数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案

第一章 绪论

1．设x 0,x的相对误差为 ，求lnx的误差。

e*x* x*

解：近似值x*的相对误差为 =er

x*x*1

而lnx的误差为e lnx* lnx* lnx e*

x*进而有 (lnx*)

2．设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。 解：设f(x) xn，则函数的条件数为Cp |

x nxn 1

, Cp || n

n

xf'(x)

| f(x)

又 f'(x) nx

n 1

又 r((x*)n) Cp r(x*) 且er(x*)为2

r((x*)n) 0.02n

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个

*** 1.1021,x2 0.031, x3 385.6, 单位，试指出它们是几位有效数字：x1**

x4 56.430,x5 7 1.0.

*

1.1021是五位有效数字； 解：x1

*

x2 0.031是二位有效数字； *x3 385.6是四位有效数字； *x4 56.430是五位有效数字； *x5 7 1.0.是二位有效数字。

********

x2 x4x2x3,(3) x2/x44．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x1,(2) x1. ****

,x2,x3,x4其中x1均为第3题所给的数。

解：

121*

(x2) 10 3

21*

(x3) 10 1

21*

(x4) 10 3

21*

(x5) 10 1

2

(x1*) 10 4

***

(1) (x1 x2 x4)*** (x1) (x2) (x4)

111 4 3 3 10 10 10222 1.05 10 3

***

(2) (x1x2x3)

********* x1x2 (x3) x2x3 (x1) x1x3 (x2)

111

0.031 10 1 0.031 385.6 10 4 385.6 10 3

222

0.215

**

(3) (x2/x4)

****

x2 (x4) x4 (x2)

x

*2

4

11

0.031 10 3 56.430 10 3

56.430 56.430

10 5

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？

4

解：球体体积为V R3

3

则何种函数的条件数为

R V'R 4 R2

Cp 3

3V R3 r(V*) Cp r(R*) 3 r(R*)

又 r(V*) 1

1

故度量半径R时允许的相对误差限为 r(R*) 1 0.33

3

6．设Y0

28，按递推公式Yn Yn 1 （n=1,2,…）

计算到Y

100 27.982（5位有效数字），试问计算Y100将有多大误差？

解： Yn Yn 1 Y100 Y99

Y99 Y98

Y98 Y97……

Y1 Y0

依次代入后，有Y100 Y0 100即Y100 Y0，

27.982, Y100 Y0 27.982

1*

(Y100) (Y0) (27.982) 10 3

2

1

Y100的误差限为 10 3。

2

7．求方程x2 56x 1 0的两个根，使它至少具有4位有效数字

27.982）。 解：x2 56x 1 0，

故方程的根应为x1,2 28故

x1 28 28 27.982 55.982

x1具有5位有效数字

x2 28

11

0.017863

28 27.98255.982

x2具有5位有效数字

8．当N充分大时，怎样求

N 1

N

1

dx？ 2

1 x

解

N 1

N

1

dx arctan(N 1) arctanN 1 x2

设 arctan(N 1), arctanN。 则tan N 1,tan N.

1 N1 x2dx

N 1

arctan(tan( ))tan tan

1 tan tan N 1 N

arctan

1 (N 1)N

1

arctan2

N N 1 arctan

9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2？ 解：正方形的面积函数为A(x) x2

(A*) 2A* (x*).

当x* 100时，若 (A*) 1,

1

则 (x*) 10 2

2

故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm2

12

gt，假定g是准确的，而对t的测量有 0.1秒的误差，证明当t增2

加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。

1

解： S gt2,t 0

2

10．设S

g2t (t* (S*) )

当t*增加时，S*的绝对误差增加

r(S*)

(S*)

S*

gt2 (t*)

*2g(t)2 (t*) 2*

t

当t*增加时， (t*)保持不变，则S*的相对误差减少。 11．序列 yn 满足递推关系yn 10yn 1 1 (n=1,2,…),

若y0 1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

解： y0 1.41

1

(y0*) 10 2

2

又 yn 10yn 1 1 y1 10y0 1 (y1*) 10 (y0*) 又 y2 10y1 1 (y2*) 10 (y1*)

(y2*) 102 (y0*)......

