概率论与数理统计徐雅静版课后题答案1--7章

1 第1章

三、解答题

1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正确.

2．设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)， 又因为P(B)?P(A?B)即P(B)?P(A?B)?0. 所以

(1) 当P(B)?P(A?B)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)?P(A)=0.6.

(2) P(A?B)?1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A，B满足P(AB)?P(AB)，记P(A) = p，试求P(B)． 解：因为P(AB)?P(AB)，

即P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)， 所以 P(B)?1?P(A)?1?p.

4．已知P(A) = 0.7，P(A – B) = 0.3，试求P(AB)．

解：因为P(A – B) = 0.3，所以P(A )– P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )– 0.3, 又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7– 0.3=0.4，P(AB)?1?P(AB)?0.6.

5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有n?C410种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 法一：分两种情况考虑：k?C121)2+C25C4(C25

其中：C1215C4(C2)2为恰有1双配对的方法数 11法二：分两种情况考虑：k?C1?C8?C6252!+C5

其中：C1C118?C65?2!为恰有1双配对的方法数

法三：分两种情况考虑：k?C12?C125(C84)+C5 其中：C1215(C8?C4)为恰有1双配对的方法数 法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k?C125C8-C25

1

2 414法五：考虑对立事件：k?C10-C54(C2)

14 其中：C54(C2)为没有一双配对的方法数

法六：考虑对立事件：k?C1114101?C10?C8?C6?C44!1111

其中：所求概率为p?C10?C8?C6?C44!kC410为没有一双配对的方法数

?1321.

6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率． 解：(1) 法一：p?C5212C10C4C23103?112120，法二：p?C3A5A103?112120

(2) 法二：p??，法二：p?C3A4A31012?

7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则

P(M1)?A4433221?38, P(M2)?C3?A443?916, P(M3)?C443?116

8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？

解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 P(M2)?C3C52211?0.3,P(M1)?C3C2C52?0.6,P(M1)?C2C522?0.1

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．

解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则M?M1?M2且M1?M2??.

所以P(M)?P(M1?M2)?P(M1)?P(M2)?C5C228?C3C228?1328.

10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间? = {(x，y)：0 ? x，y ? 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x，y) ? ? ： x + y ? 6/5} 因此

A的面积?的面积?4?1????2?5?112P(A)???1725．

图？ 2

3

22ax?x（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面

11．随机地向半圆0?y?积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于

?4的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，?表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ?={(x，y)：0?x?2a,0?y? 事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于 ={(x，y)：0?x?2a,0?y?因此

1P(A)?A的面积?的面积?2a?12222ax?x}

?4”

?42ax?x,0???2}

142?a2?1?a??1． 2 12．已知P(A)?14,P(BA)?1314,P(AB)??13?11212，求P(A?B)．

P(AB)P(A|B)112?13 解：P(AB)?P(A)P(BA)?,P(B)?1416?112?12?16,

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)???.

13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？

解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；

P(A)?1?P(A)?1?C6C22102?23，P(B)?21523C4C210?215，

P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)P(A)?/?15

14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？

解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则

P(A)?C2C115?35,P(A)?25，由全概率公式得

35C5C1P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??19?25?C4C119?2345,

3

4 由贝叶斯公式得

P(A|B)?P(A)P(B|A)P(B)?35?C5C911/2345?1523.

15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”， 已知

P(N|M)?0.02,P(N|M)?0.01,P(M)?2313.

所以

P(N|M)?0.98,P(N|M)?0.99,P(M)?,

由贝叶斯公式得

P(M|N)?P(M)P(N|M)P(M)P(N|M)?P(M)P(N|M)?221196?0.98?(?0.98??0.01)?. 333197

111 16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,，问三人中至少有一人能将此密

534码译出的概率是多少？

解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知P(A1)?15,P(A2)?13,P(A3)?14,所以P(A1)?45,P(A2)?23,P(A3)?34,

至少有一人能将此密码译出的概率为

1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A2)?1?45?23?34?35.

17．设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7，求P(BA). 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且

P(A∪B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)

将P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以

P(BA)?1?P(BA)?1?P(AB)P(A)?1?P(A)P(B)P(A)?1?P(B)?1?0.5?0.5.

或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以

P(BA)?P(B)?1?P(B)?1?0.5?0.5.

18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？

解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”， 已知P(A)=P(B)=1,P(MA)?0.6,P(MB)?0.5,所以

P(M)?P(AB?AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB).

4

5 由于甲乙两人是独立射击目标，所以

P(M)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.5?0.4?0.5?0.6?0.5?0.8.

P(A|M)?P(AM)P(M)?P(A)P(M|A)P(M)?1?0.60.8?0.75

19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？

(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？

解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.

（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为

P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0.7?0.8?0.9?0.504,

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.7?0.8?0.56,

可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为

P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.7?0.7?0.49.

可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1．设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC = ?，P(A)?P(B)?P(C)?P(A?B?C)?91612,且已知

，求P(A)．

解：因为ABC = ?，所以P(ABC) =0,

因为A，B，C两两相互独立，P(A)?P(B)?P(C),所以

P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(A)P(B)?P(B)P(C)?P(A)P(C)?3[P(A)]

2由加法公式P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)得

3P(A)?3[P(A)]?2916 即 [4P(A)?3][4P(A)?1]?0

考虑到P(A)?12,得P(A)?14.

2．设事件A，B，C的概率都是

12，且P(ABC)?P(ABC)，证明：

122P(ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?．

证明：因为P(ABC)?P(ABC)，所以

P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?[P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)]P(A)?P(B)?P(C)?12将

代入上式得到

5

11 i1??1??1??3??3?2?2???11??. ?lim?3ii??1721?32(3) P?X?3的倍数???i?1?6．(1) X~P?0.5t??P?1.5? P?X?0??e?1.5. (2) 0.5t?2.5 P?x?1??1?P?x?0??1?e?2.5. 7．解：设射击的次数为X，由题意知X~B?400，0.2?

P?X?2??1?P?X?1??1??1??1k?0C4000.020.98kk400?k?1k?08Kk!e?8?1?0.28?0.9972，其中8=400×0.02.

