浙江省温州市2015年高考数学二模试卷（理科）

2015年浙江省温州市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题是5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A． y=﹣ B． y=2x C． y=log2x D． y=2

2．命题“任意的x∈R，都有x≥0成立”的否定是（ ）

2

A． 任意的x∈R，都有x≤0成立

2

B． 任意的x∈R，都有x＜0成立 C． 存在x0∈R，使得x D． 存在x0∈R，使得x

3．要得到函数y= A． 向左平移 C． 向左平移

≤0成立 ＜0成立

2

x

sin2x+cos2x的图象，只需将函数y=2sin2x的图象（ ） 个单位 B． 向右平移个单位 D． 向右平移

个单位 个单位

4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ）

3323

A． （18π﹣20）cmcm B． （24π﹣20）cm C． （18π﹣28）cm D． （24π﹣28）3cm

2

5．若实数x，y满足不等式组，且z=y﹣2x的最小值等于﹣2，则实数m的值

等于（ ）

A． ﹣1 B． 1 C． ﹣2 D． 2

6．已知f（x）=，则方程f[f（x）]=2的根的个数是（ ）

A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个

7．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且状是（ ）

A． 锐角三角形 B． 钝角三角形

C． 直角三角形 D． 上述三种情况都有可能

8．如图所示，A，B，C是双曲线

=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，

=5，则△ABC的形

AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（ ）

A．

B．

C． D． 3

二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题6分，共36分． 9．集合A={0，|x|}，B={1，0，﹣1}，若A?B，则A∩B= ，A∪B= ，CBA= ．

10．设两直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m与l2：2x+（5+m）y=8，若l1∥l2，则m= ，若l1⊥l2，则m= ．

11．已知ABCDEF为正六边形，若向量

= ．（用坐标表示）

12．设数列{

}是公差为d的等差数列，若a3=2，a9=12，则d= ；

，则|

|= ；a12= ．

13．设抛物线y=4x的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线x+y=2上，则此圆的半径为 ．

2

14．若实数x，y满足4x+2x+y+y=0，则2x+y的范围是 ．

15．如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=4，AA1=1，设E为底面ABCD的中心，且

（0≤λ≤），则该长方体中经过点A1、E、F的截面面积的最小值为 ．

2

2

三、解答题：本大题共5小体，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．已知函数f（x）=cos2x﹣8sin

4

．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求函数y=f（2x﹣

17．如图所示，在三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=CD=1，AC=∠BCD=90°．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．

，平面ACD⊥平面ABC，

）在x

上的值域．

18．如图所示，椭圆C：

=1（a＞b＞0）与直线AB：y=x+1相切于点A．

（1）求a，b满足的关系式，并用a，b表示点A的坐标；

（2）设F是椭圆的右焦点，若△AFB是以F为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆C的标准方程．

19．已知函数f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a．

（1）若f（x）在区间[0，1]上不单调，求a的取值范围； （2）若对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，2]，使得|f（x0）|≥t，求t的取值范围．

20．已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N）．

+

（Ⅰ）设bn=an+1+an（n∈N），求证{bn}是等比数列； （Ⅱ）（i）求数列{an}的通项公式； （ii）求证：对于任意n∈N都有

+

+

2

成立．

2015年浙江省温州市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题是5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A． y=﹣ B． y=2x C． y=log2x D． y=2

考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据反比例函数单调性，奇函数的定义，一次函数的单调性，对数函数和指数函数的奇偶性即可找到正确选项． 解答： 解：反比例函数y=

在其定义域上没有单调性；

x

一次函数y=2x时奇函数，且在其定义域上为增函数，∴B正确；

x

根据对数函数y=log2x，和指数函数y=2的图象知，这两函数都不是奇函数． 故选：B．

点评： 考查反比例函数、一次函数的单调性，一次函数、对数函数，以及指数函数的奇偶性，知道奇函数图象的特点．

2．命题“任意的x∈R，都有x≥0成立”的否定是（ ）

2

A． 任意的x∈R，都有x≤0成立

2

B． 任意的x∈R，都有x＜0成立 C． 存在x0∈R，使得x D． 存在x0∈R，使得x

≤0成立 ＜0成立

2

考点： 命题的否定． 专题： 简易逻辑．

分析： 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

2

解答： 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“任意的x∈R，都有x≥0成立”的否定是：存在x0∈R，使得x