10

(y10*) 10 y(0101 1 02 10

218 102

*)

1

计算到y10时误差为 108，这个计算过程不稳定。

2

12

．计算f

1)6 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

3

(3 ,

,

，

99 解：设y (x 1)6，

1

若x，x* 1.4，则 x* 10 1。

2

计算y值，则

y*

1*

x *7

(x 1)

6**

y x *7

(x 1)

y* x*

若通过(3 3计算y值，则

y* (3 2x*)2 x* 6

y* x* *

3 2x

y* x*

计算y值，则 y*

1

x* *4

(3 2x)

1**

y x *7

(3 2x)

y* x*

计算后得到的结果最好。

13

．f(x) ln(x,求f(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误

差有多大？若改用另一等价公式。ln(x ln(x 计算，求对数时误差有多大？ 解

f(x) ln(x , f(30) ln(30

设u y f(30) 则u*

1

u* 4

2

故

y*

*

u *

u

1

u* 0.0167

3

若改用等价公式

ln(x ln(x

则f(30) ln(30 此时，

y*

*

u *

u

1

u*

59.9833 7

第二章 插值法

1．当x 1, 1,2时，f(x) 0, 3,4,求f(x)的二次插值多项式。 解：

x0 1,x1 1,x2 2,

f(x0) 0,f(x1) 3,f(x2) 4;l0(x) l1(x) l2(x)

(x x1)(x x2)1

(x 1)(x 2)

(x0 x1)(x0 x2)2(x x0)(x x2)1

(x 1)(x 2)

(x1 x0)(x1 x2)6

(x x0)(x x1)1

(x 1)(x 1)

(x2 x0)(x2 x1)3

则二次拉格朗日插值多项式为

L2(x) yklk(x)

k 02

3l0(x) 4l2(x)

14

(x 1)(x 2) (x 1)(x 1)

23537 x2 x 623

2．给出f(x) lnx的数值表

解：由表格知，

x0 0.4,x1 0.5,x2 0.6,x3 0.7,x4 0.8;f(x0) 0.916291,f(x1) 0.693147f(x2) 0.510826,f(x3) 0.356675

f(x4) 0.223144

若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54)， 则0.5 0.54 0.6

lx x2

1(x) x x 10(x 0.6)12

lx x1

2(x)

x 10(x 0.5) 2 x1

L1(x) f(x1)l1(x) f(x2)l2(x)

6.9314x7 ( 0.6)5.x1 082

6 L1(0.54) 0.6202186 0.620219

若采用二次插值法计算ln0.54时，

l(x x1)(x x2)

0(x) (x x 50(x 0.5)(x 0.6)

01)(x0 x2)

l(x x0)(x x2)

1(x) (x 100(x 0.4)(x 0.6)

1 x0)(x1 x2) l(x x0)(x x1)

2(x)

(x x 50(x 0.4)(x 0.5)

20)(x2 x1)

L2(x) f(x0)l0(x) f(x1)l1(x) f(x2)l2(x)

50 0.9162x9 1(

x0. 5)( 0.6)x69. 3x147 (

0.1 048)2(650. 0x6() L2(0.54 ) 0.6153 19 84

0.615320

3．给全cosx,0 x 90 的函数表，步长h 1 (1/60) ,若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。

0.x45)( 0

当0 x 90 时， 令f(x) cosx 取x0 0,h (

1 1

)

606018010800

令xi x0 ih,i 0,1,...,5400 则x5400

2

90

当x xk,xk 1 时，线性插值多项式为

L1(x) f(xk)

x xk 1x xk

f(xk 1)

xk xk 1xk 1 xk

插值余项为

R(x) cosx L1(x)

1

f ( )(x xk)(x xk 1) 2

又 在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx 0,1 ，故计算中有误差传播过程。

1

(f*(xk)) 10 5

2R2(x) (f*(xk)) (f*(xk))(

x xk 1x xk 1

(f*(xk 1))

xk xk 1xk 1 xk

x xk 1x xk 1

)

xk xk 1xk 1 xk

1

(f*(xk))(xk 1 x x xk)

h

(f*(xk))

总误差界为

R R1(x) R2(x)

1

( cos )(x xk)(x xk 1) (f*(xk))21

(x xk)(xk 1 x) (f*(xk))2 11

(h)2 (f*(xk))22

1

1.06 10 8 10 5

2

0.50106 10 5

4．设为互异节点，求证：

k

l(x) x（1） xk (k 0, 1,n, )jj

j 0nn

（2） (xj x)klj(x) 0 (k 0, 1,n, )

j 0

证明

（1） 令f(x) xk

1,n，,则函数f(x)的n次插值多项式为若插值节点为xj,j 0,

Ln(x) kxx) jlj(。

j 0

n

f(n 1)( )

n 1(x) 插值余项为Rn(x) f(x) Ln(x)

(n 1)!