8．解：设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数，X~B?5，0.3? 则指示灯发出信号的概率

p?P?X?3??1?P?X?3??1?(C50.30.7?C50.30.7?C50.30.7)

005114223 ?1?0.8369?0.1631；

?x9. 解：因为X服从参数为5的指数分布，则F(x)?1?e5，P?X?10??1?F(10)?e?2，Y~B?5，e?2?

k?2k?25?k则P{Y?k}?C5(e)(1?e),k?0,1,?5

P{Y?1}?1-P{Y?0}?1?（1?e）?0.5167

?2510. (1)、由归一性知：1???????f(x)dx????2?2acosxdx?2a，所以a?12?12.

(2)、P{0?X??4}??4120cosxdx?sinx|04?24.

11. 解 （1）由F(x)在x=1的连续性可得limF(x)?limF(x)?F(1)，即A=1.

x?1?x?1?（2）P?0.3?X?0.7??F(0.7)?F(0.3)?0.4. （3）X的概率密度f(x)?F?(x)???2x,0?x?1?0, .

?10?x?5?12. 解 因为X服从（0，5）上的均匀分布，所以f(x)??5

?0其他? 若方程4x?4Xx?X?2?0有实根，则??(4X)?16X?32?0，即 X?2 X??1 ，所以有实根的概率为 p?P?X?2??P?X??1??222?5152dx???1??0dx?15x52?35

4) 所以 13. 解: (1) 因为X~N(3，P{2?X?5}?F(5)?F(2)

11

12 ?0.6915?1?0.5328 ??(1)??(0.5)?1?0.8413

P??4?X?10??F(10)?F(?4)

??(3.5)??(?3.5)?1?2?(3.5)?1?2?0.998?1?0.996

P?X?2??1?P?X?2??1?P??2?X?2?

?1??F(2)?F(?2)??1???(?0.5)??(?2.5) ?1???(2.5)??(0.5)?

??1?0.3023?0.6977

P?X?3??1?P?X?3??1?F(3)?1??(0)?1?0.5?0.5

(2) P?X?c??1?P?X?c?，则P?X?c???(0)?1212?F(c)??(c?32)?12，经查表得

，即

c?32?0，得c?3；由概率密度关于x=3对称也容易看出。

d?32)?0.9，

(3) P?X?d??1?P?X?d??1?F(d)?1??(则?(故-d?322)?0.1，即?(-d?32)?0.9，经查表知?(1.28)?0.8997，

d?3?1.28，即d?0.44；

k)??(?k)

14. 解：P?X?k??1?P?X?k??1?P??k?X?k??1??( ?2?2?(所以 ?(kk)?0.1

????)?0.95，p?X?k??F(k)??(k?)?0.95；由对称性更容易解出；

215. 解 X~N(?,?)则 P?X??????P?????X?????

?F(???)?F(???) ??(??????)??(??????)

??(1)??(?1) ?2?(1)?1?0.682 6上面结果与?无关，即无论?怎样改变，P?X?????都不会改变； 16. 解：由X的分布律知

p x X215 16 15 115 1130 -2 4 -1 1 0 0 1 1 3 9 12

13 X

2 1 0 1 3

所以 Y的分布律是 Y 0 1 4 9

p 175 30 15 1130 Z的分布律为 Y 0 1 2 3 p 1 1

5 7305 1130 21?(x??)17. 解 因为服从正态分布N(?,?2)，所以f(x)?e2?2，2??(x??)2则 F(x)?1x?e2?2dx，Fx??Y(y)?p?e?y?，

2???当y?0时，FY(y)?0，则fY(y)?0 当y?0时，FY(y)?p?ex?y??p?x?lny?

2f'11?(lny??)e2?2Y(y)?FY(y)?(F(lny))??y

2???11?(lny??)2e2?2y?0所以Y的概率密度为f??Y(y)?y； ?2???0y?018. 解X~U(0,1)，f(x)??10?x?1??0 ，

FY(y)?p?Y?y??p?1?x?y??1?F(1?y)，

所以f0?1?y?1Y(y)?f??1,0?y?1X(1?y)???1,? ?0,其他?0,其他19. 解：X~U(1,2)，则f(x)??11?x?2??0其他

F2XY(y)?P?Y?y??P?e?y? 当y?0时，FY(y)?P?e2X?y??0，

当y?0时，

13

14 11???PX?lny?F(lny)， FY(y)??X22??1?1?fX(lny)fY(y)?FY(y)?(F(lny))???222??0'1e?x?e其他24?1???2y??0

e?x?e其他2420. 解: (1) FY(y)?P?Y1?y??P?3X?y??P?X?1?fY1(y)?FY1(y)?(F('?11?y??FX(y)

33?13y))??13fX(13y)

?3x2?因为fX(x)??2??011?1?x?1其他

?12?y,所以fY1(y)?fX(y)??1833??0,2?1?13其他y?1?12,?y??18,??0?3?y?3其他

(2) FY(y)?P?Y2?y??P?3?X?y??P?X?3?y??1?FX(3?y)，

fY2(y)?FY2(x)?[1?FX(3?y)]?fX(3?y)

''?3x2?因为fX(x)??2??0?1?x?1其他，

?3?3?(3?y)2,?1?3?y?1?(3?y)2,2?y?4??2 所以fY2(y)?fX(3?y)??2

???0,其他?0,其他（3）FY3(y)?P?Y3?y??P?X 当y?02?y ?时，FY3(y)?P?X2?y??0，fY3(y)?FY3(x)?0

' 当y?0时，FY3(y)?P? fY(y)?FY(x)?[F33?y?X?y?FXy)]?'??y??F1y[fXX(?y)，

fX(?y)]

'?y??F(?fX(?2?y???1[fX?所以 fY3(y)??2y???y??0y)],,y?0y?0，

?3x2?因为fX(x)??2??0?1?x?1其他，

14

15 ?3?y,所以fY(y)??23,??00?y?1其他

四．应用题

1．解：设X为同时打电话的用户数，由题意知X~B?10 ,0.2?

设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则

kki10iP{X?k}??Ci?00.20.8i10?i??i?0?i!e???0.99，其中??2,

查表得k=5.

