，∴f（）≥，命题①错误；

，

对于②，设函数g（x）=x﹣lnx（x＞1），

∴g（x）=x﹣lnx在（1，+∞）上为增函数，

∵x1＜x2，则有x2﹣lnx2＞x1﹣lnx1，即f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1，命题②正确； 对于③，令函数t（x）=

（x＞e），

＜0，

∴t（x）为（e，+∞）上的减函数， 由x2＞x1＞e，得

，即x1f（x2）＜x2f（x1），命题③正确；

对于④，令e=x1＜x2=e，得

2

==＜1，

∵x0∈（x1，x2），∴f（x0）＞f（x1）=1，不满足f（x0）≤

，命题④错

误．

故答案为②③．

点评： 本题考查对数函数的单调性，训练了利用导数研究函数的单调性方法，构造函数是解答该题的关键，是中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16．（12分）已知函数有f（x）=sinxcosx+（1）求f（

）及f（x）的单调递增区间；

，

]的最值．

（cosx﹣sinx）．

2

2

（2）求f（x）在闭区间[﹣

考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： （1）利用二倍角公式及两角和的正弦化简，然后直接取x=的单调性求得f（x）的单调递增区间；

求值，结合复合函数

（2）由x的范围求出化简后函数相位的范围，进一步求得f（x）在闭区间[﹣解答： 解：f（x）=sinxcosx+=（1）由

∴f（x）的单调递增区间为（2）∵x∈[﹣∴则sin（2x+

）∈，

]，

， ．

，解得：

；

=

（cosx﹣sinx）

=sin（2x+．

）．

2

2

，]的最值．

．

∴f（x）的最小值为﹣，最大值为1．

点评： 本题考查了两角和与差的正弦，考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，考查

了三角函数的最值，是中档题．

17．（12分）设命题p：函数f（x）=x﹣ax﹣1在区间[﹣1，1]上单调递减；命题q：函数y=ln2

（x+ax+1）的值域是R．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 综合题．

分析： 由p为真命题，能够推导出a≥3．再由q为真命题，能够推导出a≤﹣2或a≥2．由题

3

意P和q有且只有一个是真命题，所以p真q假??a∈?，p假q真

??a≤﹣2或2≤a＜3．由此能够得到a的取值范围．

2

2

解答： 解：p为真命题?f'（x）=3x﹣a≤0在[﹣1，1]上恒成立?a≥3x在[﹣1，1]上恒成立?a≥3

q为真命题?△=a﹣4≥0恒成立?a≤﹣2或a≥2

2

由题意P和q有且只有一个是真命题p真q假??a∈?，p假q真

??a≤﹣2或2≤a＜3

综上所述：a∈（﹣∞，﹣2]∪[2，3）

点评： 本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意合理地进行等价转化．

18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=

．

（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；

（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

考点： 余弦定理的应用．

分析： （Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．

（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出

∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积． 解答： 解：（Ⅰ）∵c=2，C=∴a+b﹣ab=4，

又∵△ABC的面积等于∴∴ab=4 联立方程组

，解得a=2，b=2

，

2

2

，c=a+b﹣2abcosC

222

，

（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA， ∴sinBcosA=2sinAcosA 当cosA=0时，

，

，

，

，求得此时

当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a， 联立方程组

解得

，

．

所以△ABC的面积综上知△ABC的面积

点评： 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．

19．（12分）已知数列{an}满足，an+1+an=4n﹣3（n∈N）． （Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求a1的值； （Ⅱ）当a1=2时，求数列{an}的前n项和Sn．

考点： 数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和． 专题： 计算题． 分析： （1）根据数列{an}是等差数列，写出通项an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd．，结合an+1+an=4n﹣3，可求a1的值； （2）分类讨论：n为奇数，Sn=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an）； n为偶数，Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）．进行分组求和即可． 解答： 解：（1）若数列{an}是等差数列，则an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd． 由an+1+an=4n﹣3，得（a1+nd）+[a1+（n﹣1）d] =4n﹣3，即2d=4，2a1﹣d=﹣3，