又 k n,

f(n 1)( ) 0 Rn(x) 0

n

k

xk1,n, )jlj(x) x (k 0, j 0

(2) (xj x)klj(x)

j 0

n

( Ckjxij( x)k i)lj(x)

j 0n

i 0i

k

nn

C( x)( xijlj(x))

k i

i 0

j 0

n

又 0 i n 由上题结论可知

xl(x) x

kjj

i

j 0

n

原式 Cki( x)k ixi

i 0

n

(x x)k 0

得证。

5设f(x) C2 a,b 且f(a) f(b) 0,求证：

1

maxf(x) (b a)2maxf (x a x ba x b8

解：令x0 a,x1 b，以此为插值节点，则线性插值多项式为

L1(x) f(x0)

x x1x x0

f(x1) x0 x1x x0

= f(a)

x bx a

f(b)

a bx a

又 f(a) f(b) 0 L1(x) 0

1

f (x)(x x0)(x x1) 2

插值余项为R(x) f(x) L1(x)

f(x)

1

f (x)(x x0)(x x1) 2

又 (x x0)(x x1)

2

1 (x x0) (x1 x) 2

12

(x1 x0)41

(b a)2

4

1

maxf(x) (b a)2maxf (x a x ba x b8

6．在 4 x 4上给出f(x) ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10 6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：若插值节点为xi 1,xi和xi 1，则分段二次插值多项式的插值余项为

1

f ( )(x xi 1)(x xi)(x xi 1) 3!1

R2(x) (x xi 1)(x xi)(x xi 1)maxf (x)

4 x 46R2(x)

设步长为h，即xi 1 xi h,xi 1 xi

h

1343

R2(x) e4 h.

6若截断误差不超过10 6，则

R2(x) 10 643

h 10 6 27

h 0.0065.7．若yn 2n,求 4yn及 4yn.，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

yn 2n

4yn (E 1)4yn

4

( 1j) E4 jyn

j 0 j 4

4

( 1j) y4 n j

j 0 j 4 j 4 4 j

( 1) 2 yn

j 0 j

4

(2 1)yn

4

yn 2n

1

2

124

yn (E E)yn

(E)(E 1)4yn

24

E yn

yn 2

124

4

2n 2

8．如果f(x)是m次多项式，记 f(x) f(x h) f(x)，证明f(x)的k阶差分

。 kf(x)(0 k m)是m k次多项式，并且 m 1f(x) 0（l为正整数）解：函数f(x)的Taylor展式为

f(x h) f(x) f (x)h

11(m)1

f (x)h2 f(x)hm f(m 1)( )hm 1 2m!(m 1)!

其中 (x,x h)

又 f(x)是次数为m的多项式

f(m 1)( ) 0

f(x) f(x h) f(x)

m()

f (x)h

11f (x)h2 f2m!

(x)hm

f(x)为m 1阶多项式 2f(x) ( f(x)) 2f(x)为m 2阶多项式

依此过程递推，得 kf(x)是m k次多项式

mf(x)是常数

当l为正整数时，

m 1f(x) 0

9．证明 (fkgk) fk gk gk 1 fk 证明

(fkgk) fk 1gk 1 fkgk

fk 1gk 1 fkgk 1 fkg k1

fkgk

gk 1(fk 1 fk) fk(g k1 g)k gk 1 fk fk gk fk gk g k1 fk

得证

10．证明 fk gk fngn f0g0 gk 1 fk

k 0

k 0

n 1

n 1

证明：由上题结论可知

fk gk (fkgk) gk 1 fk

fk gk

k 0n 1

n 1

( (fkgk) gk 1 fk)

k 0n 1

(fkgk) gk 1 fk

k 0

k 0

n 1

(fkgk) fk 1gk 1 fkgk (fkgk)

k 0n 1

(f1g1 f0g0) (f2g2 f1g1) (fngn fn 1gn 1) fngn f0g0

fk gk fngn f0g0 gk 1 fk

k 0

k 0

n 1

n 1

得证。

11．证明 2yj yn y0

j 0n 1

证明 yj ( yj 1 yj)

2j 0

j 0

n 1n 1

得证。

( y1 y0) (y2 y1 ) y(n yn yn y0

1

)