2．解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概

率为1-e?0.4，记X为10块组件中不能正常工作的个数，则

X~B(10,1?e?0.4)，

5小时后系统不能正常工作，即?X?2?，其概率为

P?X?2??1?P?X?1? ?1?C10(1?e ?0.8916.0?0.4)(e0?0.4)10?C10(1?e1?0.4)(e1?0.4)10?1

3．解：因为X~N(20,402)，所以

P{X?30}?P{?30?X?30}?F(30)?F(?30)

??(30?2040)??(?30?2040) ??(0.25)??(1.25)?1?0.5187?0.8944?1?0.4931

设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则X~B(3,0.4931)，

003(1) P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C30.4931(1?0.4931)?1-0.506911(2) P{Y?1}?C30.4931?0.506923?0.8698.

?0.3801.

4．解： 当y 当

F(y)??0时，{Y?y}是不可能事件，知F(y)?0，

0?y?2时，Y和X同分布,服从参数为5的指数分布错误！未找到引用源。，知

?y?y150e?x5dx?1?e?y}5，

当y?2时，{Y为必然事件,知F(y)?1，

因此，Y的分布函数为

?0 , y?0?y??0?y?2； F(y)??1-e5，?1,y?2?? 15

16 5．解：(1) 挑选成功的概率p?1C48?170；

??1?(2) 设10随机挑选成功的次数为X，则该X~B?10，?，

70?设10随机挑选成功三次的概率为：

P{X?3}?C10(3170)(1?k170)7?0.00036，

以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。

（B）

?0,x?0??13x,0?x?1?1. 解：由概率密度可得分布函数F(x)???1,1?x?3

?3?1??2(x?3),3??39x?6?1,x?6由于P?X?k??23，即F(k)?13，易知1?k?3；

?2. 解： X服从（?1,2）的均匀分布，f(x)??1，?1?x?2??1，X?0,?3?0，其他，又Y?? ??1，X?0,则P?Y?1??P{X?0}??2220f(x)dx?13x0?3，

P{Y??1}?P{X?0}?1-P{X?0}?13

所以Y的分布律为 Y2 -1 1 P 1 2 33

3. 解：F33Y(y)?P[1?3X?y]?P{X?(1?y)}?1?FX[(1?y)]，

f(y)??F??F[(1?y)3]?'??f?3??3??2f3YY(y)??1?X(1?y)(1?y)?3(1?y)X?(1?y)??3(1?y)2??1?(1?y)6?,y?R；

4. 证明：因fx(x)是偶函数，故fx(?x)?fx(x)，

FY(y)?P{Y?y}?P{?X?y}?P{X??y}?1?P{X??y}?1?Fx(?y) 16

所以

17 f'Y(y)?FY(y)?fx(?y)?fx(y).

5. 解：随机变量X的分布函数为

?0 , x?1 F(x)???3x-1, 1?x?8，显然F(x)?[0,1]，

??1, x?8 FY(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y}，

当y?0时，{F(X)?y}是不可能事件，知FY(y)?0，

当0?y?1时，FY(y)?P{3X?1?y}?P{X?(1?y)3}?y， 当y?1时，{F(X)?y}是必然事件，知FY(y)?1， ?0 , y?0即 F(y)??Y?y, 0?y?1。

??1, y?16. （1）FY(y)?P{Y1?y}?P{2X?1?y}?P{X?y-112}

?1y-1y?1当

y2?0时，即y?1时，FY1(y)?P{X?2}??20-?dx?0，

y?1?1当2?0时，即y>1时，Fy-1y1?y}??2e?xY1(y)?P{X?20dx?1-e2，所以

?11?yf??2，y?1Y1(y)??2e；

?0,y?1，其他（2）FY({2y)?P{Y2?y}?PeX?y}，

当y?0时，{eX?y}为不可能事件，则FXY2(y)?P{e?y}?0，

当0?y?1时，lny?0，则F{eXY2(y)?P?y}?P?X?lny???lny，??0dx?0 当y?1时，lny?0，则FxY2(y)?P?X?lny???lny0e?dx?1?1，

y根据fY(2y)?FY?(2y)得

?0, f?y ?1Y2(y)??1；??y2,y?1

（3）F2Y()3y?P{Y3?y}?P{X?y}， 当y?0时，F2Y()3y?P{X?y}?0， 当y?0时，FY3(y)?P{X2?y}?P??y?X?y???yx0e?dx?1?e?y，

17

18 ?0, y?0??y所以 fY3(y)??e；

,y?0?2y??2e?2x,x?07. (1) 证明：由题意知f(x)??。

,x?0?0Y1?e?2x，FY（y）?P{Y1?y}?P{e11?2X?y}，

当y?0时，FY（y）?0即fY（y）?0， 1当0?y ?1时，FY(y)?P{e1?2X?lny???y}?P?X???2??????lny22e?2xdx?y，

当y?1时，FY(y)?P?X?1???lny???2????02e?2xdx?1，

?1,0?y?1故有fY1(y)??，可以看出Y1服从区间（0，1）均匀分布；

0, ?（2） Y2?e?2x，FY2(y)?P{Y21?y}?P{1-e?2x?2X?y}?P{e?2X?1-y}

当1?y?0时，FY2(y)?P{e 当0?1?y?1时，

FY（(y)）?P{e2?2X?1-y}?1，

?ln(1?y)???1-y}?P?X???2???2X?ln(1?y)?202e?2xdx?y，

当1?y?1时，FY(y)?P{e2?ln(1?y)???1-y}?P?X???2???ln(1?y)?2??0dx?0，

由以上结果，易知fY(y)??2?1,0?y?1?0, ，可以看出Y2服从区间（0，1）均匀分布。

第三章

1解：(X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：

P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1|=2/3?1/2=/3 同理可求得P{X=1,Y=1}=1/3; P{X=2,Y=1}=1/3 (X,Y)的分布律用表格表示如下：

Y X 1 2 1 1/3 1/3 2 1/3 0 2 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2 18

19 (1) P{X=i, Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i|= 错误！未找到引用源。, i,j=0,1,2, i+j?2 或者用表格表示如下：

Y X 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 1 6/28 6/28 0 2 1/28 0 0 (2)P{(X,Y)?A}=P{X+Y?1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=源。 由P(A|B)=

P(AB)P(B)?1/2得错误！未找到引用源。P(B)=1/4

P(AB)P(A)?P(AB)1/4?1/2错误！未找到引用源。得P(AB)=1/8错误！未找到引用

(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则

P{X=0,Y=0}=错误！未找到引用源。)P(AB)=P(错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。(A)-P(B)+P(AB)=5/8 P{X=0,Y=1}=P(错误！未找到引用源。B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=0}=P(A错误！未找到引用源。)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解：(1)由归一性知：