＜0成立．

故选：D．

点评： 本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．

3．要得到函数y= A． 向左平移

sin2x+cos2x的图象，只需将函数y=2sin2x的图象（ ） 个单位 B． 向右平移

个单位

C． 向左平移个单位 D． 向右平移个单位

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由条件利用两角和的正弦公式，化简函数y=（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 解答： 解：函数y=

sin2x+cos2x=2sin（2x+

sin2x+cos2x的解析式，再利用y=Asin

）=2sin2（x+），

sin2x+cos2x的图象，

故把函数y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得函数y=

故选：C．

点评： 本题主要考查两角和的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ）

3323

A． （18π﹣20）cmcm B． （24π﹣20）cm C． （18π﹣28）cm D． （24π﹣28）3cm

考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 首先根据三视图把几何体的复原图展示出来，进一步利用体积公式求出结果． 解答： 解：根据三视图得知：该几何体是在一个圆柱中去除一个四棱台， 首先求出圆柱的底面半径， 所以该几何体的体积是：

2

V圆柱﹣V四棱台==24π﹣28

故选：D

点评： 本题考查的知识要点：三视图的应用，利用几何体的体积公式求几何体的体积．主要考查学生的空间想象能力和应用能力．

5．若实数x，y满足不等式组，且z=y﹣2x的最小值等于﹣2，则实数m的值

等于（ ）

A． ﹣1 B． 1 C． ﹣2 D． 2

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z=y﹣2x的最小值等于﹣2，结合数形结合即可得到结论．

解答： 解：由z=y﹣2x，得y=2x+z， 作出不等式对应的可行域， 平移直线y=2x+z，

由平移可知当直线y=2x+z经过点A时，

直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最小值为﹣2，即y﹣2x=﹣2， 由

，解得

，

即A（1，0），

点A也在直线x+y+m=0上， 则m=﹣1， 故选：A

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

6．已知f（x）=

，则方程f[f（x）]=2的根的个数是（ ）

A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个

考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 由题意，根据分段函数分段讨论根的可能性，从而求f（x），再由f（x）求x即可． 解答： 解：由题意，

当f（x）≤0时，f[f（x）]=2=2， 无解；

当f（x）＞0时，f[f（x）]=|log2f（x）|=2；

f（x）

故f（x）=或f（x）=4， 若f（x）=，则同上可得， 2=，|log2x|=； 故x=﹣2或x=

或x=

；

x

若f（x）=4，则同上可得， x

2=4，|log2x|=4；

故x=2（舍去）或x=16或x=

；

故共有5个根； 故选：C．

点评： 本题考查了分段函数的应用及方程根的个数问题，属于基础题．

7．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且

=5，则△ABC的形

状是（ ）

A． 锐角三角形 B． 钝角三角形

C． 直角三角形 D． 上述三种情况都有可能

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 解三角形；平面向量及应用．

分析： 在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得

，又BC=5，则有|

|=|

2

|+|

2

|＞|

2

|+|

2

|，

2

运用余弦定理即可判断三角形的形状．

解答： 解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心， 取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图： 则OD⊥BC，GD=AD， ∵由则（=﹣即﹣则

，=5， ）

=?

=5，

）=5，

，

?（，

又BC=5， 则有|

|=|

2

|+|

2

|＞|

2

|+|

2

|，

2

由余弦定理可得cosC＜0， 即有C为钝角．

则三角形ABC为钝角三角形． 故选：B．

点评： 本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用余弦定理判断三角形的形状是解题的关键．

8．如图所示，A，B，C是双曲线

=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，

AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（ ）

A．

B．

C． D． 3

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，

求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案．

解答： 解：由题意可得在直角三角形ABF中，

OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，

222

设A（m，n），则m+n=c， 又

﹣

=1，

解得m=，n=，

即有A（，），B（﹣，﹣），

又F（c，0），

由于BF⊥AC且|BF|=|CF|， 可设C（x，y），即有

?