12．若f(x) a0 a1x an 1xn 1 anxn有n个不同实根x1,x2, ,xn， 证明：

j 1n

xk 0,0 k n 2;j

1 f (xj) n0,k n 1

证明： f(x)有个不同实根x1,x2, ,xn 且f(x) a0 a1x an 1xn 1 anxn

f(x) an(x x1)(x x2) (x xn)

令 n(x) (x x1)(x x2) (x xn) 则

j 1n

nxkxkjj f(xj)j 1an n(xj)

(x) (x x2)(x x3) (x xn) (x x1)(x x3) (x xn) 而 n

x ) (x x1)(x 2

(x n x1 )

(xj) (xj x1)(xj x2) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn) n

令g(x) xk,

xkjg x1,x2, ,xn

j 1 n(xj)

n

xkj

则g x1,x2, ,xn

(x)j 1nj

n

又

j 1

n

xk1j

g x1,x2, ,xn f (xj)an

j 1

n

xk 0,0 k n 2;j

1 f (xj) n0,k n 1

得证。

13．证明n阶均差有下列性质：

（1）若F(x) cf(x)，则F x0,x1, ,xn cf x0,x1, ,xn ;

（2）若F(x) f(x) g(x)，则F x0,x1, ,xn f x0,x1, ,xn g x0,x1, ,xn . 证明：

f(xj)

（1） f x1,x2, ,xn

j 0(xj x0) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn)

n

F(xj)

F x1,x2, ,xn

(x x) (x x)(x x) (x x)j 0j0jj 1jj 1jn

n

cf(xj)

)(xj xj )1 (xj xn)j 0(xj x0) (xj xj 1

n

f(xj)

) c(

(x x) (x x)(x x) (x x)j 0j0jj 1jj 1jn

n

cf x0,x1, ,xn

得证。

(2) F(x) f(x) g(x)

F(xj)

F x0, ,xn

j 0(xj x0) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn)

n

f(xj) gx(j)

(x x) x( xx)( x )x (x)j 0j0jj 1jj 1jn

n

f(xj)

)

)(xj xj )1 (xj xn)j 0(xj x0) (xj xj 1

n

g(xj)

) +

(x x) (x x)(x x) (x x)j 0j0jj 1jj 1jn

n

f x0, ,xn g x0, ,xn

得证。

017018

2,2, ,2F2,2, ,214．f(x) x7 x4 3x 1,求F 及 。

解： f(x) x7 x4 3x 1 若xi 2i,i 0,1, ,8

f(n)( )

则f x0,x1, ,xn

n!f(7)( )7!

f x0,x1, ,x7 1

7!7!f(8)( )

f x0,x1, ,x8 0

8!

15．证明两点三次埃尔米特插值余项是

(4)

()( x R3(x) f

k

x2) (x

k 1

x

2

) / 4!,kxx, k(1

)

解：

若x [xk,xk 1]，且插值多项式满足条件

(xk) f (xk) H3(xk) f(xk),H3

(xk 1) f (xk 1) H3(xk 1) f(xk 1),H3

插值余项为R(x) f(x) H3(x) 由插值条件可知R(xk) R(xk 1) 0

且R (xk) R (xk 1) 0

R(x)可写成R(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2

其中g(x)是关于x的待定函数，

现把x看成[xk,xk 1]上的一个固定点，作函数

(t) f(t) H3(t) g(x)(t xk)2(t xk 1)2 根据余项性质，有

(xk) 0, (xk 1) 0

(x) f(x) H3(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2

f(x) H3(x) R(x) 0

(t) g(x)[2(t xk)(t xk 1)2 2(t xk 1)(t xk)2] (t) f (t) H3

(xk) 0

(xk 1) 0

由罗尔定理可知，存在 (xk,x)和 (x,xk 1)，使

( 1) 0, ( 2) 0

即 (x)在[xk,xk 1]上有四个互异零点。

根据罗尔定理， (t)在 (t)的两个零点间至少有一个零点， 故 (t)在(xk,xk 1)内至少有三个互异零点， 依此类推， (4)(t)在(xk,xk 1)内至少有一个零点。 记为 (xk,xk 1)使

(4)( ) f(4)( ) H3(4)( ) 4!g(x) 0 又 H3(4)(t) 0

f(4)( )

g(x) , (xk,xk 1)

4!

其中 依赖于x

f(4)( )

R(x) (x xk)2(x xk 1)2

4!