1=错误！未找到引用源。, 故A=4 (2)P{X=Y}=0

(3)P{X

F(x,y)=错误！未找到引用源。 即F(x,y)=错误！未找到引用源。 5.解：P{X+Y?1}=

6 解：X的所有可能取值为0,1,2,Y的所有可能取值为0,1,2, 3. P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125

19

??f(x,y)dxdy???1201?x(x?2xy3)dydx?6572

x?y?120 1212P{X=1,Y=1}=C20.5?0.5?0.25, P{X=1,Y=2}=C20.5?0.5?0.25

P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125 X,Y 的分布律可用表格表示如下：

Y X 0 1 2 P.j

?e?y,7. 解：f(x,y)???0,??0 1 2 3 Pi. 0.125 0 0 0.125

0.125

0 0

0.25 0.5 0.25 1

0.25 0.25 0 0 0.375

0.125 0.375

0.125 0.125

0?x?y其它

????y?edy,fX(x)??f(x,y)dy???x???0,??y?y?edx,fY(y)??f(x,y)dx???0???0,????e?x,??0,x?0?x?0?ye?y,??0,y?0?y?0x?0x?0

y?0y?0

?cx2y,8. 解：f(x,y)???0,x?y?1x?01122

(1)1???????????f(x,y)dxdy????1xcxydydx?2c?x20121?x24dx?4c21

所以 c=21/4

??(2) fX(x)?????21?f(x,y)dy??4??yy?12xxydy,0，2?21x2(1?x4)|x|?1?,??8?其它0,?|x|?1其它

?21???fY(y)??f(x,y)dx??4??????xydx20，5?20?y?1?7y??2?其它?0,0?y?1 其它 20

21 9 解：Se21D??1xdx?lnx|e21?2

(X,Y)在区域D上服从均匀分布，故f(x,y)的概率密度为

?f(x,y)??1?,(x,y)?D ?2?0，其它?1fx)????X（??f(x,y)dy??x1??0dy,1?x?e2

?2?0,其它?e21e2?1?dx?,??1220?y?e?2f???1y111X（x)????f(x,y)dx???2dx?(?1),e?2?y?1?12y?其它?0,?10 解：f(x,y)?0?x?1,0?y?x??3x,?0,其它

fx,y)Y|X(y|x)?f(fx)?0)

X(x) (fX( f???0?x?1X(x)??f(x,y)dy??x2??03xdy?3x,??

?2?0,其它当0

?3x0?y?xfY|X(y|x)?f(x,y)?3x2,fx)??

X(?2?0,其它?即，f(y|x)?2,0?y?x?1Y|X??

?x?0,其它11解：f(x,y)??1,0?x?1,|y|?x??0,其它

?1dx?1?yy?0f?????y,Y(y)????f(x,y)dx??1 ???ydx?1?y,y?0

21

22 当y?0时，fX|Y(x|y)?f(x,y)?1,???1?yfY(x)??0,?1,???1?yfY(x)??0,0?x?1,?x?y?x其它

当y>0时，fX|Y(x|y)?f(x,y)0?x?1,?x?y?x其它

所以，fX|Y(x|y)?f(x,y)?1,???1?|y|fY(x)??0,f(x,y)fY(x)0?|y|?x?1其它

12 解：由fX|Y(x|y)?得

f(x,y)?fX|Y?15yx2,(x|y)fY(y)???0,0?y?1,0?x?y其它1

P{X?0.5}???0.5??????f(x,y)dydx???0.51x15yxdydx?24764

13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表 pi (X,Y) max(X,Y) Min(X,Y) 0.05 (0,-1) 0 -1 0.15 (0,0) 0 0 0.2 (0,1) 1 0 0.07 (1,-1) 1 -1 0.11 (1,0) 1 0 0.22 (1,1) 1 1 0.04 (2,-1) 2 -1 0.07 (2,0) 2 0 0.09 (2,1) 2 1 Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律为 Z Pk W -1 0 0.53 1 0.31 y?0y?00 0.2 1 0.6 2 0.2 Pj 0.16 ?1?x?e?,f(x)?14 解：X????0,?1?y?e?,x?0f(y)? Y???x?0?0,

由独立性得X，Y的联合概率密度为

22

23 ?1?x?y?e?,f(x,y)???2?0,?x?0,y?0其它

??x1?x?y1则P{Z=1}=P{X?Y}=??f(x,y)dxdy????00x?y?2edydx?2

P{Z=0}=1-P{Z=1}=0.5 故Z的分布律为 Z 0 1 Pk 0.5 0.5 ?15 解：f(x,y)??1??,x2?y2?1

??0,其它???1?x22fX(x)????f(x,y)dy??1??2dy???1?x21x2,|x|?1

????0，其它?2同理，f)??1?y2,y|?1Y(y??|

??0，其它显然，fX(x)?fY(y)，所以X与Y不相互独立. 16 解：(1)f0?x?1X(x)?1,??y)?,0?y?1?0,其它 fY(??1?0,其它

利用卷积公式：fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx求fZ(z)

f(x)f=?1,0?x?1,x?z?1?xXY(z?x)??0,其它

??z?0dx?z,0?z?1f???1Z(z)????fX(x)fY(z?x)dx??1?z?2 ??z?dx1?2?z?0,其它?(2) f?1,0?x?1X(x)??(y)???0,其它?e?y f,y?0Y

?0,y?0利用卷积公式：fZ(z)??????fX(z?y)fY(y)dy

23

24 ?e?y,fX(z?y)fY(y)???0,y?0,y?z?y?1其它

fZ(z)???????ze?ydy,??0?z?yfX(z?y)fY(y)dy???edy,z?1??0,?0?z?1z?1其它?1?e?z,??z??(e?1)e,?0,?0?z?1z?1其它?

