三角函数复习（知识点）

i. 三角函数

1. 角?的终边与角??2k?,k?Z的终边相同.

例题：．与?2002终边相同的最小正角是_______________。 2．弧度制与角度制的互化：1rad（弧度）?3. 弧长公式：半径为R的圆的圆心角

0180?度?57.3?.

??0???2??所对弧的长l???R.

4. 扇形面积公式：设R是圆的半径，l是弧长，??0???2??为圆心角，S是扇形的面积；则S?11l?R???R2. 222例题：．设扇形的周长为8cm，面积为4cm，则扇形的圆心角的弧度数是 。

6. 常用三角不等式：

?（1）若x?(0,)，则sinx?2x?tanx；

?（2）若x?(0,)，则1?sinx?cosx?22；

7. 三角函数的定义：设?为任意角，?的终边上任取一点P(x,y)，则P点到

y 22r?x?y?0，则 原点的距离

?O? x

ysin??； cos??x； tan??y(x?0).

rrxcosx?sinx例题：．已知tanx?2，求的值。

cosx?sinx8. 三角函数在各个象限的符号判断：

例题：1．若cos???x=_____。

3，且?的终边过点P(x,2)，则?是第_____象限角，29.同角三角函数的关系： （1）平方关系：sin2??cos2??1.

sin?cos?;cot??cos?sin?

（2）商数关系：tan??

例题．已知sinx?cosx求（1）sin3?m,(m?2,且m?1)，

44x?cos3x；（2）sinx?cosx的值。

10.诱导公式:奇变偶不变，符号看象限 2k???,???,

?2??

例题：5．若?是第四象限的角，则???是（ ）

A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角

13.求三角函数最值的常见题型：

求三角函数的最值，主要是利用正弦函数和余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理： （1）

y?asinx?b型；

?sinx，化为一次函数y?at?b在闭区间t???1,1?上求最值.

设t（2）

y?asinx?bcosx?c型；

ba 引入辅助角?(tan??)，化为法同类型（1）.

y?a?bsin(x??)?c，求解方

222y?asinx?bsinx?c型； （3）

设t2?sinx，化为二次函数y?at?bt?c在闭区间t???1,1?上求最

值. 14. 正弦函数函 数 y?sinx的图像和性质：

y?sinx O y图 像 x 定义域 值 域 周期性 奇偶性 x?R ??1,1? T?2? 奇函数 单调性 ??????2k?,?2k?(k?Z)递增； ??2?2?3?????2k?,?2k?(k?Z)递减 ??2?2?对称轴：x??2?k?，(k?Z) 对称性 对称中心：(k?,0)，(k?Z) 15. 余弦函数y?cosx的图像和性质： 函 数 y?cosx y O 图 像 x 定义域 值 域 周期性 奇偶性 x?R ??1,1? T?2? 偶函数 单调性 ????2k?,2k??(k?Z)递增； ?2k?,??2k??(k?Z)递减 对称轴： x?k?，(k?Z) 对称性 对称中心：( 例题：函数y??cos(16. 函数

?2?k?,0)，(k?Z) x??)的单调递增区间是 _____________。 23y?Asin(?x??)?k的基本概念

（1） 振幅

A ； 周期T?2?? ； 频率f?1 ； 相位?x??. T注：①A,?决定“形变”；②?,k决定“位变”；③

④

A,k影响值域；

?影响周期；⑤A,?,?影响单调性.

2?y?3cos(x?)的最小正周期是（ ） 例题：函数

562?A．

5

5? B．

2 C．2? D．5?

17. 正切函数y?tanx的图像和性质： 函 数 定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性 y?tanx ???xx?R,x?k??(k?Z)?? 2??R T?? 奇函数 ??????k?,?k?(k?Z)递增 ??2?2?k?,0)，(k?Z) 对称中心：(2不是轴对称图形 对称性 注：（1） （2）

y?cosx的周期是2?y?cosx、y?sinx；

y?sinx、y?tanx不是周期函数；

、

y?tanx的周期是?.

18. 根据图像判断函数（1）首先判断

y?Asin(?x??)?k(??0)的解析式：

；

A,k和T

2?（2）计算??T；

（3）利用特殊点（比如最高点、最低点、与x轴的交点）求出某一?； （4）利用诱导公式变为符合要求的解析式.