=﹣1，

又（c+）+（

2

）=（x﹣c）+y，

222

可得x=，y=﹣，

将C（，﹣）代入双曲线方程，可得

﹣

2

2

3

=1，

化简可得

2

2

2

（b﹣a）=a，

由b=c﹣a，e=，

可得（2e﹣1）（e﹣2）=1， 对照选项，代入检验可得e=

成立．

2

2

2

故选：A．

点评： 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意选择题的解法：代入检验，属于难题．

二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题6分，共36分． 9．集合A={0，|x|}，B={1，0，﹣1}，若A?B，则A∩B= {0，1} ，A∪B= {﹣1，0，1} ，CBA= {﹣1} ．

考点： 交集及其运算；并集及其运算． 专题： 集合．

分析： 由A，B，以及A为B的子集确定出x的值，进而确定出A，求出A与B的交集，并集，以及A的补集即可．

解答： 解：∵A={0，|x|}，B={1，0，﹣1}，且A?B， ∴|x|=1，即A={0，1}，

则A∩B={0，1}，A∪B={﹣1，0，1}，?BA={﹣1}． 故答案为：{0，1}；{﹣1，0，1}；{﹣1}

点评： 此题考查了交集及其运算，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

10．设两直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m与l2：2x+（5+m）y=8，若l1∥l2，则m= ﹣7 ，若l1⊥l2，则m= ﹣

．

考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 直线与圆．

分析： 由直线的平行和垂直关系分别可得m的方程，解方程验证可得． 解答： 解：∵两直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m与l2：2x+（5+m）y=8， ∴若l1∥l2，则（3+m）（5+m）﹣4×2=0，

解得m=﹣1或m=﹣7，当m=﹣1时两直线重合应舍去， ∴m=﹣7

若l1⊥l2，则2（3+m）+4（5+m）=0， 解得m=﹣

故答案为：﹣7；﹣

点评： 本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题．

11．已知ABCDEF为正六边形，若向量

= ．（用坐标表示）

，则|

|= ；

考点： 平面向量的坐标运算． 专题： 平面向量及应用．

分析： 画出图形，利用向量的坐标运算，求解即可． 解答： 解：ABCDEF为正六边形，若向量如图：A（0，0），BF（0，2）． |

=

故答案为：

；

|=|（0，﹣2）﹣

+

． =，C

|=

． ，D

，

，E=2

．

，

点评： 本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．

12．设数列{

}是公差为d的等差数列，若a3=2，a9=12，则d= ；a12= 20 ．

考点： 等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由数列{项公式求a12． 解答： 解：∵数列{则∴

，即

}是公差为d的等差数列，且a3=2，a9=12，

，解得：d=，

}是公差为d的等差数列，结合已知列式求得公差，再代入等差数列的通

，即a12=20．

故答案为：；20．

点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．

13．设抛物线y=4x的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线x+y=2上，则此圆的半径为 1 ．

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 由抛物线的方程求出焦点坐标，设出P的坐标，利用中点坐标公式求PF的中点，把中点坐标代入直线x+y=2求得P的坐标，再由两点间的距离公式求圆的半径． 解答： 解：如图，

2

由抛物线y=4x，得其焦点F（1，0），

2

设P（

）（y0＞0），则PF的中点为（

）=（），

由题意可知，点（）在直线x+y=2上，

∴

∴P（1，2）， 则圆的半径为

，解得：y0=2．

．

故答案为：1．

点评： 本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生对基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．

14．若实数x，y满足4x+2x+y+y=0，则2x+y的范围是 [﹣2，0] ．

考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用． 分析： 配方并三角换元可得2x+y=得．

解答： 解：把已知式子配方可得（2x+）+（y+）=，

2

2

2

2

cosθ﹣+sinθ﹣，由三角函数的值域求解方法可

∴，∴，

∴2x+y=cosθ﹣+sinθ﹣=sin（θ+）﹣1，

∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴﹣2≤sin（θ+）﹣1≤0，

∴2x+y的范围为：[﹣2，0]， 故答案为：[﹣2，0]．

点评： 本题考查不等式求式子的取值范围，三角换元是解决问题的关键，属中档题．

15．如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=4，AA1=1，设E为底面ABCD的中心，且

（0≤λ≤），则该长方体中经过点A1、E、F的截面面积的最小值为

．

考点： 棱柱的结构特征． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 首先找到经过点A1、E、F的截面为平行四边形，然后根据平行四边形面积公式结合二次函数知识求得截面的最小值．