17 解：由定理3.1（p75）知，X+Y~N(1,2) 故P{X?Y?1}?P{X?Y?12???1?12}??(0)?0.5

1212（x)?18解：(1) fX12???f(x,y)dx????0(x?y)e?(x?y)dy?e?x(x?1)(x>0)

同理，fY(y)?e?y(y?1) y>0

显然，fX(x)?fY(y)，所以X与Y不相互独立 (2).利用公式fZ(z)??????fX(x，z?x)dx

x?0,z?x?0其它?1?ze?z,??2??0,x?0,z?x其它?1?(x?z?x)e?(x?z?x),fX(x,z?x)??2?0,???

fZ(z)?????z1?z??zedx,fX(x，z?x)dx??02?0,?z?0?12?z?ze,??2z?0?0,?z?0z?0

19解：并联时，系统L的使用寿命Z=max{X,Y} 因X~E(?),Y~E(?),故

?1?y?1?x??e?,x?0?e,y?0 fY(y)??? fX(x)?????0,x?0??0,y?0x????FX(x)??1?e,??0,y??x?0 F(y)??1?e?,?Y?x?0?0,y?0

y?0zz??????FZ(z)?FX(z)FY(z)??(1?e)(1?e),?0,?z?0

z?0 24

25 ?11?z?1?z???????z111?e??e??(?)e????,fZ(z)???????0,?z?0 z?0串联时，系统L的使用寿命Z=min{X,Y}

?11???????z??????FZ(z)?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]??1?e,z?0 ??0,z?0?f???1??11??1???e???????z?z?0Z(z)????,

??????0,z?0 (B)组

1 解：P{X=0}=a+0.4, P{X+Y=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=a+b P{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=a 由于{X=0|与{X+Y=1}相互独立, 所以 P{X=0, X+Y=1}=P{X=0} P{X+Y=1}

即 a=(a+0.4)(a+b) (1) 再由归一性知：

0.4+a+b+0.1=1 (2) 解(1),(2)得 a=0.4, b=0.1 2 解: (1) P{X?2Y}???f(x,y)dxdy??1x20?0(2?x?y)dydx?7x?2y24

??(2) 利用公式fZ(z)??f(x,z?x)dx计算

??f(x,z?x)??2?z,0?x?1,0?z?x?1??0,其它

?z(2?z)dx,0?z????0?1（?2?z),0?z?1fz)??f(x,z?x)dx??1??z?1(2?z)dx,1?z?2???(2?z)2Z(,1?z?2????2??0,z?0,z?2?3.解：(1) FY(y)=P{Y?y}=P{X2?y} 当y<0时，fY(y)=0

25

26 当y?0时，FY(y)?P{?y?X?y}?FX(y)?FX(?y)

??1[fX(从而，fY(y)????2yy)?fX(??3,0?y?1?8y???1,1?y?4 y)]???8y????0，y?4(2) F(-1/2,4)=P{X?-1/2,Y?4}= P{X?-1/2,X2?4} =P{-2?X?-1/2}=??12?2fX(x)dx???1212?1dx?14

4.解：P{XY?0}=1-P{XY=0}=0 即 P{X=-1,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0

由概率的非负性知，P{X=-1,Y=1}=0，P{X=1,Y=1}=0

由边缘分布律的定义，P{X=-1}= P{X=-1,Y=0}+ P{X=-1,Y=1}=1/4 得P{X=-1,Y=0}=1/4

再由P{X=1}= P{X=1,Y=0}+ P{X=1,Y=1}=1/4 得P{X=1,Y=0}=1/4

再由P{Y=1}=P{X=-1,Y=1}+ P{X=0,Y=1}+ P{X=1,Y=1}= P{X=0,Y=1} 知P{X=0,Y=1}=1/2

最后由归一性得：P{X=0,Y=0}=0 (X,Y)的分布律用表格表示如下：

Y X -1 0 1 P{Y=j} 0 1/4 0 1/4 1/2 1 0 1/2 0 1/2 P{X=i} 1/4 1/2 1/4 1 (2) 显然，X和Y不相互独立，因为P{X=-1,Y=0}? P{X=-1}P{Y=0}

??5 解：X与Y相互独立，利用卷积公式fZ(z)????fX(x)fY(z?x)dx计算

26

27 ??)2?1f1?(xX(x)?2??e2?2, f?,y?(???2?,?)Y(y)? ??0,其它?(x??)2f)f??1??e2?2,???z?x??X(xY(z?x) ?2??2??0,其它??22fZ(z)??fX(x)f?1?(x??)2?2?(x??)1z??1e2?2Y(z?x)dx??z?z????2??2?edx?2??z???2?dx?12?P{z???X?z??}?12?[F(z??)?F(z??)]

1?2?????z??????????z??????????????? ?6.解：(X,Y)～Ｕ(G)

?f(x,y)??1?2,(x,y)?G ??0,其它设F(x)和f(s)分别表示S=XY的分布函数和密度函数 F(s)=P{XY

?1,s?2s?0时，F??S?s12s ??1x1?0?02dydx??s?02dydx?0,s?0?所以，F?ss2S???ln,s?22s?2

??1,s?2于是，S=ＸY概率密度为

?12f???2lns,0?s?2S(s) ??0,其它7.解：由全概率公式： FU(u)=P{U?u}={X+Y?u}

=P{X=1}P{X+Y?u|X=1}+ P{X=2}P{X+Y?u|X=2}

27

28 = P{X=1}P{1+Y?u}+ P{X=2}P{2+Y?u} =0.3?FY(u-1)+0.7?FY(u-2) 所以，fU(u) =0.3?fY(u-1)+0.7?fY(u-2) 8. 解：(1) f(x,y)???1,?0,0?x?1,0?y?x其它

fX(x)???????2x1dy,0?x?1?f(x,y)dy???0??它?0,其?2x,0?x?1 ?0,其它?y?11dx,0?y?2?????y?1?,0?y?2 fY(y)??f(x,y)dx??2??2???0,其?0,其它它??(2) FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}?如图所示，当z<0时，FZ(z)=0; 当z?2时，FZ(z)=1

z??f(x,y)dxdy

2x?y?z 当0?z<2时:FZ(z)?综上所述， ?0.??FZ(z)??z???1,?z?0z2??202x01dydx???z212x2x?z1dydx?z?z24

4,0?z?2

z?2它?0,其?所以Z的概率密度为：fZ(z)?? z?1?,0?z?22?9.解：(1) fX(x)???1,?0,0?x?1其它

fY|X?1?,0?y?x,0?x?1 (y|x)??x?0,其它??1?,0?y?x?1 f(x,y)?fY|X（y|x)fX(x)??x?0,其它? 28

29 ?11(2) f0?y?1Y(y)??????f(x,y)dx????yxdx,0?y?1???lny,???0,其它?0,其它 (3) P{X?Y?1}???f(x,y)dxdy??1dydx?1?ln2