2?[??,?]y?f(x)x??已知定义在区间上的函数的图象关于直线

36称，当x?[?对

?2??,?]时，f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,????)，函数

y 263223其图象如图所示.

(1)求函数y?f(x)在[??,?]的表达式； 2(2)求方程f(x)?的解.

2? ? 1 ? o x?? 20.

?π ?6 ?62?3x

y?Asin(?x??)?k或y?Acos(?x??)?k周期、对称轴和对称中

心的确定：

图像中相邻两个最值点的横坐标之差，或者一个单调区间的长度，或者相邻两

T对称轴（对称中心）间的距离为；将x?x0代入解析式得到最大值或最小

2值，则x?x0为其对称轴；将称中心.

x?x0代入解析式得到0，则(x0,0)为其对

.

?注：函数y?Asin(?x??)、y?Acos(?x??)(??0)的周期为

?21.三角函数的对称性与周期性： 若x?a和x?b为两条对称轴或(a,0)，(b,0)为两个对称中心，则2a?b为

该函数的一个周期；

.22.三角函数的图像变换： 函数

y?Asin(?x??)(A?0,??0)的图像由函数y?sinx的图像作如

y?sinx的图像上所有点向左(??0)或向右(??0)平行移

下变换：

（1） 相位变化：把

动?个单位得到

y?sin(x??).（注：左加右减）

（2） 周期变换：把

到

y?sin(x??)的图像上所有点的横坐标变为原来的

1?倍得

y?sin(?x??)，纵坐标不变.

（3） 振幅变换：把

倍得到

y?sin(?x??)的图像上所有点的纵坐标变为原来的Ay?Asin(?x??)，横坐标不变.

注：①相位变换和周期变换都只针对自变量 ②把

x.

y??sinx，作y轴对称得

y?sinx图像作关于x轴对称得

y?sin(?x).

例题: ．将函数y?sin(x?)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

3坐标不变），

??再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ）

3A．y?sin11?x B．y?sin(x?) 2221??y?sin(x?)y?sin(2x?) C. D.

266

23.三角恒等变换：

（1） 三角函数和、差角公式：（要记住） ①sin(? ②cos(???)?sin?cos??cos?sin?；

??)?cos?cos??sin?sin?；

tan??tan?.

1?tan?tan? ③tan(???)?（2） 三角函数二倍角公式：（要记住）

①sin2??2sin?cos?； ②cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；

2tan? ③tan2??. 21?tan?（3） 三角函数降幂公式：

1sin?cos??sin2?②

22；

1?cos2?1?cos2?2cos??sin?? ② , ；

22 ③

补充：三角函数万能公式：

①sin2??2tan?； 21?tan?1?tan2? ②cos2??； 21?tan? ③tan2??2tan? 21?tan?（4） 补充：辅助角公式：

?ab22?asin??bcos??a?bsin??cos? ?22? 22a?b?a?b??a2?b2sin(???)

注：①其中辅助角?b与点(a,b)在同一象限，且tan??;

a? sin??cos??2sin(??)；sin??3cos??2sin(??)

34（7） 补充：三角函数中角的变换的一般方法：如???(???)??,??2??2，

???2?(???2)?(?2??),2??(???)?(???)，等.

1?cos2??2cos?1?sin?sin?1.若角?的终边落在直线x?y?0上，则

的值等于（ ）．

A．

2 B．?2 C．?2或2 D．0

2.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，

那么这个圆心角所对的弧长为（ ）

1A． B．sin0.5

sin0.5C．2sin0.5 D．tan0.5

3.函数f(x)?sin(2x??)的图象关于直线x?则?可能是（ ）

?8对称，

???A. B.

24?3? C. D.

44

4.函数y?f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移相同，则已知函数

?，这样得到的曲线和y?2sinx的图象2y?f(x)的解析式为 _________________

b25.函数y?2a?bsinx的最大值为3，最小值为1，则函数y??4asinx的 最小正周期为__________,值域为_________________. 7. 在(0,2?)内，使sinx?cosx成立的x取值范围为（ ）

?5?) B．(,?) A．(,)?(?,4424??5?3?) D．(,?)?(,) C．(,444428. ．画出函数

?5??y?1?sinx,x??0,2??的图象。

22(1?sin?)(1?cos?)?(1?sin??cos?)9. 求证：：

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