解答： 解：设截面为A1FMN，显然A1FMN为平行四边形，过A点作AG⊥MF与G，则MG⊥A1G，作MK⊥AD与K，

根据题意AF=4λ，则CM=DK=4λ，KF=4﹣8λ，MF=易知Rt△MKF∽Rt△AGF，∴

，∴AG=

，

，

∴A1G=AG+AA1=

222

+1，

∴S截面=MF×A1G=MF×（=32（10λ﹣2λ+1）=320（λ﹣∴当λ=

2

2

2222

+1）=16λ+4+（4﹣8λ）

）+

2

2222

（0≤λ≤）， ，此时S截面为

．

时，S截面=取得最小值

．

故答案为：

点评： 本题考查了棱柱的结构特征．本题中的长方体是一直棱柱，所以棱AA1⊥平面ABCD，则AA1⊥AE．

三、解答题：本大题共5小体，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．已知函数f（x）=cos2x﹣8sin

4

．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求函数y=f（2x﹣

）在x

上的值域．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．

分析： （Ⅰ）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出函数的周期．

（Ⅱ）直接利用函数的关系式，再利用函数的定义域求出函数的值域． 解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣8sin=1﹣2sinx﹣2

2

2

2

4

．

=1﹣2sinx﹣2（1﹣cosx） =4cosx﹣3，

所以函数的最小正周期为2π． （Ⅱ）由于f（x）=4cosx﹣3， 所以：y=f（由于：所以：﹣则：﹣

cos（2x﹣

）=4cos（

）≤1，

）﹣3

则：﹣5≤y≤1

函数的值域为：[﹣5，1]．

点评： 本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，利用余弦型函数的关系式求函数的周期，利用函数的定义域求函数的值域．

17．如图所示，在三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=CD=1，AC=，平面ACD⊥平面ABC，∠BCD=90°．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．

考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间向量及应用．

分析： （I）取AC中点M，连结BM，过M在平面ACD上作MN⊥AC，通过已知条件可分别以MB、MC、MN为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设D（0，y，z），利用∠BCD=90°即

?

=0，可得D（0，

，1），进而CD⊥平面ABC；

的夹角

（II）通过题意，直线BC与平面ABD所成角的正弦值即为平面ABD的法向量与的余弦值的绝对值，计算即可． 解答： 解：（I）取AC中点M，连结BM，过M在平面ACD上作MN⊥AC， ∵平面ACD⊥平面ABC，∴MN⊥平面ABC， 又∵AB=BC，∴MB⊥AC，

分别以MB、MC、MN为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图， 则有B（，0，0），C（0，则有

=（

，

，0），?

，0），设D（0，y，z）， =（0，y﹣

，

，z），

∵∠BCD=90°，∴=0，解得y=，1），

又∵CD=1，∴D（0，∴

=（0，0，1），故CD⊥平面ABC；

，0），设平面ABD的法向量为=（x，y，z），

=（，

，0），

（II）A（0，﹣由

=（0，

，0），

得，取=（，1，），

又∵=（，，0），

|=

=

．

∴sinθ=|

点评： 本题考查线面垂直的判定定理，向量的数量积运算，注意解题方法的积累，属于中档题．

18．如图所示，椭圆C：

=1（a＞b＞0）与直线AB：y=x+1相切于点A．

（1）求a，b满足的关系式，并用a，b表示点A的坐标；

（2）设F是椭圆的右焦点，若△AFB是以F为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆C的标准方程．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）直线方程与椭圆方程联立化为（a+4b）x+4ax+4a﹣4ab=0，由于直线与椭圆相切，可得△=0，即可解出切点A；