0.5?x11?xx?y?1x10.解：(1)P{Z?1/2|X=0}=P{X+Y?1/2|X=0}=P{Y?1/2}=1/2 (2) 由全概率公式：

FZ(z)=P{Z?z}=P{X+Y?z}=P{X=1}P{X+Y?z|X=1} +P{X=0}P{X+Y?z|X=0}=P{X=-1}P{X+Y?z|X=-1} = P{X=1}P{1+Y?z}+P{X=0}P{Y?z}=P{X=-1}P{-1+Y?z} =1/3?[FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)]

?从而，f?[f?1?3,?1?z?2Z(z) =1/3Y(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)]=

??0,其它11.解：f(x.y)?3x,0?x?1,0?y?x???0,其它

FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}?P{Y?X?Z}???f(x,y)dxdyy?x?z如图，当z<0时，FZ(z)=0; 当z?1时，FZ(z)=1 当0?z<1时:Fzx1xZ(z)??0?03xdydx??z?x?z3xdydx?3zz32?2

?0,z?0?综上得：F?3zZ(z)???z3,0?z?112

?22??0,z?1?Z的概率密度为f??3?2(1?z2),0?z?1Z(z)

??0,其它x2212 解：f2X(x)?12?e?,f?y2Y(y)?12?e,

29

30 f(x,y)?fX(x)fY(y)?12?2e?x?y222

?z}

FZ(z)?P{Z?z}?P{x?y2当z<0时，FZ(z)=0; 当z?0时，FZ(z)?P{X2?Y2?z}?22??2f(x,y)dxdy?212???02?z0e?r22rdrd??1?e?z22

x?y?z??所以，Z的概率密度为fZ(z)??ze??0,?z22,z?0

其它

第四章

4三、解答题

1. 设随机变量X的分布律为

X pi 求E(X)，E(X2)，E(3X?5)．

?– 2 0.4 0 0.3 2 0.3 解：E (X ) =

2

??xpi?1i= ??2??0.4+0?0.3+2?0.3= -0.2

E (X ) =

?xi?12pi= 4?0.4+ 0?0.3+ 4?0.3= 2.8

E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3???0.2?+5 = 4.4

2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望． 解：记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi，则Xi 的分布律为

P{X?i}?1/6,i?1,2,?,6

记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (Xi ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28

3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的．

(1) 某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．

(2) 某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望． 解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B(n, p1),所以E (X )= n p1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B(n, p),

记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B｝= p1+ p2 - p1 p2 所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 )

4. 将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)． 30

31 解：依题意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1.

5. 设X~P(?)，且P{X?5}?P{X?6}，求E(X)． 解：由题意知X～P（?），则X的分布律P ?X?k?=?k??k!e，k = 1,2,...

又P?X?5?=P?X?6?, 所以 ?5?65!e???6!e??

解得 ??6，所以E(X) = 6.

6. 设随机变量X的分布律为P{X?k}?6?2k2,k?1,?2,3,?4,?,问X的数学期望是否存在？

解：因为级数??((?1)k?1k?6?6?， 而

k?1?2k2)??((?1)k?16k?1?2k)??2?(?1)k?11k?1k??1发散，所以X的数学期望不存在.

k?1k7. 某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为

?1?xf(x)???9xe/3,x?0, ??0其它.求一天的平均耗电量． 解：E(X) =??xf(x)dx???x/312?x/3???0x19xedx?9??0xedx=6.

8. 设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为

?25F(x)???1?x2,x?5, ??0其它.求这种家电的平均寿命E(X)．

解：由题意知，随机变量X的概率密度为f(x)?F?(x) 当x>5时，f(x)? ??2?25x3?50x3，当x?5时，f(x)?0.

E(X) =???5050x|??-?xf(x)dx????5x3dx??x5?10

所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.

9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为

f(x)???42x(1?x)5,0?x?1,

?0其它.求X的数学期望E(X)．

解：E(X) =???xfx-?()dx??1x25042(1?x)dx=1/4

10. 设随机变量X的概率密度如下，求E(X)．

31

32 ?32(1?x)，?1?x?0，?2??32 f(x)??(1?x),0?x?1，?20，其它.???解：E(X)?132xf(x)dx?x(1?x)dx?x(1?x)dx?0. ?????12?0232??011. 设X~B(4,p)，求数学期望E(sin?X2)．

解：X的分布律为P{X?k}?Cnkpk(1?p)n?k， k = 0，1，2，3，4， X取值为0，1，2，3，4时，sin?X相应的取值为0，1，0，-1，0，所以

2E(sin?X2)?1?C4p(1?p)?1?C4p(1?p)?4p(1?p)(1?2p)

1133312 12. 设风速V在(0，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数：（k > 0，常数），W?kV，

求W的数学期望．

?1, 0?v?aa解：V的分布律为f(v)??，所以 ??0, 其它?E(W)??????kvf(v)dx?2?a0kv21adv?k13a12(v)|0?ka a3313. 设随机变量(X, Y )的分布律为

Y X 0 1 2 求E(X)，E(Y )，E(X – Y )．

解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4.

14. 设随机变量(X，Y)具有概率密度f(x,y)??解：E(X)=

12?24xy,?0,0?x?1,0?y?1,x?y?1其它0 3/28 3/14 1/28 1 9/28 3/14 0 2 3/28 0 0 ，求E(X)，E(Y)，E(XY)

??Dx?24xydxdy??21024x2?31?x0ydydx

y??1024x?2(1?x)dx?2?(12x01?24x?x)dx?(4x?6x?4341251x)?0525y??x?1

x 32

33 E(Y)???y?24xydxdyD??24y?01121?y0xdxdy?2/51?x11

E(XY)???xy?24xydxdy??024x2?0y2dydx??024x2?D3(1?x)3dx ?(82441345623x?6x?5x?3x)?.015 15. 某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律

X 10 11 12 13 14 pi 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 所得利润（以元计）为Y?1000(12?X),求E(Y)，D(Y)． 解： E(Y) = E［1000(12-X)］

