圆的切点弦方程的九种求法
更新时间:2023-09-06 22:21:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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圆的切点弦方程的解法探究
在理解概念熟记公式的基础上,如何正确地多角度观察、分析问题,再运用所学知识解决问题,是解题的关键所在。本文仅通过一个例题,圆的部分的基本题型之一,分别从不同角度进行观察,用不同的知识点和九种不同的解法,以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识:
1、在标准方程 下过圆上一点 的切线方程为: ;
在一般方程 ( ) 下过圆上一点 的切线方程为:
。
2、两相交圆 ( )与 ( ) 的公共弦所在的直线方程为: 。
3、过圆 ( )外一点 作圆的切线,其切线长公式为: 。
4、过圆 ( )外一点 作圆的切线,切点弦AB所在直线的方程为: (在圆的标准方程下的形式); (在圆的一般方程下的形式)。
二、题目 已知圆 外一点P(-4,-1),过点P作圆的切线PA、PB,求过切点A、B的直线方程。
三、解法
解法一:用判别式法求切线的斜率
如图示1,设要求的切线的斜率为 (当切线的斜率存在时),那么过点P(-4,-1)的切线方程为:
即
由 消去 并整理得
①
令 ②
解②得 或
将 或 分别代入①解得 、
从而可得 A( , )、B(1,-1),
再根据两点式方程得直线AB的方程为: 。
解法二:用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率
如图示1,设要求的切线的斜率为 (当切线的斜率存在时),那么过点P(-4,-1)的切线方程为:
即
由圆心C(1,2)到切线 的距离等于圆的半径3,得
③
解③得 或
所以切线PA、PB的方程分别为: 和
从而可得切点 A( , )、B(1,-1),
再根据两点式方程得直线AB的方程为: 。
解法三:用夹角公式求切线的斜率
如图示1,设要求的切线的斜率为 ,根据已知条件可得
|PC|= , ,
在 中,|PA|=5,
由夹角公式,得 ④
解④得 或
所以切线PA、PB的方程分别为: 和
从而可得切点 A( , )、B(1,-1),
再根据两点式方程得直线AB的方程为: 。
解法四:用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点
如图示1,根据已知条件可得
|PC|= , ,
在 中,|PA|=5,AH PC,从而可得
由定比分点公式,得 H( , )
又因为
再根据点斜式方程得直线AB的方程为: 。
解法五:将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一
如图示2,因为|PA|=|PB|,所以直线AB就是经
过以P为圆心|PA|为半径的圆C`与圆 的交点的直线,由切线长公式得
|PA|=
所以圆C`的方程为
根据两圆的公共弦所在的直线方程,得
即 直线AB的方程为: 。
解法六:将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二
如图示3,因为PA CA,PB CB,所以P、A
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、C、B四点共圆,根据圆的直径式方程,以P(-4,-1)、C(1,2)为直径端点的圆的方程为
即
根据两圆的公共弦所在的直线方程,得
即 直线AB的方程为: 。
解法七:运用圆的切线公式及直线方程的意义
设切点A、B的坐标分别为 、 ,根据过圆上一点的切线方程,得切线PA、PB的方程分别为
和
因为P(-4,-1)是以上两条切线的交点,将点P的坐标代入并整理,得
⑤
由式⑤知,直线 经过两点A 、B ,
所以,直线AB的方程为: 。
解法八:直接运用圆的切点弦方程
因为P(-4,-1)是圆 外一点,根据切点弦所在直线的方程 得
整理得,直线AB的方程为: 。
解法九:运用参数方程的有关知识
如图4,将圆的普通方程 化为参数方程:
(其中 为参数)
设切点A的坐标为( , ),由PA CA得
化简,整理得
⑥
又因为
可设直线AB的方程为 ,将点A( , )代入并整理,得
⑦
由式⑥和⑦知, ,从而得
所以,直线AB的方程为:
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