2

2

2

2

2

22

（2）设AF的斜率为k，由∠BAF=45°，利用“到角公式”可得=tan45°，解得k．再利

用斜率计算公式可得

=﹣，由BF⊥AF，可得kBF=﹣．得到直线BF的方程，

两条直线方程联立可得B．利用|AF|=|BF|可得方程，联立解得：a，c，再利用b=a﹣c即可得出．

2222

解答： 解：（1）联立，化为（a+4b）x+4ax+4a﹣4ab=0，（*）

2222222

∵直线与椭圆相切，

∴△=16a﹣4（a+4b）（4a﹣4ab）=0，

22

化为a+4b=4． ∴2xA=

=

=﹣a，

22

4

2

2

2

22

解得xA=﹣∴A（﹣

，∴yA=，b）．

2

=b．

（2）设AF的斜率为k，

由∠BAF=45°，∴=tan45°=1，解得k=．

∴=﹣，化为=．（*）

∵BF⊥AF， ∴kBF=﹣=3．

∴直线BF的方程为：y=3（x﹣c）， 联立

，

解得B∵|AF|=|BF|， ∴

．

=，

化为

2

，

与（*）联立解得：a=，c=1， ∴b=．

2

∴椭圆C的标准方程为：．

点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为方程联立可得△=0、等腰直角三角形的性质、“到角公式”、相互垂直的直线斜率之间的公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

19．已知函数f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a．

（1）若f（x）在区间[0，1]上不单调，求a的取值范围； （2）若对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，2]，使得|f（x0）|≥t，求t的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析： （1）求导f′（x）=2x+（a﹣4），从而可得f′（0）?f′（1）=（a﹣4）（2+a﹣4）＜0，从而解得；

（2）易知f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a的对称轴为x=

]上是减函数，在[2]，使得|f（x0）|≥t为

对于任意的a∈（0，4），|f（0）|≥t或|f（2）|≥t或|f（|，|f（2）|，|f（

）|≥t有一个成立即可，即{|f（0）

）|}max={|f

2

2

∈（0，2），故函数f（x）在[0，

，2]上是增函数；从而化对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，

）|}max≥t即可，再由f（1）=0知∴{|f（0）|，|f（2）|，|f（

（0）|，|f（2）|}max，从而解得．

2

解答： 解：（1）∵f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a， ∴f′（x）=2x+（a﹣4），

又∵f（x）在区间[0，1]上不单调， ∴f′（0）?f′（1） =（a﹣4）（2+a﹣4）＜0， 即2＜a＜4，

即a的取值范围为（2，4）； （2）f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a的对称轴为x=又∵a∈（0，4），∴

22

，

∈（0，2），

]上是减函数，

∴函数f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a在[0，在[

，2]上是增函数，

故对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，2]，使得|f（x0）|≥t可化为 对于任意的a∈（0，4），|f（0）|≥t或|f（2）|≥t或|f（

）|≥t有一个成立即可，

即{|f（0）|，|f（2）|，|f（又∵f（1）=0，

∴{|f（0）|，|f（2）|，|f（

）|}max≥t即可，

）|}max={|f（0）|，|f（2）|}max， ）|}max=

，

故{|f（0）|，|f（2）|，|f（

故的最小值为1，

故1≥t即可，

故t的取值范围为（﹣∞，1]．

点评： 本题考查了导数的综合应用及二次函数的性质与应用，同时考查了恒成立问题与存在性问题，属于难题．

20．已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N）．

+

（Ⅰ）设bn=an+1+an（n∈N），求证{bn}是等比数列； （Ⅱ）（i）求数列{an}的通项公式； （ii）求证：对于任意n∈N都有

+

+

成立．

考点： 数列的求和；等比关系的确定；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （Ⅰ）利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比数列． （Ⅱ）（i）根据（Ⅰ）的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式． （ii）首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明．

解答： 证明：（Ⅰ）已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N）． 则：an+1+an=3（an+an﹣1） 即：

，

+

所以：，

数列{bn}是等比数列． （Ⅱ）（i）由于数列{bn}是等比数列． 则：

，

整理得：

所以：则：所以：

是以（

）为首项，﹣1为公比的等比数列．

求得：

（ii）由于：，

所以：

则：（1）当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

所以：=…+

所以：n∈k时，对任意的k都有

恒成立．

点评： 本题考查的知识要点：利用定义法证明数列是等比数列，利用构造数列的方法来求数列的通项公式，放缩法的应用．

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