=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400

E(Y2) = E［10002(12-X)2

］

=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1 +（12-14）2×0.1]=1.6×106

D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=1.6×106- 4002=1.44×106

16. 设随机变量X服从几何分布 ，其分布律为P{X?k}?(1?p)k?1p,k?1,2,?, 其中0 < p < 1是常数，求E(X)，D(X)．

解：令q=1- p ,则

????kE(X)??(k?P{X?k})??(k?qk?1p)?p?k?qk?1?p?dq ?qk?pd(1k?1k?1k?1k?1dq?pddq?k?0dq1?q)?1/p????E(X2)??(k2?P{X?k})??(k2?qk?1p)?p[?k(k?1)?qk?1??k?qk?1]

k?1k?1k?1k?1??2??pq?k(k?1)?qk?2?1/p?pq?d2kdq2qk?1/p?pq(dk?1k?0dq2?q)?1/p

k?1?pqd212dq2(1?q)?1/p?pq2(1?q)3?1/p?2q/p?1/p

D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p2

?117. 设随机变量X的概率密度为f(x)??x|?1?1?x2,|，试求E(X)，D(X)．

???0,其它解：E(X)=

????xf(x)dx??1?1x1dx?0

?1?x2D(X)= E(X2

)=

????x2f(x)dx??11?1x2?1?x2dxx?sintt?[??/2,?/2]??/2sin2t??/2?costdt

?2/21?cos2t1???02dt?2

18. 设随机变量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，?XY??1/6，求D(X?Y)，D(X?3Y?4)． 解：因为?Cov(X,Y)XY?，所以

D(X)D(Y)

33

34 Cov(X,Y)??XYD(X)D(Y)=-1/6×3×2=-1,

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?9?4?2?11

D(X?3Y?4)?D(X)?9D(Y)?2Cov(X,?3Y)?9?36?6(?1)?51

19. 在题13中求Cov(X，Y)，?XY． 解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4,

E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14, E(X)= 0×（3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)=4/7, E(Y)= 0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=27/28, D(X)= E(X2) -［E(X)］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D(Y)= E(Y2)- ［E(Y)］2=27/28-(3/4)2= 45/112,

Cov(X，Y)= E(XY)- E(X) E(Y) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56, ?XY = Cov(X，Y) /(D(X)D(Y))=-9/56 ? (9/2845/112)= -5/5

2

2

2

2

2

2

2

2

20. 在题14中求Cov(X，Y)，?XY，D(X + Y)． 解：E(X)?E(Y)?E(X)?225,E(XY)?152215,Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??275

??0211?x024xydydx?23?E(Y)

D(X)?E(X)?E(X)?41???D(Y) ??152525?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??23275

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?21. 设二维随机变量(X, Y )的概率密度为

?1?,f(x,y)?????0x?y?1, 其它.22试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．

解：E(X)?E(Y)???1?x2211?x2?1?1?x2x/?dydx??1?12x1?x/?dx?0

2??1?1?1?x1y/?dydx?0

2E(XY)???1?x?1?1?x2xy/?dydx?0，

所以Cov(X，Y)=0，?XY =0，即X和Y是不相关.

fX(x)???????1?x2?f(x,y)dy????1?x21/?dy,?0，??21?x2?1?x?1??，?1?x?1

??其他?0，其他??21?y2??1?y?1，?1?y?1 ????其他0，其他?21?y????1/?dx,fY(y)??f(x,y)dx????1?y2???0，? 34

当x+ y≤1时，f ( x,y)≠fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互独立的

2

35 2

22. 设随机变量(X, Y )的概率密度为

?1/2,f(x,y)???0|y|?2x,0?x?1其它.

y验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．

解：由于f ( x,y)的非零区域为D: 0 < x < 1, | y |< 2x E(X)?1y?2x??Dxf(x,y)dxdy???012x12122x?2xxdydx??2xdx?0223,

OE(Y)???Dyf(x,y)dxdy???012x?2x1ydydx?0, 12xydydx?0,所以Cov(X，

xE(XY)???Dxyf(x,y)dxdy???0?2xy??2xY)=0，从而

?xy?Cov(x,y)D(x)?D(y)?0，因此X与Y不相关 .

fX(x)?????2x1?dy?2x,0?x?1 f(x,y)dy????2x2?0,其他?f1y?11dx??,?2?y?0???y224?2??1y?1(y)??f(x,y)dx???y2dx??,0?y?2 Y??24?20,其他???所以，当0

.1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元的损失，再者，他们预测销售量Y（件）服从参数?的指数分布，问若要获利的数学期望

35

36 最大，应该生产多少件产品？（设m,n,?均为已知）.

解：设生产x件产品时，获利Q为销售量Y的函数 y ?mY?n(x?Y),0?Y?x? Q Q ( Y ) ? ? 0< y

mx,Y?x? y?1 ? x ?e? , y?0,??0Y的边缘密度函数为f(y)??Y ??0,y?0?

yy??x??11??? E(Q)??Q(Y).fY(Y)dy???my?n(x?y)?e.dy??mx.edy??0x?? yyy???xx????? ??(m?n)yde?nxde??0?0?xmxde

yyyy?????x?xx ??(m?n)ye??e??m?n?dy??nxe??mxe???00x?0?? ??xyxx ????x??(m?n)xe???m?n??e?0?nxe??nx?mxe?

x? ???(m?n)?e??m?n??nx xx???dE(Q)1? 令??(m?n)?e?????n?(m?n)e??n?0dx???

x?nn ?则e?,?x???lnm?nm?n

x2 dE(Q)m?n??又??e?0 dx?n

?当x???ln时，E(Q)取最大值m?n2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X服从参数为?的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m元，卖不掉而退回则每日赔偿n元，若每日卖报人买进r份报，求其期望所得及最佳卖报数。 解： 设真正卖报数为Y ,则

?XY???rX?rX?r?k????e,k?rk!?的分布为P?Y?k???k?????,k?r?e??k?rk!，Y

设卖报所得为Z ,则Z 与Y 的关系为

?my?n?r?y?Z?g?Y????mr?r?1k?E?g?Y??????k?0k!?Y?rY?r

??e?????km??r?k?n????kk??????i?rk!?e??mr??k??k?m?n??r?1k?0r?2k!kee????nr?r?1k?0r?1kk!kee????mr?r?1k?0k!e??k????mr???k?0k!?e??????