*

解得，．…（7分）

=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an）

（2）①当n为奇数时，

==…（11分）

②当n为偶数时，Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）=1+9+…+（4n﹣7）=

．（14分）

点评： 本题以数列递推式为载体，考查等差数列公式的运用，考查分组求和．

20．（13分）已知函数f（x）=ax+bx+cx+dx+e的图象关于y轴对称，其图象过点A（0，﹣1），且在x=

处有极大值．

4

3

2

（1）求f（x）的解析式；

2

（2）对任意的x∈R，不等式f（x）﹣tx﹣t≤0恒成立，求t的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的极值；二次函数的性质． 专题： 综合题；导数的综合应用．

432

分析： （1）先根据函数f（x）=ax+bx+cx+dx+e的图象关于y轴对称，求出b和d的值，

再根据函数的图象经过点（0，﹣1）求出e，然后根据在x=处有极大值，建立一等量关

系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可求得结果；

2

（2）根据对任意x∈R，不等式f（x）﹣tx﹣t≤0恒成立，分离参数，进而利用基本不等式即可求得结果．

解答： 解：∵f（x）关于y轴对称，∴f（x）为偶函数， 即f（x）=f（﹣x），

∴a（﹣x）+b（﹣x）+c（﹣x）+d（﹣x）+e=ax+bx+ax+dx+e 得b=d=0，

图象过A（0，﹣1）得e=﹣1，

42

∴f（x）=ax+cx﹣1 又f（x）在x=∴

处有极大值， 且

，

432432

解得a=﹣2，c=3，

42

∴f（x）=﹣2x+3x﹣1；

2

（2）∵f（x）≤t（x+1）， ∴∵即

的取等号，

，当且仅当

=

∴t的取值范围为[7﹣4，+∞）．

点评： 本题注意考查待定系数法求函数的解析式，以及分离参数的方法解决函数恒成立的问题，在解题时注意导数的几何意义的应用和基本不等式求最值应注意的问题，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．

21．（14分）已知函数f（x）=x2

（1）求实数a的取值范围； （2）证明：f（x2）

．

在（﹣1，0）上有两个极值点x1，x2，且x1＜

考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 综合题；导数的综合应用．

2

分析： （1）求导数知方程2x+2x+a=0在（﹣1，0）上有两不等实根，可得

，即可求实数a的取值范围；

（2）确定ax2＞x2，可得f（x2）=x2+x2+ax2+1＞x2+x2+x2+1，设h（x）=x+x+x+1，x∈（﹣，0），h（x）在（﹣，0）递增，即可证明结论． 解答： （1）解：∵f（x）=

，

323232

∴f′（x）=2x+2x+a，

2

由题意知方程2x+2x+a=0在（﹣1，0）上有两不等实根， 设g（x）=2x+2x+a，其图象的对称轴为直线x=﹣，

2

2

故有，解得0＜a＜…（6分）

（2）证明：由题意知x2是方程2x+2x+a=0的大根，从而x2∈（﹣，0）， 由于0＜a＜，∴ax2＞x2，

∴f（x2）=x2+x2+ax2+1＞x2+x2+x2+1， 设h（x）=x+x+x+1，x∈（﹣，0）， h′（x）=2（x+）+＞0 ∴h（x）在（﹣，0）递增， ∴h（x）＞h（﹣）=

，即f（x2）

成立…（13分）

23

23

2

3

2

2

点评： 本题考查利用导数研究函数的极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有难度．

∴f′（x）=2x+2x+a，

2

由题意知方程2x+2x+a=0在（﹣1，0）上有两不等实根， 设g（x）=2x+2x+a，其图象的对称轴为直线x=﹣，

2

2

故有，解得0＜a＜…（6分）

（2）证明：由题意知x2是方程2x+2x+a=0的大根，从而x2∈（﹣，0）， 由于0＜a＜，∴ax2＞x2，

∴f（x2）=x2+x2+ax2+1＞x2+x2+x2+1， 设h（x）=x+x+x+1，x∈（﹣，0）， h′（x）=2（x+）+＞0 ∴h（x）在（﹣，0）递增， ∴h（x）＞h（﹣）=

，即f（x2）

成立…（13分）

23

23

2

3

2

2

点评： 本题考查利用导数研究函数的极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有难度．

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