分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k 0,1, ,n)，设步长为h，即

xk x0 kh,k 0,1, ,n在小区间[xk,xk 1]上

R(x) f(4)( )

(x xk)2(x xk 1)2

4! R(x) 1 f(4)

( )(x xk)2(x x2

4!

k 1)

14!

(x x2k)x(k 1 x2)a xm bafx(4x)()

1[(x xk xk 1 x)2]2max4) 4!2

a x bf((x)

14! 1

4(4)2

4hmaxa x bf(x)

h4 maxf(4()384a x b

x)16．求一个次数不高于4次的多项式PP(0) P (0) 0,P(1) P (1) 0,P(2) 0

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

x0 0,x1 1y0 0,y1 1 m0 0,m1 1

1

1

H3(x) yj j(x) mj j(x)

j 0

j 0

0(x) (1 2

x x0x x1xx)()2

0 1x0 x1 (1 2x)(x 1)2

x x1x x02

1(x) (1 2

x)()1 x0x1 x0

(3 2x)x2

0(x) x(x 1)2 1(x) (x 1)x

2

x），使它满足

（

H3(x) (3 2x)x2 (x 1)x2 x3 2x2

设P(x) H3(x) A(x x0)2(x x1)2 其中，A为待定常数

P(2) 1

P(x) x3 2x2 Ax2(x 1)2

A

1 4

从而P(x)

12

x(x 3)2 4

)，在 5 x 5上取n 10，按等距节点求分段线性插值函17．设f(x) 1/(1 x2

数Ih(x)，计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值，并估计误差。 解：

若x0 5,x10 5 则步长h 1,

xi x0 ih,i 0,1, ,10

f(x)

1

2

1 x

在小区间[xi,xi 1]上，分段线性插值函数为

Ih(x)

x xi 1x xi

f(xi) f(xi 1)

xi xi 1xi 1 xi

11

(x x) i

1 xi21 xi 12

(xi 1 x)

各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为 当x 4.5时，f(x) 0.0471,Ih(x) 0.0486 当x 3.5时，f(x) 0.0755,Ih(x) 0.0794 当x 2.5时，f(x) 0.1379,Ih(x) 0.1500 当x 1.5时，f(x) 0.3077,Ih(x) 0.3500 当x 0.5时，f(x) 0.8000,Ih(x) 0.7500

误差

h2

maxf(x) Ih(x) maxf ( ) xi x xi 18 5 x 5

1

2

1 x 2x

f (x) ,22

(1 x)

又 f(x)

6x2 2

f (x)

(1 x2)324x 24x3

f (x)

(1 x2)4

令f (x) 0

得f (x)的驻点为x1,2 1和x3 0

1

f (x1,2) ,f (x3) 2

2

1

maxf(x) Ih(x) 5 x 54

18．求f(x) x2在[a,b]上分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。 解：

在区间[a,b]上，x0 a,xn b,hi xi 1 xi,i 0,1, ,n 1,

h maxhi

0 i n 1

f(x) x

2

函数f(x)在小区间[xi,xi 1]上分段线性插值函数为

Ih(x)

x xi 1x xi

f(xi) f(xi 1)

xi xi 1xi 1 xi

12

[xi(xi 1 x) xi 12(x xi)]hi

误差为

1

maxf(x) Ih(x) maxf ( ) hi2xi x xi 18a b f(x) x2

f(x) 2x,f(x) 2h2 maxf(x) Ih(x) a x b4

19．求f(x) x4在[a,b]上分段埃尔米特插值，并估计误差。 解：

在[a,b]区间上，x0 a,xn b,hi xi 1 xi,i 0,1, ,n 1, 令h maxhi

0 i n 1

f(x) x4,f (x) 4x3

函数f(x)在区间[xi,xi 1]上的分段埃尔米特插值函数为

Ih(x) ( ( ( (

x xi 12x xi

)(1 2)f(xi)xi xi 1xi 1 xi

x xi2x xi 1)(1 2)f(xi 1)xi 1 xixi xi 1x xi 12

)(x xi)f (xi)xi xi 1

x xi2

)(x xi 1)f (xi 1)xi 1 xi

xi4

3(x xi 1)2(hi 2x 2xi)hixi 14

3(x xi)2(hi 2x 2xi 1)hi

4xi

(x xi 1)2(x xi)2hi

3

4xi 13

2(x xi)2(x xi 1)hi

误差为

f(x) Ih(x)

1(4)

f( )(x xi)2(x xi 1)2 4!1h maxf(4)( )(i)424a x b2

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