??m?n??????k?0k!?nr?k?0???k!?mr 36

37 当给定m,n,λ之后，求r，使得E(g(Y))达到最大.

用软件计算??100,m?10,n?0时E?g?Y???100,此时r?150

(B)组题

1. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数X的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率．

解：(1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布律为 P{X?k}?C3C3C63k3?k， k=0,1,2,3.

即 X 0 1 2 3 pi 因此

E(X)?0?120?1?920?2?920?3?120?32.

120

920

920

120

(2) 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于{X?0}，{X?1}，{X?2}，{X?3}构成完备事件组，因此根据全概率公式，有

3 P(A)??P{Xk?03?k}P{AX?k}

k613 =?P{X?k}?k?0?kP{X?6k?0?k}

=

16E(X)?131??. 6240?x??，对X独立重复观察4次，用Y表示观察值大其他x?1?cos,2. 随机变量X的概率密度为f(x)??22?0,?于

?3的次数，求Y 2的数学期望 解：依题意，Y~B(4, p), p=P{X >

?3}=

???/3f(x)dx????/312cosx2dx?sin2

x2???/312

2

所以E(Y)= 4p =2，D(Y)= 4p(1-p)=1， E(Y) = D(Y)+[E(Y)]=1+4=5 3. 设随机变量U在区间(-2，2)上服从均匀分布，随机变量

??1,X???1,若U??1;若U??1??1,Y???1,若U?1.

若U?1试求：(1)X和Y的联合分布律；(2)D(X?Y)．

37

38 ?1, 解：(1) fU(u)???4??0,?2?u?2 其他?1P{X =-1, Y =-1}= P{U ≤-1且U ≤1}= P{U ≤-1}=?P{X =-1, Y =1}= P{U ≤-1且U >1}= 0， P{X =1, Y =-1}= P{-1

14?1du?12，

2P{X =1, Y =1}= P{U > -1且U >1}= P{U > 1}=?所以X和Y的联合分布律为 X -1 Y -1 1 1/4 0 1/2 1/4 X pi Y 1 141du?14，

(2) X和Y的边缘分布律分别为

– 1 1/4 – 1 1 3/4 1 pi 3/4 1/4 所以E(X)= -1/4+3/4=1/2，E(Y)= -3/4+1/4=-1/2，E(XY)= 1/4-1/2+1/4=0， E(X2)= 1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4， Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=2

4. 设随机变量X的期望E(X)与方差D(X)存在，且有E(X)?a,D(X)?b(b?0)，Y?E(Y)?0,D(Y)?1．

X?ab，证明

证明：首先证明E（Y）存在

(1) 若随机变量X为离散型随机变量，分布律为：P{X?xi}?pi,i,?1,2,? 则由E(X)存在知，E(X)?记Y?X?ab???xi?1ipi绝对收敛，且E(X)?a,

??g(X),则?g(xi)pi?i?1?i?1?xi?a??b??1?p??ib???i?1xipi?ab绝对收敛，

所以E（Y）存在，E(Y)?E???X?a??X?a,??0D(Y)?D???b?b???D(X)???1 ?b?(2) 若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则：

38

39 由E?X?存在知则???????xf?x?d?x?绝对收敛。1???xf?x?d?x???????bX?ab??f?x?d?x????????af?x?d?x????1???xf?x?d?x??????b?a???a?绝对收敛??因为?????xf?x?d?x?绝对收敛，所以?X?aE?Y??E??b?1???xf?x?d?x???????b

即E?Y?存在，且?X?aD?Y??D??b??11???E?X??a??0?EX?a???bb??11???D?X?a??D?X??1b?b2

5. 设离散型随机变量X的分布律为P{X?xk}?pk,(k?1,2,?)，且E(X)，E(X )，D(X)都存在，试证明：函数f(x)???(xk?1k2?x)pk在x?E(X)时取得最小值，且最小值为D(X)．

?证明：令df(x)??2?(xk?x)pk?0，

dxk?1?则??xkpk?k?1???xpk?1?k?0，

??xk?1kpk?x?pk??E(X)?x?0，所以，x?E(X)

k?1又

df(x)dx22?1?0，所以x?E(X)时，f(x)????(xk?1k2?x)pk取得最小值，此时

f(E(X))??(xk?1k?E(X))pk?D(X)

2 6. 随机变量X与Y独立同分布，且X的分布律为

X pi 记U?max(X,Y),V?min(X,Y)， (1) 求(U，V)的分布律；

(2) 求U与V的协方差Cov(U，V). 解：(1) (X ,Y)的分布律 Y 1 X 1 2 (X ,Y) pij U V

4/9 2/9 2 2/9 1/9 （1，1） 4/9 1 1 （1，2） 2/9 2 1 （2，1） 2/9 2 1 （2，2） 1/9 2 2 39

1 2/3 2 1/3 40 V 1 U 1 2 4/9 4/9 2 0 1/9 (2) E(U)= 4/9+2×5/9=14/9， E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 2×1/9=10/9， E(UV)= 4/9+2×4/9+4×1/9=16/9, Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 随机变量X的概率密度为

?1/2,?fX(x)??1/4,?0,??1?x?00?x?2 其它令Y?X2,F(x,y)为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求Cov(X，Y)．

解：

E(X)??????xfｘ(x)dx?2?30?11/2xdx??02021/4xdx?1/4E(Y)?E(X)?3?????xfｘ(x)dx???2?0?1x/2dx??20x/4dx?5/62E(XY)?E(X)????xfｘ(x)dx?3??1x/2dx?23?20x/4dx?7/83

则：Cov(X,Y)?E(X)?E(X)E(X)?7/8?(1/4)?(5/6)?2/38. 对于任意二事件A和B，0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，??P(AB)?P(A)?P(B)

P(A)P(B)P(A)P(B)称作事件A和B的相关系数．

(1) 证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零． (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明??1．

证明: (1) ?0?P?A??1 0?P?B??1 ?P(A)P(B)P(A)P(B)?0 ,

??0?P?AB??P?A?P?B??0?P?AB??P?A?P?B?

即??0是事件A和B独立的充分必要条件(2) 考虑随机变量X和Y

１，A出现?X＝?０，　A不出现?１，B出现? Y＝?

０，　B不